3.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线y＝－x2的准线方程为（ ）
A.x＝ B.x＝1
C.y＝1 D.y＝2
2.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过点（－1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A.（－1，0） B.（1，0）
C.（0，－1） D.（0，1）
3.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝（ ）
A.1 B.2
C.2 D.4
4.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线（ ）
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
5.（多选）对抛物线x2＝4y，下列描述不正确的是（ ）
A.开口向上，焦点为（0，1）
B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为（1，0）
D.开口向右，焦点为
6.（多选）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF于点M，过Q作QN⊥PE交线段EP的延长线于点N，则（ ）
A.｜PE｜＝｜PF｜ B.｜PF｜＝｜QF｜
C.｜PN｜＝｜MF｜ D.｜PN｜＝｜KF｜
7.已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝ .
8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是 .
9.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为 .
10.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点到准线的距离是5；
（2）焦点F在y轴上，点A（m，－2）在抛物线上，且｜AF｜＝3.
11.若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使｜MF｜＋｜MA｜取得最小值的M的坐标为（ ）
A.（0，0） B.
C.（1，） D.（2，2）
12.已知M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，过M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°（O为坐标原点），△MNF的周长为12，则｜NF｜＝（ ）
A.4 B.
C.3 D.5
13.（多选）设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的准线方程是x＝－1
B.当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值
C.若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为
D.以线段PF为直径的圆与y轴相切
14.对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是 （要求填写适合条件的序号）.
15.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求抛物线的方程.
16.已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点.
（1）求｜AM｜＋｜AN｜的值；
（2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
3.1 抛物线及其标准方程
1.C 抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.
2.B 抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B.
3.B 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，解得p＝2或p＝－6（舍去），故选B.
4.B 连接PF，由题意及抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
5.BCD 因为抛物线的标准方程为x2＝4y，所以2p＝4，p＝2，开口向上，因此抛物线的焦点为（0，1），准线为y＝－1.故A正确，B、C、D都错，故选B、C、D.
6.ABD 由抛物线的定义知A正确；∵∠FQP＝∠QPN＝∠QPF，∴｜PF｜＝｜QF｜，∴B正确；由题意知四边形QKEN为矩形，∴｜PN｜＝｜NE｜－｜PE｜＝｜QK｜－｜FQ｜＝｜KF｜，∴D正确；显然当PF⊥x轴时，F，M重合，｜PN｜≠｜MF｜，∴C错误.
7.3 解析：由题意得m＋1＝22，解得m＝3.
8.（－6，6）或（－6，－6）
解析：由方程y2＝－12x，知焦点F（－3，0），准线l：x＝3.设所求点为P（x，y），则由定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为（－6，6）或（－6，－6）.
9.（1，0） x＝－1 解析：圆M的圆心为（1，2），代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝－1.
10.解：（1）由题意知p＝5，则2p＝10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y.
（2）由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py（p＞0）.由｜AF｜＝3，得＋2＝3，所以p＝2.所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.
11.D 点A的坐标为（3，2），所以点A在抛物线内.过点M作准线的垂线，垂足为N（图略），则｜MF｜＋｜MA｜＝｜MN｜＋｜MA｜，当A，M，N三点共线时，｜MF｜＋｜MA｜取得最小值，此时M（2，2）.
12.A 因为∠MFO＝120°，所以∠FMN＝60°.又M是抛物线C上一点，所以｜FM｜＝｜MN｜，则△FMN是等边三角形.又△FMN的周长为12，所以｜NF｜＝＝4，故选A.
13.ACD 对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0≥0，＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝，故C正确；
对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D.
14.②④ 解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M（1，y0）是y2＝10x上一点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，设过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为（2，1）时，则k＝－2，此时存在，所以④满足.
15.解：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
则其准线为x＝－.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为｜AF｜＋｜BF｜＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
因为Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，所以｜QA｜＝｜QB｜，
即
＝，
又＝2px1，＝2px2，
所以（x1－x2）（x1＋x2－12＋2p）＝0，
因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线的方程为y2＝8x.
16.解：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0，∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8.
（2）不存在.假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'.
∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜.由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在.
2 / 23.1 抛物线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.
【问题】 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的 的点的集合（或轨迹）叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的 ，这条定直线l叫作抛物线的 .
