24.3正多边形和圆
【题型1】正三角形、正四边形、正五边形与圆 2
【题型2】正六边形与圆 6
【题型3】其它正多边形与圆 11
【题型4】正多边形的综合与圆 15
【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 1.（2025 巨野县一模）在春节灯谜会上，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小亮量得∠BAC=15°，则这个正多边形的边数为（ ） A．9B．10C．11D．12
【答案】D 【分析】由题意知，AB=BC，则∠BCA=∠BAC=15°，可求∠B=150°，可得外角为30°，由360°÷30°=12可得结论． 【解答】解：由题意知，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=15°，
∴∠B=180°-∠BCA-∠BAC=150°，
∴∠B的外角度数为180°-150°=30°，
∴这个正多边形的边数为360°÷30°=12，
故选：D．
【题型1】正三角形、正四边形、正五边形与圆
【典型例题】如图，正五边形ABCDE中，AB＝6，连接AC，点O在线段AC上，连接OB，OD，OE将五边形分成面积为S1，S2，S3，S4，S5的五部分，则下列式子不能确定大小的是（ ）
A.S1+S2 B.S3+S5 C.S1+S2+S4 D.S2+S3
【答案】D
【解析】解：由图得，S1+S2为△ABC的面积，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝108°，
∴△ABC的面积是能确定的，故A不符合题意；
由图得，AC∥DE，即AC与DE之间的距离一定，
∵DE＝AB＝6，
∴S4可以确定，
∵梯形ACDE面积一定，
∴S3+S5可以确定，故B不符合题意；
当S1+S2和S4可以确定时，S1+S2+S4即可以确定，故C不符合题意；
由图得，当点P靠近点C时S2+S3面积变小，
当点P靠近点A时S2+S3面积变大，
∴S2+S3的面积不能确定大小，故D符合题意．
故选：D．
【举一反三1】将边长为2的正五边形ABCDE沿对角线BE折叠，使点A落在正五边形内部的点M处，则下列说法正确的个数为（ ）
①AB∥ME；②∠DEM＝36°；③若连CM，则∠CMB+∠BME＝180°
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】A
【解析】∵正五边形ABCDE，∴AB＝AE，
∵正五边形ABCDE沿对角线BE折叠，
∴AB＝BM，AE＝ME，∠AEB＝∠BEM，∠ABE＝∠EBM，
∴AB＝BM＝AE＝ME，
∴四边形ABME是菱形，
∴AB∥EM，即①正确；
∵正五边形ABCDE，
∴∠BAE＝∠AED＝∠ABC＝108°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠BEM ，
∴∠DEM＝∠AED﹣∠AEB﹣∠BEM＝36°，即②正确；
同理：∠CBM＝36°，
如图：连接CM，
∵正五边形ABCDE，∴AB＝BC，
∵正五边形ABCDE沿对角线BE折叠，
∴AB＝BM，∠BME＝∠BAE＝108°，∴BC＝BM，
∴∠BMC＝，
∴∠CMB+∠BME＝180°，即③正确．
故选：A．
【举一反三2】点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．
【答案】18°
【解析】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，
∴∠DFG＝90°，
∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角，
∴∠FDG＝＝72°，
∴∠BGC＝90°﹣72°＝18°，
故答案为：18°．
【举一反三3】如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
【答案】（1）解：在正五边形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
在四边形BCDF中，
∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，
∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；
（2）证明：如图，连接DB、AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，
在△AED和△BCD中，
，
∴△AED≌△BCD（SAS），
∴AD＝BD，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠DFB＝90°，
Rt△DAF和Rt△DFB，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），
∴AF＝BF．
【举一反三4】分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积.
【答案】解：如图所示，OB=OA=R；
∵△ABC是正三角形，
由于正三角形的中心就是圆的圆心，
且正三角形三线合一，
所以BO是∠ABC的平分线；
∠OBD=60°×=30°，
∴边心距OD=R，由勾股定理，得BD==R.
根据垂径定理，BC=2BD=R，
S△ABC=BC AD=×R×(R+R)= R2；
如图，延长AD交边于点E，连接OF，
∵OF=R，
∴EO=EF=R，
∴边长为2EF=R，
∴S正方形=边长2=（R）2=2R2．
【题型2】正六边形与圆
【典型例题】如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）
A.2cm B.2cm C.4cm D.4cm
【答案】C
【解析】解：已知圆内接半径r为4cm，
则OB＝4cm，
∴BD＝OB sin30°＝4×＝2（cm）．
则BC＝2×2＝4（cm）．
故选：C．
【举一反三1】两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A. B.（3，4） C. D.
