苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y=2x2-x B．y=x3-3x2+1 C． D．y=3x-1
2．抛物线y=x2+6x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　）
A．9 B． C． D．-9
3．把抛物线y=-x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y=-（x+3）2+1 B．y=-（x+1）2+3
C．y=-（x-1）2+4 D．y=-（x+1）2+4
4．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y=（x-2）2+3，当自变量x分别取3、5、7时，y对应的值分别为y1、y2、y3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
6．已知抛物线y=（x-2）2-1与y轴交于点D（0，3），其顶点为点A，与x轴交于B，C两点（B在C的左侧），连接DB，DC，若在抛物线上存在一点P，使得S△POC=S△DBC，则P的坐标可能是（　　）
A．（2，-1） B．（0.5，1.25） C． D．
7．如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c与y轴负半轴相交，且与x轴的负半轴的交点的横坐标大于-1而小于0，下列描述：①b=-2a,②abc＞0，③b2-4ac＞0；④a-b+c＞0，其中描述正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m,当水位上升3m时，水面宽CD为（　　）
A．4m B．8m C．10m D．12m
9．要得到抛物线y=-7x2，需将抛物线y=-7（x+4）2-1（　　）
A．先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
10．如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x+1的一部分（水平地面为x轴，单位：m），有下列结论：①出球点A离点O的距离是1m；②羽毛球最高达到m；③羽毛球横向飞出的最远距离是3m；其中，正确结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y=ax2过点B．若∠AOC=60°，则a为（　　）
A．-1 B．-2 C． D．1
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＜0；
③a+b≤am2+bm（实数m≠1）；
④若方程ax2+bx+c=n有一根为-2，则不等式ax2+bx+c＜n的解集是-2＜x＜4；
⑤若，且x1≠x2，则x1+x2=-2．
其中结论错误的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=4（x-2）2-3的对称轴是 ______．
14．二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，则y＞0的解集是 ______．
15．如图1是一座抛物线形拱桥，图2是其示意图，桥拱与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为 ______m.
16．如图，已知点A（2，0）、B（6，0）和C（4，2），平移△ABC得到△A′B′C′，顶点A、B、C分别与顶点A′、B′、C′对应．如果点A′、B′都在抛物线上，那么点C到点C′的距离是______．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＜0）经过点（2，0），且2＜c＜3．下列个结论中正确的是 ______（填写序号）．
①方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
②若对任意的实数m,都有bm-b≥am2-a,则；
③若抛物线经过点（-1，0），在抛物线上有且仅有两个点到x轴的距离等于n（n＞0），则；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，若4a+c＞0，则（x1-x2）（y1-y2）＞0．
三．解答题（共5小题）
18．如图，已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M（-2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当-3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
19．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数图象另一交点为D．
①在抛物线上是否存在点P，使△BCD面积与△BDP面积相等．
②已知P为x轴上一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P坐标．
20．已知抛物线C1：y1=ax2-2x过点（2，0），抛物线C2：y2=-（x-t）2+t2-2t（其中t为常数）．
（1）求a的值和C1的顶点坐标．
（2）已知无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为______；
（3）当t=3时，平移抛物线C1，使其顶点在抛物线C2上．平移后的抛物线与y轴交点记为A，顶点为P（m,n），点O为坐标原点．当0＜m＜1时，求△POA面积的最大值．
21．某快递公司近年来因电商业务激增，决定将人工分拣中心升级为自动分拣中心．该公司对以下两种自动分拣方案进行了调研．
方案A：公司购买安装智能分拣设备．已知分拣设备日处理10万件时，每日总成本为80万元；日处理15万件时，每日总成本达到最低，最低为75万元；日处理20万件时，每日总成本回升至80万元．
方案B：公司外包分拣服务．外包分拣服务除固定的基础服务费50万元/日外，每处理1万件快递需支付外包公司3万元．
设日处理量为x（万件），方案A的日总成本为yA（万元），方案B的日总成本为yB（万元）．
（1）从一次函数，二次函数或反比例函数中选择适当的函数模型模拟yA与x的函数关系，求出其表达式；
（2）写出yB与x的函数表达式，并求日处理量为多少万件时，两种方案的日总成本相同？
