24.4弧长和扇形面积
【题型1】弧长的计算 6
【题型2】用弧长公式求阴影部分的周长 9
【题型3】用弧长公式解决实际问题 14
【题型4】扇形面积的计算 16
【题型5】用扇形面积公式求阴影部分的面积 19
【题型6】用扇形面积公式解决实际问题 23
【题型7】圆柱的侧面积和表面积 28
【题型8】圆锥的侧面积和表面积 30
【知识点1】弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 1.（2024秋 庄浪县期末）圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（ ） A．10πB．15πC．20πD．25π
【答案】A 【分析】弧长公式：l=（弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r），由此即可计算． 【解答】解：扇形的弧长==10π．
故选：A． 【知识点2】扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1.（2025 南岗区校级开学）下列说法正确的个数有（ ）
①千克就是80%千克；
②圆心角为120°的扇形面积相等；
③3：5的前项加6，后项加10，比值不变．
④圆是轴对称图形，它的对称轴是它的任意一条直径；
⑤一个数除以假分数，商一定小于被除数． A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A 【分析】根据分数与百分数的应用，圆的基本性质，比的基本性质等这些基础知识点依次判断即可，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【解答】解：千克就是80%千克，错误，不能用百分数，
故①错误，不符合题意；
圆心角为120°的扇形面积不一定相等，当半径不同时，面积不同，
故②错误，不符合题意；
3：5的前项加6，后项加10，变为9：15=3：5，比值不变，
故③正确，符合题意．
圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条直径所在的直线，
故④错误，不符合题意；
一个数除以假分数，商一定小于或等于被除数，
故⑤错误，不符合题意．
故选：A． 2.（2025 平舆县一模）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=60°，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】连接OC，过点O作OE⊥BC于点E，首先证明△OAC≌△OBC，由全等三角形的性质易得S△OAC=S△OBC，∠OCA=∠OCB，进而可知∠OCA=∠OCB=30°，结合垂径定理以及含30度角的直角三角形的性质，可得，OC=2OE，结合勾股定理解得OE，OC的值，然后根据阴影部分的面积S=S⊙O-S△OAC-S△OBC求解即可． 【解答】解：如下图，连接OC，过点O作OE⊥BC于点E，
在△OAC和△OBC中，
，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴S△OAC=S△OBC，∠OCA=∠OCB，
由条件可知，
∵OE⊥BC，
∴，OC=2OE，
由勾股定理得，
解得OE=2，
∴OC=4，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C． 【知识点3】圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧= 2πr l=πrl．
（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl
（5）圆锥的体积=×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 1.（2025 泸县一模）已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（ ） A．90°B．100°C．120°D．150°
【答案】C 【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×10=，然后解关于n的方程即可． 【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×10=，
解得n=120，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°．
故选：C． 2.（2024 三台县二模）如图，圆锥的底面半径为1cm,母线AB的长为3cm,则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（ ）度．（ ） A．120B．150C．135D．125
【答案】A 【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长×180÷3π计算． 【解答】解：圆锥底面周长=2×π×1=2π，
∴这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为=圆锥底面周长×180°÷3π=120°．
故选：A． 【知识点4】圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积=底面积×高． 1.有一段树干为一直圆柱体，其底面积为9π平方公尺，高为15公尺．若将此树干分为两段圆柱形树干，且体积比为2：1，则体积较大的树干，其侧面的表面积为多少平方公尺？（ ） A．60πB．72πC．84πD．96π
【答案】A 【分析】根据两段圆柱形树干的体积比为2：1，得出两段圆柱形树干的柱高比为2：1，进而得出体积较大的树干柱高，即可得出侧面的表面积． 【解答】解：∵两段圆柱形树干的体积比为2：1，
∴两段圆柱形树干的柱高比为2：1，
则体积较大的树干柱高为15×=10（公尺），
∵圆柱体的底面积为9π平方公尺，
∴圆柱体的底圆半径为3公尺，
所求=（2×π×3）×10=60π（平方公尺）；
故选：A．
【题型1】弧长的计算
【典型例题】如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】B
【解析】∵扇形的弧长为，半径为2，
∴＝，
解得：n＝45°．
【举一反三1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝60°，∠ACB＝35°，⊙O的半径为4，则的长为（ ）
