3.2 抛物线的简单几何性质
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（－4，－2）的抛物线的标准方程为（ ）
A.y2＝－x
B.x2＝－8y
C.y2＝－8x或x2＝－y
D.y2＝－x或x2＝－8y
2.在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为（ ）
3.若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ）
A.p＜1 B.p＞1
C.p＜2 D.p＞2
4.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）.已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（ ）
A. m B. m
C. m D. m
5.（多选）下列关于抛物线y＝4x2的叙述正确的是（ ）
A.抛物线开口向上
B.抛物线关于x轴对称
C.顶点在原点，焦点为（1，0）
D.准线方程为y＝－
6.（多选）已知点A（－2，4）在抛物线y2＝－2px（p＞0）上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A.抛物线的准线方程为x＝2
B.抛物线的焦点坐标为（－2，0）
C.点B的坐标为（－2，－2）
D.△OAB的面积为8
7.直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于 .
8.抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 .
9.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若｜PF｜＝4，则△POF的面积为 .
10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且｜AM｜＝，｜AF｜＝3，求此抛物线的标准方程.
11.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（ ）
A.8p2 B.4p2
C.2p2 D.p2
12.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A（－1，0），点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，｜PF｜＝（ ）
A.1 B.2
C.2 D.4
13.（多选）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点.若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（ ）
A.△ABF是等边三角形
B.｜BF｜＝3
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2＝6x
14.已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为 ，此时点P的坐标为 .
15.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l交C于A，B两点（异于坐标原点O）.
（1）若点M的坐标为（3，2），点P为抛物线C上一动点，线段MF与抛物线C无交点，且｜PM｜＋｜PF｜的最小值为5，求抛物线C的标准方程；
（2）当直线l过（2p，0）时，证明：·＝0.
16.如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
（2）问变电房M建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
3.2 抛物线的简单几何性质
1.D 若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax（a≠0），将点P（－4，－2）的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x.若焦点在y轴上，设方程为x2＝by（b≠0），将点P（－4，－2）的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.
2.D 将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D.
3.D 设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x＝－的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值.∴＞1，即p＞2.故选D.
4.A 如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），点A在抛物线上，所以＝2p，则＝，所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为 m.故选A.
5.AD 由抛物线方程y＝4x2得其标准方程x2＝y，其中p＝，焦点F（0，），准线方程为y＝－，抛物线开口向上，关于y轴对称.
6.ABD 将A（－2，4）代入抛物线方程可得p＝4，因此抛物线方程为y2＝－8x，所以准线方程为x＝2，焦点坐标为（－2，0），故A、B正确；易知AF⊥x轴，所以B（－2，－4），故C错误；又因为｜AB｜＝8，所以S△OAB＝×8×2＝8，故D正确.故选A、B、D.
7. 解析：如图，直线4kx－4y－k＝0过定点，抛物线y2＝x的焦点F（，0），设弦AB的中点为M，分别过点A，M，B作准线x＝－的垂线，垂足分别为点P，Q，R，则｜MQ｜＝（｜AP｜＋｜BR｜）＝｜AB｜＝2，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.
8. 解析：设抛物线上点的坐标为（x，±），此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.
9.2 解析：由y2＝4x知：焦点F（，0），准线x＝－.设P点坐标为（x0，y0），则x0＋＝4，∴x0＝3，∴＝4×3＝24，∴｜y0｜＝2，∴S△POF＝××2＝2.
10.解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），
设A（x0，y0），由题意知M，
∵｜AF｜＝3，∴y0＋＝3，
∵｜AM｜＝，∴＋＝17，
∴＝8，代入方程＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
11.B 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.所以直线OA的方程为y＝x.由方程组得或不妨设A，B两点的坐标分别为（2p，2p）和（2p，－2p）.所以｜AB｜＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
12.B 由题意知，抛物线的准线方程为x＝－1，如图，过点P作PQ垂直准线于点Q，由抛物线的定义知｜PQ｜＝｜PF｜，∴＝＝sin∠PAQ.由正弦函数的性质知，要使最小，则∠PAQ最小，即∠PAF最大，即直线PA斜率的绝对值最大，即直线PA与抛物线相切.设PA所在的直线方程为y＝k（x＋1），联立整理得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0，则Δ＝（2k2－4）2－4k4＝0，解得k＝±1，即x2－2x＋1＝0，解得x＝1，代入y2＝4x得y＝±2.∴P（1，2）或P（1，－2）.利用焦半径公式得｜PF｜＝2.
