1.1 点在空间直角坐标系中的坐标 1.2 空间两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标 数学抽象
2.掌握空间两点间的距离公式，并会利用该公式求空间两点间的距离 数学运算
如图是一个房间的示意图.
【问题】 我们如何表示板凳和气球的位置？
知识点一 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点 叫作坐标原点，x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面.
2.右手系
伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向，称这样的坐标系为右手系.
3.空间直角坐标系中点的坐标
三元有序实数组 叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P（x，y，z），其中x叫作点P的 坐标，y叫作点P的 坐标，z叫作点P的 坐标.
知识点二 空间两点间的距离公式
已知空间中P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2）两点，则P，Q两点间的距离为｜PQ｜＝ .
【想一想】
若P是坐标原点，且Q（x，y，z），则P，Q两点间距离公式是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在空间中，过x轴，y轴的平面叫作xOy平面.（ ）
（2）空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）的形式.（ ）
（3）空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的形式.（ ）
（4）空间直角坐标系中，点（1，，2）关于yOz平面的对称点为（－1，，2）.（ ）
2.已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（ ）
A.4 B.2
C.4 D.3
3.在空间直角坐标系中，点A（2，－1，2）在坐标平面xOy内的投影坐标为 .
题型一 求空间点的坐标
【例1】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，｜CF｜＝｜AB｜＝2｜CE｜＝1，｜AB｜∶｜AD｜∶｜AA1｜＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出点E，F的坐标.
尝试解答
通性通法
空间中点P坐标的确定方法
（1）过点P分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是（x，y，z）；
（2）若题目所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题.
【跟踪训练】
如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，｜AB｜＝2，｜PA｜＝4，则PD的中点M的坐标为 .
题型二 空间点的对称问题
【例2】 在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）.
（1）求点P关于x轴对称的点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
（3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标.
尝试解答
通性通法
空间点对称问题的解题策略
（1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解；
（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
【跟踪训练】
已知点P（2，3，－1）关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 .
题型三 空间两点间的距离公式及应用
【例3】 已知点M在x轴上，且M到点A（1，0，2）与B（2，－3，1）的距离相等，则M的坐标是 .
尝试解答
通性通法
利用空间两点间距离公式求线段长的一般步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求出线段端点的坐标；
（3）利用两点间的距离公式求出线段的长.
【跟踪训练】
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且｜CG｜＝｜CD｜，H为C1G的中点，建立适当的坐标系.
（1）写出E，F，G，H的坐标；
（2）求G与H两点间的距离.
1.点A（0，－2，3）在空间直角坐标系中的位置是（ ）
A.在x轴上 B.在xOy平面内
C.在yOz平面内 D.在xOz平面内
2.在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）与Q（3，－4，－5）两点的位置关系是（ ）
A.关于x轴对称 B.关于xOy平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
3.在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面的对称点的坐标是（ ）
A.（－2，1，－4） B.（－2，－1，－4）
C.（2，－1，4） D.（2，1，－4）
4.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，｜OA｜＝3，｜OC｜＝5，｜OO1｜＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为（ ）
A.（3，5，4） B.
C. D.
5.已知A（3，5，－7），B（－2，4，3），则线段AB在yOz平面上的射影长为 .
1.1 点在空间直角坐标系中的坐标
1.2 空间两点间的距离公式
【基础知识·重落实】
知识点一
1.O xOy yOz zOx 2.x 90°
3.（x，y，z） 横 纵 竖
知识点二
想一想
提示：｜PQ｜＝.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√
2.A ｜AB｜＝
＝4.
3.（2，－1，0）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.由｜AB｜＝1，得｜AD｜＝2，｜AA1｜＝4，｜CF｜＝｜AB｜＝1，｜CE｜＝｜AB｜＝，所以｜BE｜＝｜BC｜－｜CE｜＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为（1，2，1）.
跟踪训练
解析：由题意知｜PO｜
＝
＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为.
