4.1 直线与圆锥曲线的交点
1.已知斜率为－2的直线经过椭圆C：＋＝1的左焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标分别为（ ）
A.（0，－2）， B.（0，2），
C.（0，－2）， D.（0，2），
2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且仅有一个公共点，则斜率k的值是（ ）
A. B.－
C.± D.±
3.已知双曲线方程为x2－＝1，过点P（1，0）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有（ ）
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
4.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A.（－2，2） B.[－2，2）
C.（－2，2] D.[－2，2]
5.（多选）若直线x＝a与双曲线－y2＝1仅有一个交点，则a的值可以是（ ）
A.4 B.2
C.1 D.－2
6.（多选）过抛物线x2＝my（m≠0）的焦点且与y轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，若三角形ABO的面积为2，则m的值可能为（ ）
A.4 B.－4
C.2 D.－2
7.若双曲线C：－y2＝1（a＞0）与直线l：x＋y＝1有两个不同的公共点A，B，则实数a的取值范围为 .
8.已知以F1（－2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为 .
9.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围为 .
10.已知椭圆C的右焦点F（1，0），离心率e＝，直线l过点F（1，0）且倾斜角为135°，求直线l与椭圆的交点坐标.
11.已知p：“｜a｜＝2”，q：“直线y＝ax＋1－a与抛物线y＝x2相切”，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2＋股2＝弦2”.设F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线y＝x交双曲线左、右两支于A，B两点，若｜BF1｜，｜BF2｜恰好是Rt△F1BF2的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ）
A.＋1 B.
C.2 D.
13.（多选）已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.若C与l至少有一个公共点，则m≤2
B.若C与l有且仅有两个公共点，则｜m｜＜2
C.若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个
D.若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个
14.已知直线l过点A，且与抛物线x2＝2py（p＞0）只有一个公共点，则直线l的方程为 .
15.已知直线l：y＝ax＋1，双曲线C：3x2－y2＝1，是否存在a∈R使得直线l与双曲线C有唯一的公共点，若存在求出a的值，若不存在，说明理由.
16.已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4对称的两点A，B，求实数k的取值范围.
4.1 直线与圆锥曲线的交点
1.A 由题意知F1（－1，0），故直线AB的方程为y＝－2（x＋1），由得或
2.C 把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±.
3.B 因为双曲线方程为x2－＝1，则P（1，0）是双曲线的右顶点，所以过P（1，0）并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P（1，0）分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条.
4.A 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
5.BD 由题设，双曲线顶点坐标为（±2，0），要使x＝a与双曲线－y2＝1仅有一个交点，所以a＝±2，故选B、D.
6.AB 由题设，抛物线的焦点为（0，），则A，B坐标为（±，），故｜AB｜＝｜m｜，所以S△ABO＝×｜AB｜×＝2，可得m＝±4，故选A、B.
7.（0，1）∪（1，） 解析：将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1（a＞0）中得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0.依题意∴0＜a＜且a≠1.
8.2 解析：由题意可设椭圆的方程为＋＝1（a＞2），与直线方程x＋y＋4＝0联立，得4（a2－3）y2＋8（a2－4）y＋（16－a2）（a2－4）＝0，由Δ＝0，得a＝，所以椭圆的长轴长为2.
9.[1，5） 解析：∵直线y＝kx＋1过定点M（0，1），∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M（0，1）必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1≤m＜5.
10.解：由题意知c＝1，＝，故a＝，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.
又因为直线l的斜率为k＝tan 135°＝－1且过点F（1，0），
故直线l的方程为y＝－（x－1）＝－x＋1.
由得3x2－4x＝0，所以x1＝0，x2＝.
故或
故直线l与椭圆的交点坐标为（0，1），.
11.B p：a＝±2，联立可得x2－ax＋a－1＝0.因为直线与抛物线相切，所以两者只有一个交点，所以Δ＝a2－4（a－1）＝a2－4a＋4＝0，解得a＝2.所以q：a＝2，所以p是q的必要不充分条件，故选B.
12.A 如图所示，由题意可知，｜OB｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜＝c，∠BOF2＝60°，所以｜BF2｜＝c，｜BF1｜＝c，由双曲线的定义可得，c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.故选A.
