25.1随机事件与概率
【题型1】必然事件 8
【题型2】不可能事件 11
【题型3】确定事件 14
【题型4】随机事件 17
【题型5】简单事件的概率 20
【题型6】与几何图形有关的概率 22
【题型7】事件发生的可能性大小 26
【知识点1】随机事件 （1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 1.（2025春 巴中期末）周一上午，在上学的路上，小明对小强说：“感觉要下雨了，今天的升旗仪式估计得改在室内举行了．”小强回应道：“不仅升旗仪式要改在室内，而且体育课也得改成室内健康课了．”小明叹了口气：“哎……太可惜了，我还打算在体育课上展示举起万斤的哑铃呢．”小强催促道：“快点啊，可能要迟到了．”对话内容中，随机事件和不可能事件分别为几件（ ） A．5，0B．4，1C．3，2D．2，3
【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：要下雨：可能发生，属于随机事件；
升旗仪式改在室内：是否发生取决于是否下雨，属于随机事件；
体育课改室内健康课：同样依赖下雨条件，属于随机事件；
举起万斤哑铃：远超人类能力，属于不可能事件；
可能迟到：是否迟到不确定，属于随机事件；
则随机事件共4件，不可能事件1件，
故选：B． 【知识点2】可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 1.（2025 榕江县校级二模）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（ ） A．守株待兔B．旭日东升C．瓜熟蒂落D．夕阳西下
【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【解答】解：A．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选：A． 2.（2024秋 拱墅区校级期中）“明天下雨的可能性为80%”这句话指的是（ ） A．明天一定下雨B．80%的地区下雨，20%的地区不下雨C．明天不一定下雨D．明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
【答案】C 【分析】根据概率的意义找到正确选项即可． 【解答】解：“明天下雨的概率为80%”说明明天下雨的可能性是80%，
即P（A）=80%．
故选：C． 【知识点3】概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 1.（2025 衡阳校级模拟）下列说法正确的是（ ） A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖C．文文同学数学五次周练的成绩分别为90分，85分，88分，95分，100分，文文同学五次成绩的中位数是88分D．乐乐同学的数、物、化得分分别为85分，90分，100分，若依次按照4：3：3的权重确定理科成绩，则乐乐的得分是91分
【答案】D 【分析】根据方差越小，数据波动越小可判断A选项；根据概率的意义可判断B选项；将数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，即可得出这组数据的中位数，可判断C选项；根据加权平均数的计算方法计算即可判断D选项． 【解答】解：A、因为，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖，故该选项不正确，不符合题意；
C、85分，88分，90分，95分，100分，则五次成绩的中位数是90分，故该选项不正确，不符合题意；
D、，则乐乐的得分是91分，故该选项正确，符合题意；
故选：D． 2.（2025春 东港市期中）下列说法中不正确的是（ ） A．水中捞月是不可能事件B．367人中有两人是同月同日生为必然事件C．小丽掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2，这个事件为随机事件D．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上
【答案】D 【分析】分别根据必然事件的定义、随机事件的定义以及概率公式判断即可． 【解答】解：A．水中捞月是不可能事件，说法正确，故此选项不符合题意；
B．367人中有两人是同月同日生为必然事件，说法正确，故此选项不符合题意；
C．小丽掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2，这个事件为随机事件，说法正确，故此选项不符合题意；
D．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，不一定有5次正面朝上，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：D． 【知识点4】概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0． 1.（2025春 南岸区期末）在一个不透明的袋子中装有8个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个．如果从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率为（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】从袋子中随机摸出1个球共有8种等可能结果，其中这个球是红球的有2种结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：从袋子中随机摸出1个球共有8种等可能结果，其中这个球是红球的有2种结果，
所以从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率为=，
故选：C． 2.（2025 安徽模拟）如图，过平行四边形ABCD对角线AC上一定点M作一组邻边的平行线，从这个图形中任选一个三角形或平行四边形，则所选图形中含点P的概率是（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】先数形结合，数出图中三角形和平行四边形的个数以及含点P的三角形和平行四边形的个数，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴四边形AEMH是平行四边形，EF∥CD，GH∥BC，