A. B. C.π D.
【答案】A
【解析】解：连接OB、OC．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝120°，
∵∠ACB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝25°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝50°，
∴＝×2π×4＝．
故选：A．
【举一反三2】如图，把直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于三点A，B，C，若⊙O的半径为2．则劣弧的长为 ．
【答案】π
【解析】连接OB、OC，如图：
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴劣弧的长＝．
【举一反三3】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，求的长．
【答案】解：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴由圆周角定理得：∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°；
（2）连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．
∵OD⊥BC于点D，OB＝OC，
∴∠BOD＝BOC＝60°，BD＝BC＝＝3，
∴∠OBD=30°
∴OB=2OD
∵Rt△BOD中，由勾股定理，得，OD=
∴OB=2
∴的长＝．
【题型2】用弧长公式求阴影部分的周长
【典型例题】如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的周长之和为（ ）cm．
A.π+6 B. +3 C. D.
【答案】B
【解析】解：图中的三个扇形弧长的和为＝πr＝（cm）．
三个扇形的半径共有6条，所以6条半径总长为0.5×6=3（cm）
所以三个扇形的周长之和(+3)cm.
故选：B．
【举一反三1】如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，切掉了所对的部分，其中AB=BC，且∠ABC=60°，则阴影部分的周长为（ ）cm
A. +10 B. +10 C. +20 D. +20
【答案】D
【解析】解：作OH⊥AB于点H连接OA，OC，OB，AC.
∵AB=BC，且∠AOC=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∴==
∴圆心O既是等边△ABC的内心，也是它的外心
∴OB平分∠ABC，∴∠OBH=30°,
∵OH⊥AB于点H
∴∠OHB=90°，AB=2BH
∴OB=2OH=10
∴OH=5
由勾股定理，得BH==5
∴AB=10
∴BC=AB=10
∵∠AOC=2∠ABC=120°
∴的长==
∵==
∴的长=的长==
∴阴影部分的周长=AB+BC+的长+的长
=10+10+2×=+20
故选：D．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D，若AB＝2，则图中阴影部分图形的周长和为 ．（结果保留π）
【答案】π
【解析】解：连接AC、BC、DA、DB，如图，
由作法得BC＝BA＝AC＝BD＝AD＝2，
∴△ACB和△ADB都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BAD＝∠ABD＝60°，
∴图中的长＝的长＝＝π，
⊙O的周长＝2π×1＝2π，
∴图中阴影部分图形的周长和为：π+π+2π＝π．
故答案为：π．
【举一反三3】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为的中点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，分别以CD，CE为轴折叠扇形AOB，点A，B的对应点为M，N两点，若OA＝2，则阴影部分的周长为 ．
【答案】
【解析】解：连接OC，
∵点C为的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB＝90°，
∴CD＝CE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴AD＝OA﹣OD，BE＝OB﹣OE，
∴AD＝BE，
∵OD2+CD2＝OC2＝OA2＝4，OD＝CD，
∴，
∴OD＝CD＝OE＝CE＝，
∵AD＝DM，BE＝NE，
∴AD＝DM＝BE＝NE，
∴OM＝ON＝OA﹣2AD＝2﹣2（2﹣）＝，
∵，，
∴，
∴阴影部分的周长为：，
故答案为：．
【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，连接AC．若∠BAC＝30°，AB＝6，求阴影部分的周长．
【答案】解：连接OF，OC，BC.
