2.1 双曲线及其标准方程
1.设动点P到A（－5，0）的距离与它到B（5，0）距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1（x≤－3） D.－＝1（x≥3）
2.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.（，0）
3.在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1或－＝1
4.已知两定点F1（－3，0），F2（3，0），在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是（ ）
A.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝5
B.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6
C.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝7
D.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝0
5.（多选）已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是（ ）
A.当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B.当t＞4或t＜1时， 曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
6.（多选）已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的是（ ）
A.爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上
C.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为米
D.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米
7.若曲线C：mx2＋（2－m）y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 .
8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点.若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为 .
9.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3｜PF1｜＝4｜PF2｜，则△PF1F2的面积等于 .
10.在①m＞0，且C的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋2；②C的焦距为4；③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知双曲线C：－＝1， ，求C的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
11.设P是双曲线－＝1上一点，M，N分别是两圆（x－5）2＋y2＝4和（x＋5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为（ ）
A.6 B.9
C.12 D.14
12.若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1，F2的距离之比为2∶1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.x2－＝1 D.x2－y2＝1
13.（多选）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x＋2）2＋y2＝和C2：（x－2）2＋y2＝，其中常数r1，r2为正数，且r1＋r2＜4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆P的圆心的轨迹可以是（ ）
A.两个椭圆
B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线
D.一个椭圆和一个双曲线
14.与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程是 .
15.已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，试判断△MF1F2的形状.
16.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C'：－＝1（m＞0，n＞0）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，求光线经过2k（k∈N＋）次反射后回到左焦点所经过的路径长.
2.1 双曲线及其标准方程
1.D 由题意知，P点的轨迹应为以A（－5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1（x≥3）.
2.B 将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，故右焦点的坐标为.
3.D 应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求.
4.A 对于选项A，因为｜F1F2｜＝6，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝5＜｜F1F2｜，故动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6＝｜F1F2｜，所以动点P的轨迹是以F1为端点向左延伸和以F2为端点向右延伸的两条射线；对于选项C，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝7＞｜F1F2｜，所以动点P的轨迹不存在；对于选项D，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝0，所以｜PF1｜＝｜PF2｜，根据线段垂直平分线的性质可知，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
5.BCD A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则（4－t）（t－1）＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t＞4.
6.BD 依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设爆炸点为C，则｜CA｜－｜CB｜＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以＝4，即｜CA｜＝2｜CB｜，结合｜CA｜－｜CB｜＝680，可得｜CB｜＝680.所以C选项错误，D选项正确.故选B、D.
7.（2，＋∞） 解析：由曲线C：mx2＋（2－m）y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2.
8.x2－＝1 解析：设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）.由题意得B（2，0），C（2，3），∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
9.24 解析：由题意知a＝1，焦距｜F1F2｜＝2×＝10.所以｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PF2｜－｜PF2｜＝｜PF2｜＝2，所以｜PF2｜＝6，｜PF1｜＝8，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以PF1⊥PF2，所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×8×6＝24.
10.解：选①：因为m＞0，所以a2＝3m，b2＝m，c2＝a2＋b2＝4m，
则a＝，c＝2，
因为C的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋2，
所以＋2＝（＋2）＝3＋2，解得m＝3，C的方程为－＝1.
选②：若m＞0，则a2＝3m，b2＝m，c2＝a2＋b2＝4m，c＝2，
因为C的焦距为4，所以2c＝4＝4，m＝3，C的方程为－＝1；
若m＜0，则a2＝－m，b2＝－3m，c2＝a2＋b2＝－4m，c＝2，
因为C的焦距为4，所以2c＝4＝4，m＝－3，C的方程为－＝1，
综上所述，C的方程为－＝1或－＝1.
选③：若m＞0，则a2＝3m，a＝，
因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，
所以2a＝2＝6，m＝3，C的方程为－＝1；
若m＜0，则a2＝－m，a＝，
因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，
所以2a＝2＝6，m＝－9，C的方程为－＝1，
综上所述，C的方程为－＝1或－＝1.
11.B 如图所示，设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1（－5，0）为圆（x＋5）2＋y2＝1的圆心，点F2（5，0）为圆（x－5）2＋y2＝4的圆心，当｜PM｜－｜PN｜取最大值时，点P在该双曲线的左支上，由双曲线的定义可得｜PF2｜－｜PF1｜＝6.由圆的几何性质得｜PM｜≤｜PF2｜＋2，｜PN｜≥｜PF1｜－1，所以｜PM｜－｜PN｜≤｜PF2｜－｜PF1｜＋3＝6＋3＝9.故选B.
12.D 假设｜PF1｜＝2｜PF2｜，若曲线是椭圆，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜PF2｜＋｜PF2｜＝3｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝，｜PF2｜＝；若曲线是双曲线，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2｜PF2｜－｜PF2｜＝｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a.可以验证，对于选项A、B、C，满足上述数量关系的｜PF1｜，｜PF2｜，｜F1F2｜不能构成△PF1F2，只有选项D，由于a＝1，c＝，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2，可以构成三角形，即存在“Ω点”的曲线是x2－y2＝1.
