3.1 空间向量基本定理
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间一组基的是（ ）
A. B.
C. D.或
3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是（ ）
A.－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.－a－b＋c
D.a－b＋c
4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点.若＝a，＝b，＝c，则＝（ ）
A.a－b＋c
B.a－b－c
C.a－b＋c
D.a－b＋c
5.（多选）若{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组也可以作为空间一组基的是（ ）
A.a＋c，b，a－c B.a＋b，b，a－b
C.a－b，b－c，c D.a＋c，b，a－b－c
6.（多选）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则（ ）
A.m＝ B.m＝－
C.n＝ D.n＝－
7.若{a，b，c}是空间的一组基，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是 .
8.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示向量＝ .
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝ .
10.如图，在空间平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC'的中点，N是B'C'的中点，用一组基{a，b，c}表示向量，.
11.设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则（x，y，z）为（ ）
A. B.
C. D.
12.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，则AE的长为（ ）
A. B.
C.2 D.
13.（多选）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列关系正确的是（ ）
A.＋＋＝
B.＋－＝
C.－＋＝
D.－＋＝
14.在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝ .向量，， （填“能”或“不能”）构成一组基.
15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，H在线段PD上且DH＝DP.
（1）用向量，，表示向量；
（2）求向量的模长.
16.如图，在△OAB中，C是AB的中点，P在线段OC上，且＝2.过点P的直线交线段OA，OB分别于点N，M，且＝m，＝n，其中m，n∈[0，1]，求m＋n的最小值.
3.1 空间向量基本定理
1.B 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基，否则不能当基.当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量.因此p / q，q p.
2.C ∵＝（a－b），∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间一组基.
3.A ＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝（－a＋b）＋c＝－a＋b＋c.
4.C ＝－＝－＝（＋）－＝（－）＝（＋－）＝（－＋－－）＝－＋＝a－b＋c.故选C.
5.ACD A选项：设a＋c＝mb＋n（a－c），即a＋c＝mb＋na－nc，不存在m，n使得等式成立，因此a＋c，b，a－c不共面，故可以作为一组基；B选项：设a＋b＝mb＋n（a－b），即a＋b＝（m－n）b＋na，令此时等式成立，即a＋b，b，a－b共面，故不可以作为一组基；C选项：设a－b＝m（b－c）＋nc，即a－b＝mb＋（n－m）c，不存在m，n使得等式成立，因此a－b，b－c，c不共面，故可以作为一组基；D选项：设a＋c＝mb＋n（a－b－c），即a＋c＝（m－n）b＋na－nc，不存在m，n使得等式成立，因此a＋c，b，a－b－c不共面，故可以作为一组基.故选A、C、D.
6.AD 根据空间向量基本定理，有＝＋＋，所以m＝，－n＝，即n＝－.
7.x＝y＝z＝0 解析：假设x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间的一组基知a，b，c不共面，矛盾，故假设不成立，即x＝0，同理y＝z＝0.
8.a－b＋c 解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c.
9.（＋＋） 解析：∵2＝2＋2＋2＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝＋＋，∴＝（＋＋）.
10.解：由M为BC'的中点，得＝，则＝＋＝＋＝＋（＋）＝b＋（＋）＝b＋（－＋）＝b＋（c－b＋a）＝a＋b＋c.又N是B'C'的中点，∴＝，则＝＋＝（＋）＋（－）＝b＋a＋（c－b）＝a＋b＋c.
11.A 如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，＝（＋）＝（－2＋），＝＝（－2＋），∵＝3＝3（－），∴＝＝（＋）＝（＋－＋）＝＋＋，故选A.
12.B 因为＝＋＋，｜｜＝｜｜＝1＝｜｜，且·＝·＝·＝0.又｜｜2＝（＋＋）2，所以｜｜2＝3，即AE的长为.
13.AC ＋＋＝＋＝，A正确.因为＋＋＝，所以＋－＝－＝，B不正确.－＋＝＋＋＝＋＝，C正确.－＋＝＋＋＝＋＝，D不正确.
