一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.对圆锥曲线定义的理解是学科素养中的数学抽象.
培优一 圆锥曲线的定义
【例1】 （1）若命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a是常数）；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）平面内有两个定点F1（－5，0）和F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是 .
尝试解答
二、数学运算
在数学运算核心素养的形成过程中，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
培优二 圆锥曲线的标准方程
【例2】 （1）（2022·全国甲卷11题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
（2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为 .
尝试解答
培优三 圆锥曲线的几何性质
【例3】 （1）（2022·全国甲卷10题）椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2022·全国甲卷15题）记双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值 .
尝试解答
三、直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段.本章内容中的最值问题就是利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.
培优四 圆锥曲线中的最值（范围）问题
【例4】 已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是（8，7），则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值为 .
尝试解答
培优五 圆锥曲线类型的判断
【例5】 （多选）已知曲线C的方程为＋＝1（m≠±1且m≠3），则下列结论正确的是（ ）
A.当m＝2时，曲线C是焦距为4的双曲线
B.当m＝4时，曲线C是离心率为的椭圆
C.曲线C可能是一个圆
D.当m＝－3时，曲线C是渐近线方程为x±2y＝0的双曲线
尝试解答
四、逻辑推理
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；在判断直线与圆锥曲线位置关系中利用判断法进行推断.
培优六 直线与圆锥曲线的位置关系
【例6】 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点（1，），且焦距为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点P（－2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点，求直线l的斜率k的取值范围.
尝试解答
培优七 直线与圆锥曲线的相交弦问题
【例7】 （多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A.p＝2
B.｜MN｜＝
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
尝试解答
培优八 圆锥曲线中的证明问题
【例8】 已知双曲线E：－＝1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是直线x＝上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足·＝0.
（1）求实数a的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.
尝试解答
培优九 圆锥曲线中的探究性问题
【例9】 （2022·新高考Ⅱ卷21题）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①M在AB上；②PQ∥AB；③｜MA｜＝｜MB｜.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 （1）B （2）－＝1（x≥3）
解析：（1）若点P的轨迹是椭圆，则一定有｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0）；反过来，若｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0），则点P的轨迹可能是线段，也可能不存在.
（2）｜PF1｜－｜PF2｜＝6＜｜F1F2｜＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故轨迹方程为－＝1（x≥3）.
【例2】 （1）B （2）x＝－
解析：（1）依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以＝（－a，－b），＝（a，－b），·＝－a2＋b2＝－（a2－b2）＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B.
（2）法一（通解） 由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二（优解） 由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－.
【例3】 （1）A （2）2（答案不唯一，（1，]内的任意值均可）
解析：（1）法一 设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝·＝＝ （*）.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝（a2－m2），代入（*）式，得＝，结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝＝.故选A.
法二 设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A.
（2）双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，又e＞1，∴e∈（1，].∴填写（1，]内的任意值均可.
【例4】 9 解析：抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于点M，如图所示.根据抛物线的定义知，｜PF｜＝｜PM｜＝｜PQ｜＋1.所以｜PA｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PM｜－1＝｜PA｜＋｜PF｜－1≥｜AF｜－1＝10－1＝9.
【例5】 AD 对于A，当m＝2时，曲线C的方程为－y2＝1，表示双曲线，且c＝＝2，即焦距为4，A正确；对于B，当m＝4时，曲线C的方程为＋y2＝1，表示椭圆，离心率e＝＝≠，B错误；对于C，令m2－1＝m－3，得m2－m＋2＝0，Δ＝（－1）2－4×2＝－7＜0，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，C错误；对于D，当m＝－3时，曲线C的方程为－＝1，表示双曲线，渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，D正确.故选A、D.
【例6】 解：（1）由2c＝2得c＝1，则a2＝b2＋c2＝b2＋1，
把代入椭圆C的方程得＋＝1，解得b2＝1，a2＝2，
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
（2）由题意设直线l的方程为y＝k（x＋2）.
当k＝0时，显然满足题意.
当k≠0时，联立
整理得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
令Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＞0，解得－＜k＜.
所以斜率k的取值范围为.
