2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算
第一课时 空间向量及空间向量的加、减、数乘运算
1.空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝（ ）
A. B.
C. D.
2.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是（ ）
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
3.如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则（ ）
A.＝－a－b＋c
B.＝－a－b＋c
C.＝－a＋b＋c
D.＝－a－b－c
4.（多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的是（ ）
A.＋与＋是一对相反向量
B.－与－是一对相反向量
C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D.－与－是一对相反向量
5.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的是（ ）
A.（－）－
B.（＋）－
C.（－）＋
D.（－）－
6.（多选）若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则结论正确的有（ ）
A.P∈直线AB B.P 直线AB
C.O，A，B，P四点共面 D.P，A，B三点共线
7.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则＝ .
8.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量，则
（1）＝ ；
（2）＋＝ .
9.如图，已知正四棱锥P-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点.若＝＋x＋y，则x，y的值分别为 ， .
10.如图，已知M，N分别是空间四边形ABCD的对角线AC和BD的中点，求证：＝（＋）.
11.已知在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为线段BC的中点.连接OB，设＝a，＝b，＝c，则＝（ ）
A.a＋b－c B.－a＋b＋c
C.a－b＋c D.a＋b－c
12.若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不同为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为 .
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0（λ∈R），则λ＝ .
15.如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面.
16.对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若有关系式＝＋2＋2，求证：点P与点A，B，C共面.
第一课时 空间向量及空间向量的加、减、数乘运算
1.C ＋－＝＋＝－＝.
2.A ∵＋＝＋，∴＝.∴∥且｜｜＝｜｜.∴四边形ABCD为平行四边形.
3.B ＝－＝（＋）－（＋）＝－－＋＝－a－b＋c.故选B.
4.ACD ∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－（＋），同理可得＋＝－（＋），故＋＋＋＝－（＋＋＋），∴A、C正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－（－），∴D正确.
5.ABC 对于选项A，（－）－＝－＝；对于选项B，（＋）－＝＋＝；对于选项C，（－）＋＝＋＝；对于选项D，（－）－＝（－）－＝＋＝，故选A、B、C.
6.ACD 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝（1－n）·＋n·，即－＝n（－），即＝n，所以与共线.又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为＝m＋n，故O，A，B，P四点共面.故选A、C、D.
7.3a＋3b－5c 解析：取BC的中点M（如图所示），联接EM，FM.∵E，F，M是中点，∴EM AB，MF CD，∴＝＝a－c，＝＝a＋3b－4c，∴＝＋＝a－c＋a＋3b－4c＝3a＋3b－5c.
8.（1）a＋b＋c （2）a＋b＋c
解析：（1）因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.
（2）因为M是AA1的中点，N是BC的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋（ a＋b＋c）＝a＋b＋c.＝＋＝＋＝＋＝a＋c，所以＋＝（ a＋b＋c）＋（ a＋c）＝a＋b＋c.
9.－ － 解析：因为＝－＝－（＋）＝－－，所以x＝y＝－.
10.证明：如图，取BC的中点P，连接PM，PN，
在△ABC中，＝，在△BCD中，＝，
所以＝＋＝＋＝（＋）.
11.B 因为点M在线段OA上，且OM＝2MA，所以＝a.因为点N为线段BC的中点，所以＝b＋c.故＝－＝b＋c－a＝－a＋b＋c.故选B.
12.C 若α＋β＝1，则－＝β（－），即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ（－），整理得＝（1＋λ）－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
13.0 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，∵＝－，＝－，∴－＝k（－），化简整理得－（k＋1）＋k＝0.∵λ＋m＋n＝0，∴①当k＝－1时，比较系数得m＝0且λ＝－n，∵λ＋m＋n＝0；②当k≠－1时，可得＝＝，得m＝（－k－1）λ，n＝kλ；由此可得λ＋m＋n＝λ＋（－k－1）λ＋kλ＝0，综上所述，λ＋m＋n＝0.
14.－ 解析：如图，连接A1C1，C1D，则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D，且EF＝A1D，∴＝，即－＝0，
∴λ＝－.
15.证明：因为＝k＝kb＋kc，＝＋＝a＋k＝a＋k（－a＋b）＝（1－k）a＋kb，
所以＝－＝（1－k）a＋kb－kb－kc＝（1－k）a－kc.
由共面向量定理可知，，a，c共面.
16.证明：法一 由已知得－＝2＋2，
即＝2＋2.
