4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
第一课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系 数学运算
2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） 逻辑推理
观察图片，旗杆底部的平台和地面平行、旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行.
【问题】 旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？
知识点 空间平行关系的向量表示
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量.
（1）l∥m或l与m重合 ；
（2）l∥α或l α ；
（3）α∥β或α与β重合 .
提醒 （1）直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行；
（2）用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合.
1.若直线l1和l2的方向向量分别是a＝（1，－1，2），b＝（－2，2，－4），则（ ）
A.l1∥l2
B.l1与l2相交
C.l1与l2重合
D.l1∥l2或l1与l2重合
2.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），v＝（－3，－6，3），则（ ）
A.α∥β B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确
3.已知直线l的一个方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为 .
题型一 直线和直线平行
【例1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
尝试解答
通性通法
证明两直线平行的两种思路
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.
题型二 直线和平面平行
【例2】 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
尝试解答
通性通法
利用空间向量证明线面平行的三种方法
方法一：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证；
方法三：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示.
【跟踪训练】
在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
题型三 平面和平面平行
【例3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F.
尝试解答
通性通法
证明面面平行问题的方法
（1）转化为相应的线线平行或线面平行；
（2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.
【跟踪训练】
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1.
题型四 平行关系中的探究性问题
【例4】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
尝试解答
通性通法
1.求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式.
2.由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生合乎逻辑的思维品质.
【跟踪训练】
如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，AC与BD相交于点O，且A1在底面ABCD上的投影为O.问：在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
1.已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（ ）
A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝
C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝
2.如果直线l的方向向量是a＝（－2，0，1），且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是b＝（2，0，4），那么（ ）
A.l⊥α B.l∥α
C.l α D.l与α斜交
3.设平面α，β的一个法向量分别为u＝（1，2，－2），v＝（－3，－6，6），则α，β的位置关系为 .
4.直线l的一个方向向量为s＝（－1，1，1），平面α的一个法向量为n＝（2，x2＋x，－x），若直线l∥平面α，则x的值为 .
第一课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系
【基础知识·重落实】
知识点
（1）l∥m （2）l⊥n1 （3）n1∥n2
自我诊断
1.D ∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合.
2.A ∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.
3.l∥α或l α 解析：∵u·v＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，∴u⊥v，∴l∥α或l α.
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：法一 设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c，∴＝，∴∥，又∵R MN，∴MN∥RS.
法二 如图所示，建立空间直角坐标系A-xyz，则根据题意得M（3，0，），N（0，2，2），R（3，2，0），S.∴＝（－3，2，），＝（－3，2，），
∴＝.
∴∥.∵M RS，∴MN∥RS.
跟踪训练
证明：以点D为坐标原点，分别以，，为一组基建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），C1（0，1，1），F，
∴＝，＝（－1，0，），＝，＝（0，1，），
∴＝，＝，
∴∥，∥，
又∵F AE，F EC1，
∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形.
【例2】 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D（0，0，0），A（a，0，0），P（0，0，a），E，B（a，a，0）.
法一 设平面BDE的法向量为n＝（x，y，z），
又＝，＝（a，，－），则有
即即
令z＝1，则所以n＝（1，－1，1），
又＝（a，0，－a），
所以n·＝（1，－1，1）·（a，0，－a）＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
法二 因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝（，0，－）.
又＝（a，0，－a），
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
法三 假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即（a，0，－a）＝λ＋μ，
则有
解得
所以＝－＋，又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
跟踪训练
证明：∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，
∴EB，EF，EA两两垂直.
以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0），
∴＝（0，2，2），＝（2，2，0），＝（2，0，－2）.
设平面DEG的法向量为n＝（x，y，z），
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝（－1，1，－1），
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，∴AB∥平面DEG.
【例3】 证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2），
所以＝（0，2，1），＝（2，0，0），＝（0，2，1），＝（2，0，0），
设n1＝（x1，y1，z1）是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即
得
令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝（0，－1，2）.
同理，设n2＝（x2，y2，z2）是平面B1C1F的一个法向量.
由n2⊥，n2⊥，
得
解得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝（0，－1，2）.
所以n1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
跟踪训练
证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形.
因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°，
取AF的中点M，连接DM，
则DM⊥AB，所以DM⊥CD.
以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），A（，－1，0），F（，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），
所以＝（0，0，2），＝（，－1，0），＝（，－1，0），＝（0，0，2），所以∥，∥，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA 平面AA1D1D，CC1，CF 平面FCC1，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
【例4】 解：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，
则O，
P（0，0，），
A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
设Q（0，1，z），则＝（－，－，），＝（－1，－1，1），
则＝2，∴∥∴OP∥BD1.
又＝，＝（－1，0，z），
当z＝时，＝，即AP∥BQ，
又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP 平面PAO，BQ，BD1 平面D1BQ，
则有平面PAO∥平面D1BQ，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
跟踪训练
解：因为棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，则底面四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又因A1在底面ABCD上的投影为O.则A1O⊥平面ABCD，
所以OA1，OB，OC两两互相垂直.
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，），C1（0，2，）.
假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P（x，y，z），
则（x，y－1，z）＝λ（0，1，）.