【例2】 解：（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（－2，－1，－4）.
（2）由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（－2，1，－4）.
（3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6，
y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12，
所以P3的坐标为（6，－3，－12）.
跟踪训练
（2，－3，1） 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）.
【例3】 解析：设点M（a，0，0），∵｜MA｜＝｜MB｜，
∴
＝，即（a－1）2＋4＝（a－2）2＋9＋1，解得a＝.∴M.
跟踪训练
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x轴坐标、y轴坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.
由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N，
由平面几何知识知｜FM｜＝，｜FN｜＝，
故F点坐标为.
点G在y轴上，其x、z轴坐标均为0，
又｜GD｜＝，故G点坐标为.
由H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点.
故｜HK｜＝，｜CK｜＝，
∴｜DK｜＝，
故H点坐标为.
（2）｜GH｜＝
＝.
随堂检测
1.C ∵点A的横坐标为0，∴点A（0，－2，3）在yOz平面内.
2.A 点P（3，4，5）与Q（3，－4，－5）两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称.
3.A 过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P'连线的中点，又N（－2，1，0），所以对称点为P'（－2，1，－4），故选A.
4.C 由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是.
5. 解析：点A（3，5，－7），B（－2，4，3）在yOz平面上的射影分别为A'（0，5，－7），B'（0，4，3），∴线段AB在yOz平面上的射影长｜A'B'｜＝＝.
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1.1 点在空间直角坐标系中的坐标 1.2 空间两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点
的坐标 数学抽象
2.掌握空间两点间的距离公式，并会利用该公式求空
间两点间的距离 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图是一个房间的示意图.
【问题】 我们如何表示板凳和气球的位置？
知识点一 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系
过空间任意一点 O ，作三条两两垂直的直线，并以点 O 为原
点，在三条直线上分别建立数轴： x 轴、 y 轴和 z 轴，这样就建
立了一个空间直角坐标系 O - xyz .点 叫作坐标原点， x 轴
（横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴）叫作坐标轴，通过每两
条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面.
O
xOy
yOz
zOx
2. 右手系
伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 轴正方
向，然后让四指沿握拳方向旋转 指向 y 轴正方向，此时大
拇指的指向即为 z 轴正方向，称这样的坐标系为右手系.
3. 空间直角坐标系中点的坐标
三元有序实数组 叫作点 P 在此空间直角坐标系中
的坐标，记作 P （ x ， y ， z ），其中 x 叫作点 P 的 坐标， y 叫
作点 P 的 坐标， z 叫作点 P 的 坐标.
x
90°
（ x ， y ， z ）
横
纵
竖
知识点二 空间两点间的距离公式
已知空间中 P （ x1， y1， z1）， Q （ x2， y2， z2）两点，则 P ， Q 两点
间的距离为｜ PQ ｜
＝ .
【想一想】
若 P 是坐标原点，且 Q （ x ， y ， z ），则 P ， Q 两点间距离公式
是什么？
提示：｜ PQ ｜＝ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在空间中，过 x 轴， y 轴的平面叫作 xOy 平面. （ √ ）
（2）空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是（0， b ， c ）
的形式. （ × ）
（3）空间直角坐标系中，在 xOz 平面内的点的坐标一定是（ a ，
0， c ）的形式. （ √ ）
（4）空间直角坐标系中，点（1， ，2）关于 yOz 平面的对称点
为（－1， ，2）. （ √ ）
√
×
√
√
2. 已知 A （1，1，1）， B （－3，－3，－3），则线段 AB 的长为
（ ）
A. 4 B. 2
C. 4 D. 3
解析： ｜ AB ｜＝ ＝4
.
3. 在空间直角坐标系中，点 A （2，－1，2）在坐标平面 xOy 内的投影
坐标为 .