因为A，B，C三点不共线，所以，不共线.
由向量共面的充要条件知点P与点A，B，C共面.
法二 由已知得＝＋2（－）＋2（－），
即＝－3＋2＋2.
由于A，B，C三点不共线，且－3＋2＋2＝1，
故点P与点A，B，C共面.
1 / 32.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算
第一课时 空间向量及空间向量的加、减、数乘运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念 数学抽象
2.掌握空间向量的线性运算 数学运算
如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，跳伞运动员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？
【问题】 （1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
（2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？
知识点一 空间向量的有关概念
1.定义：在空间中，把具有 和 的量叫作空间向量.
2.长度：向量的 叫作向量的长度或 .
3.表示法
提醒 向量与有向线段是有区别的.虽然向量可用有向线段表示，但这是两个不同的概念，且数学中所研究的向量与它的起点无关，称之为自由向量.
4.几个特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 模为 的向量 0
相反向量 方向 且模相等的向量 a的相反向量是－a
相等向量 方向 且模 的向量 a＝b或 ＝
单位向量 模为 的向量 ｜a｜＝1
知识点二 共线向量与共面向量
共线（平行）向量 共面向量
定义 当表示向量的两条有向线段所在的直线 时，称这两个向量互为共线向量（或平行向量）.若a，b为共线向量，记作a∥b （1）当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量a平行于平面α，记作a∥α，把 的向量，叫作共面向量； （2）能平移到 内的三个向量叫作共面向量
【想一想】
空间中的任意两个向量是不是共面向量？
知识点三 空间向量的线性运算
名称 代数形式及运算法则 几何形式 运算律
加 法 ＝ ＝a＋b 三角形法则或平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c
减 法 ＝ ＝a－b 三角形法则
数 乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ（μa）＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb（λ∈R，μ∈R）
共线向量基本定理：空间两个向量a，b（b≠0）共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.（也称“一维向量基本定理”）
【想一想】
1.向量线性运算的结果还是向量吗？
2.λa的长度是a的长度的λ倍吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）向量的长度与向量的长度相等.（ ）
（2）空间中任意两个单位向量必相等.（ ）
（3）若A，B，C三点共线，则与共线.（ ）
（4）向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上.（ ）
（5）若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.（ ）
2.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝（ ）
A.a＋b－c B.c－a－b
C.c＋a－b D.c＋a＋b
3.非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是 .
题型一 空间向量概念的辨析
【例1】 （多选）下列说法中正确的是（ ）
A.若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量，则｜a｜＝｜b｜
C.空间向量的加法满足结合律
D.在四边形ABCD中，一定有＋＝
尝试解答
通性通法
空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.
【跟踪训练】
如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
（1）试写出与是相等向量的所有向量；
（2）试写出的相反向量；
（3）若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
题型二 空间向量的加、减运算
【例2】 在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量.
通性通法
空间向量加、减运算的两个技巧一个转化
（1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；
（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果；
（3）因向量的加、减运算互为逆运算，所以求两向量的差a－b可转化为a＋（－b）.
题型三 空间向量的线性运算
【例3】 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式：
（1）＋＋；
（2）（＋－）.
尝试解答
通性通法
利用数乘运算进行向量表示的注意点
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题.
【跟踪训练】
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D.－a－b＋c
题型四 空间向量共线、共面问题
【例4】 （1）设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝ ；
（2）设a，b，c是空间不共面的三个向量，若p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面.
尝试解答
通性通法
1.要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.
2.要判定空间中的三个向量共面，只需设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb（a，b不共线），则向量p，a，b共面.
提醒 四点共面的判定方法：若存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得对于空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.
【跟踪训练】
1.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点.若由＝＋＋λ可确定点P与A，B，C共面，则λ＝（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线.
1.下列命题中正确的是（ ）
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C.若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥
D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋＝（ ）
A. B.
C. D.
3.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.若｜a｜＜｜b｜，则a＜b
B.若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C.若空间内任意一向量a，则存在λ∈R，使得λa＝0
D.在四边形ABCD中，－＝
4.已知空间向量a，b，c，化简（a＋2b－3c）＋5－3（a－2b＋c）＝ .
5.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝ .
第一课时 空间向量及空间向量的加、减、数乘运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.大小 方向 2.大小 模 3.（1）有向线段 （2） ｜a｜ ｜｜ 4.0 相反 相同 相等 1个单位长度
知识点二
平行或重合 平行于同一平面 同一平面
想一想
提示：是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
知识点三
＋ －
想一想
1.提示：是向量.