22．点A、B、C的坐标为分别（-1，0），（5，0），（4，-5），抛物线经过这三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D（t,y1），E（t+4，y2）是抛物线上的两个动点，且点D在直线AC下方．
①如图1，过D点作x轴的垂线DG，垂足为G，交直线AC于点F，连接DE，EF，CG，猜想S△DEF与S△CFG的数量关系，并说明理由；
②如图2，点M在直线DE上，且横坐标为t+1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、A 3、D 4、A 5、D 6、D 7、A 8、B 9、B 10、C 11、A 12、B
二．填空题（共5小题）
13、直线x=2； 14、-1＜x＜9； 15、48； 16、2； 17、①②；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）把M（-2，3）代入y=-x2+mx+3得：
-4-2m+3=3，
解得m=-2，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）∵y=-（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x=0时，y=3，当x=-3时，y=0，
∴当-3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
19、解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2，
∴可设二次函数y=a（x-2）2或y=a（x+2）2
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2-2x+2或y=0.5x2+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；
（2）①如图，
当点P在直线AB下方时，
由（1）知，直线AB解析式为y=0.5x+2，
过点C作CP'∥AB，
∵C（2，0），
∴直线CP'的解析式为y=0.5x-1①，
∵抛物线的解析式：y=0.5x2-2x+2②，
联立①②得，（舍）或，
∴P'（3，0.5）；
当点P在直线AB上方时，
过点C作直线CE⊥AB于E，并延长，
∵直线AB解析式为y=0.5x+2③，C（2，0）
∴直线CE解析式为y=-2x+4④，
联立③④得，E（0.8，2.4），
∴点C关于直线AB的对称点H（-0.4，4.8），
过点H作MH∥AB，
∴直线HM解析式为y=0.5x+5⑤，
联立②⑤得，或，
∴P（-1，4.5）或（6，8），
即：使△BCD面积与△BDP面积相等的点P的坐标为（3，0.5），（-1，4.5），（6，8）；
②（Ⅰ）如图1，
当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴，
∴，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）如图2，
作P2D⊥BD，连接BP2，
将y=0.5x+2与y=0.5x2-2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=，
当D为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D，
∴，
∴，
解得：AP2=11.25，
则OP2=11.25-4=7.25，
故P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）如图3，
当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a,0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．
20、解：（1）∵抛物线C1：y1=ax2-2x过点（2，0），
∴4a-4=0，
∴a=1，
∴抛物线C1：y1=x2-2x=（x-1）2-1，
∴C1的顶点坐标为（1，-1）；
（2）∵x=1时，y2=-（1-t）2+t2-2t=-1，
∴抛物线C2：y2=-（x-t）2+t2-2t经过定点（1，-1），
由（1）可知C1的顶点坐标为（1，-1），
∴无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为（1，-1）．
故答案为：（1，-1）；
（3）当t=3时，则抛物线C2：y2=-（x-3）2+3，
∵平移抛物线C1，使其顶点在抛物线C2上，顶点为P（m,n），
∴n=-（m-3）2+3=-m2+6m-6，
∴平移后的抛物线为y=（x-m）2-m2+6m-6=x2-2mx+6m-6，
令x=0，则y=6m-6，
∴A（0，6m-6），
∵0＜m＜1，
∴OA=-6m+6，
∴△POA面积S==-3m2+3m=-3（m-）2+．
∴当m=时，S有最大值，为．
21、解：（1）由题意可知，yA与x的函数图象是以直线x=15为对称轴、最小值为75的抛物线，
∴yA与x的函数关系是二次函数，
设yA与x的函数表达式为yA=a（x-15）2+75，
将坐标（10，80）代入yA=a（x-15）2+75，
得80=（10-15）2a+75，
解得a=，
∴yA=（x-15）2+75=x2-6x+120，
∴yA与x的函数表达式为yA=x2-6x+120．
（2）yB与x的函数表达式为yB=3x+50，
当yA=yB时，得x2-6x+120=3x+50，
解得x1=10，x2=35．
答：日处理量为10万件或35万件时，两种方案的日总成本相同．
22、解：（1）设y=a（x+1）（x-5）代入（4，-5）得，
-5=-5a,
解得：a=1，
∴y=（x+1）（x-5）=x2-4x-5，
（2）①S△DEF=4S△CFG，理由如下：
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），代入A（-1，0），C（4，-5），
∴，
解得：，
∴y=-x-1，
∴F（t,-t-1），G（t,0），，
∴DF=-t-1-（t2-4t-5）=-t2+3t+4，FG=t+1，
∵E（t+4，y2），
∴E点到DF的距离为4，
∵C（4，-5），G（t,0），
∴C到DF的距离为t-4，
∴，，
∴S△DEF=4S△CFG；
②∵将D（t,y1），E（t+4，y2）代入解析式y=x2-4x-5可得：
，，
设直线DE为y=k1x+b1，
∴，
∴，
∴y=2tx-t2-4t-5，
∴MN=-[2t（t+1）-t2-4t-5]=-t2+2t+5=-（t-1）2+6，
∵-1＜0，
∴当t=1时MN的最大值为6．