2.2 双曲线的简单几何性质
1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（ ）
A.2 B.2 C.4 D.4
2.已知双曲线－＝1（a＞0）的右焦点为（3，0），则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
3.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A. B.
C.1 D.
4.从某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）双曲线C1：－y2＝1与C2：－y2＝λ（λ＞0且λ≠1）的（ ）
A.顶点相同 B.焦点相同
C.离心率相同 D.渐近线相同
6.（多选）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ）
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C.点P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为
7.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则｜P2F1｜－｜P1F1｜的值是 .
8.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝ .
9.（2022·全国甲卷14题）若双曲线y2－＝1（m＞0）的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝ .
10.设双曲线－＝1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率.
11.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A.－x2＝1 B.y2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
12.图中的多边形均为正多边形，图①，②中M，N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图①，②，③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则（ ）
A.e1＞e2＞e3 B.e1＜e2＜e3
C.e1＝e3＜e2 D.e1＝e3＞e2
13.（多选）我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（ ）
A.曲线－＝1是黄金双曲线
B.如果双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，那么b2＝ac（c为半焦距）
C.如果双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，那么右焦点F到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一
D.过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F且垂直于实轴的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线
14.（2023·新高考Ⅰ卷16题）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为 .
15.已知双曲线E：－＝1.
（1）若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围.
16.若点O和点F（－2，0）分别为双曲线－y2＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围.
2.2 双曲线的简单几何性质
1.C 双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2.C 由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
3.B 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为（1，0），（－1，0），故顶点到渐近线的距离为.
4.C 以O为原点，AD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），不妨设｜AB｜＝｜BO｜＝｜OC｜＝｜CD｜＝1，则该双曲线过点（，），且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以双曲线的离心率为e＝＝，故选C.
5.CD 由C2：－y2＝λ －＝1，因为λ＞0且λ≠1，所以4≠4λ，顶点不同，A错；对C1：－y2＝1，＝4，＝1，＝5，e1＝，渐近线为y＝±x，对C2：－＝1，＝4λ，＝λ，＝5λ，e2＝，渐近线为y＝±x，由此判断B错，C、D正确.故选C、D.
6.ACD 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确.由双曲线的方程可知｜F1F2｜＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误.点P在圆x2＋y2＝2上且在直线y＝±x上，不妨设点P（x0，y0）在直线y＝x上，所以解得｜x0｜＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确.由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确.故选A、C、D.
7.6 解析：设F2为右焦点，连接P2F2（图略），由双曲线的对称性，知｜P1F1｜＝｜P2F2｜，所以｜P2F1｜－｜P1F1｜＝｜P2F1｜－｜P2F2｜＝2×3＝6.
8.2 解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝｜OB｜＝2.又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
9. 解析：双曲线的渐近线方程为x±my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋（y－2）2＝1，则圆心坐标为（0，2），半径r＝1.∵双曲线的渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，得m＝.
10.解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2（c2－a2）＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
11.D 双曲线的下焦点坐标为（0，－c），渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，则下焦点到渐近线的距离为＝＝b＝3，又离心率e＝＝＝2，所以a2＝3，所以该双曲线的标准方程为－＝1.故选D.
12.D 在图①中，连接MF2，设｜F1F2｜＝2｜MF1｜＝2c.∵∠MF1F2＝，∴｜MF2｜＝c，∴｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝c－c＝（－1）c，∴e1＝＝＝＋1.
在图②中，连接MF2，F1F2，设｜F1F2｜＝2c.∴（2｜MF1｜）2＋（2｜MF1｜）2＝｜F1F2｜2＝4c2，解得｜MF1｜＝c.又∵∠MF1F2＝，∴｜MF2｜2＝｜MF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜MF1｜·｜F1F2｜cos∠MF1F2，解得｜MF2｜＝c.∴｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝c－c＝c，∴e2＝＝＝.
在图③中，连接MF2，F1F2，设｜F1F2｜＝2｜MF1｜＝2c.∵∠MF1F2＝，∴｜MF2｜＝c，∴｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝c－c＝（－1）c，∴e3＝＝＝＋1.∴e1＝e3＞e2.故选D.
13.BD 对于A，－＝1，a2＝3，b2＝＋1，所以c2＝＋4，所以e2＝＝≠（）2＝，故A错误；对于B，若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，则e＝＝，由c2＝a2＋b2，所以b2＝（a）2－a2＝a2＝ac，故B正确；对于C，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则F（c，0）到该渐近线的距离d＝＝b，而由B可知，b2＝ac≠c2，故C错误；对于D，当x＝c时，y2＝（－1）b2＝，令M（c，），N（c，－），则＝（c，），＝（c，－），所以·＝c2－＝0，则b2＝ac，由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确.故选B、D.