【想一想】
在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
提醒 四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）标准方程y2＝2px（p＞0）中的p的几何意义是焦点到准线的距离.（ ）
（2）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.（ ）
（3）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.（ ）
（4）焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py（p＞0），也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.（ ）
2.抛物线x＝4y2的准线方程是（ ）
A.y＝ B.y＝－1
C.x＝－ D.x＝
3.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M（m，－2）到焦点的距离为4，则m＝ .
题型一 求抛物线的标准方程
角度1 直接法求抛物线的方程
【例1】 （1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线的标准方程是（ ）
A.x2＝±3y B.y2＝±6x
C.x2＝±12y D.x2＝±6y
（2）准线方程为y＝的抛物线的标准方程是 .
尝试解答
通性通法
在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程.
角度2 待定系数法求抛物线的方程
【例2】 （1）顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程是（ ）
A.y2＝－4x
B.x2＝4y
C.y2＝－4x或x2＝4y
D.y2＝4x或x2＝－4y
（2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为 .
尝试解答
通性通法
根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类：
（1）焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以设为y2＝mx（m≠0），m＞0时焦点在x轴的正半轴上，m＜0时焦点在x轴的负半轴上；
（2）焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以设为x2＝my（m≠0），m＞0时焦点在y轴的正半轴上，m＜0时焦点在y轴的负半轴上.
【跟踪训练】
1.已知抛物线的焦点坐标是（－1，0），则抛物线的标准方程是（ ）
A.x2＝4y B.x2＝－4y
C.y2＝4x D.y2＝－4x
2.准线与直线x＝1的距离为3的抛物线的标准方程是 .
题型二 抛物线定义的应用
角度1 两种距离的转化
【例3】 （1）设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
（2）若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）若本例（2）中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标.
通性通法
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点、点距离与点、线距离的相互转化，从而简化某些问题.
角度2 最值问题
【例4】 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若将本例中的点（0，2）改为点A（3，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.
2.（变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
通性通法
利用抛物线定义研究最值的一般思路
（1）若点M在抛物线的内部，过点M作准线的垂线，该垂线与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点M的距离最小；
（2）若点M在抛物线的外部，连接MF，则MF与抛物线的交点P可使｜PF｜＋｜PM｜的值最小.
【跟踪训练】
1.设点A的坐标为（1，），点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋｜PA｜的最小值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F1，若点A（2，－4）在抛物线上，则点A到焦点的距离为 .
1.若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为（ ）
A.（8，8） B.（8，－8）
C.（8，±8） D.（－8，±8）
2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（1，0） B.
C. D.（0，1）
3.准线为y＝－的抛物线的标准方程是（ ）
A.x2＝3y B.y＝－x2
C.x＝3y2 D.x＝－y2
4.一动圆过点（0，1）且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为（ ）
A.x＝1 B.x＝
C.y＝－1 D.y＝－
5.若抛物线y2＝－2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为 .
圆锥曲线的统一定义
定义：平面内到定点F和到定直线l（定点F不在定直线l上）的距离之比为常数e（e＞0）的动点的轨迹是圆锥曲线.当0＜e＜1时为椭圆；当e＞1时为双曲线，当e＝1时为抛物线.
定点F叫作焦点，定直线l叫作焦点F对应的准线.定义表达式为＝e.
（1）对于椭圆＋＝1（a＞b＞0），其准线方程为x＝±，如图①所示；
（2）对于双曲线－＝1（a＞0，b＞0），其准线方程为x＝±，如图②所示；
（3）对于抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝－，如图③所示.
【例】 已知点A（3，1），双曲线x2－＝1，F为双曲线的右焦点，P是双曲线右支上的动点，求2｜PA｜＋｜PF｜的最小值，并求此时点P的坐标.
尝试解答
方法总结
对双曲线第二定义的理解
（1）双曲线上的点到焦点的距离大于到相应准线的距离；
（2）运用双曲线的第二定义，要求点到焦点距离与到相应准线距离之比为离心率e；
（3）焦点到相应准线的距离叫作焦准距.
3.1 抛物线及其标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
距离相等 焦点 准线
想一想
提示：不是.
知识点二
y2＝2px（p＞0） x＝－ y2＝－2px（p＞0） x＝
x2＝2py（p＞0） y＝－ x2＝－2py（p＞0） y＝
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√
2.C 由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.故选C.