13.ACD ∵以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得｜AB｜＝｜AF｜＝｜BF｜，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为｜BF｜2＝9，∴｜BF｜＝6.又点F到准线的距离为｜BF｜sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
14. 解析：设点P（x0，y0）是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为.
15.解：（1）设d为点P到x＝－的距离，则由抛物线定义知，｜PF｜＝d，
所以当点P为过点M且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，｜PM｜＋｜PF｜取得最小值，
即3＋＝5，解得p＝4，
所以抛物线C的标准方程为y2＝8x.
（2）证明：由题可设直线l的方程为：x＝my＋2p，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y2－2pmy－4p2＝0，
由根与系数的关系可得：y1y2＝－4p2，
所以·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－4p2＝0，
所以当直线l过定点（2p，0）时，·＝0.
16.解：（1）如图，以经过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）.
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线.
设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
（2）要使架设电路所用电线长度最短，即使｜MA｜＋｜MB｜的值最小.
如图，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜，
所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M（2，）.
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
3 / 33.2 抛物线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用 数学运算
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
【问题】 上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？
知识点 抛物线的简单几何性质
类型 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0）
图形
性 质 焦点
准线
范围
对称轴
顶点
性 质 离心率
开口方向
【想一想】
在同一平面直角坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴.（ ）
（2）抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.（ ）
（3）抛物线是中心对称图形.（ ）
（4）过定点P（0，1）作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线，共可作3条.（ ）
2.设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ）
A.（6，＋∞） B.[6，＋∞）
C.（3，＋∞） D.[3，＋∞）
3.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，｜AF｜＝2，则｜BF｜＝ .
题型一 由性质求抛物线的标准方程
【例1】 （1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
尝试解答
通性通法
由抛物线的几何性质求标准方程的方法
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准距，从而得到抛物线的标准方程.
【跟踪训练】
1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（ ）
A.y2＝x B.y2＝－x
C.y2＝±x D.y2＝±x
2.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为 .
题型二 由抛物线的方程研究其几何性质
【例2】 已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积为 .
尝试解答
通性通法
确定抛物线的简单几何性质的三个要点
（1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负；
（2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴；
（3）定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p（p＞0）.
【跟踪训练】
抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝ .
题型三 抛物线的实际应用问题
【例3】 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
尝试解答
通性通法
求抛物线实际应用问题的五个步骤
【跟踪训练】
如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽 m.
1.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为（ ）
A.4 B.－4
C. D.－
2.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝（ ）
A.5 B.6
C.8 D.10
3.（多选）以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
4.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px（p＞0）反射后，与x轴相交于点A（2，0），则该抛物线的焦点到准线的距离为 .
5.抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若｜AB｜＝4，则焦点F到直线AB的距离为 .
活用抛物线的焦点弦
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则
（1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2；
（2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△OAB＝（α是直线AB的倾斜角）；
（3）＋＝为定值（F是抛物线的焦点）.
一、活用x1·x2＝，y1·y2＝－p2
【例1】 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（ ）
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
尝试解答
方法总结
该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特征的概念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象、数学运算的核心素养.
二、活用｜AB｜＝x1＋x2＋p＝
【例2】 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
尝试解答
方法总结
利用｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）可较为迅速的求解焦点弦的长度问题.
三、活用＋＝为定值
【例3】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（ ）
A.4 B.
C.5 D.6
尝试解答
方法总结
该题将求弦长问题，通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题，体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
3.2 抛物线的简单几何性质
【基础知识·重落实】
知识点
F F F F x＝－ x＝ y＝－ y＝ x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 x轴 y轴 O（0，0） e＝1 向右 向左 向上 向下
想一想
提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.B ∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴＝6，即p＝12.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[6，＋∞）.
3.2 解析：F（1，0），由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴｜BF｜＝｜AF｜＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M（m，－3）位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下.
