第二课时 椭圆的简单几何性质（二）
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
4.（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆（如图所示）.已知它的近月点A（离月球表面最近的点）距离月球表面m千米，远月点B（离月球表面最远的点）距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有（ ）
A.a＝ B.a＝＋R
C.c＝ D.c＝＋R
6.（多选）已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.｜PF1｜＋｜PF2｜＝2
B.离心率e＝
C.△PF1F2面积的最大值为
D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
7.已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为 .
8.若椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 .
9.过椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是 .
10.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点是A（a，0），其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围.
11.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若｜PF1｜＋｜QF2｜≥b，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.设A，B为椭圆＋＝1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，右焦点为F（c，0）.若｜AB｜＝2c，S△ABF≥c2，则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A.［，］ B.［，1）
C.（0，） D.（0，］
13.（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（ ）
A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
14.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为 .
15.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线C的标准方程；
（2）某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？
16.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P（0，）到椭圆上一点的最远距离是，求椭圆的标准方程.
第二课时 椭圆的简单几何性质（二）
1.D 右焦点为F（1，0）说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.
2.B 法一 不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝或e＝－（舍去）.
法二 不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝.
法三 如图，由题意得在椭圆中，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b，BF＝a.
在Rt△OFB中，｜OF｜×｜OB｜＝｜BF｜×｜OD｜，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝.
3.D 如图，∵＝2，∴｜OA｜＝2｜OF｜，∴a＝2c，∴e＝.
4.A 法一 由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A.
法二 代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A.
5.BC 由题意可知2a＝2R＋m＋n，所以a＝＋R，因为a－c＝R＋m，a＋c＝R＋n，所以c＝，故选B、C.
6.AD 对于A选项，由椭圆的定义可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，所以A选项正确.对于B选项，依题意知a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B选项不正确.对于C选项，｜F1F2｜＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误.对于D选项，以线段F1F2为直径的圆的圆心为（0，0），半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为A、D.
7. 解析：不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为（2，0），所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
8.＋＝1 解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
9. 解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为（c，0），根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.
10.解：设P（x，y），由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝.
∴y2＝ax－x2. ①
又P点在椭圆上，故＋＝1. ②
把①代入②化简，得（a2－b2）x2－a3x＋a2b2＝0，
即（x－a）[（a2－b2）x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0＜x＜a，
∴0＜＜a，即2b2＜a2.
由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，∴e＞.
又∵0＜e＜1，∴＜e＜1.
故所求椭圆离心率的取值范围为（，1）.
11.C 由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆另一交点为A（图略），由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，易知｜QF2｜＝｜F1A｜，又｜PF1｜＋｜F1A｜＝｜PA｜，由过椭圆焦点的弦通径最短，所以当PA垂直x轴时，｜PA｜最短，所以b≤｜PA｜min＝，所以ab≤2b2，解得0＜e≤.故选C.
12.A ∵A，B关于原点对称，∴｜OA｜＝｜OB｜＝｜AB｜＝c.若b＞c，则椭圆与圆x2＋y2＝c2没有交点，∴b≤c，∴e＝＝≥＝.设A（x1，y1），B（－x1，－y1），不妨设x1＞0，y1＞0，则整理得a2c2－c2＝a2b2，解得＝a2－.∴＝c2－a2＋＝（－1）·b2，得y1＝，∴S△ABF＝·y1·｜OF｜＋·｜－y1｜·｜OF｜＝y1·c≥c2，即≥c，∴a2－c2≥c2，解得e＝≤.综上所述，可得≤e≤.
13.ABD 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星在左半椭圆弧运行时，由面积守恒规律知时间更长，B正确；＝＝－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确.故选A、B、D.
14.（－1，1） 解析：在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.∵＝，∴＝，即｜PF1｜＝·｜PF2｜.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈（0，1），∴e∈（－1，1）.
15.解：（1）由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，
又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
所以曲线C的方程是＋＝1.
（2）由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，
所以设此时鱼群距A，B两岛的距离比为5∶3，
即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里.
设P（x，y），B（2，0），由｜PB｜＝3，
所以＝3，
所以
解得或
所以点P的坐标为（2，3）或（2，－3）.