14.3a－b＋3c 不能 解析：＝（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＋＋＋＋＝（＋）＝3a－b＋3c.假设，，共面，则＝λ＋μ＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝（λ＋5μ）a－5μb＋（8μ－2λ）c＝3a－b＋3c.∴解得∴，，共面，∴不能构成一组基.
15.解：（1）＝＋＝＋＋＝－＋（－）＋（－）＝－＋－＋－＝＋－.
（2）｜｜2＝
＝（＋）2－（＋）·＋｜｜2
＝－·＋｜｜2
＝（4＋16）－×2×2×＋4＝，
∴｜｜＝.
16.解：＝（＋），则2＝（ ＋），＝＋，又P，M，N共线，∴＋＝1.又m，n∈[0，1]，∴m＋n＝（m＋n）·＝（ ＋1＋1＋）≥×（ 2＋2）＝1，当且仅当m＝n＝时取等号.
3 / 33.1 空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间向量的基本定理及其意义 直观想象
2.掌握空间向量基本定理的应用 数学运算
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程.
【问题】 联系到我们学过的平面向量基本定理，能否推广到空间应用呢？
知识点 空间向量基本定理
如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在 的三元有序实数组（x，y，z），使得p＝ .
其中{a，b，c}叫作空间向量的一组 ，a，b，c都叫作 .
【想一想】
1.构成基的三个向量中，可以有零向量吗？
2.在四棱锥O-ABCD中，可表示为＝x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一组基.（ ）
（2）若{a，b，c}为空间的一组基，则a，b，c全不是零向量.（ ）
（3）对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组（x，y，z），使0＝xa1＋ya2＋za3.（ ）
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一组基的是（ ）
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
3.如图，已知四面体ABCD的三条棱＝b，＝c，＝d，M为BC的中点，用基向量b，c，d表示向量＝ .
题型一 空间向量基本定理的理解
【例1】 已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基？
尝试解答
通性通法
判断基的方法
判断给出的某一向量组能否作为基，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.
【跟踪训练】
（多选）设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组，其中可以作为空间一组基的是（ ）
A.{a，b，x} B.{x，y，z}
C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}
题型二 空间向量基本定理的证明
【例2】 证明：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc.
尝试解答
通性通法
反证法证明定理中有序实数组（x，y，z）的唯一性的3个步骤
（1）否定原命题结论（不唯一），即另存在一组有序实数组（x'，y'，z'），使p＝x'a＋y'b＋z'c；
（2）运算推理：两式相减得0＝（x－x'）a＋（y－y'）b＋（z－z'）c，若x≠x'，则a＝－b－c；
（3）推出矛盾，此时a，b，c共面与已知条件矛盾，因此x＝x'，同理y＝y'，z＝z'，故有序实数组（x，y，z）唯一.
【跟踪训练】
已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足向量关系式＝x＋y＋z，求证：当x＋y＋z＝1时，点P与点A，B，C共面.
题型三 空间向量基本定理的应用
【例3】 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量，，表示和.
尝试解答
通性通法
用基表示向量的策略
（1）若基确定，要充分利用向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；
（2）若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是使基向量的模及其夹角已知或易求.
【跟踪训练】
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若＝a，＝b，＝c，试用基{a，b，c}表示向量.
1.若O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基，则下列说法正确的是（ ）
A.，，共线 B.，共线
C.，共线 D.O，A，B，C四点共面
2.若{a，b，c}是空间的一组基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与向量m，n构成空间的另一组基的向量是（ ）
A.a B.b
C.c D.2a
3.（多选）下列结论正确的是（ ）
A.三个非零向量能构成空间的一组基，则它们不共面
B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一组基，则这两个向量共线
C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一组基
D.{a，b，c}为空间的一组基，则{a＋b，b＋c，c＋a}也构成了空间的另一组基
4.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ .（用a，b，c表示）
5.设G为△ABC的重心，O为△ABC所在平面外一点，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示＝ .