同理四边形GDEM、四边形MHBF、四边形MFCG、四边形AHGD、四边形ABFE、四边形DEFC、四边形CGHB都是平行四边形，
∴平行四边形有： AEMH， GDEM， MHBF， MFCG， AHGD， ABFE， DEFC， CGHB， ABCD，共9个，
三角形有：△AEM，△AHM，△CGM，△CFM，△ADC，△ABC，共6个，
∴从图中任选一个三角形或平行四边形共有6+9=15种等可能的结果，其中有2个三角形（△ADC，△CGM）、4个平行四边形（ MFCG， DEFC， CGHB， ABCD）含点P，
∴所选图形中含点P的概率是，
故选：C． 【知识点5】几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 1.（2024 邱县二模）用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是（ ） A．P甲＞P乙B．P甲＜P乙C．P甲=P乙D．无法确定P甲，P乙的大小
【答案】C 【分析】首先分别求出转盘甲和转盘乙中白色区域占各自圆面积的一半，转换成概率即可得出答案． 【解答】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为；
转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为；
因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为，
故选：C． 2.（2024春 南山区期末）如图是由两个相同的正方形拼成的图形，假设可以随意在图中取点，这个点取在阴影部分的概率是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可． 【解答】解：由图可知，
阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分的概率是．
故选：B．
【题型1】必然事件
【典型例题】下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A.有理数比无理数大
B.三角形的三条高交于一点
C.正比例函数是一次函数
D.同位角相等
【答案】C
【解析】解：A、有理数比无理数大是随机事件，不符合题意；
B、三角形的三条高交于一点是随机事件，不符合题意；
C、正比例函数是一次函数是必然事件，符合题意；
D、同位角相等是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】下列事件是必然事件的是（ ）
A.抛掷硬币正面向上
B.经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
C.买彩票中奖
D.地球绕着太阳转
【答案】D
【解析】解：A、抛掷硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
C、买彩票中奖，是随机事件，不符合题意；
D、地球绕着太阳转，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.如果a为实数，则a＞0
B.任意画一个四边形，其内角和是360°
C.随意翻一本书到某一页，这页的页码是奇数
D.100件产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品
【答案】B
【解析】解：A、如果a为实数，则a＞0是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个四边形，其内角和是360°是必然事件，符合题意；
C、随意翻一本书到某一页，这页的页码是奇数是随机事件，不符合题意；
D、100件产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【举一反三3】下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A.打开电视机，正在播放广告
B.下雨天，每个人都打着雨伞
C.若x＞y，则﹣2x＞﹣2y
D.若实数a≠0，则|a|＞0
【答案】D
【解析】解：A、“打开电视机，正在播放广告”是随机事件，不符合题意；
B、“下雨天，每个人都打着雨伞”是必然事件，不符合题意；
C、“若x＞y，则﹣2x＞﹣2y”是不可能事件，不符合题意；
D、“若实数a≠0，则|a|＞0”是必然事件，符合题意；
故选：D．
【举一反三4】“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观，下列成语中描述的事件是不可能事件的是（ ）
A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.百步穿杨 D.空中楼阁
【答案】D
【解析】解：A．“守株待兔”是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．“瓮中捉鳖”是确定事件，因此选项B不符合题意；
C．“百步穿杨”是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．“空中楼阁”是不可能事件，因此选项D符合题意．
故选：D．
【举一反三5】写出一个成语所描述的事件是必然事件： ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：描述的事件是必然事件的成语是：瓮中捉鳖．
【举一反三6】《登鹳雀楼》一诗描绘出祖国河山的磅礴气势和壮丽景象，其中“黄河入海流”是 事件（选填“不可能”、“随机”或“必然”）
【答案】必然
【解析】“黄河入海流”是必然事件，
故答案为：必然．
【举一反三7】“若a＝b，则a2＝b2”这一事件是 （填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”）
【答案】必然事件
【解析】解：“若a＝b，则a2＝b2”这一事件是必然事件，
故答案为：必然事件．
【举一反三8】某品牌花生油的密度约为0.92×103kg/m3且不溶于水．若将该品牌花生油滴入水中，则花生油浮在水面上．这一事件是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
【答案】必然
【解析】解：∵花生油的密度约为0.92×103kg/m3且不溶于水，水的密度为1.0×103kg/m3，
∴将该品牌花生油滴入水中，则花生油浮在水面上．这一事件是必然事件．