3.±4 解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将（m，－2）代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C （2）x2＝－y
解析：（1）由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y.
（2）由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是x2＝－y.
【例2】 （1）C （2）x2＝10y或x2＝－10y
解析：（1）设抛物线方程为y2＝－2p1x（p1＞0）或x2＝2p2y（p2＞0），把（－4，4）代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
（2）已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my（m≠0），由焦点到准线的距离为5，知｜m｜＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
跟踪训练
1.D 由题意知抛物线的焦点在x轴负半轴上，且＝1，得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选D.
2.y2＝8x或y2＝－16x 解析：由准线平行于y轴，可设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0）.当m＞0时，2p＝m，所以p＝，抛物线的准线方程为x＝－，依题意得1－＝3，所以m＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x；当m＜0时，2p＝－m，所以p＝－，抛物线的准线方程为x＝－，依题意得＝3，所以m＝8或m＝－16，显然m＝8不合题意，所以m＝－16，所以抛物线的方程为y2＝－16x.综上，抛物线的标准方程为y2＝8x或y2＝－16x.
【例3】 （1）B 抛物线C的准线方程为x＝－1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，｜PF｜＝d（d为点P到抛物线C的准线的距离），又d＝4＋1＝5，所以｜PF｜＝5.
（2）解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等.
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线（不包含原点），
其方程应为y2＝2px（p＞0）的形式，
而＝，所以p＝1，2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x（x≠0）.
母题探究
解：设点N的坐标为（x0，y0），则｜NF｜＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x（x≠0），所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为（ ，）或.
【例4】 解：
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，
当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝ ＝.
母题探究
1.解：将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±.
所以点A在抛物线内部.
设点P为其上一点，点P到准线x＝－的距离为d，
则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d.
由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是.
即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是.
2.解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥.
｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离，d＝＝1.即所求最小值为1.
跟踪训练
1.C 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是｜PF｜＝d＋1，所以d＋｜PA｜＝｜PF｜－1＋｜PA｜的最小值为｜AF｜－1＝4－1＝3.
2.4 解析：把点（2，－4）代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为（2，0）.故点A到焦点的距离为4.
随堂检测
1.C
2.C 由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为，故选C.
3.A 准线为y＝－的抛物线的标准方程是x2＝3y，故选A.
4.C 因为动圆过点（0，1）且与定直线l相切，所以动圆圆心到点（0，1）的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且（0，1）为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
5.（－9，6）或（－9，－6） 解析：由抛物线方程y2＝－2px（p＞0），得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝｜MF｜＝10，即－（－9）＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M（－9，y）在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为（－9，6）或（－9，－6）.
拓视野 圆锥曲线的统一定义
【例】 解：由已知得双曲线的离心率e＝＝2，
双曲线右准线方程为x＝＝，
那么点P到右准线的距离d＝｜PF｜，
从而2｜PA｜＋｜PF｜＝2（｜PA｜＋｜PF｜）＝2（｜PA｜＋d）.
｜PA｜＋d的最小值为点A到右准线的距离，即3－＝，
因而2｜PA｜＋｜PF｜的最小值为5，将y＝1代入双曲线方程，得此时点P坐标为（，1）.
5 / 5(共78张PPT)
3.1 抛物线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
把一根直尺固定在图板上直线 l 的位置，把一块三角尺的一条直角边
紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角
边的一点 A ，取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长（即点 A 到直线 l 的距
离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F .
用铅笔尖扣着绳子，使点 A 到笔尖的一段绳子紧靠
着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖
就在图板上描出了一条曲线.
【问题】 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ l 不经过点 F ）的
的点的集合（或轨迹）叫作抛物线.这个定点 F 叫作抛物线的
，这条定直线 l 叫作抛物线的 .
距离相等
焦
点
准线
【想一想】
在抛物线定义中，若去掉条件“ l 不经过点 F ”，点的轨迹还是抛
物线吗？
提示：不是.
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2 px
（ p ＞0）
x ＝－
y2＝－2 px
（ p ＞0）
x ＝
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
x2＝2 py
（ p ＞0）
y ＝－
x2＝－2 py
（ p ＞0）
y ＝
提醒 四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开
口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方
向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）标准方程 y2＝2 px （ p ＞0）中的 p 的几何意义是焦点到准线的
距离. （ √ ）
（2）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛
物线. （ × ）
（3）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线
才具有标准形式. （ √ ）
√
×
√
（4）焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x2＝±2 py （ p ＞0），也可
以写成 y ＝ ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.