3.1 空间向量基本定理
【基础知识·重落实】
知识点
唯一 xa＋yb＋zc 基 基向量
想一想
1.提示：不可以.
2.提示：对.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.C 由题意知，，不共面，可以作为空间向量的一组基.
3.b＋c－d 解析：∵M为BC的中点，∴＝（＋）＝[（－）＋（－）]＝[（b－d）＋（c－d）]＝b＋c－d.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立.
∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）
＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一组基，
∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数x，y，使＝x＋y成立.
∴，，不共面.故{，，}能作为空间的一组基.
跟踪训练
BCD 如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.故选B、C、D.
【例2】 证明：如图，已知a，b，c不共面，过点O作＝a，＝b，＝c，＝p.过点P作直线PP'∥OC，交平面OAB于点P'，在平面OAB内过点P'作P'A'∥OB，P'B'∥OA，分别与直线OA，OB交于点A'，B'，连接OP'.于是存在唯一的三个实数x，y，z，使＝x＝xa，＝y＝yb，＝z＝zc，则＝＋＝＋＋＝x＋y＋z，所以p＝xa＋yb＋zc.
跟踪训练
证明：∵＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，
∴＝（1－y－z）＋y＋z，
即－＝y（－）＋z（－），
∴＝y＋z，
∴点P与点A，B，C共面.
【例3】 解：＝＋
＝＋
＝＋（－）
＝＋
＝＋×（＋）
＝＋＋.
＝＋
＝＋＋＋
＝＋＋.
跟踪训练
解：如图，连接A1M，A1C1，则＝－＝＋－（＋）＝＋（＋）－（＋）＝－（＋）＝－a－b＋c.
随堂检测
1.D 因为O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基，所以，，共面，所以O，A，B，C四点共面，故选D.
2.C 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[（a＋b）＋（a－b）]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[（a＋b）－（a－b）]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故选C.
3.ABD 由基的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基，故错误.
4.a＋b＋c 解析：＝＋＝＋×（＋）＝＋×（－＋－）＝＋＋＝a＋b＋c.
5.（a＋b＋c）
解析：如图所示，∵＝＋（D为BC边的中点），＝（＋）＝（b＋c），＝＝＝－[（b－a）＋（c－a）]＝－（b＋c）＋a，∴＝（b＋c）－（b＋c）＋a＝（a＋b＋c）.
3 / 3(共62张PPT)
3.1 空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间向量的基本定理及其意义 直观想象
2.掌握空间向量基本定理的应用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德
经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程.
【问题】 联系到我们学过的平面向量基本定理，能否推广到空间应
用呢？
知识点 空间向量基本定理
如果向量 a ， b ， c 是空间三个不共面的向量， p 是空间任意一个向
量，那么存在 的三元有序实数组（ x ， y ， z ），使得 p
＝ .
其中{ a ， b ， c }叫作空间向量的一组 ， a ， b ， c 都叫作
.
唯一
xa ＋ yb ＋ zc
基
基向
量
1. 构成基的三个向量中，可以有零向量吗？
提示：不可以.
2. 在四棱锥 O - ABCD 中， 可表示为 ＝ x ＋ y ＋ z 且唯
一，这种说法对吗？
提示：对.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一组基. （ × ）
（2）若{ a ， b ， c }为空间的一组基，则 a ， b ， c 全不是零向量.
（ √ ）
（3）对于三个不共面向量 a1， a2， a3，不存在实数组（ x ， y ，
z ），使0＝ xa1＋ ya2＋ za3. （ × ）
×
√
×
2. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，可以作为空间向量一组基的是
（ ）
解析： 由题意知 ， ， 不共面，可以作为空间向
量的一组基.