从而有P（0，1＋λ，λ），＝（－，1＋λ，λ）.
设平面DA1C1的法向量为n＝（x1，y1，z1），
则
又＝（0，2，0），＝（，0，），
则
取n＝（1，0，－1），
因为BP∥平面DA1C1，
则n⊥，即n·＝－－λ＝0，解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.
随堂检测
1.D 由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝.
2.B ∵直线l的方向向量是a＝（－2，0，1），平面α的法向量是b＝（2，0，4），则a·b＝－4＋0＋4＝0，∴直线l在平面α内或者与平面α平行，又直线l上有一点P不在平面α上，∴l∥α.
3.平行或重合
4.± 解析：由题意，得直线l∥平面α，所以s·n＝0，即－1×2＋1×（x2＋x）＋1×（－x）＝0，解得x＝±.
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第一课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系 数学运算
2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理
（包括三垂线定理） 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察图片，旗杆底部的平台和地面平行、旗杆所在的直线和护旗战士
所在的直线平行.
【问题】 旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量
有什么关系？
知识点 空间平行关系的向量表示
设向量 l ， m 分别是直线 l ， m 的方向向量， n1， n2分别是平面α，β的
法向量.
（1） l ∥ m 或 l 与 m 重合 ；
（2） l ∥α或 l α ；
l ∥ m
l ⊥ n1
（3）α∥β或α与β重合 .
n1∥ n2
提醒 （1）直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行；
（2）用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线
面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须
说明两个平面不重合.
1. 若直线 l1和 l2的方向向量分别是 a ＝（1，－1，2）， b ＝（－2，
2，－4），则（ ）
A. l1∥ l2
B. l1与 l2相交
C. l1与 l2重合
D. l1∥ l2或 l1与 l2重合
解析： ∵ b ＝－2 a ，∴ l1与 l2平行或重合.
2. 若两个不重合平面α，β的法向量分别为 u ＝（1，2，－1）， v ＝
（－3，－6，3），则（ ）
A. α∥β B. α⊥β
C. α，β相交但不垂直 D. 以上均不正确
解析： ∵ v ＝－3 u ，∴ v ∥ u .故α∥β.
3. 已知直线 l 的一个方向向量为 u ＝（2，0，－1），平面α的一个法向
量为 v ＝（－2，1，－4），则 l 与α的位置关系为 .
解析：∵ u · v ＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，
∴ u ⊥ v ，∴ l ∥α或 l α.
l ∥α或 l α
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线和直线平行
【例1】 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝3， AD ＝4， AA1＝2，
点 M 在棱 BB1上，且 BM ＝2 MB1，点 S 在 DD1上，且 SD1＝2 SD ，点
N ， R 分别为 A1 D1， BC 的中点，求证： MN ∥ RS .
证明：法一 设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝ ＋
＋ ＝ c － a ＋ b ， ＝ ＋ ＋ ＝ b － a ＋ c ，∴
＝ ，∴ ∥ ，又∵ R MN ，∴ MN ∥ RS .
法二 如图所示，建立空间直角坐标系 A - xyz ，则根
据题意得 M （3，0， ）， N （0，2，2）， R （3，
2，0）， S .
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ .∴ ∥ .∵ M RS ，∴ MN ∥ RS .
通性通法
证明两直线平行的两种思路
【跟踪训练】
如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为 DD1和 BB1的
中点.求证：四边形 AEC1 F 是平行四边形.
证明：以点 D 为坐标原点，分别以 ， ， 为一组基建立空间
直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则 A （1，0，0）， E ， C1（0，1，1）， F ，
∴ ＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，∴ ∥ ， ∥ ，
又∵ F AE ， F EC1，∴ AE ∥ FC1， EC1∥ AF ，
∴四边形 AEC1 F 是平行四边形.
题型二 直线和平面平行
【例2】 在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂
直于底面 ABCD ， PD ＝ DC ， E 是 PC 的中点.证明： PA ∥平面 EDB .
证明：如图所示，建立空间直角坐标系， D 是坐标
原点，设 PD ＝ DC ＝ a .连接 AC ，交 BD 于点 G ，
连接 EG ，
依题意得 D （0，0，0）， A （ a ，0，0）， P
（0，0， a ）， E ， B （ a ， a ，0）.
法一 设平面 BDE 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
又 ＝ ， ＝ ，
则有 即
即
令 z ＝1，则所以 n ＝（1，－1，1），
又 ＝（ a ，0，－ a ），
所以 n · ＝（1，－1，1）·（ a ，0，－ a ）＝ a － a ＝0.
所以 n ⊥ .
又 PA 平面 EDB ，所以 PA ∥平面 EDB .
法二 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 G 是此正方形的中心，
故点 G 的坐标为 ，所以 ＝（ ，0，－ ）.
又 ＝（ a ，0，－ a ），
所以 ＝2 ，这表明 PA ∥ EG .
而 EG 平面 EDB ，且 PA 平面 EDB ，
所以 PA ∥平面 EDB .
法三 假设存在实数λ，μ使得 ＝λ ＋μ ，
即（ a ，0，－ a ）＝λ ＋μ ，
则有解得
所以 ＝－ ＋ ，又 PA 平面 EDB ，
所以 PA ∥平面 EDB .
