25.2用列举法求概率
【题型1】直接列举法求概率 2
【题型2】列表法或画树状图法求概率 3
【题型3】三步试验概率 5
【题型4】用概率解决游戏公平性问题 6
【知识点1】列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 1.（2025 兴城市一模）如图，某小区地下车库示意图，A，B为入口，C，D，E，F为出口，李师傅从任意一个入口进入，随机选一个出口驶出，则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为（ ） A．B．C．D．
【知识点2】游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=． 1.桌上放着25粒棋子，小明和小刚两人轮流拿，一次可以拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子，但不可以不拿，拿到最后一粒棋子的算输，该游戏（ ） A．公平B．不公平C．对小明有利D．不确定
【题型1】直接列举法求概率
【典型例题】现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
【举一反三3】如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷(包含数字2的黑框区域记为A)．
(1)若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是多少？
(2)现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字1(包含数字1的黑框区域记为B)，轮到小林点击，若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由．
【举一反三4】不透明袋子中有红、绿小球各一个，除颜色外无其他并别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个.求下列事件的概率：
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中一个绿球，一个红球.
【题型2】列表法或画树状图法求概率
【典型例题】六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】柜子里有两双不同的鞋,如果从中随机取出2只,那么取出的鞋是同一双的概率为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a(不放回)；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点(a，b)在直线y＝图象上的概率为 ．
【举一反三4】深圳市去年中考首次对九年级学生进行了物理，化学实验操作考试，其中化学实验操作考试有3个考题[分别记为A、B、C供学生选择，每个学生都可以从3个考题中随机抽取一个考题进行操作，如果每一个考题被抽到的机会均等，那么甲乙两个学生抽到的考题都是A的概率是 ．
【举一反三5】为了有效落实“双减”政策,某校随机抽取部分学生,开展了“书面作业完成时间”问卷调查.根据调查结果,绘制了如下不完整的统计图表:
根据统计图表提供的信息解析下列问题:
(1)频数分布统计表中的m= ,n= ;
(2)补全条形统计图;
(3)已知该校有1 000名学生,估计书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的学生有多少人;
(4)若E组有两名男同学、两名女同学,从中随机抽取两名学生了解情况,请用列表或画树状图的方法,求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
【举一反三6】某校举办学生综合素质大赛，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，比赛题目包括下列五类：A．人文艺术；B．历史社会；C．自然科学；D．天文地理；E．体育健康．
(1)若小明参加“单人项目”，他从中抽取一个题目，那么恰好抽中“自然科学”类题目的概率为 ．
(2)小林和小丽参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是多少？(用画树状图或列表的方法求解)
【题型3】三步试验概率
【典型例题】甲、乙、丙三人随机站成一排拍照，乙恰好站在中间的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】“活力校BA，热爱‘篮’不住”，为了迎接本次篮球赛，甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【举一反三2】一个竖直放置的钉板如图所示,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子,A1、B1、B2、…、D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内,则圆球落入③号槽内的概率为 .
