1.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质（一）
1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（ ）
A.（－1，0），（1，0） B.（－6，0），（6，0）
C.（－，0），（，0） D.（0，－），（0，）
2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.x2＋＝1
3.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的面积为2π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4.已知椭圆的标准方程为＋＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心的距离｜OP｜的取值范围为（ ）
A.[6，10] B.[6，8]
C.[8，10] D.[16，20]
5.（多选）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则（ ）
A.a2＝25 B.b2＝9
C.a2＝21 D.b2＝16
6.（多选）已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
7.已知椭圆C：＋＝1（a＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（0，6），椭圆C短轴的一个端点恰为△AF1F2的重心，则椭圆C的长轴长为 .
8.已知椭圆＋＝1的离心率为，则m＝ .
9.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴长的最小值为 .
10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程.
11.手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为（ ）
A.30 cm B.20 cm
C.10 cm D.10 cm
12.已知椭圆＋＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若｜BF2｜＋｜AF2｜的最大值为5，则b的值为（ ）
A.1 B.
C. D.
13.（多选）已知椭圆Ω：＋＝1（a＞b＞0），则下列结论正确的是（ ）
A.若a＝2b，则Ω的离心率为
B.若Ω的离心率为，则＝
C.若F1，F2为Ω的两个焦点，直线l过点F1且与Ω交于点A，B，则△ABF2的周长为4a
D.若A1，A2分别为Ω的左、右顶点，P为Ω上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为－
14.如图，把椭圆＋＝1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7这七个点，F是椭圆的左焦点，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝ .
15.已知圆M：（x＋3）2＋y2＝64的圆心为M，定点N（3，0），动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点Q是曲线C上一点，且∠QMN＝60°，求△QMN的面积.
16.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点.若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，求·的取值范围.
第一课时 椭圆的简单几何性质（一）
1.D ∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上，∴长轴端点坐标为（0，－），（0，）.
2.A 依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
3.A 由题意得
解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.故选A.
4.C 设点P（x0，y0），则｜OP｜＝.由椭圆的范围，知｜x0｜≤a＝10，｜y0｜≤b＝8.∵点P在椭圆上，∴＋＝1，∴＝64－，∴｜OP｜＝.∵0≤≤100，∴64≤＋64≤100，∴8≤｜OP｜≤10.
5.AB 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
6.AC 由椭圆的定义可得2a＝12，则a＝6.因为椭圆G的离心率为＝，则c＝3，所以b＝＝3.若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为＋＝1；若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为＋＝1.故选A、C.
7.2 解析：由椭圆方程＋＝1（a＞1），得c＝＝1，则F1（－1，0），F2（1，0）.由题可知，点（0，b）（b为椭圆的短半轴长）是△AF1F2的重心，∴b＝6×＝2，则2a＝2＝2.
8.3或 解析：由于题中没有明确指出焦点在哪个坐标轴上，所以要分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况讨论：当焦点在x轴上时，0＜m＜4，＝，解得m＝3；当焦点在y轴上时，m＞4，＝，解得m＝.综上，m＝3或m＝.
9.2 解析：由题意知，当椭圆上的点为短轴的一个端点时，三角形的面积最大，故·b·2c＝1，即bc＝1，c＝，∴a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，当且仅当b＝1时取等号，∴a≥，∴2a≥2.
10.解：设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为｜AB｜＋｜BF2｜＋｜AF2｜＝｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故椭圆C的标准方程为＋＝1.
11.B 由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，可得焦距长为20 cm，故离心率为e＝，所以小椭圆离心率为e＝，小椭圆的短轴长为10 cm，即2b＝10 cm，由e＝，可得a＝10 cm，所以小椭圆的长轴长为20 cm，故选B.
12.C 因为0＜b＜2，所以椭圆的焦点在x轴上，可知a＝2.因为过F1的直线交椭圆于A，B两点，所以由椭圆的定义知｜BF2｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜AF1｜＝4a＝8，所以｜BF2｜＋｜AF2｜＝8－（｜BF1｜＋｜AF1｜）＝8－｜AB｜，当AB⊥x轴时，｜AB｜最小，｜BF2｜＋｜AF2｜的值最大，此时｜AB｜为椭圆的通径，由通径公式可得｜AB｜＝＝b2，所以8－b2＝5，解得b＝.
