4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
1.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦AB的中点M的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
2.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝（ ）
A. B.
C.2 D.3
3.（2022·全国乙卷5题）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝（ ）
A.2 B.2
C.3 D.3
4.已知直线l：y＝x＋3与双曲线－＝1相交于A，B两点，线段AB的中点为M，则OM的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知圆C：（x＋3）2＋（y－2）2＝4，直线l：ax＋y＋2a－1＝0，直线l与抛物线D：y2＝－8x交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A.l被圆C截得的弦长的最小值为2
B.l被圆C截得的弦长的最小值为
C.若弦AB中点的坐标为（－2，1），则a＝－4
D.若弦AB中点的坐标为（－2，1），则a＝4
6.（多选）设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A.直线AB与OM垂直
B.若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x＋y－3＝0
C.若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，）
D.若直线方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝
7.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点.若直线AB的倾斜角为，则弦长｜AB｜＝ .
8.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是 .
9.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则该双曲线的方程为 .
10.已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且｜AB｜＝9.
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点（异于A，B两点），若＝＋λ，求实数λ的值.
11.已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，抛物线C上存在点P与x轴上一点Q（5，0）关于直线l对称，则p＝（ ）
A. B.1 C.2 D.3
12.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）.若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A. B.
C.2 D.2
13.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷11题）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，－1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A.C的准线为y＝－1
B.直线AB与C相切
C.｜OP｜·｜OQ｜＞｜OA｜2
D.｜BP｜·｜BQ｜＞｜BA｜2
14.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是 .
15.已知椭圆＋＝1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.
（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
（2）当点P恰好为线段AB的中点时，求直线l的方程.
16.（2021·新高考Ⅰ卷21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（－，0），F2（，0），点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝2.记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
1.A 由消y得2x2＋（x－1）2＝4，即3x2－2x－3＝0，解得x1＝，x2＝，所以弦AB的中点M的横坐标为x0＝＝，纵坐标为y0＝x0－1＝－，故选A.
2.A 由得交点为（0，1），（ －，－），则｜AB｜＝＝.
3.B 法一 如图，由题意可知F（1，0），设A，则由抛物线的定义可知｜AF｜＝＋1.因为｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），则｜AB｜＝＝＝2，故选B.
法二 由题意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以｜AB｜＝＝＝2，故选B.
4.D 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），解方程组得5x2＋54x＋117＝0，故x1＋x2＝－，所以x0＝＝－，y0＝x0＋3＝－，故kOM＝＝.
5.AD 因为直线l：ax＋y＋2a－1＝0，a（x＋2）＋（y－1）＝0，即过定点P（－2，1），（－2＋3）2＋（1－2）2＝2＜4，则P（－2，1）在圆C内，所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短.因为圆C的半径为2，｜CP｜＝，所以弦长的最小值为2＝2，A正确，B错误；设A（x1，y1），B（x2，y2），则相减得－＝－8x1＋8x2，整理得＝－.因为弦AB中点的坐标为（－2，1），所以＝－＝－4＝－a，得a＝4，C错误，D正确；故选A、D.
6.BD 假设直线与椭圆交于椭圆的左顶点A（－，0）和上顶点B（0，2），显然△ABO不是等腰直角三角形，AB与OM显然是不垂直的.故A错误.设直线方程为y＝kx＋b（b≠0）.联立直线与椭圆的方程，消去y得，（2＋k2）x2＋2kbx＋b2－4＝0.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2b＝－＋2b＝.故点M的坐标为（－，）.对于B，点M（1，1），则解得即所求直线方程为2x＋y－3＝0.故B正确.对于C，若直线方程为y＝x＋1，即k＝1，b＝1，则M点坐标为（－，），故C错误.对于D，若直线方程为y＝x＋2，即k＝1，b＝2，｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝×＝.故D正确.
7. 解析：易知F1（－1，0），∵直线AB的倾斜角为，∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.联立整理得7x2＋8x－8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝－，则由弦长公式得｜AB｜＝·＝×＝.
8.（3，2） 解析：设线段的端点为（x1，y1），（x2，y2），将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2，∴所求点的坐标为（3，2）.
9.x2－y2＝9 解析：设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2＝a2，∴｜AB｜＝×a＝2，∴a＝3，故双曲线的方程为x2－y2＝9.
10.解：（1）由题意得直线AB的方程为y＝2（x－），与抛物线方程y2＝2px联立，消去y可得4x2－5px＋p2＝0.
由题意知，该方程必有两个不等实根.
所以x1＋x2＝.由抛物线定义知｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，
从而该抛物线的方程为y2＝8x.
（2）将p＝4代入4x2－5px＋p2＝0，
可得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，
所以y1＝－2，y2＝4，
从而A（1，－2），B（4，4）.设C（x3，y3），
则＝（x3，y3）＝（1，－2）＋λ（4，4）＝（4λ＋1，4λ－2）.