13.BC 由题意得，圆C1的圆心为C1（－2，0），半径为r1，圆C2的圆心为C2（2，0），半径为r2，所以｜C1C2｜＝4.设动圆P的半径为r.因为r1＋r2＜4，所以两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切.①若均内切，则｜PC1｜＝r－r1，｜PC2｜＝r－r2，此时｜｜PC1｜－｜PC2｜｜＝｜r1－r2｜，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上.②若均外切，则｜PC1｜＝r＋r1，｜PC2｜＝r＋r2，此时｜｜PC1｜－｜PC2｜｜＝｜r1－r2｜，则点P的轨迹与①相同.③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，｜PC1｜＝r－r1，｜PC2｜＝r＋r2，｜PC2｜－｜PC1｜＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，｜PC1｜－｜PC2｜＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.故选B、C.
14.－＝1 解析：法一 ∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20，①.∵双曲线经过点（3，2），∴－＝1，②.由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设所求双曲线的方程为－＝1（－4＜λ＜16）.∵双曲线过点（3，2），∴－＝1，解得λ＝4.故双曲线的标准方程为－＝1.
15.解：（1）椭圆的方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝.故可设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）.依题意得解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
（2）不妨设M在双曲线的右支上，
则有｜MF1｜－｜MF2｜＝2.
又｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
解得｜MF1｜＝4，｜MF2｜＝2.
又｜F1F2｜＝2c＝2，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
由余弦定理可得cos∠MF2F1
＝
＝
＝－＜0.
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形.
16.解：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜，｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m，所以光线经过2k（k∈N＋）次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k（a－m）.
3 / 32.1 双曲线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.
【问题】 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？
知识点一 双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的 等于常数（大于零且小于｜F1F2｜）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.这 叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离 叫作双曲线的焦距.
【想一想】
定义中“常数小于｜F1F2｜”这一条件去掉，动点的轨迹还是双曲线吗？
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点坐标
a，b，c 的关系 c2＝
提醒 巧记双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程－＝1表示双曲线.（ ）
（2）双曲线两焦点之间的距离称为焦距.（ ）
（3）若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.（ ）
（4）双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值.（ ）
2.已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为（ ）
A.（－，0），（，0） B.（－5，0），（5，0）
C.（0，－5），（0，5） D.（0，－），（0，）
3.双曲线的两焦点坐标是F1（0，3），F2（0，－3），b＝2，则双曲线的标准方程是 .
题型一 双曲线标准方程的识别
【例1】 已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是（ ）
A.k＞5 B.k＞5或－2＜k＜2
C.k＞2或k＜－2 D.－2＜k＜2
尝试解答
通性通法
双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn＜0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线.
【跟踪训练】
1.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a＝（ ）
A. B.5
C.7 D.
2.在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程所表示的曲线是（ ）
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的椭圆
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）a＝4，经过点A（1，－）；
（2）以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3，）；
（3）过点P（3，），Q（－，5）且焦点在坐标轴上.
尝试解答
通性通法
1.求双曲线标准方程的两个关注点
（1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
（2）定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程（组）求解.
2.求双曲线的标准方程的步骤
（1）根据已知条件设出双曲线的标准方程；
（2）利用已知条件确定a，b或a2，b2，注意双曲线定义的应用；
（3）确定双曲线的标准方程.
特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程可能有两个，需分类讨论.也可直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0），把所给点的坐标代入方程，解方程组求出A，B的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论.
【跟踪训练】
1.（多选）与椭圆＋y2＝1有相同焦点的双曲线方程是（ ）
A.－y2＝1 B.y2－＝1
C.－y2＝1 D.x2－＝1
2.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1（－，0），点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为（0，2），则该双曲线的方程是（ ）
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
题型三 双曲线的定义及应用
角度1 与双曲线有关的动点的轨迹问题
【例3】 如图，在△ABC中，已知｜AB｜＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
尝试解答
通性通法
与双曲线有关轨迹问题的解题思路及注意点
（1）求解与双曲线有关点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程.
（2）特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
角度2 焦点三角形问题
【例4】 （1）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
（2）设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于 .
尝试解答
通性通法
在解与焦点三角形（△PF1F2）有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得｜PF1｜，｜PF2｜的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得｜PF1｜，｜PF2｜的关系式，从而求出｜PF1｜，｜PF2｜.但是，一般我们不直接求解出｜PF1｜，｜PF2｜，而是根据需要，把｜PF1｜＋｜PF2｜，｜PF1｜－｜PF2｜，｜PF1｜·｜PF2｜看作一个整体来处理.
角度3 与双曲线有关的最值问题
【例5】 （1）已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为（ ）
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
（2）P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆（x＋4）2＋y2＝4和（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为 .
尝试解答
通性通法
设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q（x0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点.
（1）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF1｜－2a，最大值不存在；
（2）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF2｜，最大值不存在.
【跟踪训练】
1.若点P是双曲线－＝1上的一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 .
2.已知定点A的坐标为（1，4），点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为 .
题型四 双曲线的实际应用
【例6】 A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远.因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角.
尝试解答
通性通法
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.
【跟踪训练】
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
1.已知M（－2，0），N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
2.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A.－2＜m＜2 B.m＞0
C.m≥0 D.｜m｜≥2
3.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是（ ）
A. B.1或－2
C.1或 D.1
4.经过点P（－3，2）和Q（－6，－7）的双曲线的标准方程是 .
5.已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，O为坐标原点，则｜ON｜＝ .
2.1 双曲线及其标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
距离之差的绝对值 两个定点F1，F2 ｜F1F2｜
想一想
提示：不是.