13.BCD 联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12（8－m2），A：令Δ＝12（8－m2）≥0，则有｜m｜≤2，错误；B：令Δ＝12（8－m2）＞0，则有｜m｜＜2，正确；C：令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12（8－m2）＝0，即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，正确；D：如图，直线y＝x－分别与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，正确，故选B、C、D.
14.x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p 解析：当直线l斜率不存在时，方程为x＝－p，与抛物线有一个公共点.当直线l斜率存在时，设l：y－p＝k与x2＝2py联立得x2－2pkx－2p2－3kp2＝0，∴Δ＝4p2k2＋4（2p2＋3kp2）＝0，解得k＝－1或k＝－2.∴直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0.综上，直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p.
15.解：假设存在a∈R使得直线l与双曲线有唯一的公共点.
联立 （3－a2）x2－2ax－2＝0. ①
当a2＝3，即a＝±时，方程①仅有一解，直线l与双曲线C交于一点；
当即a＝±时，方程①有两个相等的实数解，直线l与双曲线C相交于一点.
综上所述，存在a＝±或a＝±时，直线l与双曲线C恰有一个公共点.
16.解：当k＝0时，显然不成立.当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－x＋b，代入3x2－y2＝3中，得（3k2－1）x2＋2kbx－（b2＋3）k2＝0.
∴3k2－1≠0，Δ＝（2kb）2－4（3k2－1）·[－（b2＋3）k2]＞0，
即k2b2＋3k2－1＞0， ①
设AB的中点为M（x0，y0），则
∵点M（x0，y0）在直线l上，∴＝＋4，
即k2b＝3k2－1， ②
把②代入①得k2b2＋k2b＞0，解得b＞0或b＜－1.
∴＞0或＜－1，
即｜k｜＞或｜k｜＜，且k≠0.
故k的取值范围是（－∞，－）∪（－，0）∪（0，）∪（，＋∞）.
2 / 24.1 直线与圆锥曲线的交点
新课程标准解读 核心素养
1.会求直线与圆锥曲线的交点坐标 数学运算
2.利用直线与圆锥曲线的方程会判断直线与圆锥曲线的交点个数 直观想象
激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向武器.目前我国的高能激光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题.
【问题】 （1）我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？
（2）用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？
知识点 直线与圆锥曲线的交点
在平面直角坐标系中，
（1）前提：圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系；
（2）结论：直线与圆锥曲线的交点个数与两者对应方程的公共解的个数是 的.
【想一想】
将直线与椭圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，若该方程的判别式①Δ＜0，②Δ＝0，③Δ＞0，则直线与椭圆有怎样的位置关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面上到定点A（1，0）和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线.（ ）
（2）一条直线与双曲线两支的交点个数最多为2个.（ ）
（3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件.（ ）
2.（多选）直线y＝－x与抛物线y2＝4x的交点坐标可以是（ ）
A.（0，0） B.（4，－4）
C.（－4，4） D.（4，4）
3.直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系为 .
题型一 求直线与圆锥曲线的交点坐标
【例1】 已知直线l过点P（0，1）且倾斜角为45°，双曲线C的方程为x2－＝1，求直线l与双曲线C的交点坐标.
尝试解答
通性通法
求直线与圆锥曲线交点坐标的理论根据及方法技巧
（1）理论根据：直线与圆锥曲线的交点坐标就是两者对应方程的公共解；
（2）方法技巧：①联立直线与圆锥曲线的方程，组成方程组②解方程组；③根据方程组的解写出交点坐标.
【跟踪训练】
求直线l：y＝x＋1与椭圆C：＋y2＝1的交点坐标.
题型二 判断直线与圆锥曲线公共点的个数
【例2】 已知双曲线x2－y2＝4，讨论直线l：y＝k（x－1）与双曲线的公共点的个数.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件、变设问）本例中若直线与双曲线的公共点分别在两支上，求k的取值范围.
2.（变条件、变设问）本例中若直线与双曲线的右支有两个公共点，求k的取值范围.
通性通法
判断直线与双曲线公共点个数的方法
直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：－＝1（a＞0，b＞0），两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.
位置关系 公共点个数 判定方法
相交 2个或1个 m＝0或
相切 1个 m≠0且Δ＝0
相离 0个 m≠0且Δ＜0
【跟踪训练】
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，讨论直线l与抛物线C的公共点的个数.