【例7】 AC 由于y2＝2px的焦点为（，0），直线y＝－（x－1）过焦点，所以－（－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝.B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为＝，圆心到准线l的距离d＝＋1＝＝｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝，x2＝3，所以y1＝，y2＝－2，所以｜ON｜＝＝，｜OM｜＝＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确.故选A、C.
【例8】 解：（1）因为e＝，所以＝，
即a2＝5，a＝.
（2）证明：由（1）可知直线x＝＝，点F2（3，0）.
设P，Q（x0，y0），
因为·＝0，所以（3－，－t）·（3－x0，－y0）＝0，整理得ty0＝（x0－3）.
因为点Q（x0，y0）在双曲线E上，所以－＝1，即＝（－5）.
所以kPQ·kOQ＝·＝＝＝.
所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.
【例9】 解：（1）由题意得c＝2，
因为双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝.
又c2＝a2＋b2，
联立得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
（2）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋b（k≠0），将直线PQ的方程代入C的方程，整理得（3－k2）x2－2kbx－b2－3＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－＞0，所以3－k2＜0，
所以x1－x2＝＝.
设点M的坐标为（xM，yM），
则
两式相减，得y1－y2＝2xM－（x1＋x2），
又y1－y2＝（kx1＋b）－（kx2＋b）＝k（x1－x2），
所以2xM＝k（x1－x2）＋（x1＋x2），解得xM＝；
两式相加，得2yM－（y1＋y2）＝（x1－x2），
又y1＋y2＝（kx1＋b）＋（kx2＋b）＝k（x1＋x2）＋2b，
所以2yM＝k（x1＋x2）＋（x1－x2）＋2b，
解得yM＝＝xM.
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k（x－2），设A（xA，yA），B（xB，yB），
不妨令点A在直线y＝x上，
则由解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.
点M的坐标满足
得xM＝＝，yM＝＝，
故M为AB的中点，即｜MA｜＝｜MB｜.
若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时M不在直线y＝x上，矛盾.
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m（x－2）（m≠0），A（xA，yA），B（xB，yB），
不妨令点A在直线y＝x上，
则由解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
因为M在AB上，且｜MA｜＝｜MB｜，所以xM＝＝，yM＝＝，
又点M在直线y＝x上，所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k（x－2），设A（xA，yA），B（xB，yB），
不妨令点A在直线y＝x上，
则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－.
设AB的中点为C（xC，yC），则xC＝＝，
yC＝＝.因为｜MA｜＝｜MB｜，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－（x－xC），
即y－＝－（x－）上，
与y＝x联立，得xM＝＝xC，yM＝＝yC，
即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上.
3 / 3(共43张PPT)
章末复习与总结
一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映
了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽
象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.对
圆锥曲线定义的理解是学科素养中的数学抽象.
培优一 圆锥曲线的定义
【例1】 （1）若命题甲：动点 P 到两定点 A ， B 的距离之和｜ PA ｜
＋｜ PB ｜＝2 a （ a ＞0， a 是常数）；命题乙：点 P 的轨迹是椭圆，
则甲是乙的（ B ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
解析：若点 P 的轨迹是椭圆，则一定有｜ PA ｜＋｜ PB ｜
＝2 a （ a ＞0）；反过来，若｜ PA ｜＋｜ PB ｜＝2 a （ a ＞0），
则点 P 的轨迹可能是线段，也可能不存在.
（2）平面内有两个定点 F1（－5，0）和 F2（5，0），动点 P 满足｜
PF1｜－｜ PF2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是
.
解析：｜ PF1｜－｜ PF2｜＝6＜｜ F1 F2｜＝10，根据双曲
线的定义可知点 P 的轨迹为双曲线的右支，且 a ＝3， c ＝5，故
b2＝16，故轨迹方程为 － ＝1（ x ≥3）.
－ ＝1（ x
≥3）
二、数学运算
在数学运算核心素养的形成过程中，能够通过运算促进数学思维
发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学
精神.