13.BCD 选项A，离心率e＝＝＝＝，若a＝2b，则e＝＝＝，所以A不正确.选项B，离心率e＝＝，则＝，所以B正确.选项C，根据椭圆的定义可知C正确.选项D，设P（x0，y0），则＋＝1，由椭圆方程可知A1（－a，0），A2（a，0），所以·＝·＝＝＝－，所以D正确.故选B、C、D.
14.35 解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35.
15.解：（1）由已知｜PN｜＝｜PA｜，故｜PM｜＋｜PN｜＝｜PM｜＋｜PA｜＝｜AM｜＝8＞｜MN｜，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
设点P的轨迹方程为＋＝1（a＞b＞0），则2a＝8，c＝3，b2＝7，
所以点P的轨迹方程为＋＝1.
（2）不妨设｜MQ｜＝m，由椭圆定义可得｜QN｜＝2a－m＝8－m，又｜MN｜＝2c＝6，
则在△MNQ中，由余弦定理可得：cos∠QMN＝＝，
解得m＝.
故△QMN的面积S＝×sin∠QMN×m×2c＝c×m＝××3＝.
16.解：因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，
则椭圆的方程为＋＝1，
所以点A的坐标为（－2，0），点F的坐标为（－1，0）.
设P（x，y），－2≤x≤2，则·＝（x＋2，y）·（x＋1，y）＝x2＋3x＋2＋y2.
由椭圆的方程得y2＝3－x2，所以·＝x2＋3x－x2＋5＝（x＋6）2－4.
因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12].
2 / 21.2 椭圆的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想 数学运算
第一课时 椭圆的简单几何性质（一）
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.
【问题】 你知道椭圆有什么样的几何性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程
范围
顶点
轴长 长轴长＝ ，短轴长＝
焦点
焦距 ｜F1F2｜＝
对称性 对称轴 ，对称中心
离心率 e＝
【想一想】
1.能用a，b表示椭圆离心率e吗？
2.椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？
3.椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长等于a.（ ）
（2）椭圆＋＝1的离心率e＝.（ ）
（3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，±）.（ ）
2.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，0），（0，2），则此椭圆的方程是 .
3.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为 .
题型一 由标准方程研究几何性质
【例1】 （多选）关于椭圆3x2＋4y2＝12有以下结论，其中正确的有（ ）
A.离心率为
B.长轴长是2
C.焦点在y轴上
D.焦点坐标为（－1，0），（1，0）
尝试解答
通性通法
用标准方程研究几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式；
（2）确定焦点位置；
（3）求出a，b，c；
（4）写出椭圆的几何性质.
提醒 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.
【跟踪训练】
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
（1）求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
（2）写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
题型二 利用几何性质求标准方程
【例2】 （1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到椭圆两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，该垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的标准方程；
（2）求经过点M（1，2），且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程.
尝试解答
通性通法
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等.
【跟踪训练】
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是10，离心率是；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 已知圆M：（x＋1）2＋y2＝1，圆N：（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.
尝试解答
通性通法
求椭圆轨迹方程的常用方法
（1）直接法：由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法；
（3）代入法（相关点法）；若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）＝0上的动点Q（x1，y1）存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法（相关点法）.
【跟踪训练】
已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为 .
1.对于椭圆＋＝1，下面说法正确的是（ ）
A.长轴长为2 B.短轴长为3
C.离心率为 D.焦距为1
2.设定点F1（－2，0），F2（2，0），平面内满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝4的动点P的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.线段
C.一条射线 D.不存在
3.若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1
D.以上答案都不对
4.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 .
第一课时 椭圆的简单几何性质（一）
【基础知识·重落实】
知识点
＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－b，0），B2（b，0） 2a 2b F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） 2c x轴和y轴 （0，0） （0＜e＜1）
想一想
1.提示：能.e＝.