【举一反三3】在一年一度的广雅少年歌唱比赛中，需要抽签决定A，B，C，D四名选手的出场顺序，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，在卡片正面分别写上数字“1”，“2”，“3”，“4”，抽到数字“1”则第一个出场，以此类推，主持人将卡片打乱顺序后，给这四名选手各随机抽取一张．
(1)请用列表法或画树状图法列举出所有可能出现的结果；
(2)求事件“选手A和C出场顺序不相邻”的概率．
【题型4】用概率解决游戏公平性问题
【典型例题】以下说法中，正确的是( )
①淘气和笑笑玩游戏，他们把8张数字卡片(分别写着数字1～8)反扣在桌面上，打乱顺序后，任意摸出一张，抽到质数是淘气赢，抽到合数是笑笑赢，这个游戏规则是公平的．
②长方体、正方体、圆柱的体积计算公式都可以用V＝sh．
③笑笑在文具店购买了3本一样的笔记本，结账时，售货员阿姨说：“一共11.6元”．
④已知a÷b＝c(a、b、c均为正整数)，那么a和b的最大公因数是1，最小公倍数是a．
A.② B.②④ C.①③ D.①②③④
【举一反三1】甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是( )
A.游戏的规则由甲方确定 B.游戏的规则由乙方确定 C.游戏的规则由甲乙双方商定 D.游戏双方要各有50%赢的机会
【举一反三2】暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是( )
A.掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢
B.同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢
C.掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢
D.在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢
【举一反三3】小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是 （填序号）．
【举一反三4】小莉的爸爸买了一张唐梓山门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【举一反三5】如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲得1分；如果所得的积是奇数，那么乙得1分．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由．25.2用列举法求概率
【题型1】直接列举法求概率 3
【题型2】列表法或画树状图法求概率 6
【题型3】三步试验概率 11
【题型4】用概率解决游戏公平性问题 13
【知识点1】列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 1.（2025 兴城市一模）如图，某小区地下车库示意图，A，B为入口，C，D，E，F为出口，李师傅从任意一个入口进入，随机选一个出口驶出，则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后求得李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【解答】解：如图：
由树状图可知所有可能的结果有8种，恰好从A口进入，并从C口驶出的结果有1种，
则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为．
故选：C． 【知识点2】游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=． 1.桌上放着25粒棋子，小明和小刚两人轮流拿，一次可以拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子，但不可以不拿，拿到最后一粒棋子的算输，该游戏（ ） A．公平B．不公平C．对小明有利D．不确定
【答案】B 【分析】由于1、2、3的最小公倍数为6，则两人轮流拿走棋子的总数为6的倍数，所以最后总是剩下一粒棋子，这样先拿的人输，后拿的人赢． 【解答】解：因为1、2、3的最小公倍数为6，
所以小明和小刚两人轮流拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子的总数为6的倍数，
而25=4×6+1，则小明和小刚两人轮流拿后，最后总是剩下一粒棋子，
所以先拿的那个人必定要拿最后一粒棋子，则它必输，即先拿的人输，后拿的人赢，
所以这个游戏不公平．
故选：B．
【题型1】直接列举法求概率
【典型例题】现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数字“2”、“4”、“5”、“6”中能被2整除的有“2”、“4”、“6”，
所以随机抽取一张卡片，卡片数字“能被2整除”的概率为为，
故选：C．
【举一反三1】班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意，可列举为：
ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB
BACD BADC CABD CADB DABC DACB
BCAD BDAC CBAD CDAB DBAC DCAB
BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA
4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12，
故A，B两位同学座位相邻的概率是．
故选：C．
【举一反三2】一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
【答案】
【解析】蚂蚁获得食物的概率＝．
故答案为．
【举一反三3】如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷(包含数字2的黑框区域记为A)．
(1)若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是多少？
(2)现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字1(包含数字1的黑框区域记为B)，轮到小林点击，若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由．
【答案】解 (1)∵区域A内8个方块中埋藏着2颗地雷，
∴有6个方块没有地雷，
∴未踩中地雷的概率是：＝；
(2)由(1)知，区域A未踩中地雷的概率是，
∵区域B的3个方块中埋着1颗地雷，有2个方块没有地雷，
∴区域B未踩中地雷的概率是：，
∵＞，
∴从安全的角度考虑，他应该选择区域A．
【举一反三4】不透明袋子中有红、绿小球各一个，除颜色外无其他并别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个.求下列事件的概率：
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中一个绿球，一个红球.
【答案】解：列举摸出两个小球所能产生的全部结果，它们是：红红，绿绿，红绿，绿红.所有可能的结果共有4种，并且这4种结果的可能性相等.
（1）第一次摸出红球，第二次绿球的结果只有一种，
所以P（第一次红球，第二次绿球）=.
（2）两次都摸到相同颜色的小球，共有2种结果，红红，绿绿.
所以P（两次摸到颜色相同）==.