题型三 直线与圆锥曲线交点的简单应用
【例3】 已知椭圆4x2＋y2＝1和直线y＝x＋m.若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数m的值.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若本例中的条件换为“已知直线l：y＝kx＋1与抛物线C：y2＝x有唯一的公共点”，试求k的值.
通性通法
已知直线与圆锥曲线公共点的个数求参数m
的值（范围）的方法步骤
（1）联立直线与圆锥曲线的方程组成方程组；
（2）将上述方程组消去y（或x）得一个关于x（或y）的一元二次方程；
（3）计算判别式Δ＝b2－4ac；
（4）根据直线与圆锥曲线公共点的个数，对应判别式与0的关系列出含参数的方程或不等式，然后对其求解，确定m的值（范围）.
1.直线y＝2与抛物线y2＝8x的公共点的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无数
2.若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为（ ）
A.0或1 B.1
C.0或2 D.1或2
3.直线y＝kx（k＞0）与双曲线－＝1没有交点，则k的取值范围为（ ）
A.［，＋∞） B.（2，＋∞）
C.[，＋∞） D.（0，）
4.（多选）直线l：y＝－x与椭圆＋＝1的交点坐标为（ ）
A.（ ，） B.（ －，－）
C.（ ，－） D.（ －，）
5.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
4.1 直线与圆锥曲线的交点
【基础知识·重落实】
知识点
（2）相同
想一想
提示：①相离，②相切，③相交.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.AB
3.相交 解析：联立消去y得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：因为直线l的倾斜角为45°，
所以斜率为k＝tan 45°＝1，故直线的方程为y＝x＋1.
直线l与双曲线C的交点坐标是方程组的解.方程组可化为
将①代入②得2x2－（x＋1）2＝2，
化简得x2－2x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1，
代入①得方程组的解为
或
所以直线l与双曲线C的交点坐标为（3，4），（－1，0）.
跟踪训练
解：直线l与椭圆C的交点坐标是方程组的解.方程组可化为
将①代入②得x2＋2（x＋1）2＝2，
化简，得3x2＋4x＝0，
解得x1＝0，x2＝－.
代入①得方程组的解为
或
所以直线l与椭圆C的交点坐标为（0，1），.
【例2】 解：由方程组
消去y，可得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.
（1）当k＝±1时，x＝.
（2）当k≠±1时，Δ＝（2k2）2＋4（1－k2）·（k2＋4）＝4（4－3k2）.
①若
即－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个公共点.
②若
即k＝±时，直线与双曲线只有一个公共点.
③若
即k＞或k＜－时，直线与双曲线没有公共点.
由以上讨论可知，当－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个公共点；当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线只有一个公共点；当k＞或k＜－时，直线与双曲线没有公共点.
母题探究
1.解：联立方程组消去y所得的方程为（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0，由题意，若方程的两根为x1，x2，
则解得－1＜k＜1.
故直线与双曲线的公共点分别在两支上，k的取值范围为（－1，1）.
2.解：联立方程组消去y所得的方程为（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0，
由题意，若方程的两根为x1，x2，
则
解得－＜k＜－1或1＜k＜.
跟踪训练
解：由得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.（*）
当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1.
所以直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，方程（*）是一个一元二次方程，
Δ＝（2k－4）2－4k2×1＝16－16k，
①当Δ＞0时，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
②当Δ＝0时，即k＝1时，l与C有一个公共点；
③当Δ＜0时，即k＞1时，l与C没有公共点，
综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；
当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；
当k＞1时，直线l与C没有公共点.
【例3】 解：由得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有唯一的公共点，所以直线方程和椭圆方程应有唯一的公共解.
因此，一元二次方程5x2＋2mx＋m2－1＝0有唯一解，
所以Δ＝4m2－20（m2－1）＝0，解得m＝±，
故直线与椭圆有唯一公共点时，实数m的值为±.
母题探究
解：由方程组消去y并整理得k2x2＋（2k－1）x＋1＝0.（*）
①当k＝0时，直线l的方程为y＝1，此时方程组有唯一的实数解，符合题意.
②当k≠0时，方程（*）有唯一的实数解的充要条件是Δ＝（2k－1）2－4k2＝0，解得k＝.