知识点二
－＝1 －＝1 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） a2＋b2
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）√
2.B
3.－＝1
【典型例题·精研析】
【例1】 B ∵方程对应的图形是双曲线，∴（k－5）（｜k｜－2）＞0.即 或解得k＞5或－2＜k＜2.
跟踪训练
1.D 根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
2.C 方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn＜0知＜0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
【例2】 解：（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（3）设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练
1.CD 因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为（－，0），（，0），A中的双曲线焦点坐标为（－，0），（，0），不符合；B中的双曲线焦点坐标为（0，－），（0，），不符合；C、D中的双曲线焦点坐标为（－，0），（，0），故选C、D.
2.B 由双曲线的焦点可知c＝，线段PF1的中点坐标为（0，2），所以点P在双曲线右支上.设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且｜PF2｜＝4，所以｜PF1｜＝＝＝6，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，故选B.
【例3】 解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A（－2，0），B（2，0）.
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝（R为△ABC的外接圆半径）.
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2｜BC｜＋｜AB｜＝2｜AC｜，即｜AC｜－｜BC｜＝＝2＜｜AB｜.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为－＝1（x＞a），
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1（x＞）.
【例4】 （1）B （2）22 解析：（1）设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，
则
∴∴mn＝4，即｜PF1｜·｜PF2｜＝4.故选B.
（2）由题意知｜F1F2｜＝2＝10，｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝6，又｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，∴｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
【例5】 （1）C （2）5
解析：（1）因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2.故选C.
（2）双曲线的两个焦点F1（－4，0），F2（4，0）分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知｜PM｜max＝｜PF1｜＋2，｜PN｜min＝｜PF2｜－1，故｜PM｜－｜PN｜的最大值为｜PF1｜＋2－（｜PF2｜－1）＝｜PF1｜－｜PF2｜＋3＝2＋3＝5.
跟踪训练
1.16 解析：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°，∴102＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋｜PF1｜·｜PF2｜，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝64，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
2.9 解析：由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1（4，0）.｜PF｜－｜PF1｜＝2a＝4，即｜PF｜＝｜PF1｜＋4，所以｜PF｜＋｜PA｜＝｜PF1｜＋｜PA｜＋4≥｜AF1｜＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时｜AF1｜＝＝＝5，所以｜PF｜＋｜PA｜≥｜AF1｜＋4＝9，即｜PF｜＋｜PA｜的最小值为9.
【例6】 解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（－3，0），A（3，0），C（－5，2）.因为｜PB｜＝｜PC｜，所以点P在线段BC的垂直平分线上.设敌炮阵地的坐标为（x，y），BC的中点为D.
因为kBC＝－，D（－4，），所以直线PD的方程为y－＝（x＋4）. ①
又｜PB｜－｜PA｜＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1（x≥2）. ②
联立①②，得x＝8，y＝5，
所以P的坐标为（8，5）.
因此kPA＝＝.
故炮击的方向角为北偏东30°.
跟踪训练
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50（m），这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500，
从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1（x≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.
随堂检测
1.C 因为｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C.
2.A ∵已知方程表示双曲线，∴（2＋m）·（2－m）＞0.∴－2＜m＜2.
3.D 依题意知解得a＝1.
4.－＝1 解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），则解得故双曲线的标准方程为－＝1.
5.1或9 解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2（图略）.易得ON是△PF1F2的中位线，所以｜ON｜＝｜PF2｜.因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，｜PF1｜＝10，所以｜PF2｜＝2或｜PF2｜＝18，故｜ON｜＝1或｜ON｜＝9.
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2.1 双曲线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，
分别固定在点 F1， F2上，把笔尖放在拉链的拉手 M 处，随着拉链逐渐
拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲
线的其中一支.
【问题】 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几
何条件？
知识点一 双曲线的定义
平面内到两个定点 F1， F2的 等于常数（大于零
且小于｜ F1 F2｜）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.这
叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离 叫作双
曲线的焦距.
距离之差的绝对值
两个定点
F1， F2
｜ F1 F2｜
【想一想】
定义中“常数小于｜ F1 F2｜”这一条件去掉，动点的轨迹还是双
曲线吗？
提示：不是.
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程 （ a ＞0， b ＞0）
（ a ＞0， b ＞0）
图形
－ ＝1
－ ＝1
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
焦点坐标
a ， b ， c 的关
系 c2＝ F1（－ c ，0）， F2
（ c ，0）
F1（0，－ c ）， F2（0， c ）
a2＋ b2
提醒 巧记双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即
若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，则焦点
在 y 轴上.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程 － ＝1表示双曲线. （ × ）
（2）双曲线两焦点之间的距离称为焦距. （ √ ）
（3）若焦点在 x 轴上的双曲线方程为 － ＝1，则 a2＞ b2.
（ × ）
（4）双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值.
（ √ ）
×
√
×
√
2. 已知双曲线 － ＝1，则双曲线的焦点坐标为（ ）
B. （－5，0），（5，0）
C. （0，－5），（0，5）
3. 双曲线的两焦点坐标是 F1（0，3）， F2（0，－3）， b ＝2，则双曲
线的标准方程是 .