2.提示：不是，应是｜λ｜倍.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）×
2.B ＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－b.
3.±1 解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），所以所以k＝±1.
【典型例题·精研析】
【例1】 BC ｜a｜＝｜b｜，说明a与b模长相等，但方向不确定.对于a的相反向量b＝－a，故｜a｜＝｜b｜，从而B正确.加法满足结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立，故A、D均不正确.
跟踪训练
解：（1）与向量是相等向量的（除它自身之外）有，及，共3个.
（2）向量的相反向量为，，，.
（3）｜｜＝＝＝＝3.
【例2】 解：在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝.
同理＝，＝，＝，
所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图.
母题探究
解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，所以＝，＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝，如图.
【例3】 解：（1）因为G是△BCD的重心，所以｜｜＝｜｜，
所以＝，又因为＝，
所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝.
从而＋＋＝.
（2）如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝，
所以（＋－）＝＋－＝－＝.
跟踪训练
A ＝＋＝＋（＋）＝c＋（－a＋b）＝－a＋b＋c.
【例4】 （1）1 解析：＝＋＋＝（e1＋ke2）＋（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）＝7e1＋（k＋6）e2.设＝λ，则7e1＋（k＋6）e2＝λ（e1＋ke2），所以解得k＝1.
（2）解：显然m与n不共线，假设m，n，p共面，则存在实数x，y使得p＝xm＋yn，所以3a＋2b＋c＝x（a－b＋c）＋y（a＋b－c）＝（x＋y）a＋（－x＋y）b＋（x－y）c.
因为a，b，c不共面，所以此方程组无解，
所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面.
跟踪训练
1.A ∵A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，且由＝＋＋λ可确定点P与A，B，C共面，∴＋＋λ＝1，解得λ＝.故选A.
2.证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.
∵＝，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋.
∵＝2，＝＋＝－＝－2，
∴＝（－2）＋＝＋.
∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线.
随堂检测
1.C A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥，正确；D中，若b＝0，a≠0，则λ不唯一.
2.D 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋＝（＋）＋＝＋＝.故选D.
3.CD 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意向量a，存在实数λ＝0，使得0·a＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确.
4.a＋b－c 解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b－c.
5.－8 解析：由已知得＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ.∴2e1＋ke2＝λ（e1－4e2）＝λe1－4λe2.∵e1，e2不共线，∴解得k＝－8.
6 / 6(共76张PPT)
第一课时 空间向量及空间向量的加、减、数乘运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解
空间向量的概念 数学抽象
2.掌握空间向量的线性运算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程
中，跳伞运动员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法
表示这些力吗？
【问题】 （1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示
出来？
（2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？
知识点一 空间向量的有关概念
1. 定义：在空间中，把具有 和 的量叫作空间向量.
2. 长度：向量的 叫作向量的长度或 .
3. 表示法
大小
方向
大小
模
提醒 向量与有向线段是有区别的.虽然向量可用有向线段表示，但
这是两个不同的概念，且数学中所研究的向量与它的起点无关，称
之为自由向量.
4. 几个特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 模为 的向量 0
相反向量 方向 且模相等的
向量 a 的相反向量是－ a
相等向量 方向 且模
的向量
单位向量 模为 的
向量 ｜ a ｜＝1
0
相反
相同
相
等
1个单位长度
知识点二 共线向量与共面向量
共线（平行）向量 共面向量
定
义 当表示向量的两条有向线
段所在的直线
时，称这两个向量互
为共线向量（或平行向
量）.若 a ， b 为共线向
量，记作 a ∥ b （1）当表示向量 a 的有向线段所在直
线平行于平面α或在平面α内时，就说
向量 a 平行于平面α，记作 a ∥α，
把 的向量，叫作
共面向量；
（2）能平移到 内的三个
向量叫作共面向量
平行或重
合
平行于同一平面
同一平面
【想一想】
空间中的任意两个向量是不是共面向量？
提示：是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为
同一平面内的两个向量.