【答案】D
【解析】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB，CD，AB，
∴，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB＝60°，
∵正六边形的一个内角度数为，
∴∠ADB＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴∠CDB+∠ADB＝180°，
∴A、C、D三点共线，
∵AD＝BD，
∴，
∴∠ABC＝90°，
∴，
又∵OB＝OC+BC＝4，
∴，
故选：D．
【举一反三2】如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为12cm，则裁出的矩形ADFE的边AE的长为 cm．
【答案】6
【解析】解：如图，∵MNPQST是正六边形，
∴MN＝NP＝PQ＝QS＝ST＝TM，∠NMT＝＝120°，
∴∠AMT＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△AMT中，∠ATM＝90°﹣60°＝30°，
∴AM＝MT＝MN，
同理DN＝MN，
∴AM＝AD＝×12＝3（cm），
在Rt△AMT中，∠ATM＝30°，AM＝3cm，
∴AT＝AM＝3cm，
同理TE＝AT＝3cm，
∴AE＝2AT＝6cm．
故答案为：6．
【举一反三3】蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是 ．
【答案】6
【解析】解：∵正六边形的内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠1＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
由图可得：用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是6个，
故答案为：6．
【举一反三4】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求正六边形的边心距；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
【答案】解：（1）连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于H，则∠OHC＝∠OHD＝90°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，△COD为等边三角形，
∴∠ODC=60°，CD＝OC＝4，
∴DH=OD=2
由勾股定理，得圆心O到CD的距离OH=2，
即正六边形的边心距为；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝．
【举一反三5】如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为2cm,求其各个顶点的坐标．
【答案】解：设EF交y轴于点G，BC交y轴于点H，连接OE、OF，
∵正六边形ABCDEF的中心为原点O，半径为2cm,
∴OA=OD=OE=OF=2cm,∠AOF=∠EOF=∠DOE==60°，
∴A（-2，0），D（2，0），△EOF是等边三角形，
∴EF=OE=OF=2cm,
∵∠AOG=∠DOG=90°，
∴∠EOG=∠FOG=30°，
∴OG⊥EF，EG=FG=1cm,
∴∠OGE=90°，
∴OG==（cm），
∴E（1，），F（-1，），
同理CH=BH=1cm,OH=cm,
∴C（1，-），B（-1，-），
∴A（-2，0），B（-1，-），C（1，-），D（2，0），E（1，），F（-1，）．
【题型3】其它正多边形与圆
【典型例题】如图，弦AB，BC是⊙O内接正八边形的两条边，D是优弧AC上一点，则∠ADC的度数为（ ）
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°
【答案】C
【解析】解：∵正八边形的内角和为180°（8﹣2）＝1080°，
∴每个内角为1080°÷8＝135°，
∴∠B＝135°，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
故选：C．
【举一反三1】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A.1 B.3 C.π D.2π
【答案】B
【解析】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为＝30°，OA＝1，
∴AC＝OA＝，
∴S△OAB＝×1×＝，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×＝3，
故选：B．
【举一反三2】半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为120°，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为120°，
∴其一个外角度数为180°﹣120°＝60°，
则这个正多边形的边数为360°÷60°＝6，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
故选：B．
【举一反三3】如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为22.5mm，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的所对的圆周角是 度．
【答案】
【解析】解：正九边形的一个中心角的度数为360°÷9＝40°，
根据圆周角定理，得的所对的圆周角是40°×=20°
故答案为20
【举一反三4】若一个正多边形的一个内角比一个外角大108°，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】10
【解析】解：设这个正多边形的每个外角的度数为x，则每个内角为x+108°，
∴x+x+108°＝180°，
∴x＝36°，
∴这个多边形的边数＝＝10．
故答案为：10．
【举一反三5】如图，点M、N分别是正八边形ABCDEFGH（每条边相等，每个角相等）的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN．
（2）求∠APN的度数．
【答案】（1）证明：∵正八边形ABCDEFGH，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）解：∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝135°．
即∠APN的度数为135°．
【举一反三6】如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG．
（1）求证DG∥AB；
（2）DG的长为 ．
【答案】（1）证明：∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形，
∴＝＝＝＝＝＝＝，
∴＝，
∴∠ABG＝∠BGD，
∴AB∥DG；
（2）解：如图，连接ODOEOF，过点E、F分别作DG的垂线，垂足为M、N，则MN＝EF＝AB＝2，
∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形，
∴∠DOE＝∠EOF＝＝45°，
∴∠NGF＝∠DOF＝45°＝∠MDE，
在Rt△MDE中，∠MDE＝45°，DE＝2，
∴MD＝DE＝，
同理NG＝，
∴DG＝+2+＝2+2．
故答案为：2+2．
【题型4】正多边形的综合与圆
【典型例题】如图，画出了⊙O的内接正四边形和内接正五边形，且点A在B，C之间，则∠ABC＝（ ）
A.6° B.9° C.12° D.18°
【答案】B
【解析】解：如图，连接OB，OA，OC，
则，°，
∴∠AOC＝90°﹣72°＝18°，
则．
故选：B．
【举一反三1】下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D．
【举一反三2】下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积．
故选：A．
【举一反三3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接AE，BE，CE．若AE＝3，BE＝2，则CE的长为 ．
【答案】1
【解析】解：如图，连接AC，OB，则AC是直径，过点B作BM⊥AE于点M，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOB＝＝90°，
∴∠AEB＝∠AOB＝45°，
在Rt△BME中，BE＝2，∠BEM＝45°，
∴EM＝BM＝BE＝2，
∴AM＝AE﹣BM＝3﹣2＝1，
∴AB＝＝，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC2＝AB2+BC2＝10，
在Rt△ACE中，AC2＝10，AE2＝32＝9，
∴CE＝＝＝1．
故答案为：1．
【举一反三4】如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在圆上．若AB＝1，则该圆的半径为 ．
【答案】
【解析】解：如图设圆的圆心为O，连接OB，BG，过E作EF⊥BG，垂足为F，
∵六边形的每个内角为120．
∴GEF＝60°，
∴FGE＝30°，
在Rt△EFG中，EG＝1，
∴EF＝1÷2＝，（直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半）
根据勾股定理得：
FG＝，BG＝，
在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2，
∴OB＝＝，
这个圆的半径为：．
【举一反三5】把圆分成n（n≥3）等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形，外切正方形，外切六边形的边长．
【答案】解：如图，外切正三角形时，∠AOD=360°÷6=60°，
∠OAD=30°，
∴OA=2OD
∴OD=R
由勾股定理，得AD=R，
所以，外切正三角形边长AB=2AD=2R.