－ ＝1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 双曲线标准方程的识别
【例1】 已知方程 － ＝1对应的图形是双曲线，那么 k 的取
值范围是（ ）
A. k ＞5 B. k ＞5或－2＜ k ＜2
C. k ＞2或 k ＜－2 D. －2＜ k ＜2
解析： ∵方程对应的图形是双曲线，∴（ k －5）（｜ k ｜－2）＞
0.即 或解得 k ＞5或－2＜ k ＜2.
通性通法
双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为 ＋
＝1，则当 mn ＜0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点
在 x 轴上的双曲线；若则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线.
【跟踪训练】
1. 已知双曲线 ＋ ＝1，焦点在 y 轴上，若焦距为4，则 a ＝
（ ）
B. 5
C. 7
解析： 根据题意可知，双曲线的标准方程为 － ＝1.由其
焦距为4，得 c ＝2，则有 c2＝2－ a ＋3－ a ＝4，解得 a ＝ .
2. 在方程 mx2－ my2＝ n 中，若 mn ＜0，则方程所表示的曲线是
（ ）
A. 焦点在 x 轴上的椭圆
B. 焦点在 x 轴上的双曲线
C. 焦点在 y 轴上的双曲线
D. 焦点在 y 轴上的椭圆
解析： 方程 mx2－ my2＝ n 可化为 － ＝1.由 mn ＜0知 ＜0，
故方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1） a ＝4，经过点 A （1，－ ）；
解：当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（ b
＞0），把点 A 的坐标代入，得 b2＝－ × ＜0，不符合题
意；当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（ b ＞
0），把 A 点的坐标代入，得 b2＝9.故所求双曲线的标准方程为
－ ＝1.
（2）以椭圆 ＋ ＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3， ）；
解：由题意得，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c ＝2 .
设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），
则有 a2＋ b2＝ c2＝8， － ＝1，解得 a2＝3， b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
（3）过点 P （3， ）， Q （－ ，5）且焦点在坐标轴上.
解：设双曲线的方程为 Ax2＋ By2＝1， AB ＜0.
∵点 P ， Q 在双曲线上，
∴解得
故双曲线的标准方程为 － ＝1.
通性通法
1. 求双曲线标准方程的两个关注点
（1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方
程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的
形式；
（2）定量：“定量”是指确定 a2， b2的具体数值，常根据条件列方程
（组）求解.
2. 求双曲线的标准方程的步骤
（1）根据已知条件设出双曲线的标准方程；
（2）利用已知条件确定 a ， b 或 a2， b2，注意双曲线定义的应用；
（3）确定双曲线的标准方程.
特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程
可能有两个，需分类讨论.也可直接设双曲线方程为 Ax2＋ By2
＝1（ AB ＜0），把所给点的坐标代入方程，解方程组求出
A ， B 的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论.
1. （多选）与椭圆 ＋ y2＝1有相同焦点的双曲线方程是（ ）
【跟踪训练】
解析： 因为椭圆 ＋ y2＝1的焦点坐标为（－ ，0），
（ ，0），A中的双曲线焦点坐标为（－ ，0），（ ，
0），不符合；B中的双曲线焦点坐标为（0，－ ），（0，
），不符合；C、D中的双曲线焦点坐标为（－ ，0），
（ ，0），故选C、D.
2. 已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1（－ ，0），点 P 位
于该双曲线上，线段 PF1的中点坐标为（0，2），则该双曲线的方
程是（ ）
解析： 由双曲线的焦点可知 c ＝ ，线段 PF1的中点坐标为
（0，2），所以点 P 在双曲线右支上.设右焦点为 F2，则有 PF2⊥ x
轴，且｜ PF2｜＝4，所以｜ PF1｜＝ ＝ ＝6，
所以｜ PF1｜－｜ PF2｜＝6－4＝2＝2 a ，所以 a ＝1， b2＝ c2－ a2＝
4，所以双曲线的方程为 x2－ ＝1，故选B.
题型三 双曲线的定义及应用
角度1 与双曲线有关的动点的轨迹问题
【例3】 如图，在△ ABC 中，已知｜ AB ｜＝4 ，且三内角 A ，
B ， C 满足2 sin A ＋ sin C ＝2 sin B ，建立适当的坐标系，求顶点 C 的
轨迹方程.
解：以 AB 边所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分线
为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A
（－2 ，0）， B （2 ，0）.由正弦定理，得
sin A ＝ ， sin B ＝ ， sin C ＝
（ R 为△ ABC 的外接圆半径）.
∵2 sin A ＋ sin C ＝2 sin B ，∴2｜ BC ｜＋｜ AB ｜＝2｜ AC ｜，即｜ AC ｜－｜ BC ｜＝ ＝2 ＜｜ AB ｜.
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支（除去与 x 轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为 － ＝1（ x ＞a ），
∵ a ＝ ， c ＝2 ，∴ b2＝ c2－ a2＝6.
即所求轨迹方程为 － ＝1（ x ＞ ）.
通性通法
与双曲线有关轨迹问题的解题思路及注意点
（1）求解与双曲线有关点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出
等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，结合双曲线的定
义，得出对应的方程.
（2）特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹
对应的是双曲线的一支还是两支.
角度2 焦点三角形问题
【例4】 （1）已知 F1， F2分别为双曲线 C ： x2－ y2＝1的左、右焦
点，点 P 在 C 上，∠ F1 PF2＝60°，则｜ PF1｜·｜ PF2｜＝（ B ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
B
解析：设｜ PF1｜＝ m ，｜ PF2｜＝ n ，
则
∴∴ mn ＝4，即｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4.故
选B.