又＝8x3，即[2（2λ－1）]2＝8（4λ＋1），
整理得（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝2.
11.C 由题意得，F（，0），设P（x0，y0），直线PQ的方程为y＝－（x－5），由得，3（x0－5）2＝2px0.连接FP，则易知｜FP｜＝｜FQ｜，即x0＋＝5－，
由解得（x0＝5时不合题意，舍去）.
12.C 因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，所以直线与双曲线相交只能是点A在双曲线的左支上，点B在双曲线的右支上.由双曲线的对称性，设点A，B均在x轴上方，如图所示.设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0）（c＞0）.因为＝3，所以c－x1＝3（c－x2），3x2－x1＝2c.由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，所以≥2，即离心率e≥2，当且仅当点A，B分别为双曲线的左、右顶点时等号成立.故选C.
13.BCD 如图，因为抛物线C过点A（1，1），所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线为y＝－，所以A错误；因为x2＝y，所以y'＝2x，所以y'｜x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，又点B（0，－1）在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为y＝kx－1，由得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4＞0，得k＞2或k＜－2，所以｜OP｜·｜OQ｜＝·＝
＝·x1x2
＝
＝＞2＝｜OA｜2，所以C正确；｜BP｜·｜BQ｜
＝·
＝·
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝k2＋1＞5＝｜BA｜2，所以D正确.故选B、C、D.
14.±1 解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为（m，2m）.又点（m，2m）在x2＋y2＝5上，所以m2＋（2m）2＝5，得m＝±1.
15.解：（1）由已知可得直线l的方程为y－2＝（x－4），
即y＝x.由消去y并整理，得x2－18＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是｜AB｜＝
＝
＝×
＝×6＝3.∴线段AB的长度为3.
（2）当直线l的斜率不存在时，不合题意.
∴直线l的斜率存在.
法一 设直线l的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－4）.
由消去y并整理，得（1＋4k2）x2－（32k2－16k）x＋（64k2－64k－20）＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝.
∵AB的中点恰好为P（4，2），
∴＝＝4，解得k＝－.
此时直线l的方程为y－2＝－（x－4），
即x＋2y－8＝0.
法二 设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
②－①得＋＝0，
整理得kAB＝＝－.
∵P（4，2）是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
∴kAB＝－＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－（x－4），即x＋2y－8＝0.
16.解：（1）因为｜MF1｜－｜MF2｜＝2＜｜F1F2｜＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1（x≥1）.
（2）设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1（k1≠0），直线PQ的方程为y－t＝k2（k2≠0），
由得（16－）x2－2k1x－－16＝0.
设A（xA，yA），B（xB，yB），易知16－≠0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以｜TA｜＝＝（ xA－），｜TB｜＝·＝，
则｜TA｜·｜TB｜＝（1＋）（ xA－）
＝（1＋）
＝（1＋）［－·＋］＝.
同理得｜TP｜·｜TQ｜＝.
因为｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜，
所以＝，所以－16＋－16＝－16＋－16，即＝，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
2 / 24.2 直线与圆锥曲线的综合问题
新课程标准解读 核心素养
1.会求直线与圆锥曲线相交截得的弦长 数学运算
2.掌握圆锥曲线中的中点弦问题 逻辑推理
3.掌握直线与圆锥曲线的综合问题 数学运算
题型一 求直线与圆锥曲线相交截得的弦长
【例1】 已知斜率为1的直线l经过椭圆＋y2＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点.
（1）求线段AB的中点M的坐标；
（2）求｜AB｜的值.
尝试解答
通性通法
求弦长的两种方法
（1）求出直线与圆锥曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：｜P1P2｜＝·（ 或｜P1P2｜＝·），其中x1，x2（y1，y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.
【跟踪训练】
直线l过定点P（2，0），且斜率为1，与抛物线y2＝x相交于A，B两点，求：
（1）线段AB的中点M的坐标；
（2）｜AB｜的值.
题型二 中点弦问题
【例2】 已知抛物线y2＝2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
尝试解答
通性通法
中点弦问题的解题策略
【跟踪训练】
已知双曲线x2－y2＝1和斜率为的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标（x，y）满足的方程是 .
题型三 直线与圆锥曲线的综合问题
【例3】 设双曲线C：－y2＝1（a＞0）与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值.
尝试解答
通性通法
圆锥曲线的综合问题最终体现在对直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹、向量关系及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决这类问题常用的方法.在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
【跟踪训练】
已知椭圆C：＋＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点.
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且｜BP｜＝｜BQ｜，BP⊥BQ，求△APQ的面积.