2.提示：越圆.
3.提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.＋＝1 解析：由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.
3.
【典型例题·精研析】
【例1】 AD 将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，所以该椭圆的焦点在x轴上，故C错误；焦点坐标为（－1，0），（1，0），故D正确；a＝2，长轴长是4，故B错误；因为a＝2，b＝，所以c＝1，离心率e＝＝，故A正确.故选A、D.
跟踪训练
解：（1）由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标（6，0），（－6，0），离心率e＝.
（2）椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点（0，10），（0，－10），短轴端点（－8，0），（8，0）；
④焦点：（0，6），（0，－6）；
⑤离心率：e＝.
【例2】 解：（1）若焦点在x轴上，则设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），依题意，有解得故b2＝a2－c2＝5－＝，则椭圆的标准方程为＋＝1；若焦点在y轴上，则设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），同理可得a2＝5，b2＝，则椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
（2）由题意知，可设所求椭圆方程为＋＝k1（k1＞0）或＋＝k2（k2＞0），将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
跟踪训练
解：（1）设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0）.由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
（2）依题意可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）.
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【例3】 解：由已知得圆M的圆心为M（－1，0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1，0），半径r2＝3.
设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以｜PM｜＋｜PN｜＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4＞｜MN｜＝2，
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，a＝2，b＝的椭圆（除去点（－2，0）），其方程为＋＝1（x≠－2）.
跟踪训练
x2＋＝1 解析：设P（x0，y0），Q（x，y），由中点坐标公式得∴又∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，即x2＋＝1.
随堂检测
1.C 根据题意，椭圆的方程为＋＝1，其中a＝＝2，b＝，则c＝＝1，则其长轴长2a＝4，短轴长2b＝2，焦距2c＝2，其离心率e＝＝.故选C.
2.B 依题意，已知平面内两点F1，F2之间的距离为4，动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，所以动点P的轨迹是线段F1F2.
3.C 直线与坐标轴的交点为（0，1），（－2，0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
4. 解析：椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1.因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以＝4，所以m＝.
4 / 4(共65张PPT)
第一课时
椭圆的简单几何性质（一）
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进
一步体会数形结合的思想 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常
出现.
【问题】 你知道椭圆有什么样的几何性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准 方程
＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）
＋ ＝1（ a ＞ b ＞ 0）
焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
范围
顶点
－ a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b
－ b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
A1（－ a ，0）， A2
（ a ，0），
B1（0，－ b ）， B2
（0， b ）
A1（0，－ a ）， A2（0，
a ），
B1（－ b ，0）， B2（ b ，
0）
焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
轴长 长轴长＝ ，短轴长＝ 焦点
焦距 ｜ F1 F2｜＝ 2 a
2 b
F1（－ c ，0）， F2
（ c ，0）
F1（0，－ c ）， F2（0， c ）
2 c
焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
对称性 对称轴 ，对称中心 离心率 e ＝ x 轴和 y 轴
（0，0）
（0＜ e ＜1）
1. 能用 a ， b 表示椭圆离心率 e 吗？
提示：能. e ＝ .
2. 椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆吗？
提示：越圆.
3. 椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点 B1和 B2到中心 O 的距离最近；长轴端点 A1和 A2到中
心 O 的距离最远.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的长轴长等于 a . （ × ）
（2）椭圆 ＋ ＝1的离心率 e ＝ . （ × ）
（3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个
顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，± ）.
（ √ ）
×
×
√
2. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，
0），（0，2），则此椭圆的方程是 .
解析：由已知 a ＝4， b ＝2，椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆方程是
＋ ＝1.
3. 若焦点在 y 轴上的椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则 m 的值为 .
＋ ＝1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由标准方程研究几何性质
【例1】 （多选）关于椭圆3 x2＋4 y2＝12有以下结论，其中正确的有
（ ）
C. 焦点在 y 轴上 D. 焦点坐标为（－1，0），（1，0）
解析： 将椭圆方程化为标准方程为 ＋ ＝1，所以该椭圆的焦
点在 x 轴上，故C错误；焦点坐标为（－1，0），（1，0），故D正
确； a ＝2，长轴长是4，故B错误；因为 a ＝2， b ＝ ，所以 c ＝1，
离心率 e ＝ ＝ ，故A正确.故选A、D.