（2）设点 P 在双曲线 － ＝1上， F1， F2为双曲线的两个焦点，
且｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，则△ F1 PF2的周长等于 .
解析：由题意知｜ F1 F2｜＝2 ＝10，｜｜ PF2｜
－｜ PF1｜｜＝6，又｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，∴｜ PF1｜＝
3，｜ PF2｜＝9，故△ F1 PF2的周长为3＋9＋10＝22.
22
通性通法
在解与焦点三角形（△ PF1 F2）有关的问题时，一般地，可由双
曲线的定义，得｜ PF1｜，｜ PF2｜的关系式，或利用正弦定理、余弦
定理，得｜ PF1｜，｜ PF2｜的关系式，从而求出｜ PF1｜，｜ PF2｜.
但是，一般我们不直接求解出｜ PF1｜，｜ PF2｜，而是根据需要，
把｜ PF1｜＋｜ PF2｜，｜ PF1｜－｜ PF2｜，｜ PF1｜·｜ PF2｜看作
一个整体来处理.
角度3 与双曲线有关的最值问题
【例5】 （1）已知 F1， F2分别为双曲线 － ＝1的左、右焦点，
P （3，1）为双曲线内一点，点 A 在双曲线的右支上，则｜ AP ｜＋｜
AF2｜的最小值为（ C ）
C
解析：因为｜ AP ｜＋｜ AF2｜＝｜
AP ｜＋｜ AF1｜－2 ，所以要求｜ AP ｜
＋｜ AF2｜的最小值，只需求｜ AP ｜＋｜
AF1｜的最小值.如图，连接 F1 P 交双曲线的
右支于点 A0.当点 A 位于点 A0处时，｜ AP ｜
＋｜ AF1｜最小，最小值为｜ PF1｜＝
＝ .故｜ AP ｜＋｜
AF2｜的最小值为 －2 .故选C.
（2） P 为双曲线 x2－ ＝1右支上一点， M ， N 分别是圆（ x ＋4）2
＋ y2＝4和（ x －4）2＋ y2＝1上的点，则｜ PM ｜－｜ PN ｜的最
大值为 .
解析：双曲线的两个焦点 F1（－4，0）， F2（4，0）分别
为两圆的圆心，且两圆的半径分别为 r1＝2， r2＝1，易知｜
PM ｜max＝｜ PF1｜＋2，｜ PN ｜min＝｜ PF2｜－1，故｜ PM ｜
－｜ PN ｜的最大值为｜ PF1｜＋2－（｜ PF2｜－1）＝｜ PF1｜
－｜ PF2｜＋3＝2＋3＝5.
5
通性通法
设双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）， F1， F2分别为双曲
线的左、右焦点， Q （ x0， y0）为平面上一定点， M 为双曲线右支上
任意一点.
（1）若定点 Q （ x0， y0）与双曲线右焦点 F2在双曲线右支的同
侧，则｜ MQ ｜＋｜ MF2｜的最小值是｜ QF1｜－2 a ，最大
值不存在；
（2）若定点 Q （ x0， y0）与双曲线右焦点 F2在双曲线右支的异侧，
则｜ MQ ｜＋｜ MF2｜的最小值是｜ QF2｜，最大值不存在.
【跟踪训练】
1. 若点 P 是双曲线 － ＝1上的一点，且∠ F1 PF2＝60°，则△ F1
PF2的面积为 .
16
解析：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.由双曲线的定义和余
弦定理得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝±6，｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜
PF2｜2－2｜ PF1｜｜ PF2｜ cos 60°，∴102＝（｜ PF1｜－｜
PF2｜）2＋｜ PF1｜·｜ PF2｜，∴｜ PF1｜·｜ PF2｜＝64，
∴ ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin ∠ F1 PF2＝ ×64× ＝16
.
2. 已知定点 A 的坐标为（1，4），点 F 是双曲线 － ＝1的左焦
点，点 P 是双曲线右支上的动点，则｜ PF ｜＋｜ PA ｜的最小值
为 .
解析：由双曲线的方程可知 a ＝2，设右焦点为 F1，则 F1（4，
0）.｜ PF ｜－｜ PF1｜＝2 a ＝4，即｜ PF ｜＝｜ PF1｜＋4，所以｜
PF ｜＋｜ PA ｜＝｜ PF1｜＋｜ PA ｜＋4≥｜ AF1｜＋4，当且仅当
A ， P ， F1三点共线时取等号，此时｜ AF1｜＝ ＝
＝5，所以｜ PF ｜＋｜ PA ｜≥｜ AF1｜＋4＝9，即｜ PF ｜＋｜
PA ｜的最小值为9.
9
题型四 双曲线的实际应用
【例6】 A ， B ， C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东6 km， C 在 B
北偏西30°，相距4 km， P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的
某种信号，由于 B ， C 两地比 A 距 P 地远.因此4 s后， B ， C 才同时发
现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s， A 若炮击 P 地，求炮击的
方向角.
解：如图，以直线 BA 为 x 轴，线段 BA 的垂直平分线
为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B （－3，0）， A
（3，0）， C （－5，2 ）.因为｜ PB ｜＝｜
PC ｜，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.设敌炮
阵地的坐标为（ x ， y ）， BC 的中点为 D .