（3）两次摸到球中一个绿球，一个红球，共有2种结果，
所以P（两次颜色相同）==.
【题型2】列表法或画树状图法求概率
【典型例题】六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，
列树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有种，
即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是，
故选：C．
【举一反三1】柜子里有两双不同的鞋,如果从中随机取出2只,那么取出的鞋是同一双的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】两双不同的鞋分别用A、a,B、b表示,其中A、a表示同一双鞋,B、b表示同一双鞋,画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中取出的鞋是同一双的结果数为4,所以取出的鞋是同一双的概率为.故选A.
【举一反三2】学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）：
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
∴小明和小慧乘坐同一辆车的概率是＝，
故选：B．
【举一反三3】现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a(不放回)；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点(a，b)在直线y＝图象上的概率为 ．
【答案】
【解析】列表得：
得到所有等可能的情况有6种，其中点(a，b)在直线y＝图象上的只有(3，2)这1种情况，
所以点(a，b)在直线y＝图象上的概率为．
【举一反三4】深圳市去年中考首次对九年级学生进行了物理，化学实验操作考试，其中化学实验操作考试有3个考题[分别记为A、B、C供学生选择，每个学生都可以从3个考题中随机抽取一个考题进行操作，如果每一个考题被抽到的机会均等，那么甲乙两个学生抽到的考题都是A的概率是 ．
【答案】
【解析】画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中甲乙两个学生抽到的考题都是A的有1种结果，
所以甲乙两个学生抽到的考题都是A的概率为．
【举一反三5】为了有效落实“双减”政策,某校随机抽取部分学生,开展了“书面作业完成时间”问卷调查.根据调查结果,绘制了如下不完整的统计图表:
根据统计图表提供的信息解析下列问题:
(1)频数分布统计表中的m= ,n= ;
(2)补全条形统计图;
(3)已知该校有1 000名学生,估计书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的学生有多少人;
(4)若E组有两名男同学、两名女同学,从中随机抽取两名学生了解情况,请用列表或画树状图的方法,求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
【答案】解 (1)18;8.
(2)条形统计图补全如下:
(3)1 000×=240(人).
答:估计书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的学生有240人.
(4)列表如下:
由表可知,共有12种等可能的结果,其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种,
∴抽取的两名同学恰好是一男一女的概率=.
【举一反三6】某校举办学生综合素质大赛，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，比赛题目包括下列五类：A．人文艺术；B．历史社会；C．自然科学；D．天文地理；E．体育健康．
(1)若小明参加“单人项目”，他从中抽取一个题目，那么恰好抽中“自然科学”类题目的概率为 ．
(2)小林和小丽参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是多少？(用画树状图或列表的方法求解)
【答案】解 (1)∵比赛题目共包括五类：A．人文艺术；B．历史社会；C．自然科学；D．天文地理；E．体育健康
∴小明恰好抽中“自然科学”类题目的概率为
故答案为：
(2)由题意画树状图为：
有图可知他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是：，
∴他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是：．
【题型3】三步试验概率
【典型例题】甲、乙、丙三人随机站成一排拍照，乙恰好站在中间的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中乙站在中间的结果数为2，
所以乙站在中间的概率==．
故选：B．
【举一反三1】“活力校BA，热爱‘篮’不住”，为了迎接本次篮球赛，甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】A
【解析】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，经过2次传球后，球回到甲手中的有2种情况，回到乙手中的有1种情况，回到丙手中的有1种情况，
∴经过2次传球后，球回到甲手中的概率是=，回到乙手中的概率是，回到丙手中的概率是，
∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲．
故选：A．
【举一反三2】一个竖直放置的钉板如图所示,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子,A1、B1、B2、…、D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内,则圆球落入③号槽内的概率为 .
【答案】
【解析】根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有8种等可能的结果,其中圆球落入③号槽内的结果有3种,∴P(圆球落入③号槽内)=.