（ √ ）
√
2. 抛物线 x ＝4 y2的准线方程是（ ）
B. y ＝－1
解析： 由 x ＝4 y2得 y2＝ x ，故准线方程为 x ＝－ .故选C.
3. 已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 M
（ m ，－2）到焦点的距离为4，则 m ＝ .
解析：由已知，可设抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞0）.由抛物线定
义有2＋ ＝4，∴ p ＝4，∴ x2＝－8 y .将（ m ，－2）代入上式，得
m2＝16.∴ m ＝±4.
±4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求抛物线的标准方程
角度1 直接法求抛物线的方程
【例1】 （1）焦点在 y 轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线
的标准方程是（ C ）
A. x2＝±3 y B. y2＝±6 x
C. x2＝±12 y D. x2＝±6 y
解析：由已知得 p ＝6且焦点在 y 轴上，所以抛物线的标准
方程是 x2＝±12 y .
C
（2）准线方程为 y ＝ 的抛物线的标准方程是 x2＝－ y .
解析：由题意知 ＝ ，所以 p ＝ ，所以抛物线的标准方
程是 x2＝－ y .
x2＝－ y
通性通法
在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个
参数 p ，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程.
角度2 待定系数法求抛物线的方程
【例2】 （1）顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程
是（ C ）
A. y2＝－4 x B. x2＝4 y
C. y2＝－4 x 或 x2＝4 y D. y2＝4 x 或 x2＝－4 y
解析：设抛物线方程为 y2＝－2 p1 x （ p1＞0）或 x2＝2 p2 y （ p2＞0），把（－4，4）代入得16＝8 p1或16＝8 p2，即 p1＝2或 p2＝2.故抛物线的标准方程为 y2＝－4 x 或 x2＝4 y .故选C.
C
（2）焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为
.
解析：已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x2＝2 my （ m ≠0），由焦点到准线的距离为5，知｜ m ｜＝5， m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x2＝10 y 和 x2＝－10 y .
x2＝
10 y 或 x2＝－10 y
通性通法
根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类：
（1）焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可以设为 y2＝ mx （ m ≠0）， m
＞0时焦点在 x 轴的正半轴上， m ＜0时焦点在 x 轴的负半轴上；
（2）焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可以设为 x2＝ my （ m ≠0）， m
＞0时焦点在 y 轴的正半轴上， m ＜0时焦点在 y 轴的负半轴上.
1. 已知抛物线的焦点坐标是（－1，0），则抛物线的标准方程是
（ ）
A. x2＝4 y B. x2＝－4 y
C. y2＝4 x D. y2＝－4 x
解析： 由题意知抛物线的焦点在 x 轴负半轴上，且 ＝1，得 p ＝
2，所以抛物线的标准方程为 y2＝－4 x .故选D.
【跟踪训练】
2. 准线与直线 x ＝1的距离为3的抛物线的标准方程是
.
解析：由准线平行于 y 轴，可设抛物线的方程为 y2＝ mx （ m ≠0）.当
m ＞0时，2 p ＝ m ，所以 p ＝ ，抛物线的准线方程为 x ＝－ ，依
题意得1－ ＝3，所以 m ＝8，所以抛物线的方程为 y2＝8 x ；
当 m ＜0时，2 p ＝－ m ，所以 p ＝－ ，抛物线的准线方程为 x ＝－
，依题意得 ＝3，所以 m ＝8或 m ＝－16，显然 m ＝8不合
题意，所以 m ＝－16，所以抛物线的方程为 y2＝－16 x .综上，抛物
线的标准方程为 y2＝8 x 或 y2＝－16 x .
y2＝8 x 或 y2＝－
16 x
题型二 抛物线定义的应用
角度1 两种距离的转化
【例3】 （1）设抛物线 C ： y2＝4 x 上一点 P 到 y 轴的距离为4，则点
P 到抛物线 C 的焦点的距离是（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 抛物线 C 的准线方程为 x ＝－1，设抛物线 C 的焦点为 F ，
由抛物线的定义知，｜ PF ｜＝ d （ d 为点 P 到抛物线 C 的准线的距
离），又 d ＝4＋1＝5，所以｜ PF ｜＝5.