通性通法
用标准方程研究几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式；
（2）确定焦点位置；
（3）求出 a ， b ， c ；
（4）写出椭圆的几何性质.
提醒 长轴长、短轴长、焦距不是 a ， b ， c ，而应是 a ， b ， c
的两倍.
【跟踪训练】
已知椭圆 C1： ＋ ＝1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短
轴长分别相等，且椭圆 C2的焦点在 y 轴上.
（1）求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
解：由椭圆 C1： ＋ ＝1可得其长半轴长为10，短半轴
长为8，焦点坐标（6，0），（－6，0），离心率 e ＝ .
（2）写出椭圆 C2的方程，并研究其性质.
解：椭圆 C2： ＋ ＝1，
性质：①范围：－8≤ x ≤8，－10≤ y ≤10；
②对称性：关于 x 轴、 y 轴、原点对称；
③顶点：长轴端点（0，10），（0，－10），短轴端点（－8，
0），（8，0）；
④焦点：（0，6），（0，－6）；
⑤离心率： e ＝ .
题型二 利用几何性质求标准方程
【例2】 （1）已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到椭圆
两焦点的距离分别为 和 ，过点 P 作长轴的垂线，该垂线恰好过
椭圆的一个焦点，求此椭圆的标准方程；
解：若焦点在 x 轴上，则设椭圆的方程为 ＋ ＝1（ a ＞
b ＞0），依题意，有解得
故 b2＝ a2－ c2＝5－ ＝ ，则椭圆的标准方程为 ＋
＝1；若焦点在 y 轴上，则设椭圆的方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b
＞0），同理可得 a2＝5， b2＝ ，则椭圆的标准方程为 ＋
＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
（2）求经过点 M （1，2），且与椭圆 ＋ ＝1有相同离心率的椭圆
的标准方程.
解：由题意知，可设所求椭圆方程为 ＋ ＝ k1（ k1＞
0）或 ＋ ＝ k2（ k2＞0），将点 M 的坐标代入可得 ＋ ＝ k1
或 ＋ ＝ k2，解得 k1＝ ， k2＝ ，故 ＋ ＝ 或 ＋ ＝
，即所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
通性通法
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数
法，其步骤是：
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有
两种标准方程）；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.
列方程（组）时常用的关系式有 b2＝ a2－ c2， e ＝ 等.
【跟踪训练】
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是10，离心率是 ；
解：设椭圆的方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）或 ＋ ＝
1（ a ＞ b ＞0）.由已知得2 a ＝10， a ＝5.又∵ e ＝ ＝ ，∴ c ＝
4.∴ b2＝ a2－ c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或
＋ ＝1.
（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦
距为6.
解：依题意可设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b
＞0）.
如图所示，△ A1 FA2为等腰直角三角形， OF 为斜
边 A1 A2的中线（高），且｜ OF ｜＝ c ，｜ A1
A2｜＝2 b ，则 c ＝ b ＝3， a2＝ b2＋ c2＝18，故所
求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 已知圆 M ：（ x ＋1）2＋ y2＝1，圆 N ：（ x －1）2＋ y2＝9，
动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ，求 C 的
方程.
解：由已知得圆 M 的圆心为 M （－1，0），半径 r1＝1；圆 N 的圆心
为 N （1，0），半径 r2＝3.
设动圆 P 的圆心为 P （ x ， y ），半径为 R . 动圆 P 与圆 M 外切并且与
圆 N 内切，所以｜ PM ｜＋｜ PN ｜＝（ R ＋ r1）＋（ r2－ R ）＝ r1＋ r2
＝4＞｜ MN ｜＝2，
由椭圆定义可知，曲线 C 是以 M ， N 为左、右焦点， a ＝2， b ＝ 的
椭圆（除去点（－2，0）），其方程为 ＋ ＝1（ x ≠－2）.