故答案为：必然．
【题型2】不可能事件
【典型例题】下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A.一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8
B.射击运动员射击一次，命中靶心
C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D.在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行
【答案】A
【解析】解：A、一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8是不可能事件，符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件，不符合题意；
D、在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行是随机事件，不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】“若a是实数，则a2＜0”这一事件是( )
A.必然事件 B.不可能事件 C.不确定事件 D.随机事件
【答案】B
【解析】“若a是实数，则a2＜0”这一事件是不可能事件．
【举一反三2】下列事件属于不可能事件的是（ ）
A.在一个不透明的袋子中装有除颜色外无其他差别的3个红球，2个白球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个是红球
B.打开电视，CCTV1正在播放《典籍里的中国》
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.一个三角形的内角和为181°
【答案】D
【解析】解：A、在一个不透明的袋子中装有除颜色外无其他差别的3个红球，2个白球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个是红球是必然事件，不符合题意；
B、打开电视，CCTV1正在播放《典籍里的中国》是随机事件，不符合题意；
C、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，不符合题意；
D、一个三角形的内角和为181°是不可能事件，符合题意．
故选：D．
【举一反三3】下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A.投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B.在只装有黑球、白球的袋子中摸球，摸出红球
C.a是实数，|a|≥0
D.有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3．从中随机抽取一张，编号是1
【答案】B
【解析】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意；
B、在只装有黑球、白球的袋子中摸球，摸出红球是不可能事件，故符合题意；
C、a是实数，|a|≥0是必然事件，故不符合题意；
D、有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3．从中随机抽取一张，编号是1是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【举一反三4】“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．(填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”)
【答案】不可能事件
【解析】∵袋子中3个小球的标号分别为1、2、3，没有标号为4的球，
∴从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
【举一反三5】“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“缘木求鱼”所描述的事件是 事件（选择“随机”、“不可能”、“必然”中的一个填写）．
【答案】不可能
【解析】解：成语“缘木求鱼”所描述的事件是不可能事件．
故答案为：不可能．
【举一反三6】“a是实数，a2＜0“这一事件是 （填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）．
【答案】不可能事件
【解析】解：∵a是实数，
∴a2≥0，
∴“a是实数，a2＜0“这一事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
【举一反三7】如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是 .（填写布袋对应的序号）
【答案】④
【解析】解：①号布袋中的3个球全是白色的，所以从中随机摸出一个球，“摸到白球”属于必然事件，故不符合题意；
②号布袋中有1红色的和2个白色的球，所以从中随机摸出一个球，“摸到白球”属于随机事件，故不符合题意；
③号布袋中有2红色的和1个白色的球，所以从中随机摸出一个球，“摸到白球”属于随机事件，故不符合题意；
④号布袋中的3个球全是红色的，所以从中随机摸出一个球，“摸到白球”属于不可能事件，故符合题意；
故答案为：④．
【题型3】确定事件
【典型例题】下列事件为确定性事件的有( )
(1)a是任意实数，|a|≥0；
(2)经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
(3)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；
(4)袋子中装有3个红球，从中随机摸出一个球的颜色为黄球．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】(1)a是任意实数，|a|≥0，是确定事件，也是必然事件；
(2)经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
(3)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；
(4)袋子中装有3个红球，从中随机摸出一个球的颜色为黄球，是确定事件，也是不可能事件；
综上所述，是确定事件的有(1)(4)，共2个，