1.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则｜AB｜＝（ ）
A.4 B.2 C.1 D.4
2.在抛物线y2＝8x中，以（1，－1）为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A.x－4y－3＝0 B.x＋4y＋3＝0
C.4x＋y－3＝0 D.4x＋y＋3＝0
3.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心率为（ ）
A.2 B.3
C. D.
4.设F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得·＝－7成立的点P的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是 .
4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴F（，0），∴直线l的方程为y＝x－，
解方程组
得
因此A，
B.
（1）设线段AB的中点M的坐标为（x，y），则
x＝＝，
y＝＝－.
∴线段AB的中点M的坐标为.
（2）法一 ｜AB｜＝
＝
＝.
法二 ∵｜AB｜＝
＝
＝.
由得5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴｜AB｜＝·
＝×
＝.
跟踪训练
解：由题意知直线l的方程为y＝x－2，
解方程组
得或
因此A（1，－1），B（4，2）.
（1）设线段AB的中点M的坐标为（x，y），
则x＝＝，y＝＝，
所以线段AB的中点M的坐标为.
（2）｜AB｜＝
＝＝3.
【例2】 解：法一 设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），则y1＋y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝＝.
易知
①－②，得（y1＋y2）（y1－y2）＝2（x1－x2），
所以2y·＝2，即2y·＝2，即＝x－（y≠0）.
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为（2，0），适合上式，故所求轨迹方程为＝x－.
法二 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－1＝k（x－2）（k≠0），由得y2－y＋1－2k＝0.则所以k∈（－∞，0）∪（0，＋∞）.
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P（x，y），则y1＋y2＝，y1y2＝.
所以x1＋x2＝（＋）＝[（y1＋y2）2－2y1y2]＝［－］＝.
则x＝＝，y＝＝，
消去k得＝x－（y≠0）.
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为（2，0），适合上式.
故所求轨迹方程为＝x－.
跟踪训练
y＝2x 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减，得（x1＋x2）·（x1－x2）＝（y1＋y2）（y1－y2）.因为－≠0，M的坐标为（x，y），所以＝，又直线l的斜率为，所以＝，即y＝2x.
【例3】 解：（1）将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1中得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0 ①，
∴解得0＜a＜且a≠1.又双曲线的离心率e＝＝，∴e＞且e≠.即e的取值范围为.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知P（0，1）.∵＝，∴（x1，y1－1）＝（x2，y2－1），由此得x1＝x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴x2＝－，＝－.消去x2，得－＝，由a＞0得a＝.
跟踪训练
解：（1）由题设可得＝，得m2＝，
所以C的方程为＋＝1.
（2）设P（xP，yP），Q（6，yQ），根据对称性可设yQ＞0，由题意知yP＞0.
由已知可得B（5，0），直线BP的方程为y＝－（x－5），
所以｜BP｜＝yP，｜BQ｜＝.
因为｜BP｜＝｜BQ｜，
所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1（3，1），Q1（6，2）；P2（－3，1），Q2（6，8）.
｜P1Q1｜＝，直线P1Q1的方程为y＝x，
点A（－5，0）到直线P1Q1的距离为，
故△AP1Q1的面积为××＝.
｜P2Q2｜＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，
点A到直线P2Q2的距离为，
故△AP2Q2的面积为××＝.
综上，△APQ的面积为.
随堂检测
1.C 因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为（，0），将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故｜AB｜＝1.故选C.
2.C 设弦两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－2.∵A，B在抛物线上，∴＝8x1，＝8x2，两式相减得，（y1＋y2）（y1－y2）＝8（x1－x2），∴＝－4，∴直线AB的方程为y＋1＝－4（x－1），即4x＋y－3＝0.
3.C 设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知可得－＝1，－＝1，两式相减化简可得－·＝0.又线段AB的中点N的坐标为（12，15），直线AB过点P（3，6），∴x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，＝1，∴＝，∴＝1＋＝，∴离心率e＝＝.
4.C 设P（x0，y0）.∵F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，∴F1（－4，0），F2（4，0），∴＝（－4－x0，－y0），＝（4－x0，－y0）.∵·＝－7，∴（－4－x0）（4－x0）＋（－y0）2＝－7，即＋＝9 ①.又∵P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴＋＝1 ②.联立①②解得或∴使得·＝－7成立的点P的个数为2.
5.（4，2） 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线得方程组整理得x2－8x＋4＝0，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，所以中点坐标为（4，2）.
2 / 2(共79张PPT)
4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
新课程标准解读 核心素养
1.会求直线与圆锥曲线相交截得的弦长 数学运算
2.掌握圆锥曲线中的中点弦问题 逻辑推理
3.掌握直线与圆锥曲线的综合问题 数学运算
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 求直线与圆锥曲线相交截得的弦长
【例1】 已知斜率为1的直线 l 经过椭圆 ＋ y2＝1的右焦点 F ，与椭
圆相交于 A ， B 两点.