法一 设所求抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）.
因为M（m，－3）在抛物线上且｜MF｜＝5，
故
解得
故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
法二 如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－），
准线l：y＝，过点M作MN⊥l，垂足为N，则｜MN｜＝｜MF｜＝5，而｜MN｜＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4.又点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2.
故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
（2）由题意，可设抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），则焦点为F（，0），直线l：x＝，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为（，p），（，－p），所以｜AB｜＝2｜p｜.
因为△OAB的面积为4，
所以··2｜p｜＝4，所以p＝±2.
故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.
跟踪训练
1.C 设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.又A（取点A在x轴上方），则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
2.y2＝3x或y2＝－3x 解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点（1，）或（－1，），设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px（p＞0），则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
【例2】 3 解析：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关于抛物线的对称轴（x轴）对称，不妨设A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则B（x0，－y0）.由｜AF｜＝x0＋＝，解得x0＝3，∴y0＝，∴△AOB的边长｜AB｜＝2y0＝2，∴△AOB的面积为×（2）2×＝3.
跟踪训练
6 解析：如图，在等边△ABF中，DF＝p，BD＝p，则B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.
【例3】 解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A（10，－2）.
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py（p＞0），
则102＝－2p×（－2），
所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，
即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B（8，－1.28），此时B点距水面6＋（－1.28）＝4.72（米）.
而船体高为5米，所以无法通行.
又因为5－4.72＝0.28（米），0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050（吨），
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔.
跟踪训练
2 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），则点（2，－2）在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 m.
随堂检测
1.D 由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，所以准线方程y＝－＝1，解得a＝－.
2.C 抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8.
3.CD 设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py（p＞0），依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得｜x｜＝p，∴2｜x｜＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
4.4 解析：依题意，A（2，0）为该抛物线的焦点，则＝2，得p＝4.∴该抛物线的焦点到准线的距离为4.
5.2 解析：由抛物线的方程可知F（1，0），由｜AB｜＝4且AB⊥x轴得＝（2）2＝12，∴xA＝＝3，∴所求距离为3－1＝2.
拓视野 活用抛物线的焦点弦
【例1】 C 设A（x1，y1），B（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x，故选C.
【例2】 解：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则直线方程为y＝－x＋.
设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则｜AB｜＝，∴＝8，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，抛物线方程为y2＝±4x.
【例3】 B 因为｜AF｜＝2｜BF｜，＋＝＋＝＝＝1，解得｜BF｜＝，｜AF｜＝3，故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝.
5 / 5(共79张PPT)
3.2 抛物线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思
想，了解抛物线的简单应用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
【问题】 上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？
知识点 抛物线的简单几何性质
类型 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py
（ p ＞0）
图形
类型 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py
（ p ＞0）
性 质 焦点
准线
范围
对称轴 顶点 F
F
F
F
x ＝－
x ＝
y ＝－
y ＝
x ≥0， y
∈R
x ≤0， y
∈R
x ∈R， y
≥0
x ∈R， y
≤0
x 轴
y 轴
O （0，0）
类型 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py
（ p ＞0）
性 质 离心 率 开口 方向
e ＝1
向右
向左
向上
向下
【想一想】
在同一平面直角坐标系下试画出抛物线 y2＝ x ， y2＝2 x 和 y2＝3 x 的
图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？
提示：影响抛物线开口大小的量是参数 p ， p 值越大，抛物线的开口
越大，反之，开口越小.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）有一条对称轴为 y 轴. （ √ ）
（2）抛物线 y ＝－ x2的准线方程是 x ＝ . （ × ）
（3）抛物线是中心对称图形. （ × ）
（4）过定点 P （0，1）作与抛物线 y2＝2 x 只有一个公共点的直
线，共可作3条. （ √ ）
√
×
×
√
2. 设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离
的取值范围是（ ）
A. （6，＋∞） B. [6，＋∞）
C. （3，＋∞） D. [3，＋∞）
解析： ∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴ ＝6，即 p ＝12.又
抛物线上的点到准线距离的最小值为 ，∴抛物线上的点到准线距
离的取值范围为[6，＋∞）.