综上所述，当直线l：y＝kx＋1与抛物线C：y2＝x有唯一的公共点时，k的值为0或.
随堂检测
1.B 由得即直线y＝2与抛物线y2＝8x有一个公共点.
2.B 由题意，由于渐近线与双曲线没有公共点，如图所示，若直线l平行于双曲线的一条渐近线，故l与双曲线的公共点个数为1个.故选B.
3.C 由得x2＝1，此方程无实数解，则－≤0，解得k≤－或k≥.又k＞0，所以k≥.故选C.
4.CD 由得＋＝1，即x2＝1，解得x1＝，x2＝－，故方程组的解为（ ，－），.
5.[－1，1] 解析：由已知易得Q（－2，0）.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x＋2）.∵直线l与抛物线有公共点，∴方程组有实数解，即k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0有实数解.故Δ＝（4k2－8）2－4k2×4k2≥0 k2≤1，∴－1≤k≤1.
1 / 3(共64张PPT)
4.1 直线与圆锥曲线的交点
新课程标准解读 核心素养
1.会求直线与圆锥曲线的交点坐标 数学运算
2.利用直线与圆锥曲线的方程会判断直线与圆锥曲线
的交点个数 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向武器.目前我国的高能激光
武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要
用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的
直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是
椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题.
【问题】 （1）我们知道，可以用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r
的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用
几何法判断直线与椭圆的位置关系？
（2）用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？
知识点 直线与圆锥曲线的交点
在平面直角坐标系中，
（1）前提：圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对
应的关系；
（2）结论：直线与圆锥曲线的交点个数与两者对应方程的公共解的
个数是 的.
相同
【想一想】
将直线与椭圆的方程联立，消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方
程，若该方程的判别式①Δ＜0，②Δ＝0，③Δ＞0，则直线与椭
圆有怎样的位置关系？
提示：①相离，②相切，③相交.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面上到定点 A （1，0）和到定直线 l ： x ＋2 y ＋3＝0的距离
相等的点的轨迹为抛物线. （ √ ）
（2）一条直线与双曲线两支的交点个数最多为2个. （ √ ）
（3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条
件. （ × ）
√
√
×
2. （多选）直线 y ＝－ x 与抛物线 y2＝4 x 的交点坐标可以是（ ）
A. （0，0） B. （4，－4）
C. （－4，4） D. （4，4）
3. 直线 y ＝ x ＋1与椭圆 x2＋ ＝1的位置关系为 .
解析：联立消去 y 得3 x2＋2 x －1＝0，Δ＝22＋12＝16
＞0，∴直线与椭圆相交.
相交
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求直线与圆锥曲线的交点坐标
【例1】 已知直线 l 过点 P （0，1）且倾斜角为45°，双曲线 C 的方
程为 x2－ ＝1，求直线 l 与双曲线 C 的交点坐标.
解：因为直线 l 的倾斜角为45°，
所以斜率为 k ＝tan 45°＝1，故直线的方程为 y ＝ x ＋1.
直线 l 与双曲线 C 的交点坐标是方程组的解.
方程组可化为
将①代入②得2 x2－（ x ＋1）2＝2，
化简得 x2－2 x －3＝0，
解得 x1＝3， x2＝－1，
代入①得方程组的解为或
所以直线 l 与双曲线 C 的交点坐标为（3，4），（－1，0）.
通性通法
求直线与圆锥曲线交点坐标的理论根据及方法技巧
（1）理论根据：直线与圆锥曲线的交点坐标就是两者对应方程的公
共解；
（2）方法技巧：①联立直线与圆锥曲线的方程，组成方程组
②解方程组；③根据方程组的解写出交点
坐标.
【跟踪训练】
求直线 l ： y ＝ x ＋1与椭圆 C ： ＋ y2＝1的交点坐标.
解：直线 l 与椭圆 C 的交点坐标是方程组的解.
方程组可化为
将①代入②得 x2＋2（ x ＋1）2＝2，
化简，得3 x2＋4 x ＝0，
解得 x1＝0， x2＝－ .
代入①得方程组的解为或
所以直线 l 与椭圆 C 的交点坐标为（0，1）， .