通性通法
利用空间向量证明线面平行的三种方法
方法一：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方
向向量与平面的法向量垂直；
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平
行，利用线面平行判定定理得证；
方法三：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，
即可用平面内的一组基表示.
【跟踪训练】
在如图所示的多面体中， EF ⊥平面 AEB ， AE ⊥ EB ， AD ∥ EF ， EF
∥ BC ， BC ＝2 AD ＝4， EF ＝3， AE ＝ BE ＝2， G 是 BC 的中点，求
证： AB ∥平面 DEG .
证明：∵ EF ⊥平面 AEB ， AE 平面 AEB ， BE 平面 AEB ，
∴ EF ⊥ AE ， EF ⊥ BE .
又∵ AE ⊥ EB ，
∴ EB ， EF ， EA 两两垂直.
以点 E 为坐标原点， EB ， EF ， EA 所在直线分别为
x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得， A （0，0，2）， B （2，0，0）， C （2，4，0）， F
（0，3，0）， D （0，2，2）， G （2，2，0），
∴ ＝（0，2，2）， ＝（2，2，0）， ＝（2，0，－2）.
设平面 DEG 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则 即
令 y ＝1，得 z ＝－1， x ＝－1，
则 n ＝（－1，1，－1），
∴ · n ＝－2＋0＋2＝0，即 ⊥ n .
∵ AB 平面 DEG ，∴ AB ∥平面 DEG .
题型三 平面和平面平行
【例3】 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2， E ， F 分别是
BB1， DD1的中点，求证：平面 ADE ∥平面 B1 C1 F .
证明：建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ，
则 D （0，0，0）， A （2，0，0）， C （0，2，0）， C1（0，2，
2）， E （2，2，1）， F （0，0，1）， B1（2，2，2），
所以 ＝（0，2，1）， ＝（2，0，0）， ＝（0，2，1），
＝（2，0，0），
设 n1＝（ x1， y1， z1）是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥ ， n1⊥ ，
即 得
令 z1＝2，则 y1＝－1，所以可取 n1＝（0，－1，2）.
同理，设 n2＝（ x2， y2， z2）是平面 B1 C1 F 的一个法向量.
由 n2⊥ ， n2⊥ ，
得 解得
令 z2＝2，得 y2＝－1，
所以 n2＝（0，－1，2）.所以 n1＝ n2，即 n1∥ n2，
所以平面 ADE ∥平面 B1 C1 F .
通性通法
证明面面平行问题的方法
（1）转化为相应的线线平行或线面平行；
（2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.
【跟踪训练】
如图，在直四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，底面 ABCD 为等腰梯
形， AB ∥ CD ， AB ＝4， BC ＝ CD ＝2， AA1＝2， F 是棱 AB 的
中点.试用向量的方法证明：平面 AA1 D1 D ∥平面 FCC1.
证明：因为 AB ＝4， BC ＝ CD ＝2， F 是棱 AB
的中点，所以 BF ＝ BC ＝ CF ，所以△ BCF 为正
三角形.
因为 ABCD 为等腰梯形， AB ＝4， BC ＝ CD ＝
2，所以∠ BAD ＝∠ ABC ＝60°，
取 AF 的中点 M ，连接 DM ，
则 DM ⊥ AB ，所以 DM ⊥ CD .
以 D 为原点， DM 所在直线为 x 轴， DC 所在直
线为 y 轴， DD1所在直线为 z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系 Dxyz ，则 D （0，0，0）， D1
（0，0，2）， A （ ，－1，0）， F （ ，
1，0）， C （0，2，0）， C1（0，2，2），
所以 ＝（0，0，2）， ＝（ ，－1，
0）， ＝（ ，－1，0）， ＝（0，0，
2），所以 ∥ ， ∥ ，
所以 DD1∥ CC1， DA ∥ CF ，
又 DD1∩ DA ＝ D ， CC1∩ CF ＝ C ， DD1， DA
平面 AA1 D1 D ， CC1， CF 平面 FCC1，
所以平面 AA1 D1 D ∥平面 FCC1.
题型四 平行关系中的探究性问题
【例4】 如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O 为底面 ABCD
的中心， P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位
置时，平面 D1 BQ ∥平面 PAO .
解：如图所示，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，
建立空间直角坐标系，在 CC1上任取一点 Q ，连接 BQ ， D1 Q .
设正方体的棱长为1，
则 O ， P ， A （1，0，0）， B （1，1，0），
D1（0，0，1），
设 Q （0，1， z ），则 ＝ ，
＝（－1，－1，1），
则 ＝2 ，∴ ∥ ∴ OP ∥ BD1.
又 ＝ ， ＝（－1，0， z ），
当 z ＝ 时， ＝ ，即 AP ∥ BQ ，
又 AP ∩ OP ＝ P ， BQ ∩ BD1＝ B ， AP ， OP 平面
PAO ， BQ ， BD1 平面 D1 BQ ，
则有平面 PAO ∥平面 D1 BQ ，
∴当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1 BQ ∥平面 PAO .
通性通法
1. 求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化
为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求
点的坐标有关的等式.