3. 已知过抛物线 y2＝4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A ， B 两点，｜
AF ｜＝2，则｜ BF ｜＝ .
解析： F （1，0），由抛物线定义得 A 点横坐标为1.∴ AF ⊥ x 轴，
∴｜ BF ｜＝｜ AF ｜＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由性质求抛物线的标准方程
【例1】 （1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上
一点 M （ m ，－3）到焦点的距离为5，求 m 的值、抛物线方程和准线
方程；
解：因为顶点在原点，焦点在 y 轴上，点 M （ m ，－3）位
于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下.
法一 设所求抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞0），
则焦点为 F （0，－ ）.
因为 M （ m ，－3）在抛物线上且｜ MF ｜＝5，
故解得
故 m ＝±2 ，抛物线方程为 x2＝－8 y ，准线方程为 y ＝2.
法二 如图所示，设抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞
0），则焦点为 F （0，－ ），
准线 l ： y ＝ ，过点 M 作 MN ⊥ l ，垂足为 N ，则｜ MN ｜＝｜ MF ｜
＝5，而｜ MN ｜＝3＋ ，所以3＋ ＝5，解得 p ＝4.又点 M 在抛物线
上，所以 m2＝24，解得 m ＝±2 .
故 m ＝±2 ，抛物线方程为 x2＝－8 y ，准线方程为 y ＝2.
（2）已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛
物线交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若△ OAB 的面积等于4，
求此抛物线的标准方程.
解：由题意，可设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ≠0），则焦点为 F
（ ，0），直线 l ： x ＝ ，所以直线 l 与抛物线的交点的坐标分别为
（ ， p ），（ ，－ p ），所以｜ AB ｜＝2｜ p ｜.
因为△ OAB 的面积为4，
所以 · ·2｜ p ｜＝4，所以 p ＝±2 .
故所求抛物线的标准方程为 y2＝4 x 或 y2＝－4 x .
通性通法
由抛物线的几何性质求标准方程的方法
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未
知数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦
准距，从而得到抛物线的标准方程.
1. 边长为1的等边三角形 AOB ， O 为坐标原点， AB ⊥ x 轴，以 O 为顶
点且过 A ， B 的抛物线方程是（ ）
【跟踪训练】
解析： 设抛物线方程为 y2＝ ax （ a ≠0）.又 A （取点 A
在 x 轴上方），则有 ＝± a ，解得 a ＝± ，所以抛物线方程为
y2＝± x .故选C.
2. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴且与圆 x2＋ y2＝4相交
的公共弦长等于2 ，则抛物线的方程为 .
解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为± ，交点
横坐标为±1，则抛物线过点（1， ）或（－1， ），设抛物
线方程为 y2＝2 px 或 y2＝－2 px （ p ＞0），则2 p ＝3，从而抛物线方
程为 y2＝3 x 或 y2＝－3 x .
y2＝3 x 或 y2＝－3 x
题型二 由抛物线的方程研究其几何性质
【例2】 已知等边三角形 AOB 的顶点 A ， B 在抛物线 y2＝ x 上， O 为
坐标原点，顶点 A 到抛物线的焦点 F 的距离等于 ，则△ AOB 的面积
为 .
3
解析：∵△ AOB 是等边三角形， A ， B 在抛物线 y2＝ x 上，∴顶点 A ，
B 关于抛物线的对称轴（ x 轴）对称，不妨设 A （ x0， y0）（ x0＞0，
y0＞0），则 B （ x0，－ y0）.由｜ AF ｜＝ x0＋ ＝ ，解得 x0＝3，
∴ y0＝ ，∴△ AOB 的边长｜ AB ｜＝2 y0＝2 ，∴△ AOB 的面积为
×（2 ）2× ＝3 .
通性通法
确定抛物线的简单几何性质的三个要点
（1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次
项是 x 还是 y ，一次项的系数是正还是负；
（2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂
直于对称轴；
（3）定值：焦点到准线的距离为 p ，过焦点垂直于对称轴的弦（又称
为通径）长为2 p （ p ＞0）.
【跟踪训练】
抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）的焦点为 F ，其准线与双曲线 －
＝1相交于 A ， B 两点，若△ ABF 为等边三角形，则 p ＝ .