（1）求线段 AB 的中点 M 的坐标；
解：设 A ， B 两点的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），
由椭圆方程知 a2＝4， b2＝1，∴ c ＝ ＝ ，
∴ F （ ，0），∴直线 l 的方程为 y ＝ x － ，
设线段 AB 的中点 M 的坐标为（ x ， y ），则
x ＝ ＝ ，
y ＝ ＝－ .
∴线段 AB 的中点 M 的坐标为 .
解方程组
得
因此 A ，
B .
（2）求｜ AB ｜的值.
解： 法一 ｜ AB ｜＝
＝
＝ .
法二 ∵｜ AB ｜＝
＝
＝ .
由得5 x2－8 x ＋8＝0，
∴ x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，
∴｜ AB ｜＝ ·
＝ × ＝ .
通性通法
求弦长的两种方法
（1）求出直线与圆锥曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦
长；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，消元得到关于一个未知数的一元
二次方程，利用弦长公式：｜ P1 P2｜＝
· （ 或｜ P1 P2｜＝
· ），其中 x1， x2（ y1， y2）是上
述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两
根之积后代入公式可求得弦长.
【跟踪训练】
直线 l 过定点 P （2，0），且斜率为1，与抛物线 y2＝ x 相交于
A ， B 两点，求：
（1）线段 AB 的中点 M 的坐标；
解：由题意知直线 l 的方程为 y ＝ x －2，
解方程组得或
因此 A （1，－1）， B （4，2）.
设线段 AB 的中点 M 的坐标为（ x ， y ），则
x ＝ ＝ ， y ＝ ＝ ，
所以线段 AB 的中点 M 的坐标为 .
解：由题意知直线 l 的方程为 y ＝ x －2，
解方程组得或
因此 A （1，－1）， B （4，2）.
解： ｜ AB ｜＝
＝ ＝3 .
（2）｜ AB ｜的值.
题型二 中点弦问题
【例2】 已知抛物线 y2＝2 x ，过点 Q （2，1）作一条直线交抛物线
于 A ， B 两点，试求弦 AB 的中点的轨迹方程.
解：法一 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），弦 AB 的中点为 M （ x ，
y ），则 y1＋ y2＝2 y ，当直线 AB 的斜率存在时， kAB ＝ ＝ .
易知
①－②，得（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝2（ x1－ x2），
所以2 y · ＝2，即2 y · ＝2，即 ＝ x － （ y ≠0）.
当直线 AB 的斜率不存在，即 AB ⊥ x 轴时， AB 的中点为（2，0），适
合上式，故所求轨迹方程为 ＝ x － .
法二 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y －1＝ k （ x －
2）（ k ≠0），由得 y2－ y ＋1－2 k ＝0.则
所以 k ∈（－∞，0）∪（0，＋
∞）.
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， AB 的中点为 P （ x ， y ），则 y1＋ y2
＝ ， y1 y2＝ .
所以 x1＋ x2＝ （ ＋ ）＝ [（ y1＋ y2）2－2 y1 y2]＝ ＝ .
则 x ＝ ＝ ， y ＝ ＝ ，
消去 k 得 ＝ x － （ y ≠0）.
当直线 AB 的斜率不存在，即 AB ⊥ x 轴时， AB 的中点为（2，0），适
合上式.
故所求轨迹方程为 ＝ x － .
通性通法
中点弦问题的解题策略
已知双曲线 x2－ y2＝1和斜率为 的直线 l 交于 A ， B 两点，当 l 变化
时，线段 AB 的中点 M 的坐标（ x ， y ）满足的方程是 .
解析：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 两式相减，
得（ x1＋ x2）·（ x1－ x2）＝（ y1＋ y2）（ y1－ y2）.因为 － ≠0，
M 的坐标为（ x ， y ），所以 ＝ ，又直线 l 的斜率为 ，所以
＝ ，即 y ＝2 x .
y ＝2 x
【跟踪训练】
题型三 直线与圆锥曲线的综合问题
【例3】 设双曲线 C ： － y2＝1（ a ＞0）与直线 l ： x ＋ y ＝1相交
于两个不同的点 A ， B .
（1）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；
解： 将 y ＝－ x ＋1代入双曲线方程 － y2＝1中得（1－
a2） x2＋2 a2 x －2 a2＝0 ①，∴解
得0＜ a ＜ 且 a ≠1.又双曲线的离心率 e ＝ ＝ ，
∴ e ＞ 且 e ≠ .即 e 的取值范围为 .
（2）设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且 ＝ ，求 a 的值.
解： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由题意知 P （0，
1）.∵ ＝ ，∴（ x1， y1－1）＝ （ x2， y2－1），由此
得 x1＝ x2.由于 x1， x2都是方程①的根，且1－ a2≠0，则 x1＋ x2
＝ ， x1 x2＝ ，∴ x2＝－ ， ＝－ .消去
x2，得－ ＝ ，由 a ＞0得 a ＝ .