通性通法
求椭圆轨迹方程的常用方法
（1）直接法：由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐
标代入并化简，得到所求的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定
义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求
轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲
线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法；
（3）代入法（相关点法）；若所求轨迹上的动点 P （ x ， y ）与另一
个已知曲线 C ： F （ x ， y ）＝0上的动点 Q （ x1， y1）存在着某
种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已
知曲线 C 的方程 F （ x ， y ）＝0，化简即得所求轨迹方程，这种
求轨迹方程的方法叫做代入法（相关点法）.
【跟踪训练】
已知 P 是椭圆 ＋ ＝1上一动点， O 为坐标原点，则线段
OP 中点 Q 的轨迹方程为 .
x2＋ ＝1
解析：设 P （ x0， y0）， Q （ x ， y ），由中点坐标公式得
∴又∵点 P 在椭圆 ＋ ＝1上，
∴ ＋ ＝1，即 x2＋ ＝1.
1. 对于椭圆 ＋ ＝1，下面说法正确的是（ ）
A. 长轴长为2 B. 短轴长为3
D. 焦距为1
解析： 根据题意，椭圆的方程为 ＋ ＝1，其中 a ＝ ＝2，
b ＝ ，则 c ＝ ＝1，则其长轴长2 a ＝4，短轴长2 b ＝2
，焦距2 c ＝2，其离心率 e ＝ ＝ .故选C.
2. 设定点 F1（－2，0）， F2（2，0），平面内满足｜ PF1｜＋｜
PF2｜＝4的动点 P 的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 线段
C. 一条射线 D. 不存在
解析： 依题意，已知平面内两点 F1， F2之间的距离为4，动点 P
满足｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝4，所以动点 P 的轨迹是线段 F1 F2.
3. 若直线 x －2 y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的
标准方程为（ ）
D. 以上答案都不对
解析： 直线与坐标轴的交点为（0，1），（－2，0），由题意
知当焦点在 x 轴上时， c ＝2， b ＝1，∴ a2＝5，所求椭圆的标准方
程为 ＋ y2＝1.当焦点在 y 轴上时， b ＝2， c ＝1，∴ a2＝5，所求椭
圆的标准方程为 ＋ ＝1.
4. 椭圆 x2＋ my2＝1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则 m 的值
为 .
解析：椭圆 x2＋ my2＝1的标准形式为 x2＋ ＝1.因为焦点在 y 轴
上，且长轴长是短轴长的2倍，所以 ＝4，所以 m ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 椭圆6 x2＋ y2＝6的长轴端点坐标为（ ）
A. （－1，0），（1，0）
B. （－6，0），（6，0）
解析： ∵椭圆方程化为标准式为 ＋ x2＝1，∴ a2＝6，且焦点
在 y 轴上，∴长轴端点坐标为（0，－ ），（0， ）.
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2. 焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3
的椭圆的标准方程为（ ）
解析： 依题意，得 a ＝2， a ＋ c ＝3，故 c ＝1， b ＝ ＝
，故所求椭圆的标准方程是 ＋ ＝1.
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3. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到
椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，
已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）
的面积为2 π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭
圆 C 的标准方程是（ ）
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解析： 由题意得解得所以椭圆 C 的标
准方程是 ＋ ＝1.故选A.
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4. 已知椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，则椭圆上的点 P 到椭圆中心的
距离｜ OP ｜的取值范围为（ ）
A. [6，10] B. [6，8]
C. [8，10] D. [16，20]
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解析： 设点 P （ x0， y0），则｜ OP ｜＝ .由椭圆的范
围，知｜ x0｜≤ a ＝10，｜ y0｜≤ b ＝8.∵点 P 在椭圆上，∴ ＋
＝1，∴ ＝64－ ，∴｜ OP ｜＝ .∵0≤ ≤100，
∴64≤ ＋64≤100，∴8≤｜ OP ｜≤10.