解析：如图，在等边△ ABF 中， DF ＝ p ， BD ＝
p ，则 B 点坐标为 .又点 B 在双曲线
上，故 － ＝1.解得 p ＝6.
6
题型三 抛物线的实际应用问题
【例3】 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物
线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲
过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5
米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装
150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度， 问：该
货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为 x 轴，竖直直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以 A （10，－2）.
设桥孔上部抛物线方程是 x2＝－2 py （ p ＞0），
则102＝－2 p ×（－2），
所以 p ＝25，
所以抛物线方程为 x2＝－50 y ，
即 y ＝－ x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当 x ＝8时，
y ＝－ ×82＝－1.28，
即船体在 x ＝±8之间通过点 B （8，－1.28），此
时 B 点距水面6＋（－1.28）＝4.72（米）.
而船体高为5米，所以无法通行.
又因为5－4.72＝0.28（米），0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050（吨），
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050
吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现
有状况下不能通过桥孔.
通性通法
求抛物线实际应用问题的五个步骤
如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.
水位下降1 m后，水面宽 m.
2
【跟踪训练】
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的
方程为 x2＝－2 py （ p ＞0），则点（2，－2）在抛物
线上，代入可得 p ＝1，所以 x2＝－2 y .当 y ＝－3时，
x2＝6，所以水面宽为2 m.
1. 抛物线 y ＝ ax2的准线方程是 y ＝1，则 a 的值为（ ）
A. 4 B. －4
解析： 由题意知抛物线的标准方程为 x2＝ y ，所以准线方程 y
＝－ ＝1，解得 a ＝－ .
2. 过抛物线 x2＝4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P1（ x1， y1）， P2
（ x2， y2）两点，若 y1＋ y2＝6，则｜ P1 P2｜＝（ ）
A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
解析： 抛物线 x2＝4 y 的准线为 y ＝－1，因为 P1（ x1， y1）， P2
（ x2， y2）两点是过抛物线焦点的直线 l 与抛物线的交点，所以 P1
（ x1， y1）， P2（ x2， y2）两点到准线的距离分别是 y1＋1， y2＋
1，所以｜ P1 P2｜＝ y1＋ y2＋2＝8.
3. （多选）以 y 轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直
的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A. y2＝8 x B. y2＝－8 x
C. x2＝8 y D. x2＝－8 y
解析： 设抛物线方程为 x2＝2 py （ p ＞0）或 x2＝－2 py （ p ＞
0），依题意得 y ＝ ，代入 x2＝2 py 或 x2＝－2 py 得｜ x ｜＝ p ，
∴2｜ x ｜＝2 p ＝8， p ＝4.∴抛物线方程为 x2＝8 y 或 x2＝－8 y .
4. 根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物
线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线 y ＝－2发出的光线经抛
物线 y2＝2 px （ p ＞0）反射后，与 x 轴相交于点 A （2，0），则该
抛物线的焦点到准线的距离为 .
4
解析：依题意， A （2，0）为该抛物线的焦点，则 ＝2，得 p ＝4.∴该抛物线的焦点到准线的距离为4.
5. 抛物线 y2＝4 x 的弦 AB ⊥ x 轴，若｜ AB ｜＝4 ，则焦点 F 到直线
AB 的距离为 .
解析：由抛物线的方程可知 F （1，0），由｜ AB ｜＝4 且 AB ⊥ x
轴得 ＝（2 ）2＝12，∴ xA ＝ ＝3，∴所求距离为3－1＝2.
2
（2）｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝ ， S△ OAB ＝ （α是直线 AB 的
倾斜角）；
（3） ＋ ＝ 为定值（ F 是抛物线的焦点）.
活用抛物线的焦点弦
设 AB 是过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）焦点 F 的弦，若 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），则
（1） x1· x2＝ ， y1· y2＝－ p2；
一、活用 x1· x2＝ ， y1· y2＝－ p2
【例1】 已知抛物线 C 的顶点是原点 O ，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，
经过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 · ＝－12，则抛
物线 C 的方程为（ ）
A. x2＝8 y B. x2＝4 y
C. y2＝8 x D. y2＝4 x
解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 · ＝ x1 x2＋ y1 y2＝
－ p2＝－ p2＝－12，得 p ＝4（舍负），即抛物线 C 的方程为 y2＝8
x ，故选C.