通性通法
圆锥曲线的综合问题最终体现在对直线与圆锥曲线的位置关
系、轨迹、向量关系及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决
这类问题常用的方法.在解题时，应有意识地运用这些方法，达到
熟练掌握的程度.
【跟踪训练】
已知椭圆 C ： ＋ ＝1（0＜ m ＜5）的离心率为 ， A ， B 分别
为 C 的左、右顶点.
（1）求 C 的方程；
解：由题设可得 ＝ ，得 m2＝ ，
所以 C 的方程为 ＋ ＝1.
（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x ＝6上，且｜ BP ｜＝｜ BQ ｜， BP
⊥ BQ ，求△ APQ 的面积.
解：设 P （ xP ， yP ）， Q （6， yQ ），根据对称性可设 yQ
＞0，由题意知 yP ＞0.
由已知可得 B （5，0），直线 BP 的方程为 y ＝－ （ x －5），
所以｜ BP ｜＝ yP ，｜ BQ ｜＝ .
因为｜ BP ｜＝｜ BQ ｜，
所以 yP ＝1，将 yP ＝1代入 C 的方程，解得 xP ＝3或－3.
由直线 BP 的方程得 yQ ＝2或8.
所以点 P ， Q 的坐标分别为 P1（3，1）， Q1（6，2）；
P2（－3，1）， Q2（6，8）.
｜ P1 Q1｜＝ ，直线 P1 Q1的方程为 y ＝ x ，
点 A （－5，0）到直线 P1 Q1的距离为 ，
故△ AP1 Q1的面积为 × × ＝ .
｜ P2 Q2｜＝ ，直线 P2 Q2的方程为 y ＝ x ＋ ，
点 A 到直线 P2 Q2的距离为 ，
故△ AP2 Q2的面积为 × × ＝ .
综上，△ APQ 的面积为 .
1. 过椭圆 ＋ y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于
A ， B 两点，则｜ AB ｜＝（ ）
A. 4
C. 1
解析： 因为 ＋ y2＝1中 a2＝4， b2＝1，所以 c2＝3，所以右焦
点坐标为（ ，0），将 x ＝ 代入 ＋ y2＝1得， y ＝± ，故｜
AB ｜＝1.故选C.
2. 在抛物线 y2＝8 x 中，以（1，－1）为中点的弦所在直线的方程是
（ ）
A. x －4 y －3＝0 B. x ＋4 y ＋3＝0
C. 4 x ＋ y －3＝0 D. 4 x ＋ y ＋3＝0
解析： 设弦两端点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 y1＋ y2＝
－2.∵ A ， B 在抛物线上，∴ ＝8 x1， ＝8 x2，两式相减得，
（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝8（ x1－ x2），∴ ＝－4，∴直线 AB 的
方程为 y ＋1＝－4（ x －1），即4 x ＋ y －3＝0.
3. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0），过点 P （3，6）的直
线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，且线段 AB 的中点为 N （12，15），则
双曲线 C 的离心率为（ ）
A. 2 B. 3
解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由已知可得 － ＝
1， － ＝1，两式相减化简可得 － · ＝0.又线段 AB
的中点 N 的坐标为（12，15），直线 AB 过点 P （3，6），∴ x1＋ x2
＝24， y1＋ y2＝30， ＝1，∴ ＝ ，∴ ＝1＋ ＝ ，∴离
心率 e ＝ ＝ .
4. 设 F1， F2分别为椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意
一点，则使得 · ＝－7成立的点 P 的个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 设 P （ x0， y0）.∵ F1， F2分别为椭圆 ＋ ＝1的左、
右焦点，∴ F1（－4，0）， F2（4，0），∴ ＝（－4－ x0，－
y0）， ＝（4－ x0，－ y0）.∵ · ＝－7，∴（－4－ x0）
（4－ x0）＋（－ y0）2＝－7，即 ＋ ＝9 ①.又∵ P （ x0， y0）
为椭圆上任意一点，∴ ＋ ＝1 ②.联立①②解得或
∴使得 · ＝－7成立的点 P 的个数为2.
5. 若直线 x － y ＝2与抛物线 y2＝4 x 交于 A ， B 两点，则线段 AB 的中点
坐标是 .
解析：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），联立直线与抛物线得方程组
整理得 x2－8 x ＋4＝0，所以 x1＋ x2＝8， y1＋ y2＝ x1＋
x2－4＝4，所以中点坐标为（4，2）.
（4，2）
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 y ＝ x －1被椭圆2 x2＋ y2＝4所截得的弦 AB 的中点 M 的坐标是
（ ）
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解析： 由消 y 得2 x2＋（ x －1）2＝4，即3 x2－2 x
－3＝0，解得 x1＝ ， x2＝ ，所以弦 AB 的中点 M 的横坐
标为 x0＝ ＝ ，纵坐标为 y0＝ x0－1＝－ ，故选A.