故选：B．
【举一反三1】下列事件中是确定事件的为( )
A.三角形的内角和是180°
B.打开电视机正在播放动画片
C.车辆随机经过一个路口，遇到绿灯
D.掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数
【答案】A
【解析】A.“三角形的内角和180°”属于确定事件，故A项符合题意；
B.“打开电视机正在播放动画片”属于随机事件，故B不符合题意；
C.“车辆随机经过一个路口，遇到绿灯”属于随机事件，故C不符合题意；
D.“掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数”属于随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】下列事件：①在体育中考中小明考了满分；②抛掷两枚正方体骰子的点数和大于1；③经过有交通信号灯的路口遇到红灯；④四边形的外角和为180度．其中属于确定事件的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】①在体育中考中，小明考了满分是随机事件；
②抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；
③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
④四边形的外角和为180度是不可能事件，
故选：B．
【举一反三3】下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（ ）
A.十拿九稳 B.守株待兔 C.水中捞月 D.一箭双雕
【答案】C
【解析】解：A、十拿九稳，是随机事件，不符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月，是不可能事件，属于确定事件，符合题意；
D、一箭双雕，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【举一反三4】下列事件中，属于确定事件的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6
B.抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6
C.抛一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6
D.抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次
【答案】B
【解析】A.抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6是随机事件；
B.抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6是不可能事件；
C.抛一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6是随机事件；
D.抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次是随机事件．
【举一反三5】下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
【答案】③⑤
【解析】解：①②④⑥是随机事件；
③是不可能事件，是确定事件；
⑤是必然事件，是确定事件．
故答案为：③⑤．
【举一反三6】下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
【答案】③⑤
【解析】解：①②④⑥是随机事件；
③是不可能事件，是确定事件；
⑤是必然事件，是确定事件．
故答案为：③⑤．
【举一反三7】所给事件：①将油滴入水中，油会浮在水面上；②任意掷一枚质地均匀的六面体骰子，掷出的点数是4；③打开电视机，它正在播新闻；④367人中至少会有2人在同一天过生日．这些事件中属于确定事件的是 （填序号）
【答案】①④
【解析】解：①将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件；
②任意掷一枚质地均匀的六面体骰子，掷出的点数是4是随机事件；
③打开电视机，它正在播新闻，是随机事件；
④367人中至少会有2人在同一天过生日，是必然事件．
故答案为：①④．
【题型4】随机事件
【典型例题】下列说法错误的是（ ）
A.成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B.一元二次方程x2+x+3＝0没有实数根
C.任意多边形的外角和等于360°
D.三角形三条高线一定交于三角形内部一点
【答案】D
【解析】解：A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，原说法正确，不符合题意；
B、Δ＝12﹣4×3＝﹣11＜0，则一元二次方程x2+x+3＝0没有实数根，原说法正确，不符合题意；
C、任意多边形的外角和等于360°，原说法正确，不符合题意；
D、三角形三条高线不一定交于三角形内部一点，例如直角三角形三条高交于直角顶点，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.调查全班同学的身高，应采用全面调查的方式
B.数据5，7，6，3，4的中位数是6
C.成语“水中捞月”描述的是必然事件
D.甲、乙同学10次数学考试平均成绩相等，方差分别为，，则乙的成绩比甲的稳定
【答案】A
【解析】解：A、调查全班同学的身高，应采用全面调查的方式，说法正确，符合题意；
B、数据5，7，6，3，4的中位数是5，故本选项说法错误，不符合题意；
C、成语“水中捞月”描述的是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙同学10次数学考试平均成绩相等，方差分别S甲2＝0.1，S乙2＝0.8，则甲的成绩比乙的稳定，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ）
A.不可能抽到 B.可能抽到 C.很有可能抽到 D.一定能抽到
【答案】D
【解析】解：从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，
若抽出全部4张梅花、3张黑桃，则还会抽出1张红桃，
所以其中红桃这种花色一定能抽到，
故选：D．