2. 由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形
式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生合乎逻辑的
思维品质.
【跟踪训练】
如图，棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的所有棱长都等于2，∠ ABC 和∠ A1
AC 均为60°， AC 与 BD 相交于点 O ，且 A1在底面 ABCD 上的投影
为 O . 问：在直线 CC1上是否存在点 P ，使 BP ∥平面 DA1 C1？若存
在，求出点 P 的位置；若不存在，请说明理由.
解：因为棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的所有棱长都等于2，则底面四边形
ABCD 为菱形， AC ⊥ BD ，又因 A1在底面 ABCD 上的投影为 O . 则 A1
O ⊥平面 ABCD ，
所以 OA1， OB ， OC 两两互相垂直.
以 OB ， OC ， OA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则 B （ ，0，0），
C （0，1，0）， D （－ ，0，0），
A1（0，0， ）， C1（0，2， ）.
假设在直线 CC1上存在点 P ，使 BP ∥平面 DA1 C1，
设 ＝λ ， P （ x ， y ， z ），
则（ x ， y －1， z ）＝λ（0，1， ）.
从而有 P （0，1＋λ， λ）， ＝（－ ，1＋λ， λ）.
设平面 DA1 C1的法向量为 n ＝（ x1， y1， z1），
则 又 ＝（0，2，0）， ＝（ ，0， ），
则取 n ＝（1，0，－1），
因为 BP ∥平面 DA1 C1，
则 n ⊥ ，即 n · ＝－ － λ＝0，解得λ＝－1，
即点 P 在 C1 C 的延长线上，且 C1 C ＝ CP .
1. 已知向量 a ＝（2，4，5）， b ＝（3， x ， y ）分别是直线 l1， l2的方
向向量，若 l1∥ l2，则（ ）
A. x ＝6， y ＝15
C. x ＝3， y ＝15
解析： 由题意得， ＝ ＝ ，∴ x ＝6， y ＝ .
2. 如果直线 l 的方向向量是 a ＝（－2，0，1），且直线 l 上有一点 P 不
在平面α上，平面α的法向量是 b ＝（2，0，4），那么（ ）
A. l ⊥α B. l ∥α
C. l α D. l 与α斜交
解析： ∵直线 l 的方向向量是 a ＝（－2，0，1），平面α的法向
量是 b ＝（2，0，4），则 a · b ＝－4＋0＋4＝0，∴直线 l 在平面α内
或者与平面α平行，又直线 l 上有一点 P 不在平面α上，∴ l ∥α.
3. 设平面α，β的一个法向量分别为 u ＝（1，2，－2）， v ＝（－3，
－6，6），则α，β的位置关系为 .
解析：由题意，得直线 l ∥平面α，所以 s · n ＝0，即－1×2＋1×
（ x2＋ x ）＋1×（－ x ）＝0，解得 x ＝± .
平行或重合
±
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在空间直角坐标系中，已知 A （1，2，3）， B （－2，－1，6），
C （3，2，1）， D （4，3，0），则直线 AB 与 CD 的位置关系是
（ ）
A. 垂直 B. 平行
C. 异面 D. 相交但不垂直
解析： 由题意得， ＝（－3，－3，3）， ＝（1，1，－
1），∴ ＝－3 ，∴ 与 共线，又 AB 与 CD 没有公共
点.∴ AB ∥ CD .
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2. 已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为
（－2，－4， k ），若α∥β，则 k ＝（ ）
A. 2 B. －4
C. 4 D. －2
解析： 因为α∥β，所以 ＝ ＝ ，所以 k ＝4.
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3. 已知直线 l 的方向向量为 m ，平面α的法向量为 n ，则“ m · n ＝0”是“ l
∥α”的（ ）
A. 充要条件
B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件
D. 必要不充分条件
解析： 若 m · n ＝0，则 l ∥α或 l α；另一方面，若 l ∥α，则 m · n
＝0.因此，“ m · n ＝0”是“ l ∥α”的必要不充分条件.故选D.
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4. 在空间直角坐标系 O - xyz 中，过点 P （2，－3，5），且与向量 d ＝
（－2，1，－2）平行的直线 l 交平面 yOz 于点 Q ，则点 Q 的坐标为
（ ）
A. （4，－4，7） B. （0，－2，3）
D. （－4，0，－1）
解析： 依题意，设 Q （0， y ， z ），则 ＝（－2， y ＋3， z －
5）.由 ∥ d 知，存在λ∈R，使得 ＝λ d ，即（－2， y ＋3， z －
5）＝λ（－2，1，－2），所以－2＝－2λ， y ＋3＝λ， z －5＝－2λ.
联立解得 y ＝－2， z ＝3，即 Q （0，－2，3）.
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5. （多选）直线 l 的方向向量为 a ，平面α的法向量为 n ，若 l α，则
能使 l ∥α的是（ ）
A. a ＝（1，3，5）， n ＝（1，0，1）
B. a ＝（1，0，1）， n ＝（0，－2，0）
C. a ＝（0，2，1）， n ＝（－1，0，1）
D. a ＝（1，－1，3）， n ＝（0，3，1）
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解析： 已知 l α， l ∥α，则 a · n ＝0.A选项中， a · n ＝1×1＋
0×3＋1×5＝6≠0，A选项不满足条件；B选项中， a · n ＝1×0＋0×
（－2）＋1×0＝0，B选项满足条件；C选项中， a · n ＝0×（－1）
＋2×0＋1×1＝1≠0，C选项不满足条件；D选项中， a · n ＝1×0＋
（－1）×3＋1×3＝0，D选项满足条件.故选B、D.