（2）若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大
.求点 M 的轨迹方程.
解：由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的
距离大 ，
所以动点 M 到 F 的距离与它到直线 l ： x ＝－ 的距
离相等.
由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的
抛物线（不包含原点），
其方程应为 y2＝2 px （ p ＞0）的形式，
而 ＝ ，所以 p ＝1，2 p ＝2，
故点 M 的轨迹方程为 y2＝2 x （ x ≠0）.
（变设问）若本例（2）中点 M 所在轨迹上一点 N 到点 F 的距
离为2，求点 N 的坐标.
解：设点 N 的坐标为（ x0， y0），则｜ NF ｜＝2.又点 M 的轨迹
方程为 y2＝2 x （ x ≠0），所以由抛物线的定义得 x0＋ ＝2，解
得 x0＝ .因为 ＝2 x0，所以 y0＝± ，故点 N 的坐标为
或 .
【母题探究】
通性通法
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准
线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点、点距离与点、线距离的
相互转化，从而简化某些问题.
角度2 最值问题
【例4】 已知点 P 是抛物线 y2＝2 x 上的一个动点，求点 P 到点（0，
2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点
的距离.由图可知，
当点 P ，点（0，2）和抛物线的焦点 F 三点共线时距离之和最
小，
所以最小距离 d ＝ ＝ .
1. （变条件）若将本例中的点（0，2）改为点 A （3，2），求｜ PA ｜
＋｜ PF ｜的最小值.
【母题探究】
解：将 x ＝3代入 y2＝2 x ，得 y ＝± .
所以点 A 在抛物线内部.
设点 P 为其上一点，点 P 到准线 x ＝－ 的距离为 d ，
则｜ PA ｜＋｜ PF ｜＝｜ PA ｜＋ d .
由图可知，当 PA ⊥ l 时，｜ PA ｜＋ d 最小，最小值是 .
即｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值是 .
2. （变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线 l1：3 x －4 y ＋ ＝0，
求点 P 到直线3 x －4 y ＋ ＝0的距离与点 P 到该抛物线的准线的距离
之和的最小值.
解：如图，作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q ，
｜ PA1｜＋｜ PQ ｜＝｜ PA1｜＋｜ PF ｜
≥ .
｜ A1 F ｜的最小值为点 F 到直线3 x －4 y ＋ ＝0的距离， d ＝
＝1.即所求最小值为1.
通性通法
利用抛物线定义研究最值的一般思路
（1）若点 M 在抛物线的内部，过点 M 作准线的垂线，该垂线与抛物
线的交点到抛物线焦点 F 和到已知点 M 的距离最小；
（2）若点 M 在抛物线的外部，连接 MF ，则 MF 与抛物线的交点 P 可
使｜ PF ｜＋｜ PM ｜的值最小.
1. 设点 A 的坐标为（1， ），点 P 在抛物线 y2＝8 x 上移动， P 到直
线 x ＝－1的距离为 d ，则 d ＋｜ PA ｜的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： 由题意知抛物线 y2＝8 x 的焦点为 F （2，0），点 P 到准
线 x ＝－2的距离为 d ＋1，于是｜ PF ｜＝ d ＋1，所以 d ＋｜ PA ｜
＝｜ PF ｜－1＋｜ PA ｜的最小值为｜ AF ｜－1＝4－1＝3.
【跟踪训练】
2. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F1，若点 A （2，－4）在抛
物线上，则点 A 到焦点的距离为 .
解析：把点（2，－4）代入抛物线 y2＝2 px ，得16＝4 p ，即 p ＝4，
从而抛物线的焦点为（2，0）.故点 A 到焦点的距离为4.
4
1. 若抛物线 y2＝8 x 上一点 P 到其焦点的距离为10，则点 P 的坐标为
（ ）
A. （8，8） B. （8，－8）
C. （8，±8） D. （－8，±8）
2. 已知抛物线 y ＝2 px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为
（ ）
A. （1，0）
D. （0，1）
解析： 由抛物线 y ＝2 px2过点（1，4），可得 p ＝2，∴抛物线
的标准方程为 x2＝ y ，则焦点坐标为 ，故选C.
3. 准线为 y ＝－ 的抛物线的标准方程是（ ）
A. x2＝3 y
C. x ＝3 y2
解析： 准线为 y ＝－ 的抛物线的标准方程是 x2＝3 y ，故选A.