培优二 圆锥曲线的标准方程
【例2】 （1）（2022·全国甲卷11题）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a
＞ b ＞0）的离心率为 ， A1， A2分别为 C 的左、右顶点， B 为 C 的上
顶点.若 · ＝－1，则 C 的方程为（ B ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ y2＝1
B
解析：依题意得 A1（－ a ，0）， A2（ a ，0）， B （0，
b ），所以 ＝（－ a ，－ b ）， ＝（ a ，－ b ），
· ＝－ a2＋ b2＝－（ a2－ b2）＝－ c2＝－1，故 c ＝1，又
C 的离心率 e ＝ ＝ ＝ ，所以 a ＝3， a2＝9， b2＝ a2－ c2＝8，
即 C 的方程为 ＋ ＝1，故选B.
（2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y2＝2
px （ p ＞0）的焦点为 F ， P 为 C 上一点， PF 与 x 轴垂直， Q 为 x
轴上一点，且 PQ ⊥ OP . 若｜ FQ ｜＝6，则 C 的准线方程为
.
x ＝
－
解析：法一（通解） 由题易得｜ OF ｜＝ ，｜ PF ｜＝
p ，∠ OPF ＝∠ PQF ，所以tan∠ OPF ＝tan ∠ PQF ，所以
＝ ，即 ＝ ，解得 p ＝3，所以 C 的准线方程为 x
＝－ .
法二（优解） 由题易得｜ OF ｜＝ ，｜ PF ｜＝ p ，｜ PF ｜2
＝｜ OF ｜·｜ FQ ｜，即 p2＝ ×6，解得 p ＝3或 p ＝0（舍
去），所以 C 的准线方程为 x ＝－ .
培优三 圆锥曲线的几何性质
【例3】 （1）（2022·全国甲卷10题）椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b
＞0）的左顶点为 A ，点 P ， Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称.若直线
AP ， AQ 的斜率之积为 ，则 C 的离心率为（ A ）
A. B.
C. D.
A
解析：法一 设 P （ m ， n ）（ n ≠0），则 Q （－ m ，
n ），易知 A （－ a ，0），所以 kAP · kAQ ＝ · ＝
＝ （*）.因为点 P 在椭圆 C 上，所以 ＋ ＝1，得 n2＝
（ a2－ m2），代入（*）式，得 ＝ ，结合 b2＝ a2－ c2，得3 a2
＝4 c2，所以 e ＝ ＝ .故选A.
法二 设椭圆 C 的右顶点为 B ，则直线 BP 与直线 AQ 关于 y 轴对称，
所以 kAQ ＝－ kBP ，所以 kAP · kBP ＝－ kAP · kAQ ＝－ ＝ e2－1，所以 e ＝
.故选A.
（2）（2022·全国甲卷15题）记双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞
0）的离心率为 e ，写出满足条件“直线 y ＝2 x 与 C 无公共点”的 e
的一个值 .
2（答案不唯一，（1， ]内的任意值均可）
解析：双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝± x ，若直线 y ＝2 x 与双曲线 C 无
公共点，则2≥ ，∴ ≤4，∴ e2＝ ＝1＋ ≤5，又 e ＞1，∴ e ∈
（1， ].∴填写（1， ]内的任意值均可.
三、直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手
段.本章内容中的最值问题就是利用图形描述、分析数学问题；建立形
与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.
培优四 圆锥曲线中的最值（范围）问题
【例4】 已知 P 是抛物线 x2＝4 y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点
Q ，点 A 的坐标是（8，7），则｜ PA ｜＋｜ PQ ｜的最小值为 .
解析：抛物线的焦点为 F （0，1），准线方
程为 y ＝－1，延长 PQ 交准线于点 M ，如图
所示.根据抛物线的定义知，｜ PF ｜＝｜
PM ｜＝｜ PQ ｜＋1.所以｜ PA ｜＋｜ PQ ｜
＝｜ PA ｜＋｜ PM ｜－1＝｜ PA ｜＋｜ PF ｜
－1≥｜ AF ｜－1＝10－1＝9.