∵C为劣弧BF的中点，
∴弧BC＝弧FC，
∴∠CAF＝∠BAC＝30°，∠COF=∠BOC
∴∠COF＝2∠CAF＝60°=∠BOC
∴∠AOF=60°(平角定义)
∵OF=OA
∴△AOF为等边三角形
∴AF=OA=OF
∵AB为⊙O的直径，AB＝6，
∴OC＝AF=3 ∠ACB=90°
∵∠BAC=30°
∴BC=AB=3
由勾股定理，得：AC===3
弧FC的长＝，
∴阴影部分的周长=AF+AC+弧FC的长=3+3+π
故答案为：3+3+π．
【题型3】用弧长公式解决实际问题
【典型例题】如图，用一个半径为10 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. cm B.2π cm C. cm D.3π cm
【答案】B
【解析】重物上升了＝2π（cm）．
【举一反三1】图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，∠O＝54°，则的长是（ ）
A.2.4π B.5.6π C.10π D.10.4π
【答案】D
【解析】PA⊥OA，PB⊥OB，PA，PB交于点P，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠O＝54°，
∴∠APB＝126°，
∴优弧ACB对应的圆心角为360°﹣126°＝234°，
∴优弧ACB的长是＝10.4π．
【举一反三2】道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】图中的管道中心线的长为＝（m）．
【举一反三3】图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，∠O＝54°，则的长是（ ）
A.2.4π B.5.6π C.10π D.10.4π
【答案】D
【解析】PA⊥OA，PB⊥OB，PA，PB交于点P，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠O＝54°，
∴∠APB＝126°，
∴优弧ACB对应的圆心角为360°﹣126°＝234°，
∴优弧ACB的长是＝10.4π．
【举一反三4】道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】图中的管道中心线的长为＝（m）．
【题型4】扇形面积的计算
【典型例题】计算半径为1，圆心角为60°的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.π
【答案】B
【解析】解：S扇形＝＝，
故选：B．
【举一反三1】面积为6π，圆心角为60°的扇形的半径为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案】C
【解析】解：设扇形的半径为r．
由题意：＝6π，
∴r2＝36，
∵r＞0，
∴r＝6，
故选：C．
【举一反三2】扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的（ ）
A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍
【答案】C
【解析】解：设原来扇形的半径为r，圆心角为n．
＝8，
∴扇形面积扩大到原来的8倍．
故选：C．
【举一反三3】在平面内，将长度为6的线段AB绕端点A按顺时针方向旋转120°，则线段AB扫过的图形的面积为 ．（结果保留π）
【答案】12π
【解析】解；，
∴线段AB扫过的图形的面积为12π，
故答案为：12π．
【举一反三4】小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是20cm，扇形的圆心角是120°，则扇形的面积是 cm2．
【答案】π
【解析】解：扇形面积为：＝π（cm2），
故答案为：π．
【举一反三5】如图，正方形ABCD，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，S扇形OCE=，求正方形ABCD的边长.
【答案】解：∵正方形ABCD中，∠BCD=90°
又∵AC为正方形ABCD的对角线
∴∠ACB=45°
∵OE=OC
∴∠OCE=∠OEC=45°
∴∠EOC=90°
在扇形OCE中，设OC=r
∴S扇形OCE==
解得r2=1
∵r>0
∴r=1
∴OC=1
∴BC=2OC=2
所以正方形ABCD的边长2.
【举一反三6】如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O′处，得到扇形O'A'B'．若∠AOB＝90°，，设O′A′与交于点T，连接OT，求扇形的OBT的面积.
【答案】解：连接BT.