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2. 直线 x － y ＋1＝0被椭圆 ＋ y2＝1所截得的弦长｜ AB ｜＝（ ）
解析： 由得交点为（0，1）， ，
则｜ AB ｜＝ ＝ .
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3. （2022·全国乙卷5题）设 F 为抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点，点 A 在 C
上，点 B （3，0），若｜ AF ｜＝｜ BF ｜，则｜ AB ｜＝（ ）
A. 2
C. 3
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解析： 法一 如图，由题意可知 F （1，0），
设 A ，则由抛物线的定义可知｜ AF ｜＝
＋1.因为｜ BF ｜＝3－1＝2，所以由｜ AF ｜
＝｜ BF ｜，可得 ＋1＝2，解得 y0＝±2，所以
A （1，2）或 A （1，－2）.不妨取 A （1，2），
则｜ AB ｜＝ ＝ ＝2
，故选B.
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法二 由题意可知 F （1，0），｜ BF ｜＝2，所以｜ AF ｜＝2.因为抛
物线的通径长为2 p ＝4，所以 AF 的长为通径长的一半，所以 AF ⊥ x
轴，所以｜ AB ｜＝ ＝ ＝2 ，故选B.
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4. 已知直线 l ： y ＝ x ＋3与双曲线 － ＝1相交于 A ， B 两点，线段
AB 的中点为 M ，则 OM 的斜率为（ ）
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解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， M （ x0， y0），解方程
组得5 x2＋54 x ＋117＝0，故 x1＋ x2＝－ ，所以 x0＝
＝－ ， y0＝ x0＋3＝－ ，故 kOM ＝ ＝ .
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5. （多选）已知圆 C ：（ x ＋3）2＋（ y －2）2＝4，直线 l ： ax ＋ y ＋2
a －1＝0，直线 l 与抛物线 D ： y2＝－8 x 交于 A ， B 两点，下列结论
正确的是（ ）
C. 若弦 AB 中点的坐标为（－2，1），则 a ＝－4
D. 若弦 AB 中点的坐标为（－2，1），则 a ＝4
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解析： 因为直线 l ： ax ＋ y ＋2 a －1＝0， a （ x ＋2）＋（ y －
1）＝0，即过定点 P （－2，1），（－2＋3）2＋（1－2）2＝2＜
4，则 P （－2，1）在圆 C 内，所以当直线 l 与 CP 垂直时，直线 l 被
圆 C 截得的弦长最短.因为圆 C 的半径为2，｜ CP ｜＝ ，所以弦
长的最小值为2 ＝2 ，A正确，B错误；设 A （ x1， y1），
B （ x2， y2），则 相减得 － ＝－8 x1＋8 x2，整
理得 ＝－ .因为弦 AB 中点的坐标为（－2，1），所以
＝－ ＝－4＝－ a ，得 a ＝4，C错误，D正确；故选A、D.
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6. （多选）设椭圆的方程为 ＋ ＝1，斜率为 k 的直线不经过原点
O ，而且与椭圆相交于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中点，下列结论
正确的是（ ）
A. 直线 AB 与 OM 垂直
B. 若点 M 坐标为（1，1），则直线方程为2 x ＋ y －3＝0
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解析： 假设直线与椭圆交于椭圆的左顶点 A （－ ，0）
和上顶点 B （0，2），显然△ ABO 不是等腰直角三角形， AB 与
OM 显然是不垂直的.故A错误.设直线方程为 y ＝ kx ＋ b （ b
≠0）.联立直线与椭圆的方程，消去 y 得，（2＋ k2） x2＋2 kbx
＋ b2－4＝0.设点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－
， y1＋ y2＝ k （ x1＋ x2）＋2 b ＝－ ＋2 b ＝ .故点
M 的坐标为（－ ， ）.对于B，点 M （1，1），则
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解得即所求直线方程为2 x ＋ y －3＝0.
故B正确.对于C，若直线方程为 y ＝ x ＋1，即 k ＝1， b ＝1，则
M 点坐标为（－ ， ），故C错误.对于D，若直线方程为 y ＝ x
＋2，即 k ＝1， b ＝2，｜ AB ｜＝ ｜ x1－ x2｜＝
＝ × ＝ .故D正确.
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7. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，经过点 F1的一条
直线与椭圆交于 A ， B 两点.若直线 AB 的倾斜角为 ，则弦长｜
AB ｜＝ .
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解析：易知 F1（－1，0），∵直线 AB 的倾斜角为 ，∴直线 AB 的
斜率为1，可得直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋1.联立整理
得7 x2＋8 x －8＝0，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由根与系数的
关系可知 x1＋ x2＝－ ， x1· x2＝－ ，则由弦长公式得｜ AB ｜＝
· ＝ × ＝ .