3. 如图，已知四面体 ABCD 的三条棱 ＝ b ， ＝ c ， ＝ d ， M
为 BC 的中点，用基向量 b ， c ， d 表示向量 ＝ .
b ＋ c － d
解析：∵ M 为 BC 的中点，∴ ＝ （ ＋ ）＝ [（ － ）＋（ － ）]＝ [（ b － d ）＋（ c － d ）]＝ b ＋ c － d .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量基本定理的理解
【例1】 已知{ e1， e2， e3}是空间的一组基，且 ＝ e1＋2 e2－ e3，
＝－3 e1＋ e2＋2 e3， ＝ e1＋ e2－ e3，试判断{ ， ， }能
否作为空间的一组基？
解：假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知存在实数
x ， y ，使 ＝ x ＋ y 成立.
∴ e1＋2 e2－ e3＝ x （－3 e1＋ e2＋2 e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3）
＝（－3 x ＋ y ） e1＋（ x ＋ y ） e2＋（2 x － y ） e3.
∵{ e1， e2， e3}是空间的一组基，
∴ e1， e2， e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数 x ， y ，使 ＝ x ＋ y 成立.
∴ ， ， 不共面.故{ ， ， }能作为空间的一组基.
通性通法
判断基的方法
判断给出的某一向量组能否作为基，关键是要判断它们是否
共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图
形进行判断.
【跟踪训练】
（多选）设 x ＝ a ＋ b ， y ＝ b ＋ c ， z ＝ c ＋ a ，且{ a ， b ， c }是空
间的一组基，给出下列向量组，其中可以作为空间一组基的是（ ）
A. { a ， b ， x } B. { x ， y ， z }
C. { b ， c ， z } D. { x ， y ， a ＋ b ＋ c }
解析： 如图所示，令 a ＝ ， b ＝ ，
c ＝ ，则 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ， a ＋ b
＋ c ＝ .由于 A ， B1， C ， D1四点不共面，可
知向量 x ， y ， z 也不共面，同理 b ， c ， z 和 x ，
y ， a ＋ b ＋ c 也不共面.故选B、C、D.
题型二 空间向量基本定理的证明
【例2】 证明：如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对任意一个空
间向量 p ，存在唯一的有序实数组（ x ， y ， z ），使得 p ＝ xa ＋ yb ＋
zc .
证明：如图，已知 a ， b ， c 不共面，过点 O 作 ＝
a ， ＝ b ， ＝ c ， ＝ p .过点 P 作直线PP'∥
OC ，交平面 OAB 于点P'，在平面 OAB 内过点P'作
P'A'∥ OB ，P'B'∥ OA ，分别与直线 OA ， OB 交于点
A'，B'，连接OP'.于是存在唯一的三个实数 x ， y ， z ，
使 ＝ x ＝ xa ， ＝ y ＝ yb ， ＝ z ＝
zc ，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ x ＋ y
＋ z ，所以 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc .
通性通法
反证法证明定理中有序实数组（ x ， y ， z ）的唯一性的3个步骤
（1）否定原命题结论（不唯一），即另存在一组有序实数组（x'，
y'，z'），使 p ＝x' a ＋y' b ＋z' c ；
（2）运算推理：两式相减得0＝（ x －x'） a ＋（ y －y'） b ＋（ z －
z'） c ，若 x ≠x'，则 a ＝－ b － c ；
（3）推出矛盾，此时 a ， b ， c 共面与已知条件矛盾，因此 x ＝x'，同
理 y ＝y'， z ＝z'，故有序实数组（ x ， y ， z ）唯一.
【跟踪训练】
已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A ， B ， C 满足向量关系式
＝ x ＋ y ＋ z ，求证：当 x ＋ y ＋ z ＝1时，点 P 与点
A ， B ， C 共面.
证明：∵ ＝ x ＋ y ＋ z 且 x ＋ y ＋ z ＝1，
∴ ＝（1－ y － z ） ＋ y ＋ z ，
即 － ＝ y （ － ）＋ z （ － ），
∴ ＝ y ＋ z ，
∴点 P 与点 A ， B ， C 共面.