题型二 判断直线与圆锥曲线公共点的个数
【例2】 已知双曲线 x2－ y2＝4，讨论直线 l ： y ＝ k （ x －1）与双曲
线的公共点的个数.
解：由方程组
消去 y ，可得（1－ k2） x2＋2 k2 x － k2－4＝0.
（1）当 k ＝±1时， x ＝ .
（2）当 k ≠±1时，Δ＝（2 k2）2＋4（1－ k2）·（ k2＋4）＝4（4－3
k2）.
①若
即－ ＜ k ＜ 且 k ≠±1时，直线与双曲线有两个公共点.
②若
即 k ＝± 时，直线与双曲线只有一个公共点.
③若
即 k ＞ 或 k ＜－ 时，直线与双曲线没有公共点.
由以上讨论可知，当－ ＜ k ＜ 且 k ≠±1时，直线与双曲线有两
个公共点；当 k ＝±1或 k ＝± 时，直线与双曲线只有一个公共
点；当 k ＞ 或 k ＜－ 时，直线与双曲线没有公共点.
1. （变条件、变设问）本例中若直线与双曲线的公共点分别在两支
上，求 k 的取值范围.
解：联立方程组消去 y 所得的方程为（1－ k2） x2＋2 k2 x － k2－4＝
0，由题意，若方程的两根为 x1， x2，
则解得－1＜ k ＜1.
故直线与双曲线的公共点分别在两支上， k 的取值范围为（－1，1）.
【母题探究】
2. （变条件、变设问）本例中若直线与双曲线的右支有两个公共点，
求 k 的取值范围.
解：联立方程组消去 y 所得的方程为（1－ k2） x2＋2 k2 x － k2－
4＝0，
由题意，若方程的两根为 x1， x2，
则
解得－ ＜ k ＜－1或1＜ k ＜ .
通性通法
判断直线与双曲线公共点个数的方法
直线： Ax ＋ By ＋ C ＝0，双曲线： － ＝1（ a ＞0， b ＞0），
两方程联立消去 y ，得 mx2＋ nx ＋ q ＝0.
位置关系 公共点个数 判定方法
相交 2个或1个 m ＝0或
相切 1个 m ≠0且Δ＝0
相离 0个 m ≠0且Δ＜0
【跟踪训练】
已知直线 l ： y ＝ kx ＋1，抛物线 C ： y2＝4 x ，讨论直线 l 与抛物线 C 的
公共点的个数.
解：由得 k2 x2＋（2 k －4） x ＋1＝0.（*）
当 k ＝0时，方程变为－4 x ＋1＝0， x ＝ ，此时 y ＝1.
所以直线 l 与 C 只有一个公共点 ，
此时直线 l 平行于 x 轴.
当 k ≠0时，方程（*）是一个一元二次方程，
Δ＝（2 k －4）2－4 k2×1＝16－16 k ，
①当Δ＞0时，即 k ＜1，且 k ≠0时， l 与 C 有两个公共点；
②当Δ＝0时，即 k ＝1时， l 与 C 有一个公共点；
③当Δ＜0时，即 k ＞1时， l 与 C 没有公共点，
综上所述，当 k ＝1或 k ＝0时，直线 l 与 C 有一个公共点；
当 k ＜1，且 k ≠0时，直线 l 与 C 有两个公共点；
当 k ＞1时，直线 l 与 C 没有公共点.
题型三 直线与圆锥曲线交点的简单应用
【例3】 已知椭圆4 x2＋ y2＝1和直线 y ＝ x ＋ m .若直线与椭圆有唯一
的公共点，求实数 m 的值.
解：由得5 x2＋2 mx ＋ m2－1＝0.
因为直线与椭圆有唯一的公共点，所以直线方程和椭圆方程应有唯一
的公共解.
因此，一元二次方程5 x2＋2 mx ＋ m2－1＝0有唯一解，
所以Δ＝4 m2－20（ m2－1）＝0，解得 m ＝± ，
故直线与椭圆有唯一公共点时，实数 m 的值为± .
【母题探究】
（变条件）若本例中的条件换为“已知直线 l ： y ＝ kx ＋1与抛物线
C ： y2＝ x 有唯一的公共点”，试求 k 的值.
解：由方程组消去 y 并整理得 k2 x2＋（2 k －1） x ＋1＝0.