【举一反三3】在一个不透明的口袋内有大小和形状相同的4个白球和2个红球，搅匀后从中摸出2个球，摸到1个白球和1个红球的是 事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）．
【答案】随机
【解析】解：在一个不透明的口袋内有大小和形状相同的4个白球和2个红球，搅匀后从中摸出2个球，摸到1个白球和1个红球的是随机事件，
故答案为：随机．
【举一反三4】下列成语，哪些刻画的是必然事件？哪些刻画的是不可能事件？哪些刻画的是随机事件？
(1)万无一失；(2)胜败乃兵家常事；(3)水中捞月；
(4)十拿九稳；(5)海枯石烂；(6)守株待兔；(7)百战百胜；(8)九死一生．
你还能举出类似的成语吗？
【答案】解 (1)万无一失必然事件；
(2)胜败乃兵家常事是随机事件；
(3)水中捞月不可能事件；
(4)十拿九稳随机事件；
(5)海枯石烂不可能事件；
(6)守株待兔随机事件；
(7)百战百胜是随机事件；
(8)九死一生随机事件．
【举一反三5】指出下列事件分别是属于“随机事件、必然发生的、不可能发生的”中的哪一种？
(1)今年冬天长春会下雪；
(2)口袋中共有5个红球、3个白球，在口袋中任取一球，会摸到红球；
(3)小敏1小时跑60千米；
(4)掷两枚骰子，点数的和大于1；
(5)买一张彩票，中了500万．
【答案】解 (1)是必然发生的；
(2)是随机事件；
(3)是不可能发生的；
(4)是必然发生的；
(5)是随机事件．
【题型5】简单事件的概率
【典型例题】一个不透明袋子中装有6个黑球、3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．
【举一反三1】绕口令：“四是四，十是十，十四是十四，四十是四十”共有16个汉字，任选一个汉字，这个字是“四”的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵这句含有16个汉字的绕口令中，“四”出现了6次，
∴出现的频率为．
【举一反三2】已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为关于x的不等式组有解，
可得：，
所以得出a＞5，
因为a取≤9的整数，
可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，
所以使关于x的不等式组有解的概率为．
【举一反三3】有六张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：
①线段，
②角，
③等边三角形，
④平行四边形，
⑤矩形，
⑥菱形，将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
【答案】
【解析】解：将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张共有6种等可能结果，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、矩形、菱形这3种结果，
所以正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是＝，
故答案为：．
【举一反三4】掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于5.
【答案】解：掷一枚质地均匀的骰子时，向一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种，这些点数出现的可能性相等.
（1）点数为2有1种可能，因此
P（点数为2）=.
（2）点数为奇数有3种可能，即点数为1，3，5，因此
P（点数为奇数）==.
（3）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，因此
P（点数大于2且小于5）==.
【题型6】与几何图形有关的概率
【典型例题】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：取OE的中点为F，连接CF.
设⊙O的半径为r，
∵CE⊥AO，ED⊥OB
∴∠OCE＝∠ODE=90°，
∵∠AOB=90°
∴∠OCE＝∠ODE=∠AOB=90°
∴四边形ODEC为矩形
∵点C是AO的中点，
∴OC＝OA＝OE，
在Rt△CDE中，F为OE中点
∴CF＝OE=OF
∴OC=CF=OF
∴△COF为等边三角形.
∴∠COE＝60°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°，
∵ED⊥OB，
∴∠ODE＝90°，
∵∠COD＝∠OCE＝90°，
∴四边形OCED为矩形，
∴S△OCE＝S△ODE，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOE＝，
∴点P落在阴影部分的概率＝＝＝．
故选：B．
【举一反三1】如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正方形的面积＝2×2＝4，
三角形ABC的面积＝41×21×2，
则落在△ABC内部的概率是．
【举一反三2】如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，设OA＝a，OB＝OC＝a，
由正方形的性质可知∠AOB＝90°，
，
由正方形的性质可得CD＝CE＝OC＝a，
∴DE＝2a，
，
，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故选：A．
【举一反三3】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2：1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形(阴影部分)的概率是________．
【答案】
【解析】设大正方形边长为2，则小正方形边长为1，
所以大正方形面积为4，小正方形面积为1，
则针孔扎到小正方形(阴影部分)的概率是．
【举一反三4】如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______．
【答案】
【解析】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