根据平移性质可知：∠A′O′B′=∠AOB=90°
∴O′A′⊥OB
又∵点O′是OB的中点，
∴O′A′是线段OB的垂直平分线
∴TB=OT
∵OT=OB
∴OT=OB=TB
∴△TOB为等边三角形
∴∠TOB=60°
在扇形OBT中，OT=OB=OA=2
∴S扇形OTB==2π
【题型5】用扇形面积公式求阴影部分的面积
【典型例题】如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造 ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A.10π﹣8 B.5π﹣8 C.25π﹣64 D.50π﹣64
【答案】C
【解析】连接OC．
∵四边形OACD是平行四边形，∴OA∥CD，
∴∠OEC+∠EOA＝180°，
∵∠AOB＝90°，∴∠OEC＝90°，
∴EC＝＝＝6，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．
故选：C．
【举一反三1】如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A.10π B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图：
；
；
则．
故选：D．
【举一反三2】如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.π﹣1 B.π﹣2 C.π﹣1 D.π+1
【答案】A
【解析】在Rt△ACB中，AB＝＝2，
∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣×（）2＝π﹣1．
故选：A．
【举一反三3】如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为 ．
【答案】
【解析】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．
由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝．
∴∠ACA1＝60°．
∴扇形ACA1的面积为＝π．
即线段CA扫过的图形的面积为π．
故答案为π．
【举一反三4】如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝ ．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60° OD＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝．
∴S阴影＝．
【举一反三5】如图，一个圆形和一个直角梯形重叠在一起求阴影部分的面积．
【答案】解：由图可知：AB＝2OE＝4，AD＝OE＝2，CD＝6，
阴影部分的面积等于上半圆的面积加上梯形的面积减去下半圆的面积再减去三角形的面积，
即：阴影部分的面积为梯形ABCD的面积减去△ABE的面积，
所以，阴影部分的面积等于＝10﹣4＝6．
【题型6】用扇形面积公式解决实际问题
【典型例题】如图，在半径为4的扇形纸片OAB中，将其沿着直线l折叠，使得点A和点O重合．直线l与扇形OAB交于点C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：连接OC，
由题意得：直线l垂直平分AO，
∴AC＝OC，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝4，
∴扇形OAC的面积＝＝π，
∵△OAC的面积＝OA2＝4，
∴阴影的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝﹣4．
故选：A．
【举一反三1】如图，某玩具品牌标志由半径为2cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C.πcm2 D.2πcm2
【答案】D
【解析】解：根据圆的对称性可知，图中三个阴影部分的面积相等，
如图，连接AO1、AO2、AO3，则AO1＝AO2＝AO3，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝60°，弓形AO1、AO2、O1O2的面积相等，
∴阴影△ECF的面积＝扇形△ECF的面积＝＝π（cm2），
∴图中三个阴影部分的面积之和＝3×π＝2π（cm2）；
故选：D．
【举一反三2】如图，一套三角板沿着它们的斜边叠放在一起，记其中一个三角板为△ABC，∠ACB＝30°．记AB＝6，将△ABC绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜180°），使三角板的两个直角边贴合，则AB边扫过的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意可知α＝60°+45°＝105°，
∴线段AB扫过的面积为：＝π．
故选：B．
【举一反三3】折扇是我国传统日用品，也是工艺品，我国关于折扇的记载最早出现于公元五世纪的南北朝代南朝梁的建康（今南京市）．如图为用韧纸做扇面的折扇，折扇完全打开后，外侧两竹条OA和OB的夹角为120°，AO的长为30cm，贴韧纸部分AC的长为20cm，制作这样的一把折扇，需要贴韧纸的面积为 cm2（结果保留π）．
【答案】π
【解析】解：贴韧纸的面积S＝﹣＝π（cm2），
即贴韧纸的面积为πcm2．
故答案为：π．
【举一反三4】如图，一根5m长的绳子，一端拴在90°的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积．（结果保留π）
【答案】解：如图，大扇形的圆心角是90°，半径是5m．
所以大扇形的面积为×π×52＝（m2），
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，
半径是5﹣4＝1（m），
则小扇形的面积为×π×12＝（m2）．
所以小羊在草地上的可活动区域的面积为（m2）．
【举一反三5】小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成的大长方形，小长方形的长和宽的比为3：2，已知小长方形的长为a．
（1）求这个窗户的面积和窗户外框的总长；