题型三 空间向量基本定理的应用
【例3】 如图， M ， N 分别是四面体 OABC 的边 OA ， BC 的中点，
P ， Q 是 MN 的三等分点.用向量 ， ， 表示 和 .
解： ＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋ （ － ）
＝ ＋
＝ ＋ × （ ＋ ）
＝ ＋ ＋ .
＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ .
通性通法
用基表示向量的策略
（1）若基确定，要充分利用向量加、减法的三角形法则和平行四边
形法则，以及向量数乘的运算律；
（2）若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量
能方便地表示其他向量，再就是使基向量的模及其夹角已知或
易求.
【跟踪训练】
在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 AC 与 BD 的交点.若
＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，试用基{ a ， b ， c }表示向量
.
解：如图，连接 A1 M ， A1 C1，则 ＝ －
＝ ＋ －（ ＋ ）＝ ＋
（ ＋ ）－（ ＋ ）＝
－ （ ＋ ）＝－ a － b ＋ c .
1. 若 O ， A ， B ， C 为空间四点，且向量 ， ， 不能构成空间
的一组基，则下列说法正确的是（ ）
D. O ， A ， B ， C 四点共面
解析： 因为 O ， A ， B ， C 为空间四点，且向量 ， ，
不能构成空间的一组基，所以 ， ， 共面，所以 O ， A ，
B ， C 四点共面，故选D.
2. 若{ a ， b ， c }是空间的一组基，且向量 m ＝ a ＋ b ， n ＝ a － b ，则
可以与向量 m ， n 构成空间的另一组基的向量是（ ）
A. a B. b
C. c D. 2 a
解析： 由题意知， a ， b ， c 不共面，对于选项A， a ＝ [（ a ＋
b ）＋（ a － b ）]＝ m ＋ n ，故 a ， m ， n 共面，排除A；对于选
项B， b ＝ [（ a ＋ b ）－（ a － b ）]＝ m － n ，故 b ， m ， n 共
面，排除B；对于选项D，由选项A得，2 a ＝ m ＋ n ，故2 a ， m ， n
共面，排除D. 故选C.
3. （多选）下列结论正确的是（ ）
A. 三个非零向量能构成空间的一组基，则它们不共面
B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一组基，则这两个
向量共线
C. 若 a ， b 是两个不共线的向量，且 c ＝λ a ＋μ b （λ，μ∈R且
λμ≠0），则{ a ， b ， c }构成空间的一组基
D. { a ， b ， c }为空间的一组基，则{ a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a }也构成了
空间的另一组基
解析： 由基的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足 c ＝λ
a ＋μ b ，所以 a ， b ， c 共面，不能构成基，故错误.
4. 在四面体 OABC 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， D 为 BC 的中点，
E 为 AD 的中点，则 ＝ .（用 a ， b ， c 表示）
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ×
（ － ＋ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a ＋ b ＋ c .
： a ＋ b ＋ c
5. 设 G 为△ ABC 的重心， O 为△ ABC 所在平面外一点，设 ＝ a ，
＝ b ， ＝ c ，试用 a ， b ， c 表示 ＝ .
解析：如图所示，∵ ＝ ＋ （ D 为 BC 边的
中点）， ＝ （ ＋ ）＝ （ b ＋ c ），
＝ ＝ ＝－ [（ b － a ）＋
（ c － a ）]＝－ （ b ＋ c ）＋ a ，∴ ＝ （ b ＋
c ）－ （ b ＋ c ）＋ a ＝ （ a ＋ b ＋ c ）.
（ a ＋ b ＋ c ）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 p ： a ， b ， c 是三个非零向量； q ：{ a ， b ， c }为空间的一组
基，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当非零向量 a ， b ， c 不共面时，{ a ， b ， c }可以当基，
否则不能当基.当{ a ， b ， c }为基时，一定有 a ， b ， c 为非零向量.