知识点三 空间向量的线性运算
名 称 代数形式及 运算法则 几何形式 运算律
加 法
交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ；
结合律： a ＋（ b ＋ c ）＝（ a ＋ b ）＋ c
减 法 ＋
－
名 称 代数形式及 运算法则 几何形式 运算律
数 乘
结合律：λ（μ a ）＝（λμ） a ；
分配律：（λ＋μ） a ＝λ a ＋μ a ，λ
（ a ＋ b ）＝λ a ＋λ b （λ∈R，
μ∈R）
共线向量基本定理：空间两个向量 a ， b （ b ≠0）共线的充要条件是存
在唯一的实数λ，使得 a ＝λ b .通常把这个定理称为共线向量基本定理.
（也称“一维向量基本定理”）
1. 向量线性运算的结果还是向量吗？
提示：是向量.
2. λ a 的长度是 a 的长度的λ倍吗？
提示：不是，应是｜λ｜倍.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）向量 的长度与向量 的长度相等. （ √ ）
（2）空间中任意两个单位向量必相等. （ × ）
（3）若 A ， B ， C 三点共线，则 与 共线. （ √ ）
（4）向量 与向量 是共线向量，则点 A ， B ， C ， D 必在同一
条直线上. （ × ）
（5）若向量 a ， b ， c 共面，则表示这三个向量的有向线段所在的
直线共面. （ × ）
√
×
√
×
×
2. 已知空间四边形 ABCD 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝
（ ）
A. a ＋ b － c B. c － a － b
C. c ＋ a － b D. c ＋ a ＋ b
解析： ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＝－ a － b ＋ c
＝ c － a － b .
3. 非零向量 e1， e2不共线，使 ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线的 k 的值是 .
解析：若 ke1＋ e2， e1＋ ke2共线，则 ke1＋ e2＝λ（ e1＋ ke2），所以
所以 k ＝±1.
±1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量概念的辨析
【例1】 （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ， b 的长度相同，方向相同或相反
B. 若向量 a 是向量 b 的相反向量，则｜ a ｜＝｜ b ｜
C. 空间向量的加法满足结合律
解析： ｜ a ｜＝｜ b ｜，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定.对
于 a 的相反向量 b ＝－ a ，故｜ a ｜＝｜ b ｜，从而B正确.加法满足结
合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有 ＋ ＝ ，只
有平行四边形才能成立，故A、D均不正确.
通性通法
空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相
关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模
相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.
（1）试写出与 是相等向量的所有向量；
解：与向量 是相等向量的（除它自身
之外）有 ， 及 ，共3个.
【跟踪训练】
如图所示，以长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的八个顶点的两点为始点和终
点的向量中：
（2）试写出 的相反向量；
解：向量 的相反向量为 ，
， ， .
（3）若 AB ＝ AD ＝2， AA1＝1，求向量 的模.
解：｜ ｜＝
＝
＝ ＝3.
题型二 空间向量的加、减运算
【例2】 在六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，化简 － ＋
＋ ＋ ，并在图中标出化简结果的向量.
解：在六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，四边形
AA1 F1 F 是平行四边形，
所以 ＝ .
同理 ＝ ， ＝ ， ＝ ，
所以 － ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋
＋ ＝ ，如图.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，化简 ＋ ＋ ＋ ，并在
图中标出化简结果的向量.
解：根据六棱柱的性质知四边形 BB1 C1 C ， DD1 E1 E
都是平行四边形，所以 ＝ ， ＝ ，所
以 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ，如图.
通性通法
空间向量加、减运算的两个技巧一个转化
（1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法
的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；
（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减
法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空
间向量的自由平移获得运算结果；
（3）因向量的加、减运算互为逆运算，所以求两向量的差 a － b 可转
化为 a ＋（－ b ）.
题型三 空间向量的线性运算
【例3】 在空间四边形 ABCD 中， G 为△ BCD 的重心， E ， F ， H 分
别为边 CD ， AD 和 BC 的中点，化简下列各表达式：
（1） ＋ ＋ ；
解：因为 G 是△ BCD 的重心，所以｜ ｜＝ ｜ ｜，
所以 ＝ ，又因为 ＝ ，
所以由向量的加法法则，可知 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝ .
从而 ＋ ＋ ＝ .
（2） （ ＋ － ）.
解：如图所示，分别取 AB ， AC 的中点
P ， Q ，连接 PH ， QH ，
则四边形 APHQ 为平行四边形，且有 ＝
， ＝ ，而 ＋ ＝ ， ＝ ，
所以 （ ＋ － ）＝ ＋ － ＝
－ ＝ .
通性通法
利用数乘运算进行向量表示的注意点
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角
形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点
进行解题.