（2）小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的．求窗户中能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）．
【答案】解：（1）由于小长方形的长和宽的比为3：2，小长方形的长为a，则宽为，
所以这个窗户的面积为πa2+2a×＝+＝；
这个窗户外框的总长；2a+×4+×2πa＝，
答：这个窗户的面积为，窗户外框的总长为；
（2）这个窗户能射进阳光部分的面积为πa2×（1﹣）+2a××2＝，
答：这个窗户能射进阳光部分的面积为．
【题型7】圆柱的侧面积和表面积
【典型例题】一个圆柱，底面直径和高都是2分米，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米．
A.6π B.5π C.4π D.2π
【答案】C
【解析】解：∵一个圆柱的底面直径为2分米，高为2分米，
∴这个圆柱的侧面积是：πdh＝π×2×2＝4π（平方分米）．
故选：C．
【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（ ）
A.9cm2 B.9πcm2 C.18πcm2 D.18cm2
【答案】D
【解析】解：所得几何体的主视图的面积是2×3×3＝18cm2．
故选：D．
【举一反三2】一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 平方厘米．
【答案】（72+4π）
【解析】解：2×9×4+π×12×4＝72+4π（平方厘米），
故表面积增加了（72+4π）平方厘米．
故答案为：（72+4π）．
【举一反三3】一个圆柱的底面直径是7cm，它的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高是 厘米．（π取3.14）
【答案】21.98
【解析】解：∵圆柱侧面展开图是一个正方形，
∴正方形的边长等于底面的周长，
∴正方形的边长为：πd＝7π＝7×3.14＝21.98（厘米），
∴圆柱的高为21.98厘米．
故答案为：21.98．
【举一反三4】如图，在一个长8厘米，宽5厘米，高6厘米的长方体中，挖一个底面半径是2厘米圆柱体，此时这个长方体上、下底面形成一个能透光的孔洞．（π取3）
（1）挖掉圆柱体的侧面积是多少平方厘米？
（2）把长方体挖掉圆柱体后，剩下的几何体的表面积与原来长方体表面积相比，剩下几何体的表面积比原来的长方体的表面积增加了还是减少了？如果增加了，约增加百分之几？如果减少了，约减少了百分之几？
【答案】解：（1）2×3×2×6＝72（平方厘米），
答：圆柱体的侧面积是72平方厘米．
（2）挖掉圆柱体后剩下几何体的表面积：
2×8×6+2×5×6+2×（8×5﹣3×22）+2×3×2×6
＝96+60+56+72＝284（平方厘米）；
长方体的表面积：2×（8×5+6×5+8×6）＝236（平方厘米），
∵284＞236，
∴剩余几何体的表面积比原来长方体表面增加了，
×100%≈20.3%．
答：剩下几何体的表面积比原来长方体表面积增加约20.34%．
【题型8】圆锥的侧面积和表面积
【典型例题】如图，Rt△ABC的斜边AC＝9cm，一条直角边BC＝6cm，现以AB边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A.54cm2 B.54πcm2 C.108cm2 D.108πcm2
【答案】B
【解析】解：圆锥的侧面积为×2π×6×9＝54π（cm2）．
故选：B．
【举一反三1】如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】连接BC，AO，
由题意，得：∠CAB＝90°，AC＝BC，
∵A，B，C在⊙O上，
∴BC为⊙O的直径，AO＝BO＝2，BC⊥AO，
在Rt△ABO中，AB=，
即扇形的半径为：R=2，
扇形的弧长：，
设圆锥底面圆半径为r，则有2πr=，∴r=，
故选：C．
【举一反三2】把一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4πcm的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是______cm2．（ ）
A.8π B.9π C.19π D.27π
【答案】B
【解析】解：∵圆锥的底面周长为4πcm，
∴围成圆锥的扇形弧长为4π（cm），
∵已知扇形的弧长为＝6π（cm），
∴粘贴部分的弧长为6π﹣4π＝2π（cm），
∴圆锥上粘贴部分的面积是×2π×9＝9π（cm2）．
故选：B．
【举一反三3】如图，用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
【答案】4
【解析】∵圆心角为120°，半径为6 cm的扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面圆的周长为4π，
∴圆锥的底面圆的半径为2，
∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．
【举一反三4】如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间中圆柱（单位：mm）电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要多少锌？（接缝部分忽略不计）
【答案】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.4m,
圆锥的高为0.3m,
则圆锥的母线长为： =0.5(m).
∴上下两个圆锥的侧面积和为：S1=π×0.4×0.5=0.2π（m2），
∵圆柱的高为0.8m.
圆柱的侧面积S2=2π×0.4×0.8=0.64π（m2），
∴浮筒的表面积=2S1+S2=1.04π（m2），
∵每平方米用锌0.11kg,
∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg,
∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11=11.44π≈35.9（kg）．
答：100个这样的锚标浮筒需用锌35.9kg.