14. 解析：法一 设A（x1，y1），B（0，y0）.由题意知F1（－c，0），F2（c，0）.由＝－，得（x1－c，y1）＝－（－c，y0）.整理，得x1＝c，y1＝－ y0，所以A（c，－y0）.因为⊥，所以·＝0，即（c＋c，－y0）·（c，y0）＝0，所以c2－＝0，解得y0＝±2c，所以A（c，±c）.因为点A在双曲线C上，所以－＝1，即－＝1，所以－＝1.整理，得25e4－50e2＋9＝0，解得e2＝或e2＝（舍去），所以e＝.
法二 由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得｜F2A｜＝｜F2B｜.设｜F2B｜＝3m（m＞0），则｜F2A｜＝2m，所以｜F1B｜＝｜F2B｜＝3m，｜AB｜＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以｜AF1｜＝＝4m，所以2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则｜AB｜·｜F1D｜＝｜F1A｜·｜F1B｜，即×5m×｜F1D｜＝×4m×3m，所以｜F1D｜＝m，所以｜BD｜＝＝m，所以｜F2D｜＝m，则｜F1F2｜＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝.
15.解：（1）m＝4时，双曲线方程化为－＝1，所以a＝2，b＝，c＝3，
所以焦点坐标为（－3，0），（3，0），顶点坐标为（－2，0），（2，0），渐近线方程为y＝±x.
（2）因为e2＝＝＝1＋，e∈，所以＜1＋＜2，解得5＜m＜10，
所以实数m的取值范围是（5，10）.
16.解：因为 F（－2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P（x0，y0）（x0≥），则－＝1（x0≥），可得＝－1（x0≥），易知＝（x0＋2，y0），＝（x0，y0），所以·＝x0（x0＋2）＋＝x0（x0＋2）＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－.因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞）.
3 / 32.2 双曲线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用 数学运算
如图，冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线的性质，研究建造冷却水塔呢？
【问题】 （1）从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？
（2）双曲线是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？
知识点 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
性质 图形
焦点
焦距
范围 或 ， y∈ 或 ， x∈
性质 对称性 对称轴： ；对称中心：
顶点
轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 实半轴长： ，虚半轴长：
离心率 e＝ ∈
渐近线
提醒 （1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；
（2）当双曲线C的方程确定后，该双曲线就存在两条直线l及l'，使得双曲线C趋向无穷远处时，与直线l、l'愈来愈近，但始终不相交，则直线l与l'为双曲线C的渐近线.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）共渐近线的双曲线的离心率相同.（ ）
（2）双曲线－＝1与－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相同.（ ）
（3）双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.（ ）
2.（2022·北京高考12题）已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝ .
3.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 .
题型一 双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
尝试解答
通性通法
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒 求性质时一定要注意焦点的位置.
【跟踪训练】
1.已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是（ ）
A.两个双曲线有公共顶点
B.两个双曲线有公共焦点
C.两个双曲线有公共渐近线
D.两个双曲线的离心率相等
2.设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±2x D.y＝±x
题型二 求双曲线的渐近线
【例2】 如图，已知F1，F2为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为 .
尝试解答
通性通法
1.已知双曲线的标准方程求渐近线方程的方法
（1）当焦点在x轴上时，即－＝1（a＞0，b＞0），则该双曲线的渐近线方程为y＝±x；
（2）当焦点在y轴上时，即－＝1（a＞0，b＞0），则该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2.共渐近线的双曲线方程的设法
已知双曲线方程－＝1（a＞0，b＞0），渐近线方程为－＝0，与其共渐近线的双曲线方程为－＝λ.
（1）当λ＞0时，双曲线的焦点在x轴上；
（2）当λ＜0时，双曲线的焦点在y轴上.
特别地，当λ＝－1时，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与－＝1（a＞0，b＞0）互为共轭双曲线；
当x2－y2＝λ（λ≠0）时，该双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线为y＝±x.【跟踪训练】
（2021·新高考Ⅱ卷13题）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为 .
题型三 双曲线的离心率
【例3】 （1）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是（ ）
A. B.
C.或 D.1＋
（2）如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，｜OF1｜为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 .
尝试解答
通性通法
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解；
（2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的方程求解.
【跟踪训练】
1.过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 .
2.双曲线－＝1（a＞1，b＞0）的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为 .
1.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（ ）
A.4 B.－4
C.－ D.
2.在平面直角坐标系中，经过点P（2，－）且渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.（多选）已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A.实轴长为8
B.虚轴长为4
C.焦距为6
D.离心率为
4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 .
5.已知点（2，3）在双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为 .
椭圆、双曲线有关概念及性质的比较
1.椭圆、双曲线几何性质的比较
椭圆 双曲线
常用几何量的区别 ＋＝1 （a＞b＞0） －＝1 （a＞0，b＞0）
a2＝b2＋c2， 0＜e＜1 c2＝a2＋b2，e＞1
－a≤x≤a， －b≤y≤b x≤－a或x≥a
长轴＝2a， 短轴＝2b 实轴＝2a， 虚轴＝2b
焦点三角形中性质的区别与联系
通径为 通径为
＝b2tan ＝c｜yP｜， 最大值＝bc ＝ ＝c｜yP｜， 无最值
e＝ e＝
【例1】 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，｜AB｜为C的实轴长的2倍，则C的离心率e为（ ）
A. B. C.2 D.3
尝试解答
方法总结
由通径知｜AB｜＝可直接求得＝2a，构建a与c的齐次方程求e.