（2，－1，0）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求空间点的坐标
【例1】 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是棱
BC ， CC1上的点，｜ CF ｜＝｜ AB ｜＝2｜ CE ｜＝1，｜
AB ｜∶｜ AD ｜∶｜ AA1｜＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出
点 E ， F 的坐标.
解：以 A 为坐标原点，射线 AB ， AD ， AA1的方向分别为 x 轴， y 轴，
z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.由｜ AB ｜＝1，得｜
AD ｜＝2，｜ AA1｜＝4，｜ CF ｜＝｜ AB ｜＝1，｜ CE ｜＝ ｜ AB ｜
＝ ，所以｜ BE ｜＝｜ BC ｜－｜ CE ｜＝2－ ＝ .
所以点 E 的坐标为 ，点 F 的坐标为（1，2，1）.
通性通法
空间中点 P 坐标的确定方法
（1）过点 P 分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，依次交 x 轴、 y
轴、 z 轴于点 Px ， Py ， Pz ，这三个点在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的坐
标分别为 x ， y ， z ，那么点 P 的坐标就是（ x ， y ， z ）；
（2）若题目所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴或
坐标平面上，则要充分利用这一性质解题.
【跟踪训练】
如图所示的空间直角坐标系中，四边形 ABCD 是正方形，｜
AB ｜＝2，｜ PA ｜＝4，则 PD 的中点 M 的坐标
为 .
解析：由题意知｜ PO ｜＝ ＝
＝ ，点 M 在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的
投影分别为 M1， O ， M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－ ，
0， ，所以点 M 的坐标为 .
题型二 空间点的对称问题
【例2】 在空间直角坐标系中，已知点 P （－2，1，4）.
（1）求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标；
解： 由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y
轴， z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1（－
2，－1，－4）.
（2）求点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标；
解： 由点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴， y 轴的分量不
变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P2（－
2，1，－4）.
（3）求点 P 关于点 M （2，－1，－4）对称的点的坐标.
解：设对称点为 P3（ x ， y ， z ），则点 M 为线段 PP3
的中点，
由中点坐标公式，可得 x ＝2×2－（－2）＝6，
y ＝2×（－1）－1＝－3， z ＝2×（－4）－4＝－12，
所以 P3的坐标为（6，－3，－12）.
通性通法
空间点对称问题的解题策略
（1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要
掌握对称点的变化规律，才能准确求解；
（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相
反”这个结论.
【跟踪训练】
已知点 P （2，3，－1）关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1，点 P1
关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2关于 z 轴的对称点为 P3，
则点 P3的坐标为 .
（2，－3，1）
解析：点 P （2，3，－1）关于坐标平面 xOy 的对称点 P1的坐标
为（2，3，1），点 P1关于坐标平面 yOz 的对称点 P2的坐标为（－2，3，1），点 P2关于 z 轴的对称点 P3的坐标是（2，－3，1）.
题型三 空间两点间的距离公式及应用
【例3】 已知点 M 在 x 轴上，且 M 到点 A （1，0，2）与 B （2，－
3，1）的距离相等，则 M 的坐标是 .
解析：设点 M （ a ，0，0），∵｜ MA ｜＝｜ MB ｜，
∴
＝ ，即（ a －1）2＋4＝（ a －
2）2＋9＋1，解得 a ＝ .∴ M .
通性通法
利用空间两点间距离公式求线段长的一般步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求出线段端点的坐标；
（3）利用两点间的距离公式求出线段的长.
【跟踪训练】
在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 D1 D ，
BD 的中点， G 在棱 CD 上，且｜ CG ｜＝ ｜ CD ｜， H 为 C1 G
的中点，建立适当的坐标系.
（1）写出 E ， F ， G ， H 的坐标；
解：建立如图所示的空间直角坐标系.点 E 在 z 轴上，它的 x
轴坐标、 y 轴坐标均为0，而 E 为 DD1的中点，
故其坐标为 .