【举一反三5】如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个9×9的小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“3”，其意义表示该格的外围区域(图中阴影部分，记为A区域)有3颗地雷；接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“1”，其外围区域(图中阴影部分)记为B区域；“A区域与B区域以及出现数字‘1’和‘3’两格”以外的部分记为C区域．小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击A、B、C中的哪个区域？请说明理由．
【答案】解 ∵，，，
∵，，
∴P(A)＞P(B)＞P(C)，
∴小红点击C区域．
【题型7】事件发生的可能性大小
【典型例题】从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件中发生的可能性最小的是（ ）
A.这张牌是“A” B.这张牌是“红心” C.这张牌是“大王” D.这张牌是“红色的”
【答案】C
【解析】解：从一副扑克牌中“A”有4张，“红心”有13张，“大王”有1张，“红色的”有27张，
∵27＞13＞4＞1，
∴这张牌是，“大王”的可能性最小，
故选：C．
【举一反三1】一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是( )
A.摸出的是白球 B.摸出的是黑球 C.摸出的是红球 D.摸出的是绿球
【答案】A
【解析】因为白球最多，
所以被摸到的可能性最大．
【举一反三2】盒子里有10张卡片（除卡片正面上的图片不一样，其他都一样），其中有6张卡片上印有黄果树瀑布，3张卡片上印有梵净山，1张卡片上印有西江千户苗寨．小星从中随机摸出一张卡片，准备去卡片上的地方游玩，则下列说法正确的是（ ）
A.一定会去梵净山
B.去黄果树瀑布的可能性最大
C.不可能去西江千户苗寨
D.去三个地方的可能性一样
【答案】B
【解析】解：∵盒子里有10张卡片（除卡片正面上的图片不一样，其他都一样），其中有6张卡片上印有黄果树瀑布，3张卡片上印有梵净山，1张卡片上印有西江千户苗寨，
∴随机摸出一张卡片，准备去卡片上的地方游玩，去黄果树瀑布的可能性是＝；
去梵净山的可能性是；
去西江千户苗寨的可能性是，
∵＞＞，
∴去黄果树瀑布的可能性最大．
故选：B．
【举一反三3】居家上网课期间，小燕在学习之余与妈妈要玩一次转盘游戏，选项与所占比例如图所示，则她不看电视的可能性为 ．
【答案】85%
【解析】解：由图知，她不看电视的可能性为1﹣15%＝85%，
故答案为：85%．
【举一反三4】比较下列随机事件发生的可能性大小．
(1)如图，转动一个能自由转动的转盘，指针指向红色区域和指向白色区域；
(2)小明和小亮做掷硬币的游戏，他们商定：将一枚硬币掷两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜．谁获胜的可能性大？
【答案】解 (1)∵白色区域的面积比红色区域的面积大，
∴指针指向红色区域的可能性比指针指向白色区域的可能性小；
(2)将一枚硬币掷两次，有(正，正)，(正，反)，(反，反)，(反，正)4种等可能的结果，
两次朝上的面相同的有2种，两次朝上的面不同的有2种，
所以两人获胜的可能性一样．25.1随机事件与概率
【题型1】必然事件 5
【题型2】不可能事件 6
【题型3】确定事件 8
【题型4】随机事件 9
【题型5】简单事件的概率 10
【题型6】与几何图形有关的概率 11
【题型7】事件发生的可能性大小 13
【知识点1】随机事件 （1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 1.（2025春 巴中期末）周一上午，在上学的路上，小明对小强说：“感觉要下雨了，今天的升旗仪式估计得改在室内举行了．”小强回应道：“不仅升旗仪式要改在室内，而且体育课也得改成室内健康课了．”小明叹了口气：“哎……太可惜了，我还打算在体育课上展示举起万斤的哑铃呢．”小强催促道：“快点啊，可能要迟到了．”对话内容中，随机事件和不可能事件分别为几件（ ） A．5，0B．4，1C．3，2D．2，3
【知识点2】可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 1.（2025 榕江县校级二模）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（ ） A．守株待兔B．旭日东升C．瓜熟蒂落D．夕阳西下
2.（2024秋 拱墅区校级期中）“明天下雨的可能性为80%”这句话指的是（ ） A．明天一定下雨B．80%的地区下雨，20%的地区不下雨C．明天不一定下雨D．明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
【知识点3】概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 1.（2025 衡阳校级模拟）下列说法正确的是（ ） A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖C．文文同学数学五次周练的成绩分别为90分，85分，88分，95分，100分，文文同学五次成绩的中位数是88分D．乐乐同学的数、物、化得分分别为85分，90分，100分，若依次按照4：3：3的权重确定理科成绩，则乐乐的得分是91分
2.（2025春 东港市期中）下列说法中不正确的是（ ） A．水中捞月是不可能事件B．367人中有两人是同月同日生为必然事件C．小丽掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2，这个事件为随机事件D．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上
【知识点4】概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0． 1.（2025春 南岸区期末）在一个不透明的袋子中装有8个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个．如果从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率为（ ） A．B．C．D．
2.（2025 安徽模拟）如图，过平行四边形ABCD对角线AC上一定点M作一组邻边的平行线，从这个图形中任选一个三角形或平行四边形，则所选图形中含点P的概率是（ ） A．B．C．D．