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6. （多选）已知α，β为两个不重合的平面， l 为α上的一条直线，且其
方向向量为（4，3，－2），若α∥β，则平面β的法向量可能为
（ ）
A. （0，2，3） B. （5，0，10）
C. （－2，4，2） D. （1，－1，3）
解析： （4，3，－2）·（0，2，3）＝0＋6－6＝0，（4，3，
－2）·（5，0，10）＝20＋0－20＝0，（4，3，－2）·（－2，4，
2）＝－8＋12－4＝0，（4，3，－2）·（1，－1，3）＝4－3－6＝
－5.知A、B、C都有可能，D不可能.故选A、B、C.
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7. 已知直线 l 与平面α垂直，直线 l 的一个方向向量 u ＝（1，3， z ），
向量 v ＝（3，－2，1）与平面α平行，则 z ＝ .
解析：∵ l ⊥α， v ∥α，∴ u ⊥ v .∴（1，3， z ）·（3，－2，1）＝
0，即3－6＋ z ＝0， z ＝3.
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8. 已知直线 l ∥平面 ABC ，且 l 的一个方向向量为 a ＝（2， m ，1），
A （0，0，1）， B （1，0，0）， C （0，1，0），则实数 m 的值
是 .
解析：∵ l ∥平面 ABC ，∴存在实数 x ， y ，使 a ＝ x ＋ y ，
＝（1，0，－1）， ＝（0，1，－1），∴（2， m ，1）＝ x
（1，0，－1）＋ y （0，1，－1）＝（ x ， y ，－ x － y ），
∴∴ m ＝－3.
－3
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9. 设直线 l 的方向向量为 a ，平面α的法向量为 n ＝（2，2，4），若 a
＝（1，1，2），则直线 l 与平面α的位置关系为 ；若 a ＝（－
1，－1，1），则直线 l 与平面α的位置关系为 .
解析：当 a ＝（1，1，2）时， a ＝ n ，则 l ⊥α；当 a ＝（－1，－
1，1）时， a · n ＝（－1，－1，1）·（2，2，4）＝0，则 l ∥α或 l
α.
l ⊥α
l ∥α或 l α
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10. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD . PA ＝ AB ＝ AD ＝
2，四边形 ABCD 满足 AB ⊥ AD ， BC ∥ AD ， BC ＝4，点 M 为 PC
的中点，求证： DM ∥平面 PAB .
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证明：因为 PA ⊥平面 ABCD ，
所以 PA ⊥ AD ， PA ⊥ AB .
又 AB ⊥ AD ，所以 PA ， AB ， AD 两两垂直.
以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则 P （0，0，2）， B （2，0，0）， D （0，2，0）， C （2，4，0）.
因为点 M 为 PC 的中点，所以 M （1，2，1），故 ＝（1，0，1）.
又 ＝（0，0，2）， ＝（2，0，0），
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所以 ＝ ＋ .
所以 ， ， 为共面向量.
又 DM 平面 PAB ，
所以 DM ∥平面 PAB .
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11. 如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，以 CD ，
CB ， CE 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，
若 AB ＝ ， AF ＝1， M 在 EF 上，且 AM ∥平面 BDE ，则 M 点的
坐标为（ ）
A. （1，1，1）
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解析： 由已知得 A （ ， ，0）， B （0， ，0）， D
（ ，0，0）， E （0，0，1）.设 M （ x ， x ，1），则 ＝（ x
－ ， x － ，1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（0，－
，1）.设平面 BDE 的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），则
即解得取 b ＝1，则 n ＝
（1，1， ）.又 AM ∥平面 BDE ，所以 n · ＝0，即2（ x －
）＋ ＝0，得 x ＝ ，所以 M （ ， ，1）.故选C.
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12. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， E ， F ， G ， H 分别为 BB1，
A1 B1， B1 C1， AA1， BC 的中点，则（ ）
A. DE ∥平面 ACM
B. DF ∥平面 ACM
C. DG ∥平面 ACM
D. DH ∥平面 ACM
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解析： 如图，建立空间直角坐标系，设正方
体的棱长为2，则 A （0，0，2）， C （2，2，
2）， M （2，0，1）， E （1，0，0）， F （2，
1，0）， G （0，0，1）， H （2，1，2）， D
（0，2，2），所以 ＝（1，－2，－2）， ＝（2，－1，－2）， ＝（0，－2，－1）， ＝（2，－1，0）， ＝（2，2，0）， ＝（2，0，－1）.设平面 ACM 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则
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令 x ＝1，则 y ＝－1， z＝2，所以 n ＝（1，－1，2）.因为 n · ＝1×1＋（－1）×（－2）＋2×（－2）＝－1， n · ＝1×2＋（－1）×（－1）＋2×（－2）＝－1， n · ＝1×0＋（－1）×（－2）＋2×（－1）＝0， n · ＝1×2＋（－1）×（－1）＋2×0＝3，所以 n ⊥ .又 DG 平面 ACM ，所以 DG ∥平面 ACM ，故C正确，A、B、D错误.