由 F 作 FM ⊥ AD ， FN ⊥ DC ，垂足分别为 M ， N ，
由平面几何知识知｜ FM ｜＝ ，｜ FN ｜＝ ，
故 F 点坐标为 .
点 G 在 y 轴上，其 x 、 z 轴坐标均为0，
又｜ GD ｜＝ ，故 G 点坐标为 .
由 H 作 HK ⊥ CG 于点 K ，由于 H 为 C1 G 的中点.
故｜ HK ｜＝ ，｜ CK ｜＝ ，∴｜ DK ｜＝ ，
故 H 点坐标为 .
（2）求 G 与 H 两点间的距离.
解： ｜ GH ｜＝ ＝ .
1. 点 A （0，－2，3）在空间直角坐标系中的位置是（ ）
A. 在 x 轴上 B. 在 xOy 平面内
C. 在 yOz 平面内 D. 在 xOz 平面内
解析： ∵点 A 的横坐标为0，∴点 A （0，－2，3）在 yOz 平
面内.
2. 在空间直角坐标系中，点 P （3，4，5）与 Q （3，－4，－5）两点
的位置关系是（ ）
A. 关于 x 轴对称 B. 关于 xOy 平面对称
C. 关于坐标原点对称 D. 以上都不对
解析： 点 P （3，4，5）与 Q （3，－4，－5）两点的横坐标相
同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于 x 轴对称.
3. 在空间直角坐标系中，点 P （－2，1，4）关于 xOy 平面的对称点的
坐标是（ ）
A. （－2，1，－4） B. （－2，－1，－4）
C. （2，－1，4） D. （2，1，－4）
解析： 过点 P 向 xOy 平面作垂线，垂足为 N ，则 N 就是点 P 与它
关于 xOy 平面的对称点 P '连线的中点，又 N （－2，1，0），所以对
称点为 P '（－2，1，－4），故选A.
4. 如图，在长方体 OABC - O1 A1 B1 C1中，｜ OA ｜＝3，｜ OC ｜＝
5，｜ OO1｜＝4，点 P 是 B1 C1的中点，则点 P 的坐标为（ ）
A. （3，5，4） B.
C. D.
解析： 由题图知，点 P 在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的投影分别为 P1，
P2， P3，它们在坐标轴上的坐标分别是 ，5，4，故点 P 的坐标是
.
5. 已知 A （3，5，－7）， B （－2，4，3），则线段 AB 在 yOz 平面上
的射影长为 .
解析：点 A （3，5，－7）， B （－2，4，3）在 yOz 平面上的射影
分别为A'（0，5，－7），B'（0，4，3），∴线段 AB 在 yOz 平面上
的射影长｜A'B'｜＝ ＝
.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若点 P （－4，－2，3）关于坐标平面 xOy 及 y 轴的对称点的坐标分
别是（ a ， b ， c ），（ e ， f ， d ），则 c 与 e 的和为（ ）
A. 7 B. －7
C. －1 D. 1
解析： 点 P 关于坐标平面 xOy 的对称点坐标是（－4，－2，－
3），关于 y 轴的对称点坐标是（4，－2，－3），从而知 c ＋ e ＝1.
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2. 在空间直角坐标系中，已知点 P （1， ， ），过点 P 作平面
yOz 的垂线 PQ ，则垂足 Q 的坐标为（ ）
A. （0， ，0） B. （0， ， ）
C. （1，0， ） D. （1， ，0）
解析： 由于垂足在平面 yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横
坐标为0.
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3. 如图所示，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1，则点 B1的坐标是
（ ）
A. （1，0，0）
B. （1，0，1）
C. （1，1，1）
D. （1，1，0）
解析： 点 B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为（1，
1，1），故选C.