外切正方形时，∠AOD=360°÷8=45°，
所以，△AOD是等腰直角三角形，
所以，AD=OD，
外切正方形的边长AB=2AD=2R；
外切六边形时，∠AOD=360°÷12=30°，
∴OA=2AD
∴AD=R
由勾股定理，得AD=R，
所以，外切六边形的边长AB=2AD=R．
【举一反三6】用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现在四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？
【答案】解：当绿化场地是正三角形时，
∵周长是48m,
∴正三角形的边长是16m,
∴正三角形的面积是×162=64（m2）；
当绿化场地是正方形时，
∵周长是48m,
∴正方形的边长是12m,
∴正方形的面积是12×12=144（m2）；
当绿化场地是正正六边形时，
∵周长是48m,
∴正六边形的边长是8m,
∴正六边形的面积是×82×6=96≈166.3（m2）；
当绿化场地是圆时，
∵周长是48m,
∴圆的半径是m,
∴圆的面积是π×()2≈183.4（m2）．
∴圆的面积最大．24.3正多边形和圆
【题型1】正三角形、正四边形、正五边形与圆 2
【题型2】正六边形与圆 3
【题型3】其它正多边形与圆 4
【题型4】正多边形的综合与圆 6
【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 1.（2025 巨野县一模）在春节灯谜会上，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小亮量得∠BAC=15°，则这个正多边形的边数为（ ） A．9B．10C．11D．12
【题型1】正三角形、正四边形、正五边形与圆
【典型例题】如图，正五边形ABCDE中，AB＝6，连接AC，点O在线段AC上，连接OB，OD，OE将五边形分成面积为S1，S2，S3，S4，S5的五部分，则下列式子不能确定大小的是（ ）
A.S1+S2 B.S3+S5 C.S1+S2+S4 D.S2+S3
【举一反三1】将边长为2的正五边形ABCDE沿对角线BE折叠，使点A落在正五边形内部的点M处，则下列说法正确的个数为（ ）
①AB∥ME；②∠DEM＝36°；③若连CM，则∠CMB+∠BME＝180°
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【举一反三2】点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．
【举一反三3】如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
【举一反三4】分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积.
【题型2】正六边形与圆
【典型例题】如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）
A.2cm B.2cm C.4cm D.4cm
【举一反三1】两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A. B.（3，4） C. D.
【举一反三2】如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为12cm，则裁出的矩形ADFE的边AE的长为 cm．
【举一反三3】蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是 ．
【举一反三4】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求正六边形的边心距；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
【举一反三5】如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为2cm,求其各个顶点的坐标．
【题型3】其它正多边形与圆
【典型例题】如图，弦AB，BC是⊙O内接正八边形的两条边，D是优弧AC上一点，则∠ADC的度数为（ ）
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°
【举一反三1】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A.1 B.3 C.π D.2π
【举一反三2】半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为120°，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A.1 B.2 C. D.
【举一反三3】如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为22.5mm，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的所对的圆周角是 度．
【举一反三4】若一个正多边形的一个内角比一个外角大108°，则这个正多边形的边数是 ．
【举一反三5】如图，点M、N分别是正八边形ABCDEFGH（每条边相等，每个角相等）的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN．
（2）求∠APN的度数．
【举一反三6】如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG．
（1）求证DG∥AB；
（2）DG的长为 ．
【题型4】正多边形的综合与圆
【典型例题】如图，画出了⊙O的内接正四边形和内接正五边形，且点A在B，C之间，则∠ABC＝（ ）
A.6° B.9° C.12° D.18°
【举一反三1】下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接AE，BE，CE．若AE＝3，BE＝2，则CE的长为 ．
【举一反三4】如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在圆上．若AB＝1，则该圆的半径为 ．
【举一反三5】把圆分成n（n≥3）等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形，外切正方形，外切六边形的边长．
【举一反三6】用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现在四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？