【举一反三5】如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在起，且∠AOB＝∠COD，连接AC．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝5cm，OC＝3cm，弧AB的长为3π cm，弧CD的长为1.8π cm，求阴影部分的面积．
（3）在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高．
【答案】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠DOB＝∠COA，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S扇形OEF
＝S扇形OAB﹣S扇形OCD
＝×3π×5﹣×1.8π×3
＝7.5π﹣2.7π
＝4.8π（cm2）；
（3）解：设圆锥底面半径为r cm，高为h cm，
则2πr＝3π，
∴r＝，
∴h＝＝（cm），
答：由扇形OAB围成的圆锥的高为cm．24.4弧长和扇形面积
【题型1】弧长的计算 4
【题型2】用弧长公式求阴影部分的周长 5
【题型3】用弧长公式解决实际问题 6
【题型4】扇形面积的计算 8
【题型5】用扇形面积公式求阴影部分的面积 9
【题型6】用扇形面积公式解决实际问题 10
【题型7】圆柱的侧面积和表面积 12
【题型8】圆锥的侧面积和表面积 13
【知识点1】弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 1.（2024秋 庄浪县期末）圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（ ） A．10πB．15πC．20πD．25π
【知识点2】扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1.（2025 南岗区校级开学）下列说法正确的个数有（ ）
①千克就是80%千克；
②圆心角为120°的扇形面积相等；
③3：5的前项加6，后项加10，比值不变．
④圆是轴对称图形，它的对称轴是它的任意一条直径；
⑤一个数除以假分数，商一定小于被除数． A．1个B．2个C．3个D．4个
2.（2025 平舆县一模）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=60°，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A．B．C．D．
【知识点3】圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧= 2πr l=πrl．
（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl
（5）圆锥的体积=×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 1.（2025 泸县一模）已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（ ） A．90°B．100°C．120°D．150°
2.（2024 三台县二模）如图，圆锥的底面半径为1cm,母线AB的长为3cm,则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（ ）度．（ ） A．120B．150C．135D．125
【知识点4】圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积=底面积×高． 1.）有一段树干为一直圆柱体，其底面积为9π平方公尺，高为15公尺．若将此树干分为两段圆柱形树干，且体积比为2：1，则体积较大的树干，其侧面的表面积为多少平方公尺？（ ） A．60πB．72πC．84πD．96π
【题型1】弧长的计算
【典型例题】如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【举一反三1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝60°，∠ACB＝35°，⊙O的半径为4，则的长为（ ）
A. B. C.π D.
【举一反三2】如图，把直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于三点A，B，C，若⊙O的半径为2．则劣弧的长为 ．
【举一反三3】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，求的长．
【题型2】用弧长公式求阴影部分的周长
【典型例题】如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的周长之和为（ ）cm．
A.π+6 B. +3 C. D.
【举一反三1】如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，切掉了所对的部分，其中AB=BC，且∠ABC=60°，则阴影部分的周长为（ ）cm
A. +10 B. +10 C. +20 D. +20
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D，若AB＝2，则图中阴影部分图形的周长和为 ．（结果保留π）
【举一反三3】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为的中点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，分别以CD，CE为轴折叠扇形AOB，点A，B的对应点为M，N两点，若OA＝2，则阴影部分的周长为 ．
【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，连接AC．若∠BAC＝30°，AB＝6，求阴影部分的周长．
【题型3】用弧长公式解决实际问题
【典型例题】如图，用一个半径为10 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. cm B.2π cm C. cm D.3π cm
【举一反三1】图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，∠O＝54°，则的长是（ ）
A.2.4π B.5.6π C.10π D.10.4π
【举一反三2】道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，∠O＝54°，则的长是（ ）
A.2.4π B.5.6π C.10π D.10.4π
【举一反三4】道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）
A. B. C. D.
【题型4】扇形面积的计算
【典型例题】计算半径为1，圆心角为60°的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.π
【举一反三1】面积为6π，圆心角为60°的扇形的半径为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.9
【举一反三2】扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的（ ）
A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍
【举一反三3】在平面内，将长度为6的线段AB绕端点A按顺时针方向旋转120°，则线段AB扫过的图形的面积为 ．（结果保留π）
【举一反三4】小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是20cm，扇形的圆心角是120°，则扇形的面积是 cm2．
【举一反三5】如图，正方形ABCD，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，S扇形OCE=，求正方形ABCD的边长.