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8. 直线 y ＝ x －1被抛物线 y2＝4 x 截得的线段的中点坐标是 .
解析：设线段的端点为（ x1， y1），（ x2， y2），将 y ＝ x －1代入
y2＝4 x ，整理得 x2－6 x ＋1＝0.由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝6，
＝3，∴ ＝ ＝ ＝2，∴所求点的坐标为
（3，2）.
（3，2）
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9. 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，与直线 y ＝ x 交于
A ， B 两点，若｜ AB ｜＝2 ，则该双曲线的方程为 .
解析：设等轴双曲线的方程为 x2－ y2＝ a2（ a ＞0），与 y ＝ x 联
立，得 x2＝ a2，∴｜ AB ｜＝ × a ＝2 ，∴ a ＝
3，故双曲线的方程为 x2－ y2＝9.
x2－ y2＝9
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10. 已知过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点，斜率为2 的直线交抛物
线于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）（ x1＜ x2）两点，且｜ AB ｜＝9.
（1）求该抛物线的方程；
解：由题意得直线 AB 的方程为 y ＝2 （ x － ），与
抛物线方程 y2＝2 px 联立，消去 y 可得4 x2－5 px ＋ p2＝0.
由题意知，该方程必有两个不等实根.
所以 x1＋ x2＝ .由抛物线定义知｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝ ＋
p ＝9，所以 p ＝4，
从而该抛物线的方程为 y2＝8 x .
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（2） O 为坐标原点， C 为抛物线上一点（异于 A ， B 两点），若
＝ ＋λ ，求实数λ的值.
解：将 p ＝4代入4 x2－5 px ＋ p2＝0，
可得 x2－5 x ＋4＝0，解得 x1＝1， x2＝4，
所以 y1＝－2 ， y2＝4 ，
从而 A （1，－2 ）， B （4，4 ）.设 C （ x3， y3），
则 ＝（ x3， y3）＝（1，－2 ）＋λ（4，4 ）＝（4λ
＋1，4 λ－2 ）.
又 ＝8 x3，即[2 （2λ－1）]2＝8（4λ＋1），
整理得（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝2.
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11. 已知倾斜角为 的直线 l 过抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点 F ，
抛物线 C 上存在点 P 与 x 轴上一点 Q （5，0）关于直线 l 对称，则 p
＝（ ）
B. 1
C. 2 D. 3
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解析： 由题意得， F （ ，0），设 P （ x0， y0），直线 PQ 的
方程为 y ＝－ （ x －5），由 得，3（ x0－
5）2＝2 px0.连接 FP ，则易知｜ FP ｜＝｜ FQ ｜，即 x0＋ ＝ 5－
，由解得（ x0＝5时不合题
意，舍去）.
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12. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）.若存在过右焦点 F 的
直线与双曲线 C 相交于 A ， B 两点，且 ＝3 ，则双曲线离心
率的最小值为（ ）
C. 2
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解析： 因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于
A ， B 两点，且 ＝3 ，所以直线与双曲线相
交只能是点 A 在双曲线的左支上，点 B 在双曲线的
右支上.由双曲线的对称性，设点 A ， B 均在 x 轴上
方，如图所示.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），右焦点 F （ c ，0）（ c ＞0）.因为 ＝3 ，所以 c － x1＝3（ c － x2），3 x2－ x1＝2 c .由图可知， x1≤－ a ， x2≥ a ，所以－ x1≥ a ，3 x2≥3 a ，故3 x2－ x1≥4
a ，即2 c ≥4 a ，所以 ≥2，即离心率 e ≥2，当且仅当点 A ， B 分别为双曲线的左、右顶点时等号成立.故选C.
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13. （多选）（2022·新高考Ⅰ卷11题）已知 O 为坐标原点，点 A （1，
1）在抛物线 C ： x2＝2 py （ p ＞0）上，过点 B （0，－1）的直线
交 C 于 P ， Q 两点，则（ ）
A. C 的准线为 y ＝－1
B. 直线 AB 与 C 相切
C. ｜ OP ｜·｜ OQ ｜＞｜ OA ｜2
D. ｜ BP ｜·｜ BQ ｜＞｜ BA ｜2
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解析： 如图，因为抛物线 C 过点 A
（1，1），所以1＝2 p ，解得 p ＝ ，所以 C ：
x2＝ y 的准线为 y ＝－ ，所以A错误；因为 x2
＝ y ，所以y'＝2 x ，所以
y'｜ x＝1＝2，所以 C 在点 A 处的切线方程为 y －
1＝2（ x －1），即 y ＝2 x －1，又点 B （0，－
1）在直线 y ＝2 x －1上，所以直线 AB 与 C 相
切，所以B正确；设 P （ x1， y1）， Q （ x2，
y2），直线 PQ 的方程为 y ＝ kx －1，由
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得 x2－ kx ＋1＝0，所以 x1＋ x2＝
k ， x1 x2＝1，且Δ＝ k2－4＞0，得 k ＞2或 k ＜－
2，所以｜ OP ｜·｜ OQ ｜＝
· ＝
＝ · x1 x2＝
＝ ＞2
＝｜ OA ｜2，所以C正确；｜ BP ｜·｜ BQ ｜＝
· ＝
·
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＝
＝
＝
＝
＝ ＝ k2＋1＞5＝｜ BA ｜2，所以
D正确.故选B、C、D.