16.解：依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），则e2＝＝＝1－＝，所以＝，即a＝2b.
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2＝x2＋（y－）2＝a2（1－）＋y2－3y＋＝－3（y＋）2＋4b2＋3（－b≤y≤b）.
若－b＞－，即b＜，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是（）2＝（b＋）2，解得b＝±－，与0＜b＜矛盾.
若－b≤－，即b≥，则当y＝－时，d2有最大值，从而d有最大值，即4b2＋3＝（）2，解得b2＝1，所以a2＝4.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
3 / 3第二课时 椭圆的简单几何性质（二）
题型一 椭圆的离心率问题
角度1 定义法求离心率
【例1】 椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是 .
尝试解答
角度2 构造齐次方程求离心率
【例2】 设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
角度3 求离心率的取值范围
【例3】 若椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率e的取值范围.
尝试解答
通性通法
求椭圆离心率及范围的两种方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解；
（2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.
【跟踪训练】
1.焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.设F1，F2分别为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.（0，］ B.（0，］
C.［，1） D.［，1）
题型二 椭圆的实际应用问题
【例4】 （多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2
C.＜ D.＞
尝试解答
通性通法
解决椭圆的实际问题的基本步骤
（1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；
（2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
（3）利用椭圆知识及其他相关知识求解.
【跟踪训练】
我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439 km，远地点B（离地面最远的点）距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）.
1.椭圆＋＝1的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
2.某地的旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
4.如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为 .
5.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是 m.
第二课时 椭圆的简单几何性质（二）
【典型例题·精研析】
【例1】 －1
解析：如图，设F（c，0），由△OAF是等边三角形，得A，∵点A在椭圆上，∴有＋＝1 ①，在椭圆中有a2＝b2＋c2 ②，联立①②，得c2＝（4－2）a2（c2＝（4＋2）a2舍去），即c＝（－1）a，则其离心率e＝＝－1.
【例2】 D 法一 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以｜PF2｜＝.又由∠PF1F2＝30°，可得｜F1F2｜＝｜PF2｜，故2c＝·，变形可得（a2－c2）＝2ac，等式两边同除以a2，得（1－e2）＝2e，解得e＝或e＝－（舍去）.
法二 由题意可设｜PF2｜＝m，结合条件可知｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
【例3】 解：法一 设M（x0，y0），则｜x0｜＜a.∵F1（－c，0），F2（c，0），
∴＝（－c－x0，－y0），＝（c－x0，－y0）.
∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴＋＝c2.
又∵点M（x0，y0）在椭圆上，∴＝b2－，
∴＋＝b2＋∈[b2，a2），即c2∈[b2，a2），∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥.
又0＜e＜1，故椭圆的离心率e的取值范围是.
法二 设点M的坐标是（x0，y0），则｜x0｜＜a，由题意得消去y0，得＝.
∵0≤＜a2，
∴
由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2＝≥.
又0＜e＜1，∴e∈，
由②得c2－b2＜c2，此式恒成立.
综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是.
跟踪训练
1.C 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，由三角形的面积公式得×2c×b＝×（2a＋2c）×得，a＝2c，即e＝＝，故选C.
2.D 由垂直平分线的性质知｜F1F2｜＝｜PF2｜，设直线x＝与x轴的交点为M，则｜PF2｜≥｜F2M｜，即｜F1F2｜≥｜F2M｜，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选D.
【例4】 BD 由题图可知，a1＞a2，c1＞c2所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，在椭圆轨道Ⅱ中可得，｜PF｜＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，＋＋2a1c2＝＋＋2a2c1，所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1，即＋2a1c2＝＋2a2c1，由题图可得，＞，所以2a1c2＜2a2c1，＜，所以C错误，D正确.
跟踪训练
解：如图，建立直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点（记F1为左焦点），
设椭圆的标准方程为
＋＝1（a＞b＞0），
则a－c＝｜OA｜－｜OF2｜＝｜F2A｜＝6 371＋439＝6 810，
a＋c＝｜OB｜＋｜OF2｜＝｜F2B｜＝6 371＋2 384＝8 755，
∴a＝7 782.5≈7 783.
∴b＝
＝＝≈7 721，
∴卫星运行的轨道方程是＋＝1.