【举一反三6】如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O′处，得到扇形O'A'B'．若∠AOB＝90°，，设O′A′与交于点T，连接OT，求扇形的OBT的面积.
【题型5】用扇形面积公式求阴影部分的面积
【典型例题】如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造 ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A.10π﹣8 B.5π﹣8 C.25π﹣64 D.50π﹣64
【举一反三1】如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A.10π B. C. D.
【举一反三2】如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.π﹣1 B.π﹣2 C.π﹣1 D.π+1
【举一反三3】如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为 ．
【举一反三4】如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
【举一反三5】如图，一个圆形和一个直角梯形重叠在一起求阴影部分的面积．
【题型6】用扇形面积公式解决实际问题
【典型例题】如图，在半径为4的扇形纸片OAB中，将其沿着直线l折叠，使得点A和点O重合．直线l与扇形OAB交于点C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，某玩具品牌标志由半径为2cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C.πcm2 D.2πcm2
【举一反三2】如图，一套三角板沿着它们的斜边叠放在一起，记其中一个三角板为△ABC，∠ACB＝30°．记AB＝6，将△ABC绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜180°），使三角板的两个直角边贴合，则AB边扫过的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】折扇是我国传统日用品，也是工艺品，我国关于折扇的记载最早出现于公元五世纪的南北朝代南朝梁的建康（今南京市）．如图为用韧纸做扇面的折扇，折扇完全打开后，外侧两竹条OA和OB的夹角为120°，AO的长为30cm，贴韧纸部分AC的长为20cm，制作这样的一把折扇，需要贴韧纸的面积为 cm2（结果保留π）．
【举一反三4】如图，一根5m长的绳子，一端拴在90°的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积．（结果保留π）
【举一反三5】小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成的大长方形，小长方形的长和宽的比为3：2，已知小长方形的长为a．
（1）求这个窗户的面积和窗户外框的总长；
（2）小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的．求窗户中能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）．
【题型7】圆柱的侧面积和表面积
【典型例题】一个圆柱，底面直径和高都是2分米，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米．
A.6π B.5π C.4π D.2π
【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（ ）
A.9cm2 B.9πcm2 C.18πcm2 D.18cm2
【举一反三2】一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 平方厘米．
【举一反三3】一个圆柱的底面直径是7cm，它的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高是 厘米．（π取3.14）
【举一反三4】如图，在一个长8厘米，宽5厘米，高6厘米的长方体中，挖一个底面半径是2厘米圆柱体，此时这个长方体上、下底面形成一个能透光的孔洞．（π取3）
（1）挖掉圆柱体的侧面积是多少平方厘米？
（2）把长方体挖掉圆柱体后，剩下的几何体的表面积与原来长方体表面积相比，剩下几何体的表面积比原来的长方体的表面积增加了还是减少了？如果增加了，约增加百分之几？如果减少了，约减少了百分之几？
【题型8】圆锥的侧面积和表面积
【典型例题】如图，Rt△ABC的斜边AC＝9cm，一条直角边BC＝6cm，现以AB边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A.54cm2 B.54πcm2 C.108cm2 D.108πcm2
【举一反三1】如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A. B. C. D.1
【举一反三2】把一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4πcm的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是______cm2．（ ）
A.8π B.9π C.19π D.27π
【举一反三3】如图，用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
【举一反三4】如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间中圆柱（单位：mm）电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要多少锌？（接缝部分忽略不计）
【举一反三5】如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在起，且∠AOB＝∠COD，连接AC．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝5cm，OC＝3cm，弧AB的长为3π cm，弧CD的长为1.8π cm，求阴影部分的面积．
（3）在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高．