【知识点5】几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 1.（2024 邱县二模）用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是（ ） A．P甲＞P乙B．P甲＜P乙C．P甲=P乙D．无法确定P甲，P乙的大小
2.（2024春 南山区期末）如图是由两个相同的正方形拼成的图形，假设可以随意在图中取点，这个点取在阴影部分的概率是（ ） A．B．C．D．
【题型1】必然事件
【典型例题】下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A.有理数比无理数大
B.三角形的三条高交于一点
C.正比例函数是一次函数
D.同位角相等
【举一反三1】下列事件是必然事件的是（ ）
A.抛掷硬币正面向上
B.经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
C.买彩票中奖
D.地球绕着太阳转
【举一反三2】下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.如果a为实数，则a＞0
B.任意画一个四边形，其内角和是360°
C.随意翻一本书到某一页，这页的页码是奇数
D.100件产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品
【举一反三3】下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A.打开电视机，正在播放广告
B.下雨天，每个人都打着雨伞
C.若x＞y，则﹣2x＞﹣2y
D.若实数a≠0，则|a|＞0
【举一反三4】“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观，下列成语中描述的事件是不可能事件的是（ ）
A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.百步穿杨 D.空中楼阁
【举一反三5】写出一个成语所描述的事件是必然事件： ．
【举一反三6】《登鹳雀楼》一诗描绘出祖国河山的磅礴气势和壮丽景象，其中“黄河入海流”是 事件（选填“不可能”、“随机”或“必然”）
【举一反三7】“若a＝b，则a2＝b2”这一事件是 （填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”）
【举一反三8】某品牌花生油的密度约为0.92×103kg/m3且不溶于水．若将该品牌花生油滴入水中，则花生油浮在水面上．这一事件是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
【题型2】不可能事件
【典型例题】下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A.一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8
B.射击运动员射击一次，命中靶心
C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D.在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行
【举一反三1】“若a是实数，则a2＜0”这一事件是( )
A.必然事件 B.不可能事件 C.不确定事件 D.随机事件
【举一反三2】下列事件属于不可能事件的是（ ）
A.在一个不透明的袋子中装有除颜色外无其他差别的3个红球，2个白球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个是红球
B.打开电视，CCTV1正在播放《典籍里的中国》
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.一个三角形的内角和为181°
【举一反三3】下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A.投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B.在只装有黑球、白球的袋子中摸球，摸出红球
C.a是实数，|a|≥0
D.有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3．从中随机抽取一张，编号是1
【举一反三4】“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．(填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”)
【举一反三5】“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“缘木求鱼”所描述的事件是 事件（选择“随机”、“不可能”、“必然”中的一个填写）．
【举一反三6】“a是实数，a2＜0“这一事件是 （填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）．
【举一反三7】如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是 .（填写布袋对应的序号）
【题型3】确定事件
【典型例题】下列事件为确定性事件的有( )
(1)a是任意实数，|a|≥0；
(2)经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
(3)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；
(4)袋子中装有3个红球，从中随机摸出一个球的颜色为黄球．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】下列事件中是确定事件的为( )
A.三角形的内角和是180°
B.打开电视机正在播放动画片
C.车辆随机经过一个路口，遇到绿灯
D.掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数
【举一反三2】下列事件：①在体育中考中小明考了满分；②抛掷两枚正方体骰子的点数和大于1；③经过有交通信号灯的路口遇到红灯；④四边形的外角和为180度．其中属于确定事件的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（ ）
A.十拿九稳 B.守株待兔 C.水中捞月 D.一箭双雕