4. 一动圆过点（0，1）且与定直线 l 相切，圆心在抛物线 x2＝4 y 上，
则 l 的方程为（ ）
A. x ＝1
C. y ＝－1
解析： 因为动圆过点（0，1）且与定直线 l 相切，所以动圆圆心
到点（0，1）的距离与它到定直线 l 的距离相等，又因为动圆圆心
在抛物线 x2＝4 y 上，且（0，1）为抛物线的焦点，所以 l 为抛物线
的准线，所以 l ： y ＝－1.
5. 若抛物线 y2＝－2 px （ p ＞0）上有一点 M ，其横坐标为－9，它到
焦点的距离为10，则点 M 的坐标为 .
解析：由抛物线方程 y2＝－2 px （ p ＞0），得其焦点坐标为 F
，准线方程为 x ＝ .设点 M 到准线的距离为 d ，则 d ＝｜
MF ｜＝10，即 －（－9）＝10，得 p ＝2，故抛物线方程为 y2＝－
4 x .由点 M （－9， y ）在抛物线上，得 y ＝±6，故点 M 的坐标为
（－9，6）或（－9，－6）.
（－9，6）或（－9，－6）
定义：平面内到定点 F 和到定直线 l （定点 F 不在定直线 l 上）的
距离之比为常数 e （ e ＞0）的动点的轨迹是圆锥曲线.当0＜ e ＜1时
为椭圆；当 e ＞1时为双曲线，当 e ＝1时为抛物线.
定点 F 叫作焦点，定直线 l 叫作焦点 F 对应的准线.定义表达式为
＝ e .
圆锥曲线的统一定义
（1）对于椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），其准线方程为 x ＝± ，
如图①所示；
（2）对于双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），其准线方程为 x ＝
± ，如图②所示；
（3）对于抛物线 y2＝2 px （ p ＞0），其准线方程为 x ＝－ ，如图
③所示.
【例】 已知点 A （3，1），双曲线 x2－ ＝1， F 为双曲线
的右焦点， P 是双曲线右支上的动点，求2｜ PA ｜＋｜ PF ｜
的最小值，并求此时点 P 的坐标.
解：由已知得双曲线的离心率 e ＝ ＝2，
双曲线右准线方程为 x ＝ ＝ ，
那么点 P 到右准线的距离 d ＝ ｜ PF ｜，
从而2｜ PA ｜＋｜ PF ｜
＝2（｜ PA ｜＋ ｜ PF ｜）
＝2（｜ PA ｜＋ d ）.
｜ PA ｜＋ d 的最小值为点 A 到右准线的距离，即3－ ＝ ，
因而2｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值为5，
将 y ＝1代入双曲线方程，得此时点 P 坐标为（ ，1）.
方法总结
对双曲线第二定义的理解
（1）双曲线上的点到焦点的距离大于到相应准线的距离；
（2）运用双曲线的第二定义，要求点到焦点距离与到相应准线距离
之比为离心率 e ；
（3）焦点到相应准线的距离叫作焦准距.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 抛物线 y ＝－ x2的准线方程为（ ）
B. x ＝1
C. y ＝1 D. y ＝2
解析： 抛物线的标准方程为 x2＝－4 y ，则准线方程为 y ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的准线经过点（－1，1），则该抛物
线焦点坐标为（ ）
A. （－1，0） B. （1，0）
C. （0，－1） D. （0，1）
解析： 抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的准线方程为 x ＝－ ，由题设
知－ ＝－1，即 p ＝2，故焦点坐标为 .故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点到直线 y ＝ x ＋1的距离为 ，则 p
＝（ ）
A. 1 B. 2
D. 4
解析： 抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点坐标为 ，它到直
线 y ＝ x ＋1的距离为 d ＝ ＝ ，解得 p ＝2或 p ＝－6（舍
去），故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ， P 是抛物线上异于 O 的
一点，过 P 作 PQ ⊥ l 于 Q . 则线段 FQ 的垂直平分线（ ）
A. 经过点 O B. 经过点 P
C. 平行于直线 OP D. 垂直于直线 OP
解析： 连接 PF ，由题意及抛物线的定义可知｜ PQ ｜＝｜
FP ｜，则△ QPF 为等腰三角形，故线段 FQ 的垂直平分线经过点 P .