随堂检测
1.B 由椭圆＋＝1可得a＝3，b＝2，∴c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.故选B.
2.B 由题意可知2a＝25.5，2b＝20.4，则c＝＝＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，故选B.
3.A 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.
4. 解析：法一 设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则kAB＝－.∵OP∥AB，∴直线OP的方程为y＝－x.又PF⊥x轴，∴点P的坐标为（－c，）.而点P也在椭圆上，∴＋＝1，即2e2＝1，∴e＝.
法二 设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），点F（－c，0）.∵P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，∴易得点P的坐标为（－c，）.又OP∥AB，∴Rt△OPF∽Rt△ABO，∴＝，即＝，则＝，∴b＝c，∴a＝c，∴e＝＝.
5.32 解析：设椭圆方程为＋＝1，当点（4，4.5）在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32 m.
3 / 3(共69张PPT)
第二课时
椭圆的简单几何性质（二）
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 椭圆的离心率问题
角度1 定义法求离心率
【例1】 椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的一个焦点为 F ，该椭圆上有
一点 A ，满足△ OAF 是等边三角形（ O 为坐标原点），则椭圆的离心
率是 .
－1
解析：如图，设 F （ c ，0），由△ OAF 是等边三角
形，得 A ，∵点 A 在椭圆上，∴有 ＋
＝1 ①，在椭圆中有 a2＝ b2＋ c2 ②，联立①
②，得 c2＝（4－2 ） a2（ c2＝（4＋2 ） a2舍
去），即 c ＝（ －1） a ，则其离心率 e ＝ ＝
－1.
角度2 构造齐次方程求离心率
【例2】 设椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为
F1， F2， P 是 C 上的点， PF2⊥ F1 F2，∠ PF1 F2＝30°，则 C 的离心率
为（ ）
解析： 法一 由 PF2⊥ F1 F2可知 P 点的横坐标为 c ，将 x ＝ c 代入
椭圆方程可解得 y ＝± ，所以｜ PF2｜＝ .又由∠ PF1 F2＝30°，
可得｜ F1 F2｜＝ ｜ PF2｜，故2 c ＝ · ，变形可得 （ a2－
c2）＝2 ac ，等式两边同除以 a2，得 （1－ e2）＝2 e ，解得 e ＝ 或
e ＝－ （舍去）.
法二 由题意可设｜ PF2｜＝ m ，结合条件可知｜ PF1｜＝2 m ，｜ F1
F2｜＝ m ，故离心率 e ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
角度3 求离心率的取值范围
【例3】 若椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）上存在一点 M ，使得∠ F1
MF2＝90°（ F1， F2分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率 e
的取值范围.
解：法一 设 M （ x0， y0），则｜ x0｜＜ a .∵ F1（－ c ，0）， F2
（ c ，0），
∴ ＝（－ c － x0，－ y0）， ＝（ c － x0，－ y0）.
∵∠ F1 MF2＝90°，∴ · ＝0，∴ ＋ ＝ c2.
又∵点 M （ x0， y0）在椭圆上，∴ ＝ b2－ ，
∴ ＋ ＝ b2＋ ∈[ b2， a2），即 c2∈[ b2， a2），∴ c2≥ b2＝ a2
－ c2，∴ ≥ ，∴ e ≥ .
又0＜ e ＜1，故椭圆的离心率 e 的取值范围是 .
法二 设点 M 的坐标是（ x0， y0），则｜ x0｜＜ a ，由题意得
消去 y0，得 ＝ .
∵0≤ ＜ a2，∴
由①得 c2≥ b2，即 c2≥ a2－ c2，∴ a2≤2 c2，∴ e2＝ ≥ .
又0＜ e ＜1，∴ e ∈ ，
由②得 c2－ b2＜ c2，此式恒成立.
综上所述，所求椭圆的离心率 e 的取值范围是 .
通性通法
求椭圆离心率及范围的两种方法
（1）直接法：若已知 a ， c 可直接利用 e ＝ 求解.若已知 a ， b 或 b ，
c 可借助于 a2＝ b2＋ c2求出 c 或 a ，再代入公式 e ＝ 求解；
（2）方程法：若 a ， c 的值不可求，则可根据条件建立 a ， b ， c 的关
系式，借助于 a2＝ b2＋ c2，转化为关于 a ， c 的齐次方程或不等
式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的
方程或不等式，即可求得 e 的值或范围.