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14. 已知直线 l ： x － y ＋ m ＝0与双曲线 x2－ ＝1交于不同的两点 A ，
B ，若线段 AB 的中点在圆 x2＋ y2＝5上，则实数 m 的值是 .
解析：由消去 y 得 x2－2 mx － m2－2＝0.则Δ＝4 m2
＋4 m2＋8＝8 m2＋8＞0.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2
＝2 m ， y1＋ y2＝ x1＋ x2＋2 m ＝4 m ，所以线段 AB 的中点坐标为
（ m ，2 m ）.又点（ m ，2 m ）在 x2＋ y2＝5上，所以 m2＋（2 m ）2
＝5，得 m ＝±1.
±1
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15. 已知椭圆 ＋ ＝1和点 P （4，2），直线 l 经过点 P 且与椭圆交
于 A ， B 两点.
（1）当直线 l 的斜率为 时，求线段 AB 的长度；
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解：由已知可得直线 l 的方程为 y －2＝ （ x －4），
即 y ＝ x .由消去 y 并整理，得 x2－18＝0.
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝0， x1 x2＝－18.
于是｜ AB ｜＝
＝
＝ ×
＝ ×6 ＝3 .∴线段 AB 的长度为3 .
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（2）当点 P 恰好为线段 AB 的中点时，求直线 l 的方程.
解：当直线 l 的斜率不存在时，不合题意.
∴直线 l 的斜率存在.
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法一 设直线 l 的斜率为 k ，则其方程为 y －2＝ k （ x －4）.
由消去 y 并整理，得（1＋4 k2） x2－（32 k2－16
k ） x ＋（64 k2－64 k －20）＝0.
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ .
∵ AB 的中点恰好为 P （4，2），
∴ ＝ ＝4，解得 k ＝－ .
此时直线 l 的方程为 y －2＝－ （ x －4），
即 x ＋2 y －8＝0.
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法二 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则有
②－①得 ＋ ＝0，
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∴ kAB ＝－ ＝－ ，
∴直线 l 的方程为 y －2＝－ （ x －4），即 x ＋2 y －8＝0.
整理得 kAB ＝ ＝－ .
∵ P （4，2）是 AB 的中点，
∴ x1＋ x2＝8， y1＋ y2＝4，
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16. （2021·新高考Ⅰ卷21题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1（－
，0）， F2（ ，0），点 M 满足｜ MF1｜－｜ MF2｜＝2.记
M 的轨迹为 C .
（1）求 C 的方程；
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解：因为｜ MF1｜－｜ MF2｜＝2＜｜ F1 F2｜＝2 ，
所以点 M 的轨迹 C 是以 F1， F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设双曲线的方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），半焦距为
c ，则2 a ＝2， c ＝ ，得 a ＝1， b2＝ c2－ a2＝16，
所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－ ＝1（ x ≥1）.
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（2）设点 T 在直线 x ＝ 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A ， B 两
点和 P ， Q 两点，且｜ TA ｜·｜ TB ｜＝｜ TP ｜·｜ TQ ｜，求
直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.
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解：设 T ，由题意可知直线 AB ， PQ 的斜率均
存在且不为0，
设直线 AB 的方程为 y － t ＝ k1 （ k1≠0），
直线 PQ 的方程为 y － t ＝ k2 （ k2≠0），
由得（16－ ） x2－2 k1 x －
－16＝0.
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设 A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），易知16－ ≠0，
则 xAxB ＝ ， xA ＋ xB ＝ ，
所以｜ TA ｜＝ ＝ ，
｜ TB ｜＝ ＝ ，
则｜ TA ｜·｜ TB ｜＝（1＋ ）
＝（1＋ ）
＝（1＋ ）
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＝ .
同理得｜ TP ｜·｜ TQ ｜＝ .
因为｜ TA ｜·｜ TB ｜＝｜ TP ｜·｜ TQ ｜，所以
＝ ，所以 －16＋ －16
＝ －16＋ －16 ，即 ＝ ，
又 k1≠ k2，所以 k1＝－ k2，即 k1＋ k2＝0.
故直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为0.
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