2.两类动点轨迹的类比
已知点A（a，0），B（－a，0），过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
（1）当k1·k2＝－时，点M的轨迹方程为椭圆＋＝1（x≠±a，a＞b＞0）；
（2）当k1·k2＝时，点M的轨迹方程为双曲线－＝1（x≠±a，a＞0，b＞0）.
【例2】 已知点A（－2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线.
尝试解答
方法总结
对于满足{M｜kMA·kMB＝e2－1}的动点M的轨迹：当0＜e＜1时点M的轨迹是椭圆；当e＞1时点M的轨迹是双曲线.
注意此时不包含左、右两个顶点，且焦点在x轴上.
2.2 双曲线的简单几何性质
【基础知识·重落实】
知识点
F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） ｜F1F2｜＝2c x≤－a x≥a R y≤－a y≥a R 坐标轴 原点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a） A1A2 2a B1B2 2b a b （1，＋∞） y＝±x y＝±x
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.－3 解析：法一（通解） 依题意得m＜0，双曲线的方程可表示为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3.
法二（优解） 依题意得m＜0，令y2－＝0，得y＝±x＝±x，解得m＝－3.
3. 解析：由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝，∴＝tan＝1，∴e＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为（－3，0），（3，0），
焦点坐标为（－，0），（，0），
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
跟踪训练
1.C 双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的离心率e1＝＝，而双曲线－＝1的离心率e2＝＝，因此可排除选项D；易得C正确.
2.B 由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.故选B.
【例2】 y＝±x 解析：设F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则－＝1，解得y0＝±.∴｜PF2｜＝.在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则｜PF1｜＝2｜PF2｜，①.由双曲线的定义，得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，②.由①②得｜PF2｜＝2a.∵｜PF2｜＝，∴2a＝，即b2＝2a2.∴＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
跟踪训练
y＝±x 解析：＝＝＝，故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x.
【例3】 （1）D （2）1＋ 解析：（1）由题意易知F（－c，0），A（a，0），设B（0，b），则｜AF｜2＝（a＋c）2＝a2＋c2＋2ac，｜AB｜2＝a2＋b2，｜BF｜2＝b2＋c2.由△ABF为等腰三角形，分析可得｜AF｜＝｜BF｜，即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，变形可得c2－2a2－2ac＝0，又e＝，则有e2－2e－2＝0，解得e＝1±，又双曲线中e＞1，所以e＝1＋.
（2）连接AF1（图略），由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则｜AF1｜＝｜F1F2｜＝c，｜AF2｜＝c，所以2a＝（－1）c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.
跟踪训练
1.2＋ 解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F（c，0），则直线l的方程为y＝（x－c）.因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b 或y＝b（点P在x轴下方，故舍去），故点P的坐标为（2a，－b），代入直线方程得－b＝（2a－c），化简可得离心率e＝＝2＋.
2. 解析：由题意知，直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a＞1，得点（1，0），（－1，0）到直线l的距离分别为d1＝，d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.于是，得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得≤e2≤5.由于e＞1，故e的取值范围是.
随堂检测
1.C 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m＜0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选C.
2.B ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴设所求双曲线的方程为2x2－y2＝k.又点P（2，－）在双曲线上，∴k＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x2－y2＝14，∴双曲线的标准方程为－＝1.
3.ABD 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
4.y＝±x 解析：∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝.又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程－＝1（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5.2 解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，所以e＝＝2.
拓视野 椭圆、双曲线有关概念及性质的比较
【例1】 B 不妨设双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0），焦点F（－c，0）.直线l垂直于y轴时，显然不满足题意，∴直线l垂直于x轴.则AB为双曲线C的通径，∴｜AB｜＝2·＝2·2a.∴b2＝2a2，∴c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.
【例2】 解：由上述探究的结论可知k1·k2＝－＝－.又a2＝4，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1（x≠±2）.
即曲线C为焦点在x轴上且不包含长轴端点的椭圆.