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4. 在空间直角坐标系中，已知点 A （1，－2，11）， B （4，2，3），
C （6，－1，4），则△ ABC 一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： ∵ A （1，－2，11）， B （4，2，3）， C （6，－1，
4），∴｜ AB ｜＝ ＝
，｜ AC ｜＝ ＝
，｜ BC ｜＝ ＝ ，
∴｜ AC ｜2＋｜ BC ｜2＝｜ AB ｜2，∴△ ABC 一定为直角三角形.
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5. （多选）在空间直角坐标系中，已知点 P （ x ， y ， z ），下列叙述
正确的是（ ）
A. 点 P 关于 x 轴对称的点 P1（ x ，－ y ，－ z ）
B. 点 P 关于 y 轴对称的点 P2（－ x ， y ，－ z ）
C. 点 P 关于原点对称的点 P3（－ x ，－ y ，－ z ）
D. 点 P 关于 yOz 平面对称的点 P4（ x ，－ y ， z ）
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解析： 由点 P （ x ， y ， z ），对于A，点 P 关于 x 轴对称的点
P1（ x ，－ y ，－ z ），故A正确；对于B，点 P 关于 y 轴对称的点 P2
（－ x ， y ，－ z ），故B正确；对于C，点 P 关于原点对称的点 P3
（－ x ，－ y ，－ z ），故C正确；对于D，点 P 关于 yOz 平面对称的
点 P4（－ x ， y ， z ），故D错误.故选A、B、C.
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6. （多选）在空间直角坐标系中，设 A （1，2， a ）， B （2，3，
4），若｜ AB ｜＝ ，则实数 a 的值可能是（ ）
A. －5 B. －3
C. 3 D. 5
解析： 由空间中两点间距离公式，可得｜ AB ｜＝
＝ ，解得 a ＝3或 a ＝5.故
选C、D.
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7. 已知空间直角坐标系中三点 A ， B ， M ，点 A 与点 B 关于点 M 对
称，且已知 A 点的坐标为（3，2，1）， M 点的坐标为（4，3，
1），则 B 点的坐标为 .
解析：设 B 点的坐标为（ x ， y ， z ），则有 ＝4， ＝3，
＝1，解得 x ＝5， y ＝4， z ＝1，故 B 点的坐标为（5，4，1）.
（5，4，1）
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8. 已知 A （1－ t ，1－ t ， t ）， B （2， t ， t ），则｜ AB ｜的最小值
为 .
解析：由两点间的距离公式可得｜ AB ｜＝
＝ ＝
≥ .
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9. 如图，正方体 ABCD -A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点 M 关于 y 轴的
对称点的坐标为 N ；｜ MN ｜＝ .
（－1，－2，－1）
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解析：因为 D （2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的
中点 M 的坐标为（1，－2，1），所以点 M 关于 y 轴的对称点的坐标
为 N （－1，－2，－1）.｜ MN ｜＝
＝2 .
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10. 如图所示，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，｜ AB ｜＝｜ AD ｜＝
3，｜ AA1｜＝2，点 M 在 A1 C1上，｜ MC1｜＝2｜ A1 M ｜， N 为 D1
C 的中点，求 M ， N 两点间的距离.
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解：如图所示，分别以 AB ， AD ， AA1所在直
线为 x 轴、
y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.
由题意可知 C （3，3，0）， D （0，3，0），
A1（0，0，2）.
∵｜ DD1｜＝｜ CC1｜＝｜ AA1｜＝2，
∴ C1（3，3，2）， D1（0，3，2）.
∵ N 为 CD1的中点，
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∴ N .
又｜ A1 M ｜＝ ｜ A1 C1｜，∴ M （1，1，2）.
由两点间距离公式，得
｜ MN ｜＝ ＝ .
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11. 已知正方体的两个顶点 A （－1，2，－1）， B （3，－2，3），并
且 A ， B 不同时在它的任何一个面上，则正方体的体积是（ ）
A. 16 B. 192
C. 64 D. 48
解析： ｜ AB ｜＝ ＝4
.又因为 A （－1，2，－1）， B （3，－2，3）不同时在正方体
的任一个面上，所以 A ， B 两点间的距离即为正方体的体对角线
长.设正方体的边长为 a ，则 a ＝4 ，即 a ＝4，所以正方体的
体积为64.