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13. （多选）已知空间中两条不同的直线 l ， m ，两个不同的平面α，
β，则下列说法中错误的是（ ）
A. 若直线 l 的一个方向向量为 a ＝（1，－1，2），直线 m 的一个方向
向量为 b ＝（2，－2，4），则 l ∥ m
B. 若直线 l 的方向向量为 a ＝（0，1，－1），平面α的法向量为 n ＝
（1，－1，－1），则 l ∥α
C. 若平面α，β的法向量分别为 n1＝（0，1，3）， n2＝（1，0，2），
则α∥β
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解析： 对于A，由 a ∥ b ，∴ l ∥ m ，故A中说法正确；对于
B， a · n ＝0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）＝0，则 a ⊥ n ，
∴ l ∥α或 l α，故B中说法错误； 对于C，若 n1＝λ n2（λ≠0），则
（0，1，3）＝λ（1，0，2），得此方程组无解，
∴α∥β不成立，故C中说法错误；对于D，由已知 ＝（－3，
2， ）， ＝（－3，2， ），∴ ＝ ，∵ R PQ ，∴ PQ
∥ RS ，故D中说法正确.
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14. 如图，已知四边形 ABCD 为菱形，且∠ A ＝60°， E 为 AD 的中
点，现将四边形 EBCD 沿 BE 折起至四边形 EBHG 的位置，使得∠
AEG ＝90°.若点 F 满足 ＝λ ，当 EF ∥平面 AGH 时，实数λ
的值为 .
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解析：令菱形 ABCD 的边长为2，由题意可
知折起后 AE ⊥ GE ， AE ⊥ BE ， GE ⊥ BE .
以 E 为原点， EA ， EB ， EG 所在直线分别
为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系.
则 A （1，0，0）， B （0， ，0）， E （0，0，0）， G （0，
0，1）， H （0， ，2），所以 ＝（－1，0，0）， ＝
（－1， ，0）， ＝（－1，0，1）， ＝（－1， ，2）.
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设平面 AGH 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 即
取 x ＝1，则 y ＝－ ， z ＝1，所以 n ＝
是平面 AGH 的一个法向量.由题知 ＝λ ＝（－
λ， λ，0），所以 ＝ － ＝（－λ， λ，0）－（－1，
0，0）＝（1－λ， λ，0）.因为 EF ∥平面 AGH ，所以 n · ＝
0，所以1－λ－ × λ＝0，所以λ＝ .
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15. 如图所示，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， ABCD 为正方形，△ PAD 是直
角三角形，且 PA ＝ AD ＝2， E ， F ， G 分别是线段 PA ， PD ， CD
的中点.求证：
（1） PB ∥平面 EFG ；
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证明：∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，
且 ABCD 为正方形，∴ AB ， AP ， AD 两
两垂直.
以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系 A - xyz ，则 A （0，0，0），B （2，0，0）， C （2，2，0）， D （0，2，0）， P （0，0，2）， E （0，
0，1）， F （0，1，1）， G （1，2，0）.
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法一 ＝（0，1，0）， ＝（1，2，－1），
设平面 EFG 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则 即令 z ＝1，则 n ＝（1，0，1）为平
面 EFG 的一个法向量，
∵ ＝（2，0，－2），∴ · n ＝0，∴ n ⊥ ，
∵ PB 平面 EFG ，
∴ PB ∥平面 EFG .
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法二 ＝（2，0，－2）， ＝（0，－1，0）， ＝（1，1，
－1）.
设 ＝ s ＋ t ，
即（2，0，－2）＝ s （0，－1，0）＋ t （1，1，－1），
∴解得 s ＝ t ＝2.
∴ ＝2 ＋2 ，又 与 不共线，∴ ， 与 共面.
∵ PB 平面 EFG ，∴ PB ∥平面 EFG .
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证明：由（1）知 ＝（0，1，0）， ＝（0，2，0），
∴ ＝2 ，∴ BC ∥ EF .
又 EF 平面 PBC ， BC 平面 PBC ，∴ EF ∥平面 PBC ，
同理可证 GF ∥ PC ，从而得出 GF ∥平面 PBC .
又 EF ∩ GF ＝ F ， EF 平面 EFG ， GF 平面 EFG ，
∴平面 EFG ∥平面 PBC .
（2）平面 EFG ∥平面 PBC .
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16. 如图，四棱锥 S - ABCD 的底面是平行四边形，平面α与直线 AD ，
SA ， SC 分别交于点 P ， Q ， R ，且 ＝ ＝ ＝ x ，点 M 在直线
SB 上， N 为 CD 的中点，且直线 MN ∥平面α.求证：对所有满足条
件的平面α，点 M 都在某一条长为 SB 的线段上.
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证明：设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， ＝ d ，则由 ABCD 为平行
四边形，得 a ＋ c ＝ b ＋ d ，则 d ＝ a － b ＋ c .