方法总结
该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组
求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特征的概
念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象、数学运算
的核心素养.
二、活用｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝
【例2】 抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角
为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
解：依题意可设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ＞0），则直线方程为 y
＝－ x ＋ .
设直线交抛物线于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）两点，
则｜ AB ｜＝ ，∴ ＝8，∴ p ＝2，
故所求的抛物线方程为 y2＝4 x .
当抛物线方程设为 y2＝－2 px （ p ＞0）时，同理可求得抛物线方程为
y2＝－4 x .
综上，抛物线方程为 y2＝±4 x .
方法总结
利用｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝ （α是直线 AB 的倾斜角，
α≠0°）可较为迅速的求解焦点弦的长度问题.
三、活用 ＋ ＝ 为定值
【例3】 过抛物线 y2＝4 x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ， B 两
点，若｜ AF ｜＝2｜ BF ｜，则｜ AB ｜＝（ ）
A. 4
C. 5 D. 6
解析： 因为｜ AF ｜＝2｜ BF ｜， ＋ ＝ ＋
＝ ＝ ＝1，解得｜ BF ｜＝ ，｜ AF ｜＝3，故｜
AB ｜＝｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝ .
方法总结
该题将求弦长问题，通过焦半径与 p 之间的关系，转化为焦半径
问题，体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P （－4，－2）的抛物线的
标准方程为（ ）
A. y2＝－ x
B. x2＝－8 y
C. y2＝－8 x 或 x2＝－ y
D. y2＝－ x 或 x2＝－8 y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 若焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2＝ ax （ a ≠0），将点
P （－4，－2）的坐标代入，得 a ＝－1，所以抛物线的标准方程为
y2＝－ x .若焦点在 y 轴上，设方程为 x2＝ by （ b ≠0），将点 P （－
4，－2）的坐标代入，得 b ＝－8，所以抛物线的标准方程为 x2＝－
8 y .故所求抛物线的标准方程是 y2＝－ x 或 x2＝－8 y .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 在同一平面直角坐标系中，方程9 x2＋4 y2＝1与3 x ＋2 y2＝0的曲线
大致为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 将方程9 x2＋4 y2＝1与3 x ＋2 y2＝0转化为 ＋ ＝1与 y2
＝－ x ，所以椭圆的焦点在 y 轴上，抛物线的焦点在 x 轴上，且开
口向左.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 若抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则 p
的取值范围是（ ）
A. p ＜1 B. p ＞1 C. p ＜2 D. p ＞2
解析： 设 P 为抛物线的任意一点，则 P 到焦点的距离等于到准
线： x ＝－ 的距离，显然当 P 为抛物线的顶点时， P 到准线的距离
取得最小值 .∴ ＞1，即 p ＞2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴
截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经
反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）.已知接收
天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天
线中心 O 的距离为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 如图建立平面直角坐标系，设抛物线
的方程为 y2＝2 px （ p ＞0），点 A 在抛物
线上，所以 ＝2 p ，则 ＝ ，所以信号装置与
卫星接收天线中心 O 的距离为 m.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）下列关于抛物线 y ＝4 x2的叙述正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线关于 x 轴对称
C. 顶点在原点，焦点为（1，0）
解析： 由抛物线方程 y ＝4 x2得其标准方程 x2＝ y ，其中 p ＝
，焦点 F （0， ），准线方程为 y ＝－ ，抛物线开口向上，关
于 y 轴对称.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）已知点 A （－2，4）在抛物线 y2＝－2 px （ p ＞0）上，抛
物线的焦点为 F ，延长 AF 与抛物线相交于另一点 B ， O 为坐标原
点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为 x ＝2
B. 抛物线的焦点坐标为（－2，0）
C. 点 B 的坐标为（－2，－2）
D. △ OAB 的面积为8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 将 A （－2，4）代入抛物线方程可得 p ＝4，因此抛物
线方程为 y2＝－8 x ，所以准线方程为 x ＝2，焦点坐标为（－2，
0），故A、B正确；易知 AF ⊥ x 轴，所以 B （－2，－4），故C错
误；又因为｜ AB ｜＝8，所以 S△ OAB ＝ ×8×2＝8，故D正确.故选
A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 直线4 kx －4 y － k ＝0与抛物线 y2＝ x 交于 A ， B 两点，若｜ AB ｜＝
4，则弦 AB 的中点到直线 x ＋ ＝0的距离等于 .