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12. （多选）已知点 A （－2，3，4），在 z 轴上求一点 B ，使｜ AB ｜
＝7，则点 B 的坐标为（ ）
A. （0，0，10） B. （0，10，0）
C. （0，0，－2） D. （0，0，2）
解析： 设点 B 的坐标为（0，0， c ），由空间两点间距离公
式可得｜ AB ｜＝ ＝7，解得 c ＝－2或
10，所以 B 点的坐标为（0，0，10）或（0，0，－2）.
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13. （多选）空间直角坐标系中，若某一点到三个坐标平面的距离都
是1，则下列说法正确的是（ ）
A. 该点到原点的距离是
B. 该点到原点的距离是3
C. 这样的点有4个
D. 这样的点有8个
解析： 不妨设该点为（1，1，1），显然该点到原点的距离
是 ，A正确，B错误，由对称性可知，这样的点有8个.
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14. 如图是一个正方体截下的一角 P - ABC ，其中 PA ＝ a ， PB ＝ b ，
PC ＝ c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ ABC 的重心 G 的坐
标是 .
解析：由题意知 A （ a ，0，0）， B （0， b ，0）， C （0，0， c ）.由重心坐标公式得点 G 的坐标为 .
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15. 如图，在空间直角坐标系中，｜ BC ｜＝2，原点 O 是 BC 的中点，
点 D 在平面 yOz 内，且∠ BDC ＝90°，∠ DCB ＝30°，求点 D 的
坐标.
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解：如图，过点 D 作 DE ⊥ BC ，垂足为 E . 在
Rt△ BDC 中，∠ BDC ＝90°，∠ DCB ＝
30°，｜ BC ｜＝2，
得｜ BD ｜＝1，｜ CD ｜＝ ，
∴｜ DE ｜＝｜ CD ｜ sin 30°＝ ，
｜ OE ｜＝｜ OB ｜－｜ BE ｜＝｜ OB ｜－｜
BD ｜ cos 60°＝1－ ＝ ，
∴点 D 的坐标为 .
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16. 对于任意实数 x ， y ， z ，求 ＋
的最小值.
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解：设 P （ x ， y ， z ）， M （－1，2，1），
则 ＋ ＝｜
PO ｜＋｜ PM ｜（ O 为坐标原点），
由于 x ， y ， z 是任意实数，
即点 P 是空间任意一点，
则｜ PO ｜＋｜ PM ｜≥｜ OM ｜＝ ＝ ，
则所求的最小值为 .
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谢 谢 观 看！
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161.1 点在空间直角坐标系中的坐标 1.2 空间两点间的距离公式
1.若点P（－4，－2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c），（e，f，d），则c与e的和为（ ）
A.7 B.－7 C.－1 D.1
2.在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（ ）
A.（0，，0） B.（0，，）
C.（1，0，） D.（1，，0）
3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（ ）
A.（1，0，0）
B.（1，0，1）
C.（1，1，1）
D.（1，1，0）
4.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.（多选）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述正确的是（ ）
A.点P关于x轴对称的点P1（x，－y，－z）
B.点P关于y轴对称的点P2（－x，y，－z）
C.点P关于原点对称的点P3（－x，－y，－z）
D.点P关于yOz平面对称的点P4（x，－y，z）
6.（多选）在空间直角坐标系中，设A（1，2，a），B（2，3，4），若｜AB｜＝，则实数a的值可能是（ ）
A.－5 B.－3
C.3 D.5
7.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为（3，2，1），M点的坐标为（4，3，1），则B点的坐标为 .
8.已知A（1－t，1－t，t），B（2，t，t），则｜AB｜的最小值为 .
9.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为N ；｜MN｜＝ .