【跟踪训练】
1. 焦点在 x 轴上的椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），短轴的一个
端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为
，则椭圆的离心率为（ ）
解析： 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，由
三角形的面积公式得 ×2 c × b ＝ ×（2 a ＋2 c ）× 得， a ＝2 c ，
即 e ＝ ＝ ，故选C.
2. 设 F1， F2分别为椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点，若直
线 x ＝ 上存在点 P ，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率
的取值范围是（ ）
解析： 由垂直平分线的性质知｜ F1 F2｜＝｜ PF2｜，设直线 x ＝
与 x 轴的交点为 M ，则｜ PF2｜≥｜ F2 M ｜，即｜ F1 F2｜≥｜ F2
M ｜，则2 c ≥ － c ，即3 c2≥ a2，所以 e2＝ ≥ ，又0＜ e ＜1，所以
≤ e ＜1.故选D.
题型二 椭圆的实际应用问题
【例4】 （多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首
个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研
人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦
娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.
如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近
一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后
卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月
飞行.若用2 c1和2 c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2 a1和2 a2
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A. a1＋ c1＝ a2＋ c2 B. a1－ c1＝ a2－ c2
解析： 由题图可知， a1＞ a2， c1＞ c2所以 a1＋ c1＞ a2＋ c2，所以
A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得， a1－ c1＝｜ PF ｜，在椭圆轨道Ⅱ中可
得，｜ PF ｜＝ a2－ c2，所以 a1－ c1＝ a2－ c2，所以B正确； a1＋ c2＝
a2＋ c1，两边同时平方得， ＋ ＋2 a1 c2＝ ＋ ＋2 a2 c1，所以
－ ＋2 a1 c2＝ － ＋2 a2 c1，即 ＋2 a1 c2＝ ＋2 a2 c1，由题
图可得， ＞ ，所以2 a1 c2＜2 a2 c1， ＜ ，所以C错误，D正确.
通性通法
解决椭圆的实际问题的基本步骤
（1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；
（2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
（3）利用椭圆知识及其他相关知识求解.
【跟踪训练】
我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球
的中心） F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点 A （离地面最近
的点）距地面439 km，远地点 B （离地面最远的点）距地面2
384 km，并且 F2， A ， B 在同一直线上，地球半径约为6 371
km，求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）.
解：如图，建立直角坐标系，使点 A ， B ， F2在 x 轴上， F2为椭圆右焦点（记 F1为左焦点），
设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
则 a － c ＝｜ OA ｜－｜ OF2｜＝｜ F2 A ｜＝6
371＋439＝6 810，
a ＋ c ＝｜ OB ｜＋｜ OF2｜＝｜ F2 B ｜＝6 371
＋2 384＝8 755，
∴ a ＝7 782.5≈7 783.
∴ b ＝ ＝
＝ ≈7 721，
∴卫星运行的轨道方程是 ＋ ＝1.
1. 椭圆 ＋ ＝1的离心率是（ ）
解析： 由椭圆 ＋ ＝1可得 a ＝3， b ＝2，∴ c ＝ ＝
，∴椭圆的离心率 e ＝ ＝ .故选B.
2. 某地的旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据
可得该椭圆的离心率为（ ）
解析： 由题意可知2 a ＝25.5，2 b ＝20.4，则 c ＝ ＝
＝ ，所以椭圆的离心率 e ＝ ＝ ＝ ，故选B.
3. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右顶点分别为 A1，
A2，且以线段 A1 A2为直径的圆与直线 bx － ay ＋2 ab ＝0相切，则 C
的离心率为（ ）
解析： 以线段 A1 A2为直径的圆的方程为 x2＋ y2＝ a2，由原点到
直线 bx － ay ＋2 ab ＝0的距离 d ＝ ＝ a ，得 a2＝3 b2，所以 C
的离心率 e ＝ ＝ .