解析：如图，直线4 kx －4 y － k ＝0过定点
，抛物线 y2＝ x 的焦点 F （ ，0），
设弦 AB 的中点为 M ，分别过点 A ， M ， B
作准线 x ＝－ 的垂线，垂足分别为点 P ，
Q ， R ，则｜ MQ ｜＝ （｜ AP ｜＋｜
BR ｜）＝ ｜ AB ｜＝2，则弦 AB 的中点到
直线 x ＋ ＝0的距离等于2＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 抛物线 y2＝ x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 .
解析：设抛物线上点的坐标为（ x ，± ），此点到准线的距离为
x ＋ ，到顶点的距离为 ，由题意有 x ＋ ＝
，∴ x ＝ ，∴ y ＝± ，∴此点坐标为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. O 为坐标原点， F 为抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点， P 为抛物线 C 上
一点，若｜ PF ｜＝4 ，则△ POF 的面积为 2 .
解析：由 y2＝4 x 知：焦点 F （ ，0），准线 x ＝－ .设 P 点
坐标为（ x0， y0），则 x0＋ ＝4 ，∴ x0＝3 ，∴ ＝4
×3 ＝24，∴｜ y0｜＝2 ，∴ S△ POF ＝ × ×2 ＝2 .
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 若抛物线的顶点在原点，开口向上， F 为焦点， M 为准线与 y 轴的
交点， A 为抛物线上一点，且｜ AM ｜＝ ，｜ AF ｜＝3，求此
抛物线的标准方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：设所求抛物线的标准方程为 x2＝2 py （ p ＞0），
设 A （ x0， y0），由题意知 M ，
∵｜ AF ｜＝3，∴ y0＋ ＝3，
∵｜ AM ｜＝ ，∴ ＋ ＝17，
∴ ＝8，代入方程 ＝2 py0得，
8＝2 p ，解得 p ＝2或 p ＝4.
∴所求抛物线的标准方程为 x2＝4 y 或 x2＝8 y .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）， O 为抛物
线的顶点， OA ⊥ OB ，则△ AOB 的面积是（ ）
A. 8 p2 B. 4 p2
C. 2 p2 D. p2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接△ AOB 为等腰直角三
角形，所以由抛物线的对称性知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂
直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为45°.所以直线 OA 的方程为 y ＝ x .
由方程组得或不妨设 A ， B 两点的坐
标分别为（2 p ，2 p ）和（2 p ，－2 p ）.所以｜ AB ｜＝4 p ，所以
S△ AOB ＝ ×4 p ×2 p ＝4 p2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 已知抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F ， A （－1，0），点 P 是抛物线上的
动点，则当 的值最小时，｜ PF ｜＝（ ）
A. 1 B. 2
D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 由题意知，抛物线的准线方程为 x ＝
－1，如图，过点 P 作 PQ 垂直准线于点 Q ，由抛
物线的定义知｜ PQ ｜＝｜ PF ｜，
∴ ＝ ＝ sin ∠ PAQ . 由正弦函数的
性质知，要使 最小，则∠ PAQ 最小，即∠ PAF 最大，即直线 PA 斜率的绝对值最大，即直线 PA 与抛物线相切.设 PA 所在的直线方程为 y ＝ k （ x ＋1），联立整理得 k2 x2＋
（2 k2－4） x ＋ k2＝0，则Δ＝（2 k2－4）2－4 k4＝0，解得 k ＝±1，即 x2－2 x ＋1＝0，解得 x ＝1，代入 y2＝4 x 得 y ＝±2.∴ P （1，2）或 P （1，－2）.利用焦半径公式得｜ PF ｜＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）设抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，准线为 l ， A
为 C 上一点，以 F 为圆心，｜ FA ｜为半径的圆交 l 于 B ， D 两点.若
∠ ABD ＝90°，且△ ABF 的面积为9 ，则（ ）
A. △ ABF 是等边三角形
B. ｜ BF ｜＝3
C. 点 F 到准线的距离为3