【举一反三4】下列事件中，属于确定事件的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6
B.抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6
C.抛一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6
D.抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次
【举一反三5】下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
【举一反三6】下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
【举一反三7】所给事件：①将油滴入水中，油会浮在水面上；②任意掷一枚质地均匀的六面体骰子，掷出的点数是4；③打开电视机，它正在播新闻；④367人中至少会有2人在同一天过生日．这些事件中属于确定事件的是 （填序号）
【题型4】随机事件
【典型例题】下列说法错误的是（ ）
A.成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B.一元二次方程x2+x+3＝0没有实数根
C.任意多边形的外角和等于360°
D.三角形三条高线一定交于三角形内部一点
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.调查全班同学的身高，应采用全面调查的方式
B.数据5，7，6，3，4的中位数是6
C.成语“水中捞月”描述的是必然事件
D.甲、乙同学10次数学考试平均成绩相等，方差分别为，，则乙的成绩比甲的稳定
【举一反三2】从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ）
A.不可能抽到 B.可能抽到 C.很有可能抽到 D.一定能抽到
【举一反三3】在一个不透明的口袋内有大小和形状相同的4个白球和2个红球，搅匀后从中摸出2个球，摸到1个白球和1个红球的是 事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）．
【举一反三4】下列成语，哪些刻画的是必然事件？哪些刻画的是不可能事件？哪些刻画的是随机事件？
(1)万无一失；(2)胜败乃兵家常事；(3)水中捞月；
(4)十拿九稳；(5)海枯石烂；(6)守株待兔；(7)百战百胜；(8)九死一生．
你还能举出类似的成语吗？
【举一反三5】指出下列事件分别是属于“随机事件、必然发生的、不可能发生的”中的哪一种？
(1)今年冬天长春会下雪；
(2)口袋中共有5个红球、3个白球，在口袋中任取一球，会摸到红球；
(3)小敏1小时跑60千米；
(4)掷两枚骰子，点数的和大于1；
(5)买一张彩票，中了500万．
【题型5】简单事件的概率
【典型例题】一个不透明袋子中装有6个黑球、3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】绕口令：“四是四，十是十，十四是十四，四十是四十”共有16个汉字，任选一个汉字，这个字是“四”的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】有六张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：
①线段，
②角，
③等边三角形，
④平行四边形，
⑤矩形，
⑥菱形，将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
【举一反三4】掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于5.
【题型6】与几何图形有关的概率
【典型例题】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2：1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形(阴影部分)的概率是________．
【举一反三4】如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______．
【举一反三5】如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个9×9的小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“3”，其意义表示该格的外围区域(图中阴影部分，记为A区域)有3颗地雷；接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“1”，其外围区域(图中阴影部分)记为B区域；“A区域与B区域以及出现数字‘1’和‘3’两格”以外的部分记为C区域．小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击A、B、C中的哪个区域？请说明理由．
【题型7】事件发生的可能性大小
【典型例题】从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件中发生的可能性最小的是（ ）
A.这张牌是“A” B.这张牌是“红心” C.这张牌是“大王” D.这张牌是“红色的”
【举一反三1】一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是( )
A.摸出的是白球 B.摸出的是黑球 C.摸出的是红球 D.摸出的是绿球
【举一反三2】盒子里有10张卡片（除卡片正面上的图片不一样，其他都一样），其中有6张卡片上印有黄果树瀑布，3张卡片上印有梵净山，1张卡片上印有西江千户苗寨．小星从中随机摸出一张卡片，准备去卡片上的地方游玩，则下列说法正确的是（ ）
A.一定会去梵净山
B.去黄果树瀑布的可能性最大
C.不可能去西江千户苗寨
D.去三个地方的可能性一样
【举一反三3】居家上网课期间，小燕在学习之余与妈妈要玩一次转盘游戏，选项与所占比例如图所示，则她不看电视的可能性为 ．
【举一反三4】比较下列随机事件发生的可能性大小．
(1)如图，转动一个能自由转动的转盘，指针指向红色区域和指向白色区域；
(2)小明和小亮做掷硬币的游戏，他们商定：将一枚硬币掷两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜．谁获胜的可能性大？