10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，｜AB｜＝｜AD｜＝3，｜AA1｜＝2，点M在A1C1上，｜MC1｜＝2｜A1M｜，N为D1C的中点，求M，N两点间的距离.
11.已知正方体的两个顶点A（－1，2，－1），B（3，－2，3），并且A，B不同时在它的任何一个面上，则正方体的体积是（ ）
A.16 B.192
C.64 D.48
12.（多选）已知点A（－2，3，4），在z轴上求一点B，使｜AB｜＝7，则点B的坐标为（ ）
A.（0，0，10） B.（0，10，0）
C.（0，0，－2） D.（0，0，2）
13.（多选）空间直角坐标系中，若某一点到三个坐标平面的距离都是1，则下列说法正确的是（ ）
A.该点到原点的距离是
B.该点到原点的距离是3
C.这样的点有4个
D.这样的点有8个
14.如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是 .
15.如图，在空间直角坐标系中，｜BC｜＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标.
16.对于任意实数x，y，z，求＋的最小值.
1.1 点在空间直角坐标系中的坐标
1.2 空间两点间的距离公式
1.D 点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是（－4，－2，－3），关于y轴的对称点坐标是（4，－2，－3），从而知c＋e＝1.
2.B 由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.
3.C 点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为（1，1，1），故选C.
4.C ∵A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），
∴｜AB｜＝
＝，
｜AC｜＝
＝，
｜BC｜＝
＝，∴｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，∴△ABC一定为直角三角形.
5.ABC 由点P（x，y，z），对于A，点P关于x轴对称的点P1（x，－y，－z），故A正确；对于B，点P关于y轴对称的点P2（－x，y，－z），故B正确；对于C，点P关于原点对称的点P3（－x，－y，－z），故C正确；对于D，点P关于yOz平面对称的点P4（－x，y，z），故D错误.故选A、B、C.
6.CD 由空间中两点间距离公式，可得｜AB｜＝＝，解得a＝3或a＝5.故选C、D.
7.（5，4，1） 解析：设B点的坐标为（x，y，z），则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B点的坐标为（5，4，1）.
8. 解析：由两点间的距离公式可得｜AB｜
＝
＝
＝≥.
9.（－1，－2，－1） 2
解析：因为D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M的坐标为（1，－2，1），所以点M关于y轴的对称点的坐标为N（－1，－2，－1）.｜MN｜＝＝2.
10.解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知C（3，3，0），D（0，3，0），A1（0，0，2）.
∵｜DD1｜＝｜CC1｜＝｜AA1｜＝2，
∴C1（3，3，2），D1（0，3，2）.
∵N为CD1的中点，
∴N.
又｜A1M｜＝｜A1C1｜，∴M（1，1，2）.
由两点间距离公式，得
｜MN｜＝
＝.
11.C ｜AB｜＝＝4.又因为A（－1，2，－1），B（3，－2，3）不同时在正方体的任一个面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4，所以正方体的体积为64.
12.AC 设点B的坐标为（0，0，c），由空间两点间距离公式可得｜AB｜＝＝7，解得c＝－2或10，所以B点的坐标为（0，0，10）或（0，0，－2）.
13.AD 不妨设该点为（1，1，1），显然该点到原点的距离是，A正确，B错误，由对称性可知，这样的点有8个.
14. 解析：由题意知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）.由重心坐标公式得点G的坐标为.
15.解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，｜BC｜＝2，
得｜BD｜＝1，｜CD｜＝，
∴｜DE｜＝｜CD｜sin 30°＝，
｜OE｜＝｜OB｜－｜BE｜＝｜OB｜－｜BD｜cos 60°＝1－＝，
∴点D的坐标为.
16.解：设P（x，y，z），M（－1，2，1），则＋＝｜PO｜＋｜PM｜（O为坐标原点），由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则｜PO｜＋｜PM｜≥｜OM｜＝＝，则所求的最小值为.
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