【举一反三3】在一年一度的广雅少年歌唱比赛中，需要抽签决定A，B，C，D四名选手的出场顺序，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，在卡片正面分别写上数字“1”，“2”，“3”，“4”，抽到数字“1”则第一个出场，以此类推，主持人将卡片打乱顺序后，给这四名选手各随机抽取一张．
(1)请用列表法或画树状图法列举出所有可能出现的结果；
(2)求事件“选手A和C出场顺序不相邻”的概率．
【答案】(1)解 画出树状图如下：
由图可知：共有24种等可能发生的结果；
(2)解 由图可知：事件“选手A和C出场顺序不相邻”共有12种，
∴．
【题型4】用概率解决游戏公平性问题
【典型例题】以下说法中，正确的是( )
①淘气和笑笑玩游戏，他们把8张数字卡片(分别写着数字1～8)反扣在桌面上，打乱顺序后，任意摸出一张，抽到质数是淘气赢，抽到合数是笑笑赢，这个游戏规则是公平的．
②长方体、正方体、圆柱的体积计算公式都可以用V＝sh．
③笑笑在文具店购买了3本一样的笔记本，结账时，售货员阿姨说：“一共11.6元”．
④已知a÷b＝c(a、b、c均为正整数)，那么a和b的最大公因数是1，最小公倍数是a．
A.② B.②④ C.①③ D.①②③④
【答案】A
【解析】①从数字1～8中，抽到的质数是2，3，5，7，共4个，合数是4，6，8，共3个，这个游戏规则是不公平的，故①错误；
②长方体、正方体、圆柱的体积计算公式都可以用V＝sh，故②正确；
③因为11.6÷3＝3.8...2，所以笑笑在文具店购买了3本一样的笔记本，结账时，售货员阿姨说：“一共11.6元”，错误，故③错误；
④因为a÷b＝c(a、b、c均为正整数)，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a．故④错误，
故选：A．
【举一反三1】甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是( )
A.游戏的规则由甲方确定 B.游戏的规则由乙方确定 C.游戏的规则由甲乙双方商定 D.游戏双方要各有50%赢的机会
【答案】D
【解析】根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，
∴A．游戏的规则由甲方确定，故此选项错误；
B．游戏的规则由乙方确定，故此选项错误；
C．游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误；
D．游戏双方要各有50%赢的机会，故此选项正确．
【举一反三2】暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是( )
A.掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢
B.同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢
C.掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢
D.在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢
【答案】B
【解析】A.掷一枚硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，概率相等可选，故此选项不符合题意；
B.画出树形图可知：两枚都正面向上的概率为，一正一反向上的概率为，概率不相等可选，故此选项符合题意；
C.掷一枚骰子，向上的一面是奇数和偶数的概率都为，概率相等，故此选项不符合题意；
D.在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球的概率为，是红球的概率为，概率相等，故此选项不符合题意.
【举一反三3】小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是 （填序号）．
【答案】①②③
【解析】解：画树状图如下：
则P（三个正面或三个反面向上）＝＝，即小强获胜的概率是；
P（出现2个正面向上一个反面向上）＝，即小亮获胜的概率是；
P（出现一个正面和2个反面向上）＝，即小文获胜的概率是．
则小强获胜的概率最小，小亮和小文获胜的概率相等，小文赢的概率是，此游戏不公平．
故答案为：①②③．
【举一反三4】小莉的爸爸买了一张唐梓山门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【答案】解 哥哥设计的游戏规则公平，理由如下：
画树状图如下
由树状图知，共有16种等可能结果，其中和为奇数的有8种结果，和为偶数的有8种结果，
所以小莉去的概率为，哥哥去的概率为，
因为，
所以哥哥设计的游戏规则公平．
【举一反三5】如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲得1分；如果所得的积是奇数，那么乙得1分．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由．
【答案】解：不公平．
画树状图得：
∵共有24种等可能的结果，所得的积是偶数的有18种情况，是奇数的有6种情况，
∴P（甲获胜）＝＝，P（乙获胜）＝＝，
∴不公平．