（*）
①当 k ＝0时，直线 l 的方程为 y ＝1，此时方程组有唯一的实数解，符
合题意.
②当 k ≠0时，方程（*）有唯一的实数解的充要条件是Δ＝（2 k －1）2
－4 k2＝0，解得 k ＝ .
综上所述，当直线 l ： y ＝ kx ＋1与抛物线 C ： y2＝ x 有唯一的公共点
时， k 的值为0或 .
通性通法
已知直线与圆锥曲线公共点的个数求参数 m
的值（范围）的方法步骤
（1）联立直线与圆锥曲线的方程组成方程组；
（2）将上述方程组消去 y （或 x ）得一个关于 x （或 y ）的一元二
次方程；
（3）计算判别式Δ＝ b2－4 ac ；
（4）根据直线与圆锥曲线公共点的个数，对应判别式与0的关系列出
含参数的方程或不等式，然后对其求解，确定 m 的值（范围）.
1. 直线 y ＝2与抛物线 y2＝8 x 的公共点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
解析： 由得即直线 y ＝2与抛物线 y2＝8 x 有一
个公共点.
2. 若一直线 l 平行于双曲线的一条渐近线，则 l 与双曲线的公共点个数
为（ ）
A. 0或1 B. 1
C. 0或2 D. 1或2
解析： 由题意，由于渐近线与双曲线没有
公共点，如图所示，若直线 l 平行于双曲线的
一条渐近线，故 l 与双曲线的公共点个数为1
个.故选B.
3. 直线 y ＝ kx （ k ＞0）与双曲线 － ＝1没有交点，则 k 的取值范
围为（ ）
A. ［ ，＋∞） B. （2，＋∞）
C. [ ，＋∞） D. （0， ）
解析： 由得 x2＝1，此方程无实数解，则
－ ≤0，解得 k ≤－ 或 k ≥ .又 k ＞0，所以 k ≥ .故选C.
4. （多选）直线 l ： y ＝－ x 与椭圆 ＋ ＝1的交点坐标为（ ）
A. （ ， ） B. （ － ，－ ）
C. （ ，－ ） D. （ － ， ）
解析： 由得 ＋ ＝1，即 x2＝1，解得 x1＝
， x2＝－ ，故方程组的解为 ， .
5. 设抛物线 y2＝8 x 的准线与 x 轴交于点 Q ，若过点 Q 的直线 l 与抛物线
有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 .
解析：由已知易得 Q （－2，0）.由题意知直线 l 的斜率存在，设直
线 l 的方程为 y ＝ k （ x ＋2）.∵直线 l 与抛物线有公共点，∴方程组
有实数解，即 k2 x2＋（4 k2－8） x ＋4 k2＝0有实数解.
故Δ＝（4 k2－8）2－4 k2×4 k2≥0 k2≤1，∴－1≤ k ≤1.
[－1，1]
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知斜率为－2的直线经过椭圆 C ： ＋ ＝1的左焦点 F1，与椭圆
相交于 A ， B 两点，则 A ， B 两点的坐标分别为（ ）
A. （0，－2）， B. （0，2），
C. （0，－2）， D. （0，2），
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解析： 由题意知 F1（－1，0），故直线 AB 的方程为 y ＝－2（ x
＋1），由得或
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2. 若直线 y ＝ kx ＋2与椭圆 ＋ ＝1有且仅有一个公共点，则斜率 k
的值是（ ）
A. B. －
C. ± D. ±
解析： 把 y ＝ kx ＋2代入 ＋ ＝1，得（2＋3 k2） x2＋12 kx ＋6
＝0，由题意知Δ＝0，∴ k2＝ ，∴ k ＝± .
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3. 已知双曲线方程为 x2－ ＝1，过点 P （1，0）的直线 l 与双曲线只
有一个公共点，则 l 共有（ ）
A. 4条 B. 3条
C. 2条 D. 1条
解析： 因为双曲线方程为 x2－ ＝1，则 P （1，0）是双曲线的
右顶点，所以过 P （1，0）并且和 x 轴垂直的直线是双曲线的一条
切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过 P （1，0）分别
和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条.