6 / 6(共86张PPT)
2.2 双曲线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的
思想，了解双曲线的简单应用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线
的性质，研究建造冷却水塔呢？
【问题】 （1）从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那
么是否与椭圆一样有范围限制？
（2）双曲线是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对
称图形？对称中心是哪个点？
知识点 双曲线的几何性质
标准方程
性
质 图形
标准方程
性
质 焦点
焦距 范围 或 ， y ∈ 或 ，
x ∈
F1（－ c ，0）， F2（ c ，
0）
F1（0，－ c ）， F2
（0， c ）
｜ F1 F2｜＝2 c
x ≤－ a
x ≥ a
R
y ≤－ a
y ≥ a
R
标准方程
性
质 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点
轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 实半轴长： ，虚半轴长： 离心率 e ＝ ∈ 渐近线
坐标轴
原点
A1（－ a ，0）， A2（ a ，
0）
A1（0，－ a ）， A2
（0， a ）
A1 A2
2 a
B1 B2
2 b
a
b
（1，＋∞）
y ＝± x
y ＝± x
提醒 （1）椭圆与双曲线的离心率都是 e ，但其范围不一样，椭圆的
离心率0＜ e ＜1，而双曲线的离心率 e ＞1；
（2）当双曲线 C 的方程确定后，该双曲线就存在两条直线 l 及l'，使
得双曲线 C 趋向无穷远处时，与直线 l 、l'愈来愈近，但始终不
相交，则直线 l 与l'为双曲线 C 的渐近线.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）共渐近线的双曲线的离心率相同. （ × ）
（2）双曲线 － ＝1与 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的渐近线相
同. （ × ）
（3）双曲线 － ＝1的渐近线方程是3 x ±2 y ＝0. （ √ ）
×
×
√
2. （2022·北京高考12题）已知双曲线 y2＋ ＝1的渐近线方程为 y ＝
± x ，则 m ＝ .
－3
解析：法一（通解） 依题意得 m ＜0，双曲线的方程可表示为
y2－ ＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为± ＝± ，解
得 m ＝－3.
法二（优解） 依题意得 m ＜0，令 y2－ ＝0，得 y ＝± x
＝± x ，解得 m ＝－3.
3. 若双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的两条渐近线互相垂直，则该
双曲线的离心率是 .
解析：由题意知渐近线与 x 轴的夹角θ＝ ，∴ ＝tan ＝1，∴ e ＝
＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9 y2－4 x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、
虚轴长、离心率和渐近线方程.
解：双曲线的方程化为标准形式是 － ＝1，
∴ a2＝9， b2＝4，∴ a ＝3， b ＝2， c ＝ .
又双曲线的焦点在 x 轴上，∴顶点坐标为（－3，0），（3，0），
焦点坐标为（－ ，0），（ ，0），
实轴长2 a ＝6，虚轴长2 b ＝4，
离心率 e ＝ ＝ ，渐近线方程为 y ＝± x .
通性通法
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定 a ， b 的值；
（3）由 c2＝ a2＋ b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒 求性质时一定要注意焦点的位置.
1. 已知双曲线 － ＝1与 － ＝1，下列说法正确的是（ ）
A. 两个双曲线有公共顶点
B. 两个双曲线有公共焦点
C. 两个双曲线有公共渐近线
D. 两个双曲线的离心率相等
【跟踪训练】
解析： 双曲线 － ＝1的焦点和顶点都在 x 轴上，而双曲线
－ ＝1的焦点和顶点都在 y 轴上，因此可排除选项A、B；双曲线
－ ＝1的离心率 e1＝ ＝ ，而双曲线 － ＝1的离心率
e2＝ ＝ ，因此可排除选项D；易得C正确.
2. 设双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的虚轴长为2，焦距为2 ，
则双曲线的渐近线方程为（ ）
C. y ＝±2 x
解析： 由已知可得2 b ＝2，2 c ＝2 ，∴ b ＝1， c ＝ ，∴ a
＝ ＝ ＝ ，∴双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ＝
± x ＝± x .故选B.
题型二 求双曲线的渐近线
【例2】 如图，已知 F1， F2为双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的
焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P ，且∠ PF1 F2＝30°，
则双曲线的渐近线方程为 .
y ＝± x
解析：设 F2（ c ，0）（ c ＞0）， P （ c ， y0），则 － ＝1，解得
y0＝± .∴｜ PF2｜＝ .在Rt△ PF2 F1中，∠ PF1 F2＝30°，则｜
PF1｜＝2｜ PF2｜，①.由双曲线的定义，得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝2
a ，②.由①②得｜ PF2｜＝2 a .∵｜ PF2｜＝ ，∴2 a ＝ ，即 b2＝2
a2.∴ ＝ .∴双曲线的渐近线方程为 y ＝± x .
通性通法
1. 已知双曲线的标准方程求渐近线方程的方法
（1）当焦点在 x 轴上时，即 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），则该双
曲线的渐近线方程为 y ＝± x ；
（2）当焦点在 y 轴上时，即 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），则该双
曲线的渐近线方程为 y ＝± x .
2. 共渐近线的双曲线方程的设法
已知双曲线方程 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），渐近线方程为 －
＝0，与其共渐近线的双曲线方程为 － ＝λ.
（1）当λ＞0时，双曲线的焦点在 x 轴上；
（2）当λ＜0时，双曲线的焦点在 y 轴上.
特别地，当λ＝－1时，双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）与
－ ＝1（ a ＞0， b ＞0）互为共轭双曲线；
当 x2－ y2＝λ（λ≠0）时，该双曲线称为等轴双曲线，它的渐近
线为 y ＝± x .