9
培优五 圆锥曲线类型的判断
【例5】 （多选）已知曲线 C 的方程为 ＋ ＝1（ m ≠±1且 m
≠3），则下列结论正确的是（ ）
A. 当 m ＝2时，曲线 C 是焦距为4的双曲线
B. 当 m ＝4时，曲线 C 是离心率为 的椭圆
C. 曲线 C 可能是一个圆
D. 当 m ＝－3时，曲线 C 是渐近线方程为 x ±2 y ＝0的双曲线
解析： 对于A，当 m ＝2时，曲线 C 的方程为 － y2＝1，表示双
曲线，且 c ＝ ＝2，即焦距为4，A正确；对于B，当 m ＝4时，
曲线 C 的方程为 ＋ y2＝1，表示椭圆，离心率 e ＝ ＝ ≠
，B错误；对于C，令 m2－1＝ m －3，得 m2－ m ＋2＝0，Δ＝（－
1）2－4×2＝－7＜0，该方程无解，则曲线 C 不可能是一个圆，C错
误；对于D，当 m ＝－3时，曲线 C 的方程为 － ＝1，表示双曲
线，渐近线方程为 y ＝± x ，即 x ±2 y ＝0，D正确.故选A、D.
四、逻辑推理
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命
题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；在判断直线与圆锥曲
线位置关系中利用判断法进行推断.
培优六 直线与圆锥曲线的位置关系
【例6】 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）过点（1， ），且
焦距为2.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
解：由2 c ＝2得 c ＝1，则 a2＝ b2＋ c2＝ b2＋1，
把 代入椭圆 C 的方程得 ＋ ＝1，
解得 b2＝1， a2＝2，
故椭圆 C 的标准方程为 ＋ y2＝1.
（2）设过点 P （－2，0）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，求直线 l
的斜率 k 的取值范围.
解：由题意设直线 l 的方程为 y ＝ k （ x ＋2）.
当 k ＝0时，显然满足题意.
当 k ≠0时，联立
整理得（1＋2 k2） x2＋8 k2 x ＋8 k2－2＝0.
令Δ＝（8 k2）2－4（1＋2 k2）（8 k2－2）＞0，解得－ ＜ k ＜ .
所以斜率 k 的取值范围为 .
培优七 直线与圆锥曲线的相交弦问题
【例7】 （多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y
＝－ （ x －1）过抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点，且与 C 交于
M ， N 两点， l 为 C 的准线，则（ ）
A. p ＝2
B. ｜ MN ｜＝
C. 以 MN 为直径的圆与 l 相切
D. △ OMN 为等腰三角形
解析： 由于 y2＝2 px 的焦点为（ ，0），直线 y ＝－ （ x －
1）过焦点，所以－ （ －1）＝0，解得 p ＝2，A正确；联立
消去 y 得3 x2－10 x ＋3＝0，设 M （ x1， y1）， N
（ x2， y2），则 x1＋ x2＝ ，所以｜ MN ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝ .B不正
确；以 MN 为直径的圆的圆心的横坐标为 ＝ ，圆心到准线 l 的
距离 d ＝ ＋1＝ ＝ ｜ MN ｜，故以 MN 为直径的圆与 l 相切，C正
确；不妨令点 M 在第一象限，由3 x2－10 x ＋3＝0得 x1＝ ， x2＝3，所
以 y1＝ ， y2＝－2 ，所以｜ ON ｜＝ ＝ ，｜
OM ｜＝ ＝ ，又｜ MN ｜＝ ，所以△ OMN
不是等腰三角形，D不正确.故选A、C.
培优八 圆锥曲线中的证明问题
【例8】 已知双曲线 E ： － ＝1（ a ＞0）的中心为原点 O ，左、
右焦点分别为 F1， F2，离心率为 ，点 P 是直线 x ＝ 上任意一点，
点 Q 在双曲线 E 上，且满足 · ＝0.
（1）求实数 a 的值；
解：因为 e ＝ ，所以 ＝ ，
即 a2＝5， a ＝ .
（2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值.
解：证明：由（1）可知直线 x ＝ ＝ ，点 F2（3，0）.
设 P ， Q （ x0， y0），
因为 · ＝0，所以 ·（3－ x0，－ y0）＝0，整理
得 ty0＝ （ x0－3）.
因为点 Q （ x0， y0）在双曲线 E 上，所以 － ＝1，即 ＝
（ －5）.
所以 kPQ · kOQ ＝ · ＝ ＝ ＝ .
所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 .