因为 ＝ ＝ ＝ x ，所以 ＝ xa ， ＝（1－ x ） c .
所以 ＝（1－ x ） a ＋ xd ＝ a － xb ＋ xc .
＝ － ＝（1－ x ） c － xa ，
＝ － ＝（1－ x ） a － xb ＋ xc .
又 MN ∥α，所以存在λ， m ∈R，使得 ＝λ ＋ m .
所以 ＝ ＋λ ＋ m ＝ （ c ＋ d ）＋λ[（1－ x ） c － xa ]
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＋ m [（1－ x ） a － xb ＋ xc ]＝［ －λ x ＋ m （1－ x ）］ a －
b ＋[1＋λ（1－ x ）＋ mx ] c .
再者，点 M 在直线 SB 上的充要条件是 ＝ yb （ y ∈R），于是得
消去λ，得 m ＝－ .
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而 y ＝－ ＝－ ＋ ，
即（4 y ＋1） x2－（4 y ＋3） x ＋2 y ＋1＝0.
当 y ＝－ 时， x ＝ ；
当 y ≠－ 时，由 x ∈R，得Δ＝（4 y ＋3）2－4（4 y ＋1）（2 y ＋1）
≥0.
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解得－ ≤ y ≤ ，
且 y ≠－ .
故对所有满足条件的平面α，点 M 都落在某一条长为 SB 的线
段上.
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谢 谢 观 看！4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
第一课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系
1.在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（ ）
A.垂直 B.平行
C.异面 D.相交但不垂直
2.已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝（ ）
A.2 B.－4
C.4 D.－2
3.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的（ ）
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
4.在空间直角坐标系O-xyz中，过点P（2，－3，5），且与向量d＝（－2，1，－2）平行的直线l交平面yOz于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A.（4，－4，7） B.（0，－2，3）
C.（－3，－，0） D.（－4，0，－1）
5.（多选）直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若l α，则能使l∥α的是（ ）
A.a＝（1，3，5），n＝（1，0，1）
B.a＝（1，0，1），n＝（0，－2，0）
C.a＝（0，2，1），n＝（－1，0，1）
D.a＝（1，－1，3），n＝（0，3，1）
6.（多选）已知α，β为两个不重合的平面，l为α上的一条直线，且其方向向量为（4，3，－2），若α∥β，则平面β的法向量可能为（ ）
A.（0，2，3） B.（5，0，10）
C.（－2，4，2） D.（1，－1，3）
7.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，3，z），向量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z＝ .
8.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝（2，m，1），A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），则实数m的值是 .
9.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝（2，2，4），若a＝（1，1，2），则直线l与平面α的位置关系为 ；若a＝（－1，－1，1），则直线l与平面α的位置关系为 .
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD.PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD，BC＝4，点M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB.
11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（ ）
A.（1，1，1） B.
C. D.
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，G，H分别为BB1，A1B1，B1C1，AA1，BC的中点，则（ ）
A.DE∥平面ACM
B.DF∥平面ACM
C.DG∥平面ACM
D.DH∥平面ACM
13.（多选）已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中错误的是（ ）
A.若直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），直线m的一个方向向量为b＝（2，－2，4），则l∥m
B.若直线l的方向向量为a＝（0，1，－1），平面α的法向量为n＝（1，－1，－1），则l∥α
C.若平面α，β的法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则α∥β
D.已知P（3，0，），Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，），则PQ∥RS
14.如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，E为AD的中点，现将四边形EBCD沿BE折起至四边形EBHG的位置，使得∠AEG＝90°.若点F满足＝λ，当EF∥平面AGH时，实数λ的值为 .
15.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：
（1）PB∥平面EFG；
（2）平面EFG∥平面PBC.
16.如图，四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形，平面α与直线AD，SA，SC分别交于点P，Q，R，且＝＝＝x，点M在直线SB上，N为CD的中点，且直线MN∥平面α.求证：对所有满足条件的平面α，点M都在某一条长为SB的线段上.
第一课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系
1.B 由题意得，＝（－3，－3，3），＝（1，1，－1），∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD.
2.C 因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.
3.D 若m·n＝0，则l∥α或l α；另一方面，若l∥α，则m·n＝0.因此，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件.故选D.
4.B 依题意，设Q（0，y，z），则＝（－2，y＋3，z－5）.由∥d知，存在λ∈R，使得＝λd，即（－2，y＋3，z－5）＝λ（－2，1，－2），所以－2＝－2λ，y＋3＝λ，z－5＝－2λ.联立解得y＝－2，z＝3，即Q（0，－2，3）.
5.BD 已知l α，l∥α，则a·n＝0.A选项中，a·n＝1×1＋0×3＋1×5＝6≠0，A选项不满足条件；B选项中，a·n＝1×0＋0×（－2）＋1×0＝0，B选项满足条件；C选项中，a·n＝0×（－1）＋2×0＋1×1＝1≠0，C选项不满足条件；D选项中，a·n＝1×0＋（－1）×3＋1×3＝0，D选项满足条件.故选B、D.