（2021·新高考Ⅱ卷13题）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞
0， b ＞0），离心率 e ＝2，则双曲线 C 的渐近线方程为
.
解析： ＝ ＝ ＝ ，故双曲线 C 的渐近线方
程为： y ＝± x .
y ＝
± x
【跟踪训练】
题型三 双曲线的离心率
【例3】 （1）双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左焦点为
F ，右顶点为 A ，虚轴的一个端点为 B ，若△ ABF 为等腰三角形，则双
曲线 C 的离心率是（ D ）
D
解析： 由题意易知 F （－ c ，0）， A
（ a ，0），设 B （0， b ），则｜ AF ｜2＝（ a
＋ c ）2＝ a2＋ c2＋2 ac ，｜ AB ｜2＝ a2＋
b2，｜ BF ｜2＝ b2＋ c2.由△ ABF 为等腰三角
形，分析可得｜ AF ｜＝｜ BF ｜，即 a2＋ c2＋
2 ac ＝ b2＋ c2，变形可得 c2－2 a2－2 ac ＝0，又
e ＝ ，则有 e2－2 e －2＝0，解得 e ＝1± ，
又双曲线中 e ＞1，所以 e ＝1＋ .
（2）如图所示， F1和 F2分别是双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的
两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，｜ OF1｜为半径的圆与该双曲
线左支的两个交点，且△ F2 AB 是等边三角形，则双曲线的离心
率为 .
1＋
解析： 连接 AF1（图略），由△ F2 AB 是等边三角形，知∠ AF2 F1＝30°.易知△ AF1 F2为直角三角形，则｜ AF1｜＝ ｜ F1 F2｜＝ c ，｜ AF2｜＝ c ，所以2 a ＝（ －1） c ，从而双曲线的离心率 e ＝ ＝1＋ .
通性通法
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知 a ， c ，可直接利用 e ＝ 求解，若已知 a ， b ，
可利用 e ＝ 求解；
（2）方程法：若无法求出 a ， b ， c 的具体值，但根据条件可确定
a ， b ， c 之间的关系，可通过 b2＝ c2－ a2，将关系式转化为关于
a ， c 的齐次方程，借助于 e ＝ ，转化为关于 e 的方程求解.
1. 过双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点作一条与其渐近
线平行的直线，交 C 于点 P . 若点 P 的横坐标为2 a ，则 C 的离心率
为 .
2＋
【跟踪训练】
解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的
斜率为 ，又直线 l 过右焦点 F （ c ，0），则直线 l
的方程为 y ＝ （ x － c ）.因为点 P 的横坐标为2
a ，代入双曲线方程得 － ＝1，化简得 y ＝－ b 或 y ＝ b （点 P 在 x 轴下方，故舍去），故点 P 的坐标为（2 a ，－ b ），代入直线方程得－ b ＝ （2 a － c ），化简可得离心率 e ＝ ＝2
＋ .
2. 双曲线 － ＝1（ a ＞1， b ＞0）的焦距为2 c ，直线 l 过点（ a ，
0）和（0， b ），且点（1，0）到直线 l 的距离与点（－1，0）到直
线 l 的距离之和 s ≥ c ，则双曲线的离心率 e 的取值范围为 .
解析：由题意知，直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 bx ＋ ay － ab ＝0.由
点到直线的距离公式，且 a ＞1，得点（1，0），（－1，0）到直线
l 的距离分别为 d1＝ ， d2＝ ， s ＝ d1＋ d2＝
＝ .由 s ≥ c ，得 ≥ c ，即5 a ≥2 c2.于是，得5
≥2 e2，即4 e4－25 e2＋25≤0.解不等式，得 ≤ e2≤5.由于 e ＞
1，故 e 的取值范围是 .
1. 双曲线 mx2＋ y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则 m 的值为（ ）
A. 4 B. －4
解析： 由双曲线方程 mx2＋ y2＝1，知 m ＜0，则双曲线方程可化
为 y2－ ＝1，则 a2＝1， a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴ b ＝
2，∴－ ＝ b2＝4，∴ m ＝－ ，故选C.
2. 在平面直角坐标系中，经过点 P （2 ，－ ）且渐近线方程为 y
＝± x 的双曲线的标准方程为（ ）
解析： ∵双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，∴设所求双曲线的
方程为2 x2－ y2＝ k .又点 P （2 ，－ ）在双曲线上，∴ k ＝16－
2＝14，即双曲线的方程为2 x2－ y2＝14，∴双曲线的标准方程为
－ ＝1.
3. （多选）已知双曲线方程为 x2－8 y2＝32，则（ ）
B. 虚轴长为4
C. 焦距为6
解析： 双曲线方程 x2－8 y2＝32化为标准方程为 － ＝1，
可得 a ＝4 ， b ＝2， c ＝6，所以双曲线的实轴长为8 ，虚轴长
为4，焦距为12，离心率为 .
4. 中心在坐标原点，离心率为 的双曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近
线方程为 .