【跟踪训练】
在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 AC 与 BD 的交点.若
＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则下列向量中与 相等的
向量是（ ）
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ c ＋
（－ a ＋ b ）＝－ a ＋ b ＋ c .
题型四 空间向量共线、共面问题
【例4】 （1）设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝ e1＋
ke2， ＝5 e1＋4 e2， ＝－ e1－2 e2，且 A ， B ， D 三点共线，则实
数 k ＝ ；
解析： ＝ ＋ ＋ ＝（ e1＋ ke2）＋（5 e1＋4 e2）＋（ e1＋2
e2）＝7 e1＋（ k ＋6） e2.设 ＝λ ，则7 e1＋（ k ＋6） e2＝λ（ e1＋
ke2），所以解得 k ＝1.
1
（2）设 a ， b ， c 是空间不共面的三个向量，若 p ＝3 a ＋2 b ＋ c ， m
＝ a － b ＋ c ， n ＝ a ＋ b － c ，试判断 p ， m ， n 是否共面.
解：显然 m 与 n 不共线，假设 m ， n ， p 共面，则存在实数 x ， y
使得 p ＝ xm ＋ yn ，所以3 a ＋2 b ＋ c ＝ x （ a － b ＋ c ）＋ y （ a
＋ b － c ）＝（ x ＋ y ） a ＋（－ x ＋ y ） b ＋（ x － y ） c .
因为 a ， b ， c 不共面，所以此方程组无解，
所以 p 不能用 m ， n 表示，即 p ， m ， n 不共面.
通性通法
1. 要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行
四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示
为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.
2. 要判定空间中的三个向量共面，只需设法证明其中一个向量可以表
示成另两个不共线向量的线性组合，即若 p ＝ xa ＋ yb （ a ， b 不共
线），则向量 p ， a ， b 共面.
提醒 四点共面的判定方法：若存在唯一的有序实数组（ x ， y ，
z ），使得对于空间中任一点 O 和不共线的三点 A ， B ， C ，有
＝ x ＋ y ＋ z ，且 x ＋ y ＋ z ＝1成立，则 P ， A ， B ， C 四
点共面.
1. 已知 A ， B ， C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一点.若由 ＝
＋ ＋λ 可确定点 P 与 A ， B ， C 共面，则λ＝（ ）
解析： ∵ A ， B ， C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一点，且由
＝ ＋ ＋λ 可确定点 P 与 A ， B ， C 共面，∴ ＋ ＋λ
＝1，解得λ＝ .故选A.
【跟踪训练】
2. 如图，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O 为 A1 C 上一点，且 ＝
， BD 与 AC 交于点 M . 求证： C1， O ， M 三点共线.
证明：如图，连接 AO ， AC1， A1 C1.
∵ ＝ ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ .
∵ ＝2 ， ＝ ＋ ＝ － ＝
－2 ，
∴ ＝ （ －2 ）＋ ＝ ＋ .
∵ ＋ ＝1，∴ C1， O ， M 三点共线.
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线
B. 向量 a ， b ， c 共面，即它们所在的直线共面
D. 若 a ∥ b ，则存在唯一的实数λ，使 a ＝λ b
解析： A中，若 b ＝0，则 a 与 c 不一定共线；B中，共面向量的
定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直
线不一定共面；C中，∵ ＋ ＝0，∴ ＝－ ，∴ 与
共线，故 ∥ ，正确；D中，若 b ＝0， a ≠0，则λ不唯一.
2. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， ＋ ＋ ＝（ ）
解析： 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， ＋ ＋ ＝（
＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .故选D.
3. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若｜ a ｜＜｜ b ｜，则 a ＜ b
B. 若 a ， b 为相反向量，则 a ＋ b ＝0
C. 若空间内任意一向量 a ，则存在λ∈R，使得λ a ＝0
解析： 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；
相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意向量 a ，存在实数λ＝0，
使得0· a ＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确.
4. 已知空间向量 a ， b ， c ，化简 （ a ＋2 b －3 c ）＋5
－3（ a －2 b ＋ c ）＝ .
解析：原式＝ a ＋ b － c ＋ a － b ＋ c －3 a ＋6 b －3 c ＝ a ＋
b － c .
a ＋ b － c
5. 设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝2 e1＋ ke2， ＝ e1
＋3 e2， ＝2 e1－ e2，且 A ， B ， D 三点共线，则 k ＝ .