因为 kBC ＝－ ， D （－4， ），
所以直线 PD 的方程为 y － ＝ （ x ＋4）. ①
联立①②，得 x ＝8， y ＝5 ，
所以 P 的坐标为（8，5 ）.
因此 kPA ＝ ＝ .
故炮击的方向角为北偏东30°.
又｜ PB ｜－｜ PA ｜＝4，所以 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线的右支
上，且方程为 － ＝1（ x ≥2）. ②
通性通法
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从
实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准
方程的问题.
【跟踪训练】
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路
AP ， BP 运到 P 处（如图），｜ AP ｜＝100 m，｜ BP ｜＝150 m，∠
APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
解：如图，以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分线
为 y 轴建立平面直角坐标系，设 M 是分界线上的点，
则｜ MA ｜＋｜ AP ｜＝｜ MB ｜＋｜ BP ｜，即｜
MA ｜－｜ MB ｜＝｜ BP ｜－｜ AP ｜＝150－100＝50
（m），这说明分界线是以 A ， B 为焦点的双曲线的右
支，且 a ＝25.
在△ APB 中，｜ AB ｜2＝｜ AP ｜2＋｜ BP ｜2－2｜
AP ｜·｜ BP ｜· cos 60°＝17 500，
从而 c2＝ ＝4 375， b2＝3 750，
故所求分界线的方程为 － ＝1（ x ≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路 AP 运到 P
处，右侧的土沿道路 BP 运到 P 处最省工.
1. 已知 M （－2，0）， N （2，0），｜ PM ｜－｜ PN ｜＝4，则动点
P 的轨迹是（ ）
A. 双曲线 B. 双曲线左支
C. 一条射线 D. 双曲线右支
解析： 因为｜ PM ｜－｜ PN ｜＝4＝｜ MN ｜，所以动点 P 的轨
迹是一条射线.故选C.
2. 方程 － ＝1表示双曲线，则 m 的取值范围是（ ）
A. －2＜ m ＜2 B. m ＞0
C. m ≥0 D. ｜ m ｜≥2
解析： ∵已知方程表示双曲线，∴（2＋ m ）·（2－ m ）＞0.
∴－2＜ m ＜2.
3. 椭圆 ＋ ＝1与双曲线 － ＝1有相同的焦点，则 a 的值是
（ ）
B. 1或－2
D. 1
解析： 依题意知解得 a ＝1.
4. 经过点 P （－3，2 ）和 Q （－6 ，－7）的双曲线的标准方程
是 .
解析：设双曲线的方程为 mx2＋ ny2＝1（ mn ＜0），则
解得故双曲线的标准方程为 －
＝1.
－ ＝1
5. 已知双曲线的方程是 － ＝1，点 P 在双曲线上，且到其中一个
焦点 F1的距离为10，点 N 是 PF1的中点， O 为坐标原点，则｜ ON ｜
＝ .
解析：设双曲线的另一个焦点为 F2，连接 PF2（图略）.易得 ON 是
△ PF1 F2的中位线，所以｜ ON ｜＝ ｜ PF2｜.因为｜｜ PF1｜－｜
PF2｜｜＝2 a ＝8，｜ PF1｜＝10，所以｜ PF2｜＝2或｜ PF2｜＝
18，故｜ ON ｜＝1或｜ ON ｜＝9.
1或9
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设动点 P 到 A （－5，0）的距离与它到 B （5，0）距离的差等于6，
则 P 点的轨迹方程是（ ）
解析： 由题意知， P 点的轨迹应为以 A （－5，0）， B （5，0）
为焦点的双曲线的右支.由 c ＝5， a ＝3，知 b2＝16，∴ P 点的轨迹
方程为 － ＝1（ x ≥3）.
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2. 双曲线方程为 x2－2 y2＝1，则它的右焦点坐标为（ ）
解析： 将双曲线方程化为标准方程为 x2－ ＝1，∴ a2＝1， b2
＝ ，∴ c2＝ a2＋ b2＝ ，∴ c ＝ ，故右焦点的坐标为 .
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3. 在双曲线的标准方程中，若 a ＝6， b ＝8，则标准方程是（ ）
解析： 应分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况进行讨论，显
然D选项符合要求.
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4. 已知两定点 F1（－3，0）， F2（3，0），在平面内满足下列条件的
动点 P 的轨迹中，是双曲线的是（ ）
A. ｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝5
B. ｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝6
C. ｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝7
D. ｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝0
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解析： 对于选项A，因为｜ F1 F2｜＝6，所以｜｜ PF1｜－｜
PF2｜｜＝5＜｜ F1 F2｜，故动点 P 的轨迹是双曲线；对于选项B，
因为｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝6＝｜ F1 F2｜，所以动点 P 的轨迹是
以 F1为端点向左延伸和以 F2为端点向右延伸的两条射线；对于选项
C，因为｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝7＞｜ F1 F2｜，所以动点 P 的轨
迹不存在；对于选项D，因为｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝0，所以｜
PF1｜＝｜ PF2｜，根据线段垂直平分线的性质可知，动点 P 的轨迹
是线段 F1 F2的垂直平分线.