解析：∵ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝
.又∵双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程 － ＝1（ a ＞0， b
＞0），∴双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，∴所求双曲线的渐近
线方程为 y ＝± x .
y ＝± x
5. 已知点（2，3）在双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）上， C 的
焦距为4，则它的离心率为 .
解析：由题意知 － ＝1， c2＝ a2＋ b2＝4，解得 a ＝1，所以 e ＝
＝2.
2
椭圆、双曲线有关概念及性质的比较
椭圆 双曲线
常用几
何量的
区别
1. 椭圆、双曲线几何性质的比较
椭圆 双曲线
常用几
何量的
区别 a2＝ b2＋ c2，0＜ e ＜1 c2＝ a2＋ b2， e ＞1
－ a ≤ x ≤ a ， － b ≤ y ≤ b x ≤－ a 或 x ≥ a
长轴＝2 a ，短轴＝2 b 实轴＝2 a ，虚轴＝2 b
椭圆 双曲线
焦点三
角形中
性质的
区别与
联系
椭圆 双曲线
焦点三
角形中
性质的
区别与
联系
【例1】 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂
直， l 与 C 交于 A ， B 两点，｜ AB ｜为 C 的实轴长的2倍，则 C 的离
心率 e 为（ ）
C. 2 D. 3
解析： 不妨设双曲线 C 的方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），
焦点 F （－ c ，0）.直线 l 垂直于 y 轴时，显然不满足题意，∴直线 l
垂直于 x 轴.则 AB 为双曲线 C 的通径，∴｜ AB ｜＝2· ＝2·2 a .∴ b2
＝2 a2，∴ c2＝ a2＋ b2＝3 a2，∴ e ＝ ＝ .
方法总结
由通径知｜ AB ｜＝ 可直接求得 ＝2 a ，构建 a 与 c 的齐次方
程求 e .
2. 两类动点轨迹的类比
已知点 A （ a ，0）， B （－ a ，0），过 A 点的直线 l1与过 B 点的直
线 l2相交于一点 M ，设直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2.
（1）当 k1· k2＝－ 时，点 M 的轨迹方程为椭圆 ＋ ＝1（ x ≠±
a ， a ＞ b ＞0）；
（2）当 k1· k2＝ 时，点 M 的轨迹方程为双曲线 － ＝1（ x ≠±
a ， a ＞0， b ＞0）.
【例2】 已知点 A （－2，0）， B （2，0），动点 M （ x ，
y ）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为－ ，记 M 的轨迹为曲线
C ，求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线.
解：由上述探究的结论可知 k1· k2＝－ ＝－ .又 a2＝4，∴ b2
＝2，∴ C 的方程为 ＋ ＝1（ x ≠±2）.
即曲线 C 为焦点在 x 轴上且不包含长轴端点的椭圆.
方法总结
对于满足{ M ｜ kMA · kMB ＝ e2－1}的动点 M 的轨迹：当0＜ e ＜1时
点 M 的轨迹是椭圆；当 e ＞1时点 M 的轨迹是双曲线.
注意此时不包含左、右两个顶点，且焦点在 x 轴上.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 双曲线2 x2－ y2＝8的实轴长是（ ）
A. 2 C. 4
解析： 双曲线方程可变形为 － ＝1，所以 a2＝4， a ＝2，从
而2 a ＝4，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知双曲线 － ＝1（ a ＞0）的右焦点为（3，0），则双曲线的
离心率为（ ）
解析： 由题意知 a2＋5＝9，解得 a ＝2， e ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 双曲线 x2－ y2＝1的顶点到其渐近线的距离为（ ）
C. 1
解析： 双曲线 x2－ y2＝1的渐近线方程为 x ± y ＝0，顶点坐标为
（1，0），（－1，0），故顶点到渐近线的距离为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 从某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，
如图②所示，篮球的外轮廓为圆 O ，将篮球表面的粘合线看成坐标
轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等
分， AB ＝ BC ＝ CD ，则该双曲线的离心率为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 以 O 为原点， AD 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标
系，设双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），不妨设｜ AB ｜
＝｜ BO ｜＝｜ OC ｜＝｜ CD ｜＝1，则该双曲线过点（ ，
），且 a ＝1，所以 － ＝1，解得 b2＝2，
所以 c2＝ a2＋ b2＝3，得 c ＝ ，所以双曲线
的离心率为 e ＝ ＝ ，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）双曲线 C1： － y2＝1与 C2： － y2＝λ（λ＞0且λ≠1）的
（ ）
A. 顶点相同 B. 焦点相同
C. 离心率相同 D. 渐近线相同
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 由 C2： － y2＝λ － ＝1，因为λ＞0且λ≠1，所以
4≠4λ，顶点不同，A错；对 C1： － y2＝1， ＝4， ＝1， ＝
5， e1＝ ，渐近线为 y ＝± x ，对 C2： － ＝1， ＝4λ，
＝λ， ＝5λ， e2＝ ，渐近线为 y ＝± x ，由此判断B错，C、D
正确.故选C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）已知 F1， F2分别是双曲线 C ： y2－ x2＝1的上、下焦点，点
P 是其一条渐近线上一点，且以线段 F1 F2为直径的圆经过点 P ，则
（ ）
A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝± x
B. 以 F1 F2为直径的圆的方程为 x2＋ y2＝1
C. 点 P 的横坐标为±1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 等轴双曲线 C ： y2－ x2＝1的渐近线方程为 y ＝± x ，
故A正确.由双曲线的方程可知｜ F1 F2｜＝2 ，所以以 F1 F2为直径
的圆的方程为 x2＋ y2＝2，故B错误.点 P 在圆 x2＋ y2＝2上且在直线 y
＝± x 上，不妨设点 P （ x0， y0）在直线 y ＝ x 上，所以 解得｜ x0｜＝1，则点 P 的横坐标为±1，故C正确.由上述分析可得△ PF1 F2的面积为 ×2 ×1＝ ，故D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图，双曲线 C ： － ＝1的左焦点为 F1，双曲线上的点 P1与 P2
关于 y 轴对称，则｜ P2 F1｜－｜ P1 F1｜的值是 .
