25.3用频率估计
【题型1】用频率估计概率 4
【题型2】概率与统计的综合应用 7
【知识点1】利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 1.（2025 罗湖区校级模拟）新郑大枣以极瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（ ）
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
【答案】B 【分析】由图可知，成活概率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B． 【知识点2】模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 1.（2024秋 古田县校级月考）在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色、模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（ ） A．“抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会B．“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会C．“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会D．“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会
【答案】C 【分析】看所给物品得到可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等． 【解答】解：“摸出一个球是白球”的机会是．
A、“抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会是，不可做替代物，不符合题意；
B、“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会＜，不可做替代物，不符合题意；
C、“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会是，可做替代物，符合题意；
D、“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会＜，不可做替代物，不符合题意；
故选：C． 2.（2024春 大庆期末）小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（ ） A．P（摸到白球）=P（摸到红球）=P（摸到黑球）=B．P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=，P（摸到红球）=C．P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=D．P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=P（摸到红球）=
【答案】A 【分析】由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、因为P≤1，若P（摸到白球）=P（摸到红球）=P（摸到黑球）=，则P（摸到白球+摸到红球+摸到黑球）=＞1，故本选项错误，符合题意；
B、若这6个球中，有3个白球，2个黑球，1个红球，摸球一次，则P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=，P（摸到红球）=；故本选项正确，不符合题意；
C、若这6个球中，有3个白球，3个黑球，摸球一次，则P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=，故本选项正确，不符合题意；
D、若这6个球中，有4个白球，1个黑球，1个红球，摸球一次，则P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=P（摸到红球）=；故本选项正确，不符合题意．
故选：A．
【题型1】用频率估计概率
【典型例题】数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A.黑球 B.黄球 C.红球 D.白球
【答案】B
【解析】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，
∴白球被取得的概率＝＝，红球被取得的概率＝，黄球被取得的概率＝＝，
由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率，
故选：B．
【举一反三1】某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图所示的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能是( )
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌,花色是红桃
C.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上一面的点数是奇数
D.暗箱中有1个红球和5个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是红球
【答案】D
【解析】A选项,在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”的概率为,不符合题意;
B选项,一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌,花色是红桃的概率为,不符合题意;
C选项,掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上一面的点数是奇数的概率是,不符合题意;
D选项,暗箱中有1个红球和5个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是红球的概率是≈0.17,符合题意.
故选D.
【举一反三2】一个口袋中装有黑球、白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到黑球，请估计口袋中黑球的个数大约有（ ）
A.3个 B.5个 C.6个 D.9个
【答案】C
【解析】解：∵共摸了100次，其中40次摸到黑球，
∴有60次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为2：3，
∴口袋中黑球和白球个数之比为2：3，
∵口袋中有黑球、白球共15个，
∴口袋中有黑球＝15×＝6（个）．
故选：C．
【举一反三3】某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为__________．
【答案】
【解析】设草鱼有x条，根据题意得：
＝0.5，
解得：x＝350，
由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ＝．
【举一反三4】3张扑克牌中只有1张黑桃，3位同学依次抽取，他们抽到黑桃的概率跟抽取的顺序有关吗？请同学们通过试验，试着用频率估计每位同学抽取黑桃的概率.
【答案】解：∵三张扑克牌中只有一张黑桃，
∴每一位同学抽到黑桃的概率为：．
可以让三位同学依次抽取，大量重复试验，发现每位同学抽到黑桃的频率会逐渐稳定在
附近，说明每位同学抽到黑桃的概率为．
【举一反三5】某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘，商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格，其中a＝ ，b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会在一个常数 附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是 ；
（3）转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
【答案】解：（1）242÷400＝0.605；0.59×800＝472，
故答案为：0.605；472；
（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是0.6，
故答案为：0.6；0.6；
（3）（1﹣0.6）×360°＝144°，
所以表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是144°．
【题型2】概率与统计的综合应用
【典型例题】对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
当n越大时，优等品率趋近于概率_________．(精确到0.01)
【答案】0.82
【解析】当n越大时，优等品率趋近于概率0.82，故答案为：0.82．
【举一反三1】某公司以3元/kg的成本价购进10 000 kg柑橘,并希望出售这些柑橘能够获得12 000元利润,在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时,需要先进行“柑橘损坏率”统计,再确定每千克柑橘的售价,下表是销售部通过随机取样,得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分,由此可估计柑橘的完好率为 (精确到0.1);从而可估计每千克柑橘的实际售价为 元时(精确到0.1),可获得12 000元利润.