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5. （多选）已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为 C . 给出以下四个判断
正确的是（ ）
A. 当1＜ t ＜4时，曲线 C 表示椭圆
B. 当 t ＞4或 t ＜1时， 曲线 C 表示双曲线
D. 若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 t ＞4
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解析： A错误，当 t ＝ 时，曲线 C 表示圆；B正确，若 C 为
双曲线，则（4－ t ）（ t －1）＜0，∴ t ＜1或 t ＞4；C正确，若曲线
C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则4－ t ＞ t －1＞0，∴1＜ t ＜ ；D正
确，若曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线，则∴ t ＞4.
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6. （多选）已知 A ， B 两监测点间距离为800米，且 A 监测点听到爆炸
声的时间比 B 监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的
是（ ）
A. 爆炸点在以 A ， B 为焦点的椭圆上
B. 爆炸点在以 A ， B 为焦点的双曲线的一支上
D. 若 B 监测点的声强是 A 监测点的4倍（声强与距离的平方成反
比），则爆炸点到 B 监测点的距离为680米
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解析： 依题意， A ， B 两监测点间距离为800米，且 A 监测点
听到爆炸声的时间比 B 监测点迟2秒，设爆炸点为 C ，则｜ CA ｜
－｜ CB ｜＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以 A ， B 为焦点的双
曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若 B 监测点的声强是
A 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以 ＝4，
即｜ CA ｜＝2｜ CB ｜，结合｜ CA ｜－｜ CB ｜＝680，可得｜
CB ｜＝680.所以C选项错误，D选项正确.故选B、D.
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7. 若曲线 C ： mx2＋（2－ m ） y2＝1是焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的
取值范围为 .
解析：由曲线 C ： mx2＋（2－ m ） y2＝1是焦点在 x 轴上的双曲线，
可得 － ＝1，即有 m ＞0，且 m －2＞0，解得 m ＞2.
（2，＋∞）
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x2－ ＝1
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解析：设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）.由题意
得 B （2，0）， C （2，3），∴解得∴双
曲线的标准方程为 x2－ ＝1.
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9. 设 F1， F2是双曲线 x2－ ＝1的两个焦点， P 是双曲线上一点，且
3｜ PF1｜＝4｜ PF2｜，则△ PF1 F2的面积等于 .
解析：由题意知 a ＝1，焦距｜ F1 F2｜＝2× ＝10.所以｜
PF1｜－｜ PF2｜＝ ｜ PF2｜－｜ PF2｜＝ ｜ PF2｜＝2，所以｜
PF2｜＝6，｜ PF1｜＝8，则｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝｜ F1 F2｜2，所
以 PF1⊥ PF2，所以 ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜＝ ×8×6＝24.
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10. 在① m ＞0，且 C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋
2 ；② C 的焦距为4 ；③ C 上一点到两焦点距离之差的绝对值
为6，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知双曲线 C ： － ＝1， ，求 C 的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：选①：因为 m ＞0，所以 a2＝3 m ， b2＝ m ， c2＝ a2＋ b2＝4
m ，
则 a ＝ ， c ＝2 ，
因为 C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋2 ，
所以 ＋2 ＝（ ＋2） ＝3＋2 ，解得 m ＝3， C 的
方程为 － ＝1.
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选②：若 m ＞0，则 a2＝3 m ， b2＝ m ， c2＝ a2＋ b2＝4 m ， c ＝2
，
因为 C 的焦距为4 ，所以2 c ＝4 ＝4 ， m ＝3， C 的方程为
－ ＝1；
若 m ＜0，则 a2＝－ m ， b2＝－3 m ， c2＝ a2＋ b2＝－4 m ， c ＝2
，
因为 C 的焦距为4 ，所以2 c ＝4 ＝4 ， m ＝－3， C 的方
程为 － ＝1，
综上所述， C 的方程为 － ＝1或 － ＝1.
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选③：若 m ＞0，则 a2＝3 m ， a ＝ ，
因为 C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，
所以2 a ＝2 ＝6， m ＝3， C 的方程为 － ＝1；
若 m ＜0，则 a2＝－ m ， a ＝ ，
因为 C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，
所以2 a ＝2 ＝6， m ＝－9， C 的方程为 － ＝1，
综上所述， C 的方程为 － ＝1或 － ＝1.
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11. 设 P 是双曲线 － ＝1上一点， M ， N 分别是两圆（ x －5）2＋
y2＝4和（ x ＋5）2＋ y2＝1上的点，则｜ PM ｜－｜ PN ｜的最大值
为（ ）
A. 6 B. 9
C. 12 D. 14
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解析： 如图所示，设双曲线 － ＝1的
左、右焦点分别为 F1， F2，则点 F1（－5，0）
为圆（ x ＋5）2＋ y2＝1的圆心，点 F2（5，0）
为圆（ x －5）2＋ y2＝4的圆心，当｜ PM ｜
－｜ PN ｜取最大值时，点 P 在该双曲线的左
支上，由双曲线的定义可得｜ PF2｜－｜
PF1｜＝6.由圆的几何性质得｜ PM ｜≤｜ PF2｜
＋2，｜ PN ｜≥｜ PF1｜－1，所以｜ PM ｜
－｜ PN ｜≤｜ PF2｜－｜ PF1｜＋3＝6＋3＝9.
故选B.