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5. （多选）已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）与椭圆 ＋ ＝1有相
同的长轴，椭圆 ＋ ＝1的短轴长与椭圆 ＋ ＝1的短轴长相
等，则（ ）
A. a2＝25 B. b2＝9
C. a2＝21 D. b2＝16
解析： 因为椭圆 ＋ ＝1的长轴长为10，焦点在 x 轴上，椭
圆 ＋ ＝1的短轴长为6，所以 a2＝25， b2＝9.
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6. （多选）已知椭圆 G 的中心在坐标原点，离心率为 ，且椭圆上一
点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆 G 的方程为（ ）
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解析： 由椭圆的定义可得2 a ＝12，则 a ＝6.因为椭圆 G 的离心
率为 ＝ ，则 c ＝3 ，所以 b ＝ ＝3.若椭圆 G 的焦点在
x 轴上，则椭圆 G 的方程为 ＋ ＝1；若椭圆 G 的焦点在 y 轴上，
则椭圆 G 的方程为 ＋ ＝1.故选A、C.
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7. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞1）的左、右焦点分别为 F1， F2，
点 A （0，6），椭圆 C 短轴的一个端点恰为△ AF1 F2的重心，则椭圆
C 的长轴长为 .
解析：由椭圆方程 ＋ ＝1（ a ＞1），得 c ＝
＝1，则 F1（－1，0）， F2（1，0）.由题可知，点（0， b ）（ b 为
椭圆的短半轴长）是△ AF1 F2的重心，∴ b ＝6× ＝2，则2 a ＝2
＝2 .
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8. 已知椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则 m ＝ 3或 .
解析：由于题中没有明确指出焦点在哪个坐标轴上，所以要分焦点
在 x 轴上与焦点在 y 轴上两种情况讨论：当焦点在 x 轴上时，0＜ m
＜4， ＝ ，解得 m ＝3；当焦点在 y 轴上时， m ＞4， ＝
，解得 m ＝ .综上， m ＝3或 m ＝ .
3或
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9. 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，
椭圆长轴长的最小值为 .
解析：由题意知，当椭圆上的点为短轴的一个端点时，三角形的面
积最大，故 · b ·2 c ＝1，即 bc ＝1， c ＝ ，∴ a2＝ b2＋ c2＝ b2＋
≥2，当且仅当 b ＝1时取等号，∴ a ≥ ，∴2 a ≥2 .
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10. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x
轴上，离心率为 ，过点 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，且△
ABF2的周长为16，求椭圆 C 的标准方程.
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解：设椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.由 e ＝ 知
＝ ，故 ＝ ，从而 ＝ ， ＝ .由△ ABF2的周长为｜
AB ｜＋｜ BF2｜＋｜ AF2｜＝｜ AF1｜＋｜ AF2｜＋｜ BF1｜＋｜
BF2｜＝4 a ＝16，得 a ＝4，∴ b2＝8.故椭圆 C 的标准方程为 ＋
＝1.
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11. 手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模
型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭
圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短
轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为（ ）
A. 30 cm B. 20 cm
C. 10 cm
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解析： 由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率
相同，由大椭圆长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，可得焦距长为
20 cm，故离心率为 e ＝ ，所以小椭圆离心率为 e ＝ ，小椭
圆的短轴长为10 cm，即2 b ＝10 cm，由 e ＝ ，可得 a ＝10
cm，所以小椭圆的长轴长为20 cm，故选B.
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12. 已知椭圆 ＋ ＝1（0＜ b ＜2）的左、右焦点分别为 F1， F2，过
F1的直线交椭圆于 A ， B 两点，若｜ BF2｜＋｜ AF2｜的最大值为
5，则 b 的值为（ ）
A. 1
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解析： 因为0＜ b ＜2，所以椭圆的焦点在 x 轴上，可知 a ＝2.因
为过 F1的直线交椭圆于 A ， B 两点，所以由椭圆的定义知｜ BF2｜
＋｜ AF2｜＋｜ BF1｜＋｜ AF1｜＝4 a ＝8，所以｜ BF2｜＋｜
AF2｜＝8－（｜ BF1｜＋｜ AF1｜）＝8－｜ AB ｜，当 AB ⊥ x 轴
时，｜ AB ｜最小，｜ BF2｜＋｜ AF2｜的值最大，此时｜ AB ｜为
椭圆的通径，由通径公式可得｜ AB ｜＝ ＝ b2，所以8－ b2＝
5，解得 b ＝ .