因此 p / q ， q p .
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2. 已知 O ， A ， B ， C 为空间不共面的四点，且向量 a ＝ ＋ ＋
，向量 b ＝ ＋ － ，则与 a ， b 不能构成空间一组基的
是（ ）
解析： ∵ ＝ （ a － b ），∴ 与 a ， b 共面，∴ a ， b ，
不能构成空间一组基.
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3. 如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 为 A1 C1的中点，若 ＝ a ，
＝ c ， ＝ b ，则下列向量与 相等的是（ ）
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋
（ ＋ ）＝ （－ a ＋ b ）＋ c ＝－ a ＋ b ＋ c .
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4. 在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， E 是 PD 的中点.若
＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝（ ）
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解析： ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝
（ － ）＝ （ ＋ － ）＝ （ － ＋ － －
）＝ － ＋ ＝ a － b ＋ c .故选C.
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5. （多选）若{ a ， b ， c }是空间的一组基，则下列向量组也可以作为
空间一组基的是（ ）
A. a ＋ c ， b ， a － c B. a ＋ b ， b ， a － b
C. a － b ， b － c ， c D. a ＋ c ， b ， a － b － c
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解析： A选项：设 a ＋ c ＝ mb ＋ n （ a － c ），即 a ＋ c ＝ mb
＋ na － nc ，不存在 m ， n 使得等式成立，因此 a ＋ c ， b ， a － c 不
共面，故可以作为一组基；B选项：设 a ＋ b ＝ mb ＋ n （ a － b ），
即 a ＋ b ＝（ m － n ） b ＋ na ，令此时等式成立，即 a ＋
b ， b ， a － b 共面，故不可以作为一组基；C选项：设 a － b ＝ m
（ b － c ）＋ nc ，即 a － b ＝ mb ＋（ n － m ） c ，不存在 m ， n 使得
等式成立，因此 a － b ， b － c ， c 不共面，故可以作为一组基；D选
项：设 a ＋ c ＝ mb ＋ n （ a － b － c ），即 a ＋ c ＝（ m － n ） b ＋ na
－ nc ，不存在 m ， n 使得等式成立，因此 a ＋ c ， b ， a － b － c 不共
面，故可以作为一组基.故选A、C、D.
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6. （多选）在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，若点 F 是侧面 CDD1 C1的中
心，且 ＝ ＋ m － n ，则（ ）
解析： 根据空间向量基本定理，有 ＝ ＋ ＋ ，
所以 m ＝ ，－ n ＝ ，即 n ＝－ .
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7. 若{ a ， b ， c }是空间的一组基，且存在实数 x ， y ， z ，使得 xa ＋
yb ＋ zc ＝0，则 x ， y ， z 满足的条件是 .
解析：假设 x ≠0，则 a ＝－ b － c ，即 a 与 b ， c 共面.由{ a ， b ，
c }是空间的一组基知 a ， b ， c 不共面，矛盾，故假设不成立，即 x
＝0，同理 y ＝ z ＝0.
x ＝ y ＝ z ＝0
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8. 如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB ＝2 CD ，点 O 为空间任一
点，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则用 a ， b ， c 表示向量
＝ .
解析：∵ ＝－2 ，∴ － ＝－2（ － ），∴ b － a
＝－2（ － c ），∴ ＝ a － b ＋ c .
a － b ＋ c
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9. 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，用 ， ， 作为基向
量，则 ＝ （ ＋ ＋ ） .
（ ＋ ＋ ）
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解析：∵2 ＝2 ＋2 ＋2 ＝（ ＋ ）＋（ ＋
）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，∴ ＝ （ ＋
＋ ）.
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10. 如图，在空间平移△ ABC 到△ A ' B ' C '，连接对应顶点，设 ＝
a ， ＝ b ， ＝ c ， M 是 BC '的中点， N 是 B ' C '的中点，用一
组基{ a ， b ， c }表示向量 ， .