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12. 若椭圆或双曲线上存在点 P ，使得点 P 到两个焦点 F1， F2的距离之
比为2∶1，且存在△ PF1 F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下
列曲线中存在“Ω点”的是（ ）
D. x2－ y2＝1
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解析： 假设｜ PF1｜＝2｜ PF2｜，若曲线是椭圆，则｜ PF1｜
＋｜ PF2｜＝2｜ PF2｜＋｜ PF2｜＝3｜ PF2｜＝2 a ，即｜ PF1｜＝
，｜ PF2｜＝ ；若曲线是双曲线，则｜ PF1｜－｜ PF2｜＝2｜
PF2｜－｜ PF2｜＝｜ PF2｜＝2 a ，即｜ PF1｜＝4 a ，｜ PF2｜＝2
a .可以验证，对于选项A、B、C，满足上述数量关系的｜
PF1｜，｜ PF2｜，｜ F1 F2｜不能构成△ PF1 F2，只有选项D，由于
a ＝1， c ＝ ，所以｜ PF1｜＝4，｜ PF2｜＝2，｜ F1 F2｜＝2
，可以构成三角形，即存在“Ω点”的曲线是 x2－ y2＝1.
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13. （多选）在平面直角坐标系中，有两个圆 C1：（ x ＋2）2＋ y2＝
和 C2：（ x －2）2＋ y2＝ ，其中常数 r1， r2为正数，且 r1＋ r2＜
4，一个动圆 P 与两圆都相切，则动圆 P 的圆心的轨迹可以是
（ ）
A. 两个椭圆
B. 两个双曲线
C. 一个双曲线和一条直线
D. 一个椭圆和一个双曲线
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解析： 由题意得，圆 C1的圆心为 C1（－2，0），半径为 r1，
圆 C2的圆心为 C2（2，0），半径为 r2，所以｜ C1 C2｜＝4.设动圆 P
的半径为 r .因为 r1＋ r2＜4，所以两圆相离，动圆 P 可能与两圆均
内切或均外切或一个外切一个内切.①若均内切，则｜ PC1｜＝ r －
r1，｜ PC2｜＝ r － r2，此时｜｜ PC1｜－｜ PC2｜｜＝｜ r1－
r2｜，当 r1≠ r2时，点 P 的轨迹是以 C1， C2为焦点的双曲线，当 r1
＝ r2时，点 P 在线段 C1 C2的垂直平分线上.②若均外切，则｜
PC1｜＝ r ＋ r1，｜ PC2｜＝ r ＋ r2，此时｜｜ PC1｜－｜ PC2｜｜
＝｜ r1－ r2｜，则点 P 的轨迹与①相同.③若一个外切，一个内切，
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不妨设与圆 C1内切，与圆 C2外切，｜ PC1｜＝ r － r1，｜ PC2｜＝ r
＋ r2，｜ PC2｜－｜ PC1｜＝ r1＋ r2.同理，当与圆 C2内切，与圆 C1
外切时，｜ PC1｜－｜ PC2｜＝ r1＋ r2.此时点 P 的轨迹是以 C1， C2
为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.故选B、C.
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14. 与双曲线 － ＝1有相同的焦点，且经过点（3 ，2）的双曲
线的标准方程是 .
解析：法一 ∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为 －
＝1（ a ＞0， b ＞0），∴ c2＝16＋4＝20，即 a2＋ b2＝20，①.∵双
曲线经过点（3 ，2），∴ － ＝1，②.由①②得 a2＝12， b2
＝8，故双曲线的标准方程为 － ＝1.
－ ＝1
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法二 设所求双曲线的方程为 － ＝1（－4＜λ＜16）.∵双曲线
过点（3 ，2），∴ － ＝1，解得λ＝4.故双曲线的标准方程
为 － ＝1.
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15. 已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4 x2＋9 y2＝36有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
解： 椭圆的方程可化为 ＋ ＝1，焦点在 x 轴上，且
c ＝ ＝ .故可设双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0， b
＞0）.依题意得解得
故双曲线的标准方程为 － ＝1.
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（2）若点 M 在双曲线上， F1， F2是双曲线的左、右焦点，且｜
MF1｜＋｜ MF2｜＝6 ，试判断△ MF1 F2的形状.
解： 不妨设 M 在双曲线的右支上，
则有｜ MF1｜－｜ MF2｜＝2 .
又｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝6 ，
解得｜ MF1｜＝4 ，｜ MF2｜＝2 .
又｜ F1 F2｜＝2 c ＝2 ，
因此在△ MF1 F2中， MF1边最长，
由余弦定理可得 cos ∠ MF2 F1
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＝ ＝－ ＜0.
所以∠ MF2 F1为钝角，故△ MF1 F2是钝角三角形.
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16. 光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线
从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦
点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等
效于从另一个焦点发出.如图，椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）
与双曲线 C'： － ＝1（ m ＞0， n ＞0）有公共焦点，现一光线
从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，求光线经过2
k （ k ∈N＋）次反射后回到左焦点所经过的路径长.
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解：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一
个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反
射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如
图，｜ BF2｜＝2 m ＋｜ BF1｜，｜ BF1｜＋｜
BA ｜＋｜ AF1｜＝｜ BF2｜－2 m ＋｜ BA ｜＋｜
AF1｜＝｜ AF2｜＋｜ AF1｜－2 m ＝2 a －2 m ，
所以光线经过2 k （ k ∈N＋）次反射后回到左焦
点所经过的路径长为2 k （ a － m ）.
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谢 谢 观 看！