故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）对抛物线 x2＝4 y ，下列描述不正确的是（ ）
A. 开口向上，焦点为（0，1）
C. 开口向右，焦点为（1，0）
解析： 因为抛物线的标准方程为 x2＝4 y ，所以2 p ＝4， p ＝
2，开口向上，因此抛物线的焦点为（0，1），准线为 y ＝－1.故A
正确，B、C、D都错，故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ： y2＝2 px （ p
＞0）的焦点为 F ，准线为 l ，设 l 与 x 轴的交点为 K ， P 为 C 上异于
O 的任意一点， P 在 l 上的射影为 E ，∠ EPF 的外角平分线交 x 轴于
点 Q ，过 Q 作 QM ⊥ PF 于点 M ，过 Q 作 QN ⊥ PE 交线段 EP 的延长
线于点 N ，则（ ）
A. ｜ PE ｜＝｜ PF ｜ B. ｜ PF ｜＝｜ QF ｜
C. ｜ PN ｜＝｜ MF ｜ D. ｜ PN ｜＝｜ KF ｜
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 由抛物线的定义知A正确；∵∠ FQP ＝∠ QPN ＝∠
QPF ，∴｜ PF ｜＝｜ QF ｜，∴B正确；由题意知四边形 QKEN 为
矩形，∴｜ PN ｜＝｜ NE ｜－｜ PE ｜＝｜ QK ｜－｜ FQ ｜＝｜
KF ｜，∴D正确；显然当 PF ⊥ x 轴时， F ， M 重合，｜ PN ｜≠｜
MF ｜，∴C错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知双曲线 － y2＝1的右焦点恰好是抛物线 y2＝8 x 的焦点，则 m
＝ .
解析：由题意得 m ＋1＝22，解得 m ＝3.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 在抛物线 y2＝－12 x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是
.
解析：由方程 y2＝－12 x ，知焦点 F （－3，0），准线 l ： x ＝3.设
所求点为 P （ x ， y ），则由定义知｜ PF ｜＝3－ x .又｜ PF ｜＝9，
所以3－ x ＝9， x ＝－6，代入 y2＝－12 x ，得 y ＝±6 .所以所求点
的坐标为（－6，6 ）或（－6，－6 ）.
（－6，
6 ）或（－6，－6 ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 已知抛物线 C ：4 x ＋ ay2＝0恰好经过圆 M ：（ x －1）2＋（ y －2）2
＝1的圆心，则抛物线 C 的焦点坐标为 ，准线方程为
.
解析：圆 M 的圆心为（1，2），代入4 x ＋ ay2＝0得 a ＝－1，将抛
物线 C 的方程化为标准方程得 y2＝4 x ，故焦点坐标为（1，0），准
线方程为 x ＝－1.
（1，0）
x ＝
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点到准线的距离是5；
解：由题意知 p ＝5，则2 p ＝10.因为没有说明焦点所在
坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标
准方程可为 y2＝10 x ， y2＝－10 x ， x2＝10 y ， x2＝－10 y .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）焦点 F 在 y 轴上，点 A （ m ，－2）在抛物线上，且｜
AF ｜＝3.