解析：设 F2为右焦点，连接 P2 F2（图略），由双曲线的对称性，
知｜ P1 F1｜＝｜ P2 F2｜，所以｜ P2 F1｜－｜ P1 F1｜＝｜ P2 F1｜
－｜ P2 F2｜＝2×3＝6.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的渐近线为正方形 OABC 的边
OA ， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的
边长为2，则 a ＝ .
解析：设 B 为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边
形 OABC 为正方形且边长为2，∴ c ＝｜ OB ｜＝2
.又∠ AOB ＝ ，∴ ＝tan ＝1，即 a ＝ b .又∵
a2＋ b2＝ c2＝8，∴ a ＝2.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. （2022·全国甲卷14题）若双曲线 y2－ ＝1（ m ＞0）的渐近线与
圆 x2＋ y2－4 y ＋3＝0相切，则 m ＝ .
解析：双曲线的渐近线方程为 x ± my ＝0，圆 x2＋ y2－4 y ＋3＝0的
方程可化为 x2＋（ y －2）2＝1，则圆心坐标为（0，2），半径 r ＝
1.∵双曲线的渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离 d ＝
＝1，得 m ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 设双曲线 － ＝1（0＜ a ＜ b ）的半焦距为 c ，直线 l 过（ a ，
0），（0， b ）两点，已知原点到直线 l 的距离为 c ，求双曲线
的离心率.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 bx ＋ ay － ab ＝0.
于是有 ＝ c ，
所以 ab ＝ c2，两边平方，得 a2 b2＝ c4.
又 b2＝ c2－ a2，所以16 a2（ c2－ a2）＝3 c4，
两边同时除以 a4，得3 e4－16 e2＋16＝0，
解得 e2＝4或 e2＝ .
又 b ＞ a ，所以 e2＝ ＝1＋ ＞2，则 e ＝2.
于是双曲线的离心率为2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一
段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线 － ＝1（ a ＞
0， b ＞0）的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线
的标准方程为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 双曲线的下焦点坐标为（0，－ c ），渐近线方程为 y ＝
± x ，即 ax ± by ＝0，则下焦点到渐近线的距离为 ＝ ＝
b ＝3，又离心率 e ＝ ＝ ＝2，所以 a2＝3，所以该双曲线
的标准方程为 － ＝1.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 图中的多边形均为正多边形，图①，②中 M ， N 是所在边上的中
点，双曲线均以图中的 F1， F2为焦点，设图①，②，③中的双曲
线的离心率分别为 e1， e2， e3，则（ ）
A. e1＞ e2＞ e3 B. e1＜ e2＜ e3
C. e1＝ e3＜ e2 D. e1＝ e3＞ e2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 在图①中，连接 MF2，设｜ F1 F2｜＝2｜ MF1｜＝2
c .∵∠ MF1 F2＝ ，∴｜ MF2｜＝ c ，∴｜ MF2｜－｜ MF1｜＝2
a ＝ c － c ＝（ －1） c ，∴ e1＝ ＝ ＝ ＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在图②中，连接 MF2， F1 F2，设｜ F1 F2｜＝2 c .∴（2｜ MF1｜）2
＋（2｜ MF1｜）2＝｜ F1 F2｜2＝4 c2，解得｜ MF1｜＝ c .又∵∠
MF1 F2＝ ，∴｜ MF2｜2＝｜ MF1｜2＋｜ F1 F2｜2－2｜ MF1｜·｜
F1 F2｜ cos ∠ MF1 F2，解得｜ MF2｜＝ c .∴｜ MF2｜－｜
MF1｜＝2 a ＝ c － c ＝ c ，∴ e2＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在图③中，连接 MF2， F1 F2，设｜ F1 F2｜＝2｜ MF1｜＝2 c .∵∠
MF1 F2＝ ，∴｜ MF2｜＝ c ，∴｜ MF2｜－｜ MF1｜＝2 a ＝
c － c ＝（ －1） c ，∴ e3＝ ＝ ＝ ＋1.∴ e1＝ e3＞ e2.