解析：法一 设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），则 kAB ＝－
.∵ OP ∥ AB ，∴直线 OP 的方程为 y ＝－ x .又 PF ⊥ x 轴，∴点 P
的坐标为（－ c ， ）.而点 P 也在椭圆上，∴ ＋ ＝1，即2 e2
＝1，∴ e ＝ .
法二 设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），点 F （－ c ，0）.∵ P
是椭圆上一点，且 PF ⊥ x 轴，∴易得点 P 的坐标为（－ c ， ）.又
OP ∥ AB ，∴Rt△ OPF ∽Rt△ ABO ，∴ ＝ ，即 ＝ ，
则 ＝ ，∴ b ＝ c ，∴ a ＝ c ，∴ e ＝ ＝ .
5. 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 h 为6 m（如图所
示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车
辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽 d 至少应是 m.
解析：设椭圆方程为 ＋ ＝1，当点（4 ，4.5）在椭圆上时，
＋ ＝1，解得 a ＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴ a ≥16，
d ＝2 a ≥32，故拱宽至少为32 m.
32
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F （1，0），离心率等于 ，
则 C 的方程是（ ）
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解析： 右焦点为 F （1，0）说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴
上； c ＝1.又离心率为 ＝ ，故 a ＝2， b2＝ a2－ c2＝4－1＝3，故
椭圆的方程为 ＋ ＝1.
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2. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其
短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（ ）
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解析： 法一 不妨设直线 l 过椭圆的上顶点（0， b ）和左焦点
（－ c ，0）， b ＞0， c ＞0，则直线 l 的方程为 bx － cy ＋ bc ＝0，由
已知得 ＝ ×2 b ，解得 b2＝3 c2，又 b2＝ a2－ c2，所以 ＝
，即 e2＝ ，所以 e ＝ 或 e ＝－ （舍去）.
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法二 不妨设直线 l 过椭圆的上顶点（0， b ）和左焦点（－ c ，0），
b ＞0， c ＞0，则直线 l 的方程为 bx － cy ＋ bc ＝0，由已知得 ＝
×2 b ，所以 ＝ ×2 b ，所以 e ＝ ＝ .
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法三 如图，由题意得在椭圆中， OF ＝ c ， OB ＝
b ， OD ＝ ×2 b ＝ b ， BF ＝ a .在Rt△ OFB 中，｜
OF ｜×｜ OB ｜＝｜ BF ｜×｜ OD ｜，即 c × b ＝ a
× b ，解得 ＝ ，所以椭圆的离心率 e ＝ .
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3. 已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B
在椭圆上，且 BF ⊥ x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P ，若 ＝2 ，则
椭圆的离心率是（ ）
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解析： 如图，∵ ＝2 ，∴｜ OA ｜＝2｜
OF ｜，∴ a ＝2 c ，∴ e ＝ .
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4. （2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆 C1： ＋ y2＝1（ a ＞1）， C2： ＋
y2＝1的离心率分别为 e1， e2，若 e2＝ e1，则 a ＝（ ）
解析： 法一 由题意知 e1＝ ， e2＝ ＝ ，因为 e2＝
e1，所以 ＝ × ，得 a ＝ .故选A.
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法二 代入验证，若 a ＝ ，则 e1＝ ＝ ＝ ，
又 e2＝ ，所以 e2＝ e1，所以 a ＝ 符合题意，由于是单选
题，故选A.
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5. （多选）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道
是以月球的球心 F 为一个焦点的椭圆（如图所示）.已知它的近月点
A （离月球表面最近的点）距离月球表面 m 千米，远月点 B （离月
球表面最远的点）距离月球表面 n 千米， AB 为椭圆的长轴，月球的
半径为 R 千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为2 a ，2 c ，则下列结
论正确的有（ ）
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解析： 由题意可知2 a ＝2 R ＋ m ＋ n ，所以 a ＝ ＋ R ，因
为 a － c ＝ R ＋ m ， a ＋ c ＝ R ＋ n ，所以 c ＝ ，故选B、C.