6.ABC （4，3，－2）·（0，2，3）＝0＋6－6＝0，（4，3，－2）·（5，0，10）＝20＋0－20＝0，（4，3，－2）·（－2，4，2）＝－8＋12－4＝0，（4，3，－2）·（1，－1，3）＝4－3－6＝－5.知A、B、C都有可能，D不可能.故选A、B、C.
7.3 解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴（1，3，z）·（3，－2，1）＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.
8.－3 解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝（1，0，－1），＝（0，1，－1），∴（2，m，1）＝x（1，0，－1）＋y（0，1，－1）＝（x，y，－x－y），∴∴m＝－3.
9.l⊥α l∥α或l α 解析：当a＝（1，1，2）时，a＝n，则l⊥α；当a＝（－1，－1，1）时，a·n＝（－1，－1，1）·（2，2，4）＝0，则l∥α或l α.
10.证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AB.
又AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直.
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，4，0）.
因为点M为PC的中点，所以M（1，2，1），故＝（1，0，1）.
又＝（0，0，2），＝（2，0，0），
所以＝＋.
所以，，为共面向量.
又DM 平面PAB，
所以DM∥平面PAB.
11.C 由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），则即解得取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M（，，1）.故选C.
12.C 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，2），C（2，2，2），M（2，0，1），E（1，0，0），F（2，1，0），G（0，0，1），H（2，1，2），D（0，2，2），所以＝（1，－2，－2），＝（2，－1，－2），＝（0，－2，－1），＝（2，－1，0），＝（2，2，0），＝（2，0，－1）.设平面ACM的法向量为n＝（x，y，z），则令x＝1，则y＝－1，z＝2，所以n＝（1，－1，2）.因为n·＝1×1＋（－1）×（－2）＋2×（－2）＝－1，n·＝1×2＋（－1）×（－1）＋2×（－2）＝－1，n·＝1×0＋（－1）×（－2）＋2×（－1）＝0，n·＝1×2＋（－1）×（－1）＋2×0＝3，所以n⊥.又DG 平面ACM，所以DG∥平面ACM，故C正确，A、B、D错误.
13.BC 对于A，由a∥b，∴l∥m，故A中说法正确；对于B，a·n＝0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）＝0，则a⊥n，∴l∥α或l α，故B中说法错误； 对于C，若n1＝λn2（λ≠0），则（0，1，3）＝λ（1，0，2），得此方程组无解，∴α∥β不成立，故C中说法错误；对于D，由已知＝（－3，2，），＝（－3，2，），∴＝，∵R PQ，∴PQ∥RS，故D中说法正确.
14. 解析：令菱形ABCD的边长为2，由题意可知折起后AE⊥GE，AE⊥BE，GE⊥BE.
以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A（1，0，0），B（0，，0），E（0，0，0），G（0，0，1），H（0，，2），所以＝（－1，0，0），＝（－1，，0），＝（－1，0，1），＝（－1，，2）.设平面AGH的法向量为n＝（x，y，z），则即取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝是平面AGH的一个法向量.由题知＝λ＝（－λ，λ，0），所以＝－＝（－λ，λ，0）－（－1，0，0）＝（1－λ，λ，0）.因为EF∥平面AGH，所以n·＝0，所以1－λ－×λ＝0，所以λ＝.
15.证明：
（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.
法一 ＝（0，1，0），＝（1，2，－1），
设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z），
则即令z＝1，则n＝（1，0，1）为平面EFG的一个法向量，
∵＝（2，0，－2），∴·n＝0，∴n⊥，
∵PB 平面EFG，
∴PB∥平面EFG.
法二 ＝（2，0，－2），＝（0，－1，0），＝（1，1，－1）.
设＝s＋t，
即（2，0，－2）＝s（0，－1，0）＋t（1，1，－1），
∴解得s＝t＝2.
∴＝2＋2，又与不共线，∴，与共面.
∵PB 平面EFG，
∴PB∥平面EFG.
（2）由（1）知＝（0，1，0），＝（0，2，0），
∴＝2，∴BC∥EF.
又EF 平面PBC，BC 平面PBC，∴EF∥平面PBC，
同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF 平面EFG，GF 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PBC.
16.证明：设＝a，＝b，＝c，＝d，则由ABCD为平行四边形，得a＋c＝b＋d，则d＝a－b＋c.
因为＝＝＝x，所以＝xa，＝（1－x）c.
所以＝（1－x）a＋xd＝a－xb＋xc.
＝－＝（1－x）c－xa，
＝－＝（1－x）a－xb＋xc.
又MN∥α，所以存在λ，m∈R，使得＝λ＋m.
所以＝＋λ＋m＝（c＋d）＋λ[（1－x）c－xa]＋m[（1－x）a－xb＋xc]＝a－b＋[1＋λ（1－x）＋mx]c.
再者，点M在直线SB上的充要条件是＝yb（y∈R），
于是得
消去λ，得m＝－.
而y＝－＝－＋，
即（4y＋1）x2－（4y＋3）x＋2y＋1＝0.
当y＝－时，x＝；
当y≠－时，由x∈R，得Δ＝（4y＋3）2－4（4y＋1）（2y＋1）≥0.
解得－≤y≤，且y≠－.
故对所有满足条件的平面α，点M都落在某一条长为SB的线段上.
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