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13. （多选）已知椭圆Ω： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），则下列结论正确
的是（ ）
C. 若 F1， F2为Ω的两个焦点，直线 l 过点 F1且与Ω交于点 A ， B ，则△
ABF2的周长为4 a
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解析： 选项A，离心率 e ＝ ＝ ＝ ＝
，若 a ＝2 b ，则 e ＝ ＝ ＝ ，
所以A不正确.选项B，离心率 e ＝ ＝ ，则 ＝ ，所
以B正确.选项C，根据椭圆的定义可知C正确.选项D，设 P
（ x0， y0），则 ＋ ＝1，由椭圆方程可知 A1（－ a ，0），
A2（ a ，0），所以 · ＝ · ＝ ＝
＝－ ，所以D正确.故选B、C、D.
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14. 如图，把椭圆 ＋ ＝1的长轴（线段 AB ）分成8等份，过每个分
点作 x 轴的垂线，分别交椭圆于 P1， P2， P3，…， P7这七个点， F
是椭圆的左焦点，则｜ P1 F ｜＋｜ P2 F ｜＋…＋｜ P7 F ｜＝ .
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解析：由椭圆的对称性及定义，知｜ P1 F ｜＋｜ P7 F ｜＝2 a ，｜
P2 F ｜＋｜ P6 F ｜＝2 a ，｜ P3 F ｜＋｜ P5 F ｜＝2 a ，｜ P4 F ｜＝
a ，所以｜ P1 F ｜＋｜ P2 F ｜＋｜ P3 F ｜＋｜ P4 F ｜＋｜ P5 F ｜
＋｜ P6 F ｜＋｜ P7 F ｜＝7 a .因为 a ＝5，所以所求式子的值为35.
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15. 已知圆 M ：（ x ＋3）2＋ y2＝64的圆心为 M ，定点 N （3，0），动
点 A 在圆 M 上，线段 AN 的垂直平分线交线段 MA 于点 P .
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
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解：由已知｜ PN ｜＝｜ PA ｜，故｜ PM ｜＋｜ PN ｜
＝｜ PM ｜＋｜ PA ｜＝｜ AM ｜＝8＞｜ MN ｜，
所以点 P 的轨迹是以 M ， N 为焦点的椭圆，
设点 P 的轨迹方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），则2 a ＝8， c
＝3， b2＝7，
所以点 P 的轨迹方程为 ＋ ＝1.
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（2）若点 Q 是曲线 C 上一点，且∠ QMN ＝60°，求△ QMN
的面积.
解：不妨设｜ MQ ｜＝ m ，由椭圆定义可得｜ QN ｜＝
2 a － m ＝8－ m ，又｜ MN ｜＝2 c ＝6，
则在△ MNQ 中，由余弦定理可得： cos ∠ QMN ＝ ＝
，解得 m ＝ .
故△ QMN 的面积 S ＝ × sin ∠ QMN × m ×2 c ＝ c × m ＝
× ×3＝ .
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16. 已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左顶点为 A ，左焦点为 F ，点
P 为该椭圆上任意一点.若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心
率 e ＝ ，求 · 的取值范围.
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解：因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以 a ＝2.
因为离心率 e ＝ ，所以 c ＝1， b ＝ ＝ ，
则椭圆的方程为 ＋ ＝1，
所以点 A 的坐标为（－2，0），点 F 的坐标为（－1，0）.
设 P （ x ， y ），－2≤ x ≤2，则 · ＝（ x ＋2， y ）·（ x ＋1，
y ）＝ x2＋3 x ＋2＋ y2.
由椭圆的方程得 y2＝3－ x2，所以 · ＝ x2＋3 x － x2＋5＝
（ x ＋6）2－4.
因为 x ∈[－2，2]，所以 · ∈[0，12].
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谢 谢 观 看！