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4. 若直线 y ＝ kx 与双曲线4 x2－ y2＝16有两个公共点，则实数 k 的取值
范围为（ ）
A. （－2，2） B. [－2，2）
C. （－2，2] D. [－2，2]
解析： 易知 k ≠±2，将 y ＝ kx 代入4 x2－ y2＝16得关于 x 的一元二
次方程（4－ k2） x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜ k ＜2.
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5. （多选）若直线 x ＝ a 与双曲线 － y2＝1仅有一个交点，则 a 的值
可以是（ ）
A. 4 B. 2
C. 1 D. －2
解析： 由题设，双曲线顶点坐标为（±2，0），要使 x ＝ a 与
双曲线 － y2＝1仅有一个交点，所以 a ＝±2，故选B、D.
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6. （多选）过抛物线 x2＝ my （ m ≠0）的焦点且与 y 轴垂直的直线与抛
物线交于 A ， B 两点，若三角形 ABO 的面积为2，则 m 的值可能为
（ ）
A. 4 B. －4
C. 2 D. －2
解析： 由题设，抛物线的焦点为（0， ），则 A ， B 坐标为
（± ， ），故｜ AB ｜＝｜ m ｜，所以 S△ ABO ＝ ×｜ AB ｜×
＝2，可得 m ＝±4，故选A、B.
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7. 若双曲线 C ： － y2＝1（ a ＞0）与直线 l ： x ＋ y ＝1有两个不同的
公共点 A ， B ，则实数 a 的取值范围为 .
解析：将 y ＝－ x ＋1代入双曲线方程 － y2＝1（ a ＞0）中得（1－
a2） x2＋2 a2 x －2 a2＝0.依题意∴0
＜ a ＜ 且 a ≠1.
（0，1）∪（1， ）
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8. 已知以 F1（－2，0）， F2（2，0）为焦点的椭圆与直线 x ＋ y ＋4
＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为 .
解析：由题意可设椭圆的方程为 ＋ ＝1（ a ＞2），与直线方
程 x ＋ y ＋4＝0联立，得4（ a2－3） y2＋8 （ a2－4） y ＋（16
－ a2）（ a2－4）＝0，由Δ＝0，得 a ＝ ，所以椭圆的长轴长为2
.
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9. 若直线 y ＝ kx ＋1与焦点在 x 轴上的椭圆 ＋ ＝1总有公共点，则
实数 m 的取值范围为 .
解析：∵直线 y ＝ kx ＋1过定点 M （0，1），∴要使直线与该椭圆
总有公共点，则点 M （0，1）必在椭圆内或椭圆上，由此得
解得1≤ m ＜5.
[1，5）
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10. 已知椭圆 C 的右焦点 F （1，0），离心率 e ＝ ，直线 l 过点 F
（1，0）且倾斜角为135°，求直线 l 与椭圆的交点坐标.
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解：由题意知 c ＝1， ＝ ，故 a ＝ ，
所以 b2＝ a2－ c2＝2－1＝1，
故椭圆的方程为 ＋ y2＝1.
又因为直线 l 的斜率为 k ＝tan 135°＝－1且过点 F （1，0），
故直线 l 的方程为 y ＝－（ x －1）＝－ x ＋1.
由得3 x2－4 x ＝0，所以 x1＝0， x2＝ .
故或
故直线 l 与椭圆的交点坐标为（0，1）， .
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11. 已知 p ：“｜ a ｜＝2”， q ：“直线 y ＝ ax ＋1－ a 与抛物线 y ＝ x2相
切”，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： p ： a ＝±2，联立可得 x2－ ax ＋ a －1
＝0.因为直线与抛物线相切，所以两者只有一个交点，所以Δ＝ a2
－4（ a －1）＝ a2－4 a ＋4＝0，解得 a ＝2.所以 q ： a ＝2，所以 p
是 q 的必要不充分条件，故选B.
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12. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾
股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜
边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2＋股2＝弦2”.设 F1， F2分别是
双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦点，直线 y ＝ x
交双曲线左、右两支于 A ， B 两点，若｜ BF1｜，｜ BF2｜恰好是
Rt△ F1 BF2的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ）
A. ＋1 B.
C. 2 D.
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解析： 如图所示，由题意可知，｜ OB ｜
＝｜ OF1｜＝｜ OF2｜＝ c ，∠ BOF2＝60°，
所以｜ BF2｜＝ c ，｜ BF1｜＝ c ，由双曲
线的定义可得， c － c ＝2 a ，所以 e ＝ ＝
＝ ＋1.故选A.