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解：由 M 为BC'的中点，得 ＝ ，则 ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ b ＋ （ ＋ ）＝ b ＋
（ － ＋ ）＝ b ＋ （ c － b ＋ a ）＝ a ＋ b ＋ c .又 N 是
B'C'的中点，∴ ＝ ，则 ＝ ＋ ＝（ ＋ ）
＋ （ － ）＝ b ＋ a ＋ （ c － b ）＝ a ＋ b ＋ c .
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11. 设 O - ABC 是四面体， G1是△ ABC 的重心， G 是 OG1上的一点，且
OG ＝3 GG1，若 ＝ x ＋ y ＋ z ，则（ x ， y ， z ）为
（ ）
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解析： 如图所示，连接 AG1交 BC 于点 E ，则
点 E 为 BC 的中点， ＝ （ ＋ ）＝
（ －2 ＋ ）， ＝ ＝ （ －
2 ＋ ），∵ ＝3 ＝3（ － ），
∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋
－ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，故
选A.
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12. 如图所示，在三棱锥 A - BCD 中， AB ⊥平面 BCD ， BC ⊥ CD ，且
AB ＝ BC ＝1， CD ＝2， E 为 CD 的中点，则 AE 的长为（ ）
C. 2
解析： 因为 ＝ ＋ ＋ ，｜ ｜＝｜ ｜＝1＝｜
｜，且 · ＝ · ＝ · ＝0.又｜ ｜2＝（ ＋
＋ ）2，所以｜ ｜2＝3，即 AE 的长为 .
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13. （多选）如图所示，平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，下列关系正
确的是（ ）
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解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，A正确.因
为 ＋ ＋ ＝ ，所以 ＋ － ＝－ ＝
，B不正确. － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＝ ，C正确. － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ ＝ ，D不正确.
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14. 在空间四边形 ABCD 中， ＝ a －2 c ， ＝5 a －5 b ＋8 c ，对角
线 AC ， BD 的中点分别是 E ， F ，则 ＝ .向量
， ， （填“能”或“不能”）构成一组基.
3 a － b ＋3 c
不能
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解析： ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ （ ＋ ）＝3
a － b ＋3 c .假设 ， ， 共面，则 ＝λ ＋μ ＝λ a －
2λ c ＋5μ a －5μ b ＋8μ c ＝（λ＋5μ） a －5μ b ＋（8μ－2λ） c ＝3 a －
b ＋3 c .∴解得∴ ， ， 共面，
∴不能构成一组基.
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15. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA ⊥平面
ABCD ， AB ＝2， PA ＝4，∠ ABC ＝60°， E 是 BC 的中点， H 在
线段 PD 上且 DH ＝ DP .
（1）用向量 ， ， 表示向量 ；
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解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＋
＝－ ＋（ － ）＋ （
－ ）＝－ ＋ － ＋ －
＝ ＋ － .
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（2）求向量 的模长.
解：｜ ｜2＝
＝ （ ＋ ）2－ （ ＋ ）·
＋｜ ｜2
＝ － ·
＋｜ ｜2
＝ （4＋16）－ ×2×2× ＋4＝ ，
∴｜ ｜＝ .
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16. 如图，在△ OAB 中， C 是 AB 的中点， P 在线段 OC 上，且 ＝2
.过点 P 的直线交线段 OA ， OB 分别于点 N ， M ，且 ＝ m
， ＝ n ，其中 m ， n ∈[0，1]，求 m ＋ n 的最小值.
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解： ＝ （ ＋ ），则2 ＝ （ ＋ ）， ＝
＋ ，又 P ， M ， N 共线，∴ ＋ ＝1.又 m ， n
∈[0，1]，∴ m ＋ n ＝（ m ＋ n ）· ＝ （ ＋1＋1＋ ）
≥ ×（ 2＋2 ）＝1，当且仅当 m ＝ n ＝ 时取等号.
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谢 谢 观 看！