D. 抛物线 C 的方程为 y2＝6 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： ∵以 F 为圆心，｜ FA ｜为半径的圆交 l 于 B ， D 两
点，∠ ABD ＝90°，由抛物线的定义可得｜ AB ｜＝｜ AF ｜＝｜
BF ｜，∴△ ABF 是等边三角形，∴∠ FBD ＝30°.∵△ ABF 的面积
为 ｜ BF ｜2＝9 ，∴｜ BF ｜＝6.又点 F 到准线的距离为｜
BF ｜ sin 30°＝3＝ p ，则该抛物线的方程为 y2＝6 x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知抛物线 y2＝2 x ，直线 l 的方程为 x － y ＋3＝0，点 P 是抛物线上
的一动点，则点 P 到直线 l 的最短距离为 ，此时点 P 的坐标
为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：设点 P （ x0， y0）是 y2＝2 x 上任意一点，则点 P 到直线 x － y
＋3＝0的距离 d ＝ ＝ ＝ ，当
y0＝1时， dmin＝ ＝ ，此时 x0＝ ，所以点 P 的坐标为
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，直线 l 交 C 于 A ， B
两点（异于坐标原点 O ）.
（1）若点 M 的坐标为（3，2），点 P 为抛物线 C 上一动点，线段
MF 与抛物线 C 无交点，且｜ PM ｜＋｜ PF ｜的最小值为5，
求抛物线 C 的标准方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解： 设 d 为点 P 到 x ＝－ 的距离，则由抛物线定义
知，｜ PF ｜＝ d ，
所以当点 P 为过点 M 且垂直于准线的直线与抛物线的交点
时，｜ PM ｜＋｜ PF ｜取得最小值，
即3＋ ＝5，解得 p ＝4，
所以抛物线 C 的标准方程为 y2＝8 x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）当直线 l 过（2 p ，0）时，证明： · ＝0.
解： 证明：由题可设直线 l 的方程为： x ＝ my ＋2
p ， A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
由得 y2－2 pmy －4 p2＝0，
由根与系数的关系可得： y1 y2＝－4 p2，
所以 · ＝ x1 x2＋ y1 y2＝ ＋ y1 y2＝ －4
p2＝0，
所以当直线 l 过定点（2 p ，0）时， · ＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图， A 地在 B 地东偏北45°方向，相距2 km处， B 地与东西走
向的高铁线（近似看成直线） l 相距4 km.已知曲线形公路 PQ 上任
意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距离，现要在公路旁建造一
个变电房 M （变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向 A
地、 B 地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形
公路 PQ 所在曲线的方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：如图，以经过点 B 且垂直于 l （垂足为 K ）的直线为 y 轴，线段 BK 的中点 O 为原点，建立直角坐标系 xOy ，则 B （0，2）， A （2，4）.
因为曲线形公路 PQ 上任意一点到 B 地
的距离等于到高铁线 l 的距离，所以 PQ
所在的曲线是以 B （0，2）为焦点， l
为准线的抛物线.
设抛物线方程为 x2＝2 py （ p ＞0），则 p ＝4，
故曲线形公路 PQ 所在曲线的方程为 x2＝8 y .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）问变电房 M 建在相对 A 地的什么位置（方位和距离），才能
使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
解：要使架设电路所用电线长度最短，即使｜ MA ｜＋｜ MB ｜的值最小.
如图，过 M 作 MH ⊥ l ，垂足为 H ，
依题意得｜ MB ｜＝｜ MH ｜，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以｜ MA ｜＋｜ MB ｜＝｜ MA ｜＋｜ MH ｜，故当
A ， M ， H 三点共线时，｜ MA ｜＋｜ MH ｜取得最小
值，即｜ MA ｜＋｜ MB ｜取得最小值，此时 M （2， ）.
故变电房 M 建在 A 地正南方向且与 A 地相距 km时，所
用电线长度最短，最短长度为6 km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