解析：由已知得 ＝ － ＝（2 e1－ e2）－（ e1＋3 e2）＝ e1－
4 e2，∵ A ， B ， D 三点共线，∴ 与 共线，即存在λ∈R，使
得 ＝λ .∴2 e1＋ ke2＝λ（ e1－4 e2）＝λ e1－4λ e2.∵ e1， e2不共
线，∴解得 k ＝－8.
－8
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 空间中任意四个点 A ， B ， C ， D ，则 ＋ － ＝（ ）
解析： ＋ － ＝ ＋ ＝ － ＝ .
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2. 设有四边形 ABCD ， O 为空间任意一点，且 ＋ ＝ ＋ ，
则四边形 ABCD 是（ ）
A. 平行四边形 B. 空间四边形
C. 等腰梯形 D. 矩形
解析： ∵ ＋ ＝ ＋ ，∴ ＝ .∴ ∥ 且｜
｜＝｜ ｜.∴四边形 ABCD 为平行四边形.
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3. 如图，四棱锥 P - OABC 的底面是矩形， PO ⊥底面 OABC . 设 ＝
a ， ＝ b ， ＝ c ， E 是 PC 的中点，则（ ）
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解析： ＝ － ＝ （ ＋ ）－（ ＋ ）＝－
－ ＋ ＝－ a － b ＋ c .故选B.
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4. （多选）已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的中心为 O ，则下列结论中
正确的是（ ）
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解析： ∵ O 为正方体的中心，∴ ＝－ ， ＝－
，故 ＋ ＝－（ ＋ ），同理可得 ＋ ＝－
（ ＋ ），故 ＋ ＋ ＋ ＝－（ ＋ ＋
＋ ），∴A、C正确；∵ － ＝ ， － ＝
，∴ － 与 － 是两个相等的向量，∴B不正确；
∵ － ＝ ， － ＝ ＝ ，∴ － ＝－
（ － ），∴D正确.
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5. （多选）如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，下列各式中运算的
结果为 的是（ ）
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解析： 对于选项A，（ － ）－ ＝ － ＝
；对于选项B，（ ＋ ）－ ＝ ＋ ＝ ；
对于选项C，（ － ）＋ ＝ ＋ ＝ ；对于选项
D，（ － ）－ ＝（ － ）－ ＝ ＋
＝ ，故选A、B、C.
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6. （多选）若空间中任意四点 O ， A ， B ， P 满足 ＝ m ＋ n
，其中 m ＋ n ＝1，则结论正确的有（ ）
A. P ∈直线 AB B. P 直线 AB
C. O ， A ， B ， P 四点共面 D. P ， A ， B 三点共线
解析： 因为 m ＋ n ＝1，所以 m ＝1－ n ，所以 ＝（1－
n ）· ＋ n · ，即 － ＝ n （ － ），即 ＝ n ，
所以 与 共线.又 ， 有公共起点 A ，所以 P ， A ， B 三点
在同一直线上，即 P ∈直线 AB . 因为 ＝ m ＋ n ，故 O ，
A ， B ， P 四点共面.故选A、C、D.
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7. 已知空间四边形 ABCD 中， ＝ a －2 c ， ＝5 a ＋6 b －8 c ，
AC ， BD 的中点分别为 E ， F ，则 ＝ .
解析：取 BC 的中点 M （如图所示），联接 EM ，
FM . ∵ E ， F ， M 是中点，∴ EM AB ， MF
CD ，∴ ＝ ＝ a － c ， ＝ ＝ a ＋3 b
－4 c ，∴ ＝ ＋ ＝ a － c ＋ a ＋3 b －4 c
＝3 a ＋3 b －5 c .
3 a ＋3 b －5 c
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8. 如图所示，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，设 ＝ a ， ＝
b ， ＝ c ， M ， N ， P 分别是 AA1， BC ， C1 D1的中点，试用 a ，
b ， c 表示以下向量，则
（1） ＝ ；
解析：因为 P 是 C1 D1的中点，所以
＝ ＋ ＋ ＝ a ＋ ＋ ＝ a
＋ c ＋ ＝ a ＋ b ＋ c .
a ＋ b ＋ c
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（2） ＋ ＝ a ＋ b ＋ c .