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6. （多选）已知椭圆 C ： ＋ y2＝1的左、右焦点分别为 F1， F2， P
是椭圆 C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
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解析： 对于A选项，由椭圆的定义可知｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2
a ＝2 ，所以A选项正确.对于B选项，依题意知 a ＝ ， b ＝1， c
＝1，所以 e ＝ ＝ ＝ ，所以B选项不正确.对于C选项，｜ F1
F2｜＝2 c ＝2，当 P 为椭圆短轴顶点时，△ PF1 F2的面积取得最大
值，为 ·2 c · b ＝ c · b ＝1，所以C选项错误.对于D选项，以线段 F1 F2
为直径的圆的圆心为（0，0），半径为 c ＝1，圆心到直线 x ＋ y －
＝0的距离为 ＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线
段 F1 F2为直径的圆与直线 x ＋ y － ＝0相切，所以D选项正确.综
上所述，正确的为A、D.
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7. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1的一个焦点为（2，0），则 C 的离心率
为 .
解析：不妨设 a ＞0，因为椭圆 C 的一个焦点为（2，0），所以 c ＝
2，所以 a2＝4＋4＝8，所以 a ＝2 ，所以椭圆 C 的离心率 e ＝ ＝
.
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8. 若椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，短轴长为4，则椭圆
的标准方程为 .
解析：由题意可知 e ＝ ＝ ，2 b ＝4，得 b ＝2，所以
解得所以椭圆的标准方程为
＋ ＝1.
＋ ＝1
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9. 过椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于
A ， B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点.若以 AB 为直径的圆与 l 存
在公共点，则 C 的离心率的取值范围是 .
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解析：由题设知，直线 l ： ＋ ＝1，即 bx － cy ＋ bc ＝0，以 AB
为直径的圆的圆心为（ c ，0），根据题意，将 x ＝ c 代入椭圆 C 的
方程，得 y ＝± ，即圆的半径 r ＝ .又圆与直线 l 有公共点，所以
≤ ，化简得2 c ≤ b ，平方整理得 a2≥5 c2，所以 e ＝ ≤ .又0
＜ e ＜1，所以0＜ e ≤ .
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10. 椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的右顶点是 A （ a ，0），其上存在一
点 P ，使∠ APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围.
解：设 P （ x ， y ），由∠ APO ＝90°知，点 P 在以 OA 为直径的圆
上，圆的方程是 ＋ y2＝ .
∴ y2＝ ax － x2. ①
又 P 点在椭圆上，故 ＋ ＝1. ②
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把①代入②化简，得（ a2－ b2） x2－ a3 x ＋ a2 b2＝0，
即（ x － a ）[（ a2－ b2） x － ab2]＝0，∵ x ≠ a ， x ≠0，
∴ x ＝ ，又0＜ x ＜ a ，
∴0＜ ＜ a ，即2 b2＜ a2.
由 b2＝ a2－ c2，得 a2＜2 c2，∴ e ＞ .
又∵0＜ e ＜1，∴ ＜ e ＜1.
故所求椭圆离心率的取值范围为（ ，1）.
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11. 已知 F1， F2分别是椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦
点，点 P ， Q 是 C 上位于 x 轴上方的任意两点，且 PF1∥ QF2.若｜
PF1｜＋｜ QF2｜≥ b ，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
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解析： 由点 P ， Q 是 C 上位于 x 轴上方的任意两点，延长 PF1交
椭圆另一交点为 A （图略），由 PF1∥ QF2再结合椭圆的对称性，
易知｜ QF2｜＝｜ F1 A ｜，又｜ PF1｜＋｜ F1 A ｜＝｜ PA ｜，由过
椭圆焦点的弦通径最短，所以当 PA 垂直 x 轴时，｜ PA ｜最短，所
以 b ≤｜ PA ｜min＝ ，所以 ab ≤2 b2，解得0＜ e ≤ .故选C.
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12. 设 A ， B 为椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）上关于原点对称的两个
点，右焦点为 F （ c ，0）.若｜ AB ｜＝2 c ， S△ ABF ≥ c2，则该椭圆
的离心率 e 的取值范围为（ ）
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解析： ∵ A ， B 关于原点对称，∴｜ OA ｜＝｜ OB ｜＝ ｜
AB ｜＝ c .若 b ＞ c ，则椭圆与圆 x2＋ y2＝ c2没有交点，∴ b ≤ c ，
∴ e ＝ ＝ ≥ ＝ .设 A （ x1， y1）， B （－ x1，－
y1），不妨设 x1＞0， y1＞0，则 整理得 a2 c2－ c2
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＝ a2 b2，解得 ＝ a2－ .∴ ＝ c2－ a2＋ ＝（ －1）
b2，得 y1＝ ，∴ S△ ABF ＝ · y1·｜ OF ｜＋ ·｜－ y1｜·｜ OF ｜＝
y1· c ≥ c2，即 ≥ c ，∴ a2－ c2≥ c2，解得 e ＝ ≤ .综上所述，
可得 ≤ e ≤ .