培优九 圆锥曲线中的探究性问题
【例9】 （2022·新高考Ⅱ卷21题）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞
0， b ＞0）的右焦点为 F （2，0），渐近线方程为 y ＝± x .
（1）求 C 的方程；
解：由题意得 c ＝2，
因为双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ＝± x ，所以 ＝ .
又 c2＝ a2＋ b2，
联立得 a ＝1， b ＝ ，
所以双曲线 C 的方程为 x2－ ＝1.
（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ， B 两点，点 P （ x1，
y1）， Q （ x2， y2）在 C 上，且 x1＞ x2＞0， y1＞0.过 P 且斜率为
－ 的直线与过 Q 且斜率为 的直线交于点 M . 从下面①②③
中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① M 在 AB 上；② PQ ∥ AB ；③｜ MA ｜＝｜ MB ｜.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解：由题意知直线 PQ 的斜率存在且不为0，设直线 PQ
的方程为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），将直线 PQ 的方程代入 C 的方
程，整理得（3－ k2） x2－2 kbx － b2－3＝0，
则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝－ ＞0，所以3－ k2＜0，
所以 x1－ x2＝ ＝ .
设点 M 的坐标为（ xM ， yM ），
则
两式相减，得 y1－ y2＝2 xM － （ x1＋ x2），
又 y1－ y2＝（ kx1＋ b ）－（ kx2＋ b ）＝ k （ x1－ x2），
所以2 xM ＝ k （ x1－ x2）＋ （ x1＋ x2），解得 xM ＝
；
两式相加，得2 yM －（ y1＋ y2）＝ （ x1－ x2），
又 y1＋ y2＝（ kx1＋ b ）＋（ kx2＋ b ）＝ k （ x1＋ x2）＋2b ，
所以2 yM ＝ k （ x1＋ x2）＋ （ x1－ x2）＋2 b ，
解得 yM ＝ ＝ xM .
因此，点 M 的轨迹为直线 y ＝ x ，其中 k 为直线 PQ 的斜率.
若选择①②：因为 PQ ∥ AB ，所以直线 AB 的方程为 y ＝ k
（ x －2），设 A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），
不妨令点 A 在直线 y ＝ x 上，
则由解得 xA ＝ ， yA ＝ ，
同理可得 xB ＝ ， yB ＝－ ，
所以 xA ＋ xB ＝ ， yA ＋ yB ＝ .
点 M 的坐标满足
得 xM ＝ ＝ ， yM ＝ ＝ ，
故 M 为 AB 的中点，即｜ MA ｜＝｜ MB ｜.
若选择①③：当直线 AB 的斜率不存在时，点 M 即为点 F
（2，0），此时 M 不在直线 y ＝ x 上，矛盾.
当直线 AB 的斜率存在时，易知直线 AB 的斜率不为0，设直
线 AB 的方程为 y ＝ m （ x －2）（ m ≠0）， A （ xA ， yA ），
B （ xB ， yB ），
不妨令点 A 在直线 y ＝ x 上，
则由解得 xA ＝ ， yA ＝ ，
同理可得 xB ＝ ， yB ＝－ ，
因为 M 在 AB 上，且｜ MA ｜＝｜ MB ｜，所以 xM ＝
＝ ， yM ＝ ＝ ，
又点 M 在直线 y ＝ x 上，所以 ＝ · ，
解得 k ＝ m ，因此 PQ ∥ AB .
若选择②③：因为 PQ ∥ AB ，所以直线 AB 的方程为 y ＝ k
（ x －2），设 A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），
不妨令点 A 在直线 y ＝ x 上，
则由解得 xA ＝ ， yA ＝ ，
同理可得 xB ＝ ， yB ＝－ .
设 AB 的中点为 C （ xC ， yC ），则 xC ＝ ＝ ，
yC ＝ ＝ .
因为｜ MA ｜＝｜ MB ｜，所以 M 在 AB 的垂直平分线上，即
点 M 在直线 y － yC ＝－ （ x － xC ），即 y － ＝－
上，
与 y ＝ x 联立，得 xM ＝ ＝ xC ， yM ＝ ＝ yC ，
即点 M 恰为 AB 的中点，故点 M 在直线 AB 上.
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