解析：因为 M 是 AA1的中点， N 是 BC 的中点，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ a ＋（ a ＋ b ＋ c ）＝ a ＋ b ＋ c . ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ a ＋ c ，所以 ＋ ＝（ a ＋ b ＋ c ）＋（ a ＋ c ）＝ a ＋ b ＋ c .
a ＋ b ＋ c
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9. 如图，已知正四棱锥 P - ABCD ，点 O 是正方形 ABCD 的中心， Q 是
CD 的中点.若 ＝ ＋ x ＋ y ，则 x ， y 的值分别为
， － .
－
－
解析：因为 ＝ － ＝ － （ ＋ ）＝ － － ，所以 x ＝ y ＝－ .
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10. 如图，已知 M ， N 分别是空间四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的
中点，求证： ＝ （ ＋ ）.
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证明：如图，取 BC 的中点 P ，连接 PM ， PN ，
在△ ABC 中， ＝ ，在△ BCD 中， ＝ ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）.
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11. 已知在空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA 上，且 OM ＝2 MA ，
点 N 为线段 BC 的中点.连接 OB ，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，
则 ＝（ ）
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解析： 因为点 M 在线段 OA 上，且 OM ＝2 MA ，所以 ＝ a .
因为点 N 为线段 BC 的中点，所以 ＝ b ＋ c .故 ＝ －
＝ b ＋ c － a ＝－ a ＋ b ＋ c .故选B.
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12. 若 P ， A ， B ， C 为空间四点，且有 ＝α ＋β ，则α＋β＝1
是 A ， B ， C 三点共线的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 若α＋β＝1，则 － ＝β（ － ），即 ＝β
，显然， A ， B ， C 三点共线；若 A ， B ， C 三点共线，则有
＝λ ，故 － ＝λ（ － ），整理得 ＝（1＋λ）
－λ ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
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13. 已知 A ， B ， C 三点共线，则对空间任一点 O ，存在三个不同为0
的实数λ， m ， n ，使λ ＋ m ＋ n ＝0，那么λ＋ m ＋ n 的值
为 .
0
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解析：∵ A ， B ， C 三点共线，∴存在实数 k ，使得 ＝ k ，
∵ ＝ － ， ＝ － ，∴ － ＝ k （ －
），化简整理得 －（ k ＋1） ＋ k ＝0.∵λ ＋ m
＋ n ＝0，∴①当 k ＝－1时，比较系数得 m ＝0且λ＝－ n ，∵λ
＋ m ＋ n ＝0；②当 k ≠－1时，可得 ＝ ＝ ，得 m ＝（－ k －
1）λ， n ＝ k λ；由此可得λ＋ m ＋ n ＝λ＋（－ k －1）λ＋ k λ＝0，综
上所述，λ＋ m ＋ n ＝0.
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14. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 E ， F 分别是底面 A1 B1 C1 D1和侧
面 CC1 D1 D 的中心，若 ＋λ ＝0（λ∈R），则λ＝ － .
解析：如图，连接 A1 C1， C1 D ，则点 E 在 A1 C1
上，点 F 在 C1 D 上，易知 EF ∥ A1 D ，且 EF ＝
A1 D ，∴ ＝ ，即 － ＝0，∴λ
＝－ .
－
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15. 如图所示，已知斜三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， ＝ a ， ＝ b ，
＝ c ，在 AC1上和 BC 上分别有一点 M 和 N ，且 ＝ k ，
＝ k ，其中0≤ k ≤1.求证： ， a ， c 共面.
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证明：因为 ＝ k ＝ kb ＋ kc ， ＝ ＋ ＝ a ＋ k ＝
a ＋ k （－ a ＋ b ）＝（1－ k ） a ＋ kb ，
所以 ＝ － ＝（1－ k ） a ＋ kb － kb － kc ＝（1－ k ） a －
kc .
由共面向量定理可知， ， a ， c 共面.
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16. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A ， B ， C ，若有关系式 ＝
＋2 ＋2 ，求证：点 P 与点 A ， B ， C 共面.
证明：法一 由已知得 － ＝2 ＋2 ，
即 ＝2 ＋2 .
因为 A ， B ， C 三点不共线，所以 ， 不共线.
由向量共面的充要条件知点 P 与点 A ， B ， C 共面.
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法二 由已知得 ＝ ＋2（ － ）＋2（ － ），
即 ＝－3 ＋2 ＋2 .
由于 A ， B ， C 三点不共线，且－3＋2＋2＝1，
故点 P 与点 A ， B ， C 共面.
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谢 谢 观 看！