故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）我们把离心率为 的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也
把离心率为 的双曲线称为黄金双曲线，则（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 对于A， － ＝1， a2＝3， b2＝ ＋1，所
以 c2＝ ＋4，所以 e2＝ ＝ ≠（ ）2＝ ，故A错
误；对于B，若双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）是黄金双曲
线，则 e ＝ ＝ ，由 c2＝ a2＋ b2，所以 b2＝（ a ）2－
a2＝ a2＝ ac ，故B正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于C，双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的一条渐近线为 y ＝
x ，则 F （ c ，0）到该渐近线的距离 d ＝ ＝ b ，而由B可知，
b2＝ ac ≠ c2，故C错误；对于D，当 x ＝ c 时， y2＝（ －1） b2
＝ ，令 M （ c ， ）， N （ c ，－ ），则 ＝（ c ， ），
＝（ c ，－ ），所以 · ＝ c2－ ＝0，则 b2＝ ac ，由
B可知，双曲线 C 是黄金双曲线，故D正确.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. （2023·新高考Ⅰ卷16题）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞
0）的左、右焦点分别为 F1， F2.点 A 在 C 上，点 B 在 y 轴上，
⊥ ， ＝－ ，则 C 的离心率为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：法一 设 A （ x1， y1）， B （0， y0）.由题意知 F1（－ c ，
0）， F2（ c ，0）.由 ＝－ ，得（ x1－ c ， y1）＝－ （－
c ， y0）.整理，得 x1＝ c ， y1＝－ y0，所以 A （ c ，－ y0）.因
为 ⊥ ，所以 · ＝0，即（ c ＋ c ，－ y0）·（ c ，
y0）＝0，所以 c2－ ＝0，解得 y0＝±2 c ，所以 A （ c ，±
c ）.因为点 A 在双曲线 C 上，所以 － ＝1，即 －
＝1，所以 － ＝1.整理，得25 e4－50 e2＋9
＝0，解得 e2＝ 或 e2＝ （舍去），所以 e ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
法二 由 ＝－ 可得 A ， B ， F2三点共线，且 F2在线段 AB
上，不妨令点 A 在第一象限，则点 B 在 y 轴负半轴上，易得｜ F2 A ｜＝
｜ F2 B ｜.设｜ F2 B ｜＝3 m （ m ＞0），则｜ F2 A ｜＝2 m ，所以｜ F1
B ｜＝｜ F2 B ｜＝3 m ，｜ AB ｜＝5 m ，由 ⊥ 可得∠ AF1 B ＝
90°，所以｜ AF1｜＝ ＝4 m ，所以2 a ＝｜
AF1｜－｜ AF2｜＝2 m ，即 a ＝ m .过 F1作 F1 D ⊥ AB ，垂足为 D ，则
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
｜ AB ｜·｜ F1 D ｜＝ ｜ F1 A ｜·｜ F1 B ｜，即 ×5 m ×｜ F1 D ｜＝
×4 m ×3 m ，所以｜ F1 D ｜＝ m ，所以｜ BD ｜＝
＝ m ，所以｜ F2 D ｜＝ m ，则｜ F1 F2｜＝
＝ m ＝2 c ，即 c ＝ m ，所以 e ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知双曲线 E ： － ＝1.
（1）若 m ＝4，求双曲线 E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
解：m ＝4时，双曲线方程化为 － ＝1，所以 a ＝
2， b ＝ ， c ＝3，
所以焦点坐标为（－3，0），（3，0），顶点坐标为（－
2，0），（2，0），渐近线方程为 y ＝± x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）若双曲线 E 的离心率为 e ∈ ，求实数 m 的取值范围.
解：因为 e2＝ ＝ ＝1＋ ， e ∈ ，所以
＜1＋ ＜2，解得5＜ m ＜10，
所以实数 m 的取值范围是（5，10）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 若点 O 和点 F （－2，0）分别为双曲线 － y2＝1（ a ＞0）的
中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，求 ·
的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：因为 F （－2，0）是已知双曲线的左焦点，所以 a2＋1＝4，即
a2＝3，所以双曲线方程为 － y2＝1.设点 P （ x0， y0）（ x0≥
），则 － ＝1（ x0≥ ），可得 ＝ －1（ x0≥ ），
易知 ＝（ x0＋2， y0）， ＝（ x0， y0），所以 · ＝ x0
（ x0＋2）＋ ＝ x0（ x0＋2）＋ －1＝ ＋2 x0－1，此二
次函数对应的图象的对称轴方程为 x0＝－ .因为 x0≥ ，所以当 x0＝
时， · 取得最小值 ×3＋2 －1＝3＋2 ，故 · 的取
值范围是[3＋2 ，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