解：由题意可设抛物线的标准方程为 x2＝－2 py （ p ＞
0）.由｜ AF ｜＝3，得 ＋2＝3，所以 p ＝2.所以抛物线的标
准方程为 x2＝－4 y .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 若点 A 的坐标为（3，2）， F 是抛物线 y2＝2 x 的焦点，点 M 在抛物
线上移动时，使｜ MF ｜＋｜ MA ｜取得最小值的 M 的坐标为
（ ）
A. （0，0）
D. （2，2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 点 A 的坐标为（3，2），所以点 A 在抛物线内.过点 M 作
准线的垂线，垂足为 N （图略），则｜ MF ｜＋｜ MA ｜＝｜
MN ｜＋｜ MA ｜，当 A ， M ， N 三点共线时，｜ MF ｜＋｜ MA ｜
取得最小值，此时 M （2，2）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 已知 M 是抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）上一点， F 是抛物线 C 的焦
点，过 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N ，若∠ MFO ＝120°
（ O 为坐标原点），△ MNF 的周长为12，则｜ NF ｜＝（ ）
A. 4
D. 5
解析： 因为∠ MFO ＝120°，所以∠ FMN ＝60°.又 M 是抛物
线 C 上一点，所以｜ FM ｜＝｜ MN ｜，则△ FMN 是等边三角形.又
△ FMN 的周长为12，所以｜ NF ｜＝ ＝4，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）设抛物线 y2＝4 x ， F 为其焦点， P 为抛物线上一点，则下
列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程是 x ＝－1
B. 当 PF ⊥ x 轴时，｜ PF ｜取最小值
D. 以线段 PF 为直径的圆与 y 轴相切
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 对于A，抛物线的准线方程为 x ＝－ ＝－1，故A正
确；对于B，设 P （ x0， y0），则 x0≥0， ＝4 x0， F （1，0），
则｜ PF ｜＝ ＝ x0＋1≥1，当 x0＝0时取得最小
值，此时 P （0，0）在原点，故B错误；对于C，
A 在抛物线外部，故当 P ， A ， F 三点共线时
｜ PA ｜＋｜ PF ｜取得最小值，为｜ AF ｜＝ ＝ ，故C正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于D，过点 P 作准线的垂线，垂足为 Q ，设 P （ m ， n ），线段
PF 的中点为 B （ x1， y1），可得 x1＝ （1＋ m ），由抛物线的定
义，得｜ PF ｜＝｜ PQ ｜＝ m ＋1，∴ x1＝
｜ PF ｜，即点 B 到 y 轴的距离等于以 PF
为直径的圆的半径，因此，以 PF 为直径的
圆与 y 轴相切，故D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦
点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为
（2，1）.
其中满足抛物线方程为 y2＝10 x 的是 （要求填写适合条件的
序号）.
②④
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：抛物线 y2＝10 x 的焦点在 x 轴上，②满足，①不满足；设 M
（1， y0）是 y2＝10 x 上一点，则｜ MF ｜＝1＋ ＝1＋ ＝ ≠6，所
以③不满足；由于抛物线 y2＝10 x 的焦点为 ，设过该焦点
的直线方程为 y ＝ k ，若由原点向该直线作垂线，垂足为
（2，1）时，则 k ＝－2，此时存在，所以④满足.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，设 A ， B
是抛物线 C 上的两个动点（ AB 不垂直于 x 轴），且｜ AF ｜＋｜
BF ｜＝8，线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q （6，0），求抛物
线的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ＞0），
则其准线为 x ＝－ .
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
因为｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝8，
所以 x1＋ ＋ x2＋ ＝8，
即 x1＋ x2＝8－ p .
因为 Q （6，0）在线段 AB 的垂直平分线上，所以｜ QA ｜＝｜
QB ｜，即 ＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又 ＝2 px1， ＝2 px2，
所以（ x1－ x2）（ x1＋ x2－12＋2 p ）＝0，
因为 AB 与 x 轴不垂直，所以 x1≠ x2.
故 x1＋ x2－12＋2 p ＝8－ p －12＋2 p ＝0，即 p ＝4.
从而抛物线的方程为 y2＝8 x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知抛物线 y2＝4 ax （ a ＞0）的焦点为 A ，以 B （ a ＋4，0）为圆
心，｜ BA ｜为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不
同两点 M ， N ，点 P 为线段 MN 的中点.
（1）求｜ AM ｜＋｜ AN ｜的值；
解：设 M （ xM ， yM ）， N （ xN ， yN ），由抛物线的定义，得｜ AM ｜＋｜ AN ｜＝ xM ＋ xN ＋2 a .又圆的方程为[ x －（ a ＋4）]2＋ y2＝16，将 y2＝4 ax 代入，得 x2－2（4－ a ） x ＋ a2＋8 a ＝0，∴ xM ＋ xN ＝2（4－ a ），∴｜ AM ｜＋｜ AN ｜＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）是否存在这样的 a ，使2｜ AP ｜＝｜ AM ｜＋｜ AN ｜？若存
在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.
解：不存在.假设存在这样的 a ，使得2｜ AP ｜＝｜
AM ｜＋｜ AN ｜.过点 P 作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'.
∵｜ AM ｜＋｜ AN ｜＝2｜PP'｜，∴｜ AP ｜＝｜PP'｜.由抛
物线的定义知点 P 必在抛物线上，这与点 P 是线段 MN 的中
点矛盾，∴这样的 a 不存在.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