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13. （多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星
“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星
绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭
圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从
面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时
间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2 a ，2 c ，下列
结论正确的是（ ）
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A. 卫星向径的取值范围是[ a － c ， a ＋ c ]
B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭
圆弧的运行时间
C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆
轨道越扁
D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
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解析： 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[ a － c ，
a ＋ c ]，A正确；由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相
等，当卫星在左半椭圆弧运行时，由面积守恒规律知时间更
长，B正确； ＝ ＝ －1，当比值越大，则 e 越小，
椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地
点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最
小，D正确.故选A、B、D.
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14. 已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1（－ c ，
0）， F2（ c ，0），若椭圆上存在一点 P ，使 ＝
，则该椭圆的离心率的取值范围为 （ －1，1） .
（ －1，1）
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解析：在△ PF1 F2中，由正弦定理，得 ＝ .
∵ ＝ ，∴ ＝ ，即｜ PF1｜＝ ·｜
PF2｜.由椭圆定义知｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ，则 ·｜ PF2｜＋｜
PF2｜＝2 a ，即｜ PF2｜＝ .由椭圆的几何性质知｜ PF2｜＜ a
＋ c ，则 ＜ a ＋ c ，即 c2＋2 ac － a2＞0，∴ e2＋2 e －1＞0，解
得 e ＜－ －1或 e ＞ －1.又 e ∈（0，1），∴ e ∈（ －1，1）.
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15. 某海域有 A ， B 两个岛屿， B 岛在 A 岛正东4海里处，经多年观察
研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线 C ，曾有渔船在距 A 岛、 B
岛距离和为8海里处发现过鱼群.以 A ， B 所在直线为 x 轴， AB 的垂
直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线 C 的标准方程；
解：由题意知曲线 C 是以 A ， B 为焦
点且长轴长为8的椭圆，
又2 c ＝4，则 c ＝2， a ＝4，故 b ＝2 ，
所以曲线 C 的方程是 ＋ ＝1.
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（2）某日，研究人员在 A ， B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频
率的探测信号（传播速度相同）， A ， B 两岛收到鱼群在 P
处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定 P 处的位置（即
点 P 的坐标）？
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解：由于 A ， B 两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，
所以设此时鱼群距 A ， B 两岛的距离比为5∶3，
即鱼群分别距 A ， B 两岛的距离为5海里和3海里.
设 P （ x ， y ）， B （2，0），由｜ PB ｜＝3，
所以 ＝3，所以
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解得或
所以点 P 的坐标为（2，3）或（2，－3）.
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16. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e ＝ ，已知点
P （0， ）到椭圆上一点的最远距离是 ，求椭圆的标准方程.
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解：依题意可设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），则 e2
＝ ＝ ＝1－ ＝ ，所以 ＝ ，即 a ＝2 b .
设椭圆上的点（ x ， y ）到点 P 的距离为 d ，则 d2＝ x2＋（ y － ）2
＝ a2（1－ ）＋ y2－3 y ＋ ＝－3（ y ＋ ）2＋4 b2＋3（－ b ≤ y ≤
b ）.
若－ b ＞－ ，即 b ＜ ，
则当 y ＝－ b 时， d2有最大值，
从而 d 有最大值，
于是（ ）2＝（ b ＋ ）2，
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解得 b ＝± － ，与0＜ b ＜ 矛盾.
若－ b ≤－ ，即 b ≥ ，
则当 y ＝－ 时， d2有最大值，从而 d 有最大值，即4 b2＋3＝
（ ）2，
解得 b2＝1，所以 a2＝4.
故所求椭圆的标准方程为 ＋ y2＝1.
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