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13. （多选）已知直线 l ： y ＝ x ＋ m 与椭圆 C ： ＋ ＝1，则下列结
论正确的是（ ）
A. 若 C 与 l 至少有一个公共点，则 m ≤2
B. 若 C 与 l 有且仅有两个公共点，则｜ m ｜＜2
C. 若 m ＝3 ，则 C 上到 l 的距离为5的点只有1个
D. 若 m ＝－ ，则 C 上到 l 的距离为1的点只有3个
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解析： 联立消
去 y 得4 x2＋6 mx ＋3 m2－6＝0，则判
别式Δ＝12（8－ m2），A：令Δ＝12
（8－ m2）≥0，则有｜ m ｜≤2 ，错
误；B：令Δ＝12（8－ m2）＞0，则
有｜ m ｜＜2 ，正确；C：令直线 l 与椭圆 C 相切，则Δ＝12（8－ m2）＝0，即 m ＝±2 ，直线 y ＝ x ＋3 与 y ＝ x －2 的距离 d ＝ ＝5，正确；D：如图，直线 y ＝ x － 分别与 y ＝ x －2 和 y ＝ x 的距离均为1，因此， C 上到 l 的距离为1的点只有3个，正确，故选B、C、D.
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14. 已知直线 l 过点 A ，且与抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）只有一
个公共点，则直线 l 的方程为
.
x ＋ y ＋ ＝0或2 x ＋ y ＋2 p ＝0或 x ＝
－ p
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解析：当直线 l 斜率不存在时，方程为 x ＝－ p ，与抛物线有一个
公共点.当直线 l 斜率存在时，设 l ： y － p ＝ k 与 x2＝2 py 联
立得 x2－2 pkx －2 p2－3 kp2＝0，∴Δ＝4 p2 k2＋4（2 p2＋3 kp2）＝
0，解得 k ＝－1或 k ＝－2.∴直线 l 的方程为 x ＋ y ＋ ＝0或2 x ＋ y
＋2 p ＝0.综上，直线 l 的方程为 x ＋ y ＋ ＝0或2 x ＋ y ＋2 p ＝0或 x
＝－ p .
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15. 已知直线 l ： y ＝ ax ＋1，双曲线 C ：3 x2－ y2＝1，是否存在 a ∈R
使得直线 l 与双曲线 C 有唯一的公共点，若存在求出 a 的值，若不
存在，说明理由.
解：假设存在 a ∈R使得直线 l 与双曲线有唯一的公共点.
联立 （3－ a2） x2－2 ax －2＝0. ①
当 a2＝3，即 a ＝± 时，方程①仅有一解，直线 l 与双曲线 C 交
于一点；
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当即 a ＝± 时，方程①有两个相
等的实数解，直线 l 与双曲线 C 相交于一点.
综上所述，存在 a ＝± 或 a ＝± 时，直线 l 与双曲线 C 恰有一
个公共点.
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16. 已知双曲线 x2－ ＝1上存在关于直线 l ： y ＝ kx ＋4对称的两点
A ， B ，求实数 k 的取值范围.
解：当 k ＝0时，显然不成立.
当 k ≠0时，由 l ⊥ AB ，可设直线 AB 的方程为 y ＝－ x ＋ b ，
代入3 x2－ y2＝3中，得（3 k2－1） x2＋2 kbx －（ b2＋3） k2＝0.
∴3 k2－1≠0，Δ＝（2 kb ）2－4（3 k2－1）[－（ b2＋3）· k2]＞0，
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即 k2 b2＋3 k2－1＞0， ①
设 AB 的中点为 M （ x0， y0），则
∵点 M （ x0， y0）在直线 l 上，∴ ＝ ＋4，
即 k2 b ＝3 k2－1， ②
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把②代入①得 k2 b2＋ k2 b ＞0，解得 b ＞0或 b ＜－1.
∴ ＞0或 ＜－1，
即｜ k ｜＞ 或｜ k ｜＜ ，且 k ≠0.
故 k 的取值范围是（－∞，－ ）∪（－ ，0）∪（0， ）∪
（ ，＋∞）.
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谢 谢 观 看！