【答案】0.9 4.7
【解析】从表格可以看出,柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动,并且随统计量的增加这种规律逐渐明显,所以估计柑橘的完好率是1-0.1=0.9;设每千克柑橘的售价为x元,则有10 000×0.9x-3×10 000=12 000,解得x=≈4.7,所以去掉损坏的柑橘后,该公司若要获得12 000元利润,完好柑橘每千克的售价应为4.7元.
【举一反三2】某校进行环保知识测试，测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名女生和20名男生的成绩进行整理，得到了如图信息：
（1）根据以上信息，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）计算被抽查男、女生的平均成绩；
（3）根据（1）（2）中的统计量，你认为该校男生、女生的成绩哪个较好；
（4）若在A等级中选择两个代表学校参赛，请用树状图或列表的方式求出正好选中“一男一女”的概率．
【答案】解：（1）将抽取的20名男生的成绩按照从大到小的顺序排列，排在第10和11名的成绩为9分，8分，
∴a＝（9+8）÷2＝8.5．
由统计图可知，b＝8．
故答案为：8.5；8．
（2）被抽查男生的平均成绩为（3×10+7×9+5×8+5×7）÷20＝8.4．
被抽查女生的平均成绩为（2×10+5×9+8×8+5×7）÷20＝8.2．
（3）∵被抽查男生的平均成绩、中位数、众数都高于女生，
∴男生的成绩较好．
（4）列表如下：
共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种，
∴正好选中“一男一女”的概率为＝．
【举一反三3】近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，我校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：
A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解，
根据调查统计结果，绘制了不完整的两种统计图表．
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生共有多少人，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角的度数；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从A等级中的睿睿和凯凯中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则睿睿去；否则凯凯去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】解：（1）20÷5%＝400（人），
不了解的人数为：400﹣20﹣60﹣180＝140，
补全条形图：
（2）扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角是：．
（3）游戏规则不公平，
列表如下：
∵一共有12种可能的结果，其中摸出两个球上的数字和为奇数的有8种，为偶教有4种
∴P（睿睿去）＝＝，
∴游戏不公平．25.3用频率估计概率
【题型1】用频率估计概率 3
【题型2】概率与统计的综合应用 4
【知识点1】利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 1.（2025 罗湖区校级模拟）新郑大枣以极瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（ ）
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
【知识点2】模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 1.（2024秋 古田县校级月考）在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色、模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（ ） A．“抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会B．“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会C．“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会D．“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会
2.（2024春 大庆期末）小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（ ） A．P（摸到白球）=P（摸到红球）=P（摸到黑球）=B．P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=，P（摸到红球）=C．P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=D．P（摸到白球）=，P（摸到黑球）=P（摸到红球）=
【题型1】用频率估计概率
【典型例题】数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A.黑球 B.黄球 C.红球 D.白球
【举一反三1】某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图所示的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能是( )
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌,花色是红桃
C.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上一面的点数是奇数
D.暗箱中有1个红球和5个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是红球
【举一反三2】一个口袋中装有黑球、白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到黑球，请估计口袋中黑球的个数大约有（ ）
A.3个 B.5个 C.6个 D.9个
【举一反三3】某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为__________．
【举一反三4】3张扑克牌中只有1张黑桃，3位同学依次抽取，他们抽到黑桃的概率跟抽取的顺序有关吗？请同学们通过试验，试着用频率估计每位同学抽取黑桃的概率.
【举一反三5】某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘，商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格，其中a＝ ，b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会在一个常数 附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是 ；
（3）转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
【题型2】概率与统计的综合应用
【典型例题】对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
当n越大时，优等品率趋近于概率_________．(精确到0.01)
【举一反三1】某公司以3元/kg的成本价购进10 000 kg柑橘,并希望出售这些柑橘能够获得12 000元利润,在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时,需要先进行“柑橘损坏率”统计,再确定每千克柑橘的售价,下表是销售部通过随机取样,得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分,由此可估计柑橘的完好率为 (精确到0.1);从而可估计每千克柑橘的实际售价为 元时(精确到0.1),可获得12 000元利润.
【举一反三2】某校进行环保知识测试，测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名女生和20名男生的成绩进行整理，得到了如图信息：
（1）根据以上信息，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）计算被抽查男、女生的平均成绩；
（3）根据（1）（2）中的统计量，你认为该校男生、女生的成绩哪个较好；
（4）若在A等级中选择两个代表学校参赛，请用树状图或列表的方式求出正好选中“一男一女”的概率．
【举一反三3】近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，我校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：
A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解，
根据调查统计结果，绘制了不完整的两种统计图表．
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生共有多少人，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角的度数；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从A等级中的睿睿和凯凯中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则睿睿去；否则凯凯去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
