苏科版九年级下 第6章 图形的相似单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中不是相似图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，则=（　　）
A． B． C． D．
3．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点B、C在线段DE上，△ABC是等边三角形，当BC2=DB CE时，∠DAE的度数为（　　）
A．100° B．115° C．120° D．135°
5．如图，直线AD∥BE∥CF，若AB：BC=1：2，DE=9，则EF的长是（　　）
A．4.5 B．18 C．9 D．12
6．如图，在 ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为a,则 ABCD的面积为（　　）
A．12a B．11a C．10a D．9a
7．主持人在舞台上主持节日时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最舒适．若舞台长25米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）
A．x（25-x）=252 B．（25-x）2=25x
C．x2=25（25-x） D．以上都不对
8．如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△DEF：S△BFC=（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
9．如图，O为正方形ABCD对角线AC上的一动点，连接OD，过O点作OE⊥OD交AB于点E，连接DE交AC于点G，∠ODE=45°，（结论：①OD=OE；②∠ADE=∠AOE；③DG2=GO GC；④若AB=3，AE=1，则OE=．其中正确结论的序号为（　　）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
10．如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小明同学由此得出了以下四个结论：①；②；③；④AM2=AB AD．其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AF交BC于点G，若DE：CE=1：2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．若，则=______．
14．在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，若S△ADE：S四边形DBCE=1：1，则AD：AB= ______．
15．如图，a∥b∥c,若AB：BC=2：3，DE=4，则BD=______．
16．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AB，BC边上的动点（不与边的端点重合），以DE为边向上作等边△DEF，DF与AC交于点G，连接AF，CF．
（1）图中与△BDE相似的三角形是 ______；
（2）若AB=14，BD=2CE，则DE长度的最小值为 ______．
17．如图，在平行四边形ABCD中，以点D为圆心作⊙D与对角线AC相切，点P是⊙D上一个动点，连接BP交AC于点E，则的最小值是 ______．
三．解答题（共4小题）
18．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN=90°．连接MN、AC，MN与边AC交于点E．
（1）求证：AM=AN；
（2）求证：AM2=AC AE．
19．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．有一点到终点运动即停止．问：
（1）几秒后△PBQ的面积等于5；
（2）几秒后PQ⊥DQ．
20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
当AE⊥BC，∠EAF=∠ABC时，
（1）求证：AE=AF．
（2）连接BD，EF，若=，求的值．
21．如图，在正方形ABCD中，M为BC边上一动点（点M不与B，C重合），连接DM，将线段DM绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，连接BD、BN、DN，DN交AB边于点P．
（1）如图1，求证：△DCM∽△DBN；
（2）如图2，设，，
①当x=1时，请探究得出y的值；
②求出y与x之间满足的关系式．并解决问题：如图3所示，连接MP，若，当∠PMN=30°时，求CM的长．
苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、A 3、D 4、C 5、B 6、A 7、B 8、C 9、C 10、B 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、2； 14、； 15、； 16、△AGD；； 17、；
三．解答题（共4小题）
18、证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，又∠MAN=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△BAM和△DAN中，
，
∴△BAM≌△DAN，
∴AM=AN；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，
∵∠MAN=90°，AM=AN，
∴∠AMN=45°，
∴∠ACM=∠AME，
∵∠MAE=∠CAM，
∴△AME∽△ACM，
∴=．
∴AM2=AC AE．
19、解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于5cm2．
则AP=x cm,QB=2x cm,
∴PB=（6-x）cm,
∴×（6-x）2x=5，
解得x1=1，x2=5，
答：1秒或5秒后△PBQ的面积等于5cm2；
（2）设y秒后PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，
∴∠BQP+∠DQC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠B=90°，
∴∠BQP+∠QPB=90°，
∴∠DQC=∠QPB，
∴△BPQ∽△CQD，
∴=，
设AP=y cm,QB=2y cm,
∴=，
∴2y2-15y+18=0，
解得：y=或6，
经检验y=是原分式方程的根，y=6不是原分式方程的根，
当y=6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．
答：秒或6秒后PQ⊥DQ．
20、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC，∠ABE=∠ADF．
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAF+∠DAF=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠DAF．
在△BAE和△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴AE=AF；
（2）解：连接AC，AC与BD交于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，CB=CD，AC∠BCD．
由（1）知：△BAE≌△DAF，
∴BE=DF，
∴CE=CF．
∴AC⊥EF，
∴EF∥BD．
∴，
设CE=2a,则BC=5a,
∴AB=5a,BE=BC-CE=3a.
∵AE⊥BC，
∴AE==4a.
∵AB=BC，AE=AF，
∴．
∵∠ABC=∠EAF，
∴△ABC∽△EAF，
∴=．
∵S菱形ABCD=2S△ABC，
∴．
21、（1）证明：如图1中，过点N作NH⊥CB交CB的延长线于点H．
∵MD=MN，∠DMN=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠MDN=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠C=∠ABC=90°，∠BDC=∠DBC=45°，
∵NH⊥CH，
∴∠H=∠DCM=90°，
∵∠NMH+∠DMC=90°，∠DMC+∠CDM=90°，
∴∠NMH=∠CDM，
∵MD=MN，
∴△DCM≌△MHN（AAS），
∴CD=MH=BC，CM=NH，
∴BH=CM=NH，
∴∠NBH=45°，
∴∠DBN=∠DCM=90°，
∵∠NDM=∠BDC，
∴∠NDB=∠MDC，
∴△DCM∽△DBN；
（2）解：①如图2中，过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥BN于点F，NH⊥CB交CB的延长线于点H．
当x=1时，设CM=BM=a,则BD=2a,
由（1）可知NH=BH=CM=a,
∴BN=a,
∵∠PBN=∠PBD=45°，PE⊥BD．PF⊥BN，
∴PE=PF，
∴==，
∴===，
∴y==；
②如图3中，延长BC到T，使得CT=AP．
∵AD=CD，∠DAP=∠DCT=90°，AP=CT，
∴△DAP≌△DCT（SAS），
∴∠ADP=∠CDT，DP=DT，
∴∠PDT=∠ADC=90°，
∵∠PDM=45°，
∴∠PDM=∠TDM，
∵DM=DM，
∴△DMP≌△DMT（SAS），
∴∠DMP=∠DMT，
∵∠PMN=30°，∠DMN=90°，
∴∠DMT=∠DMP=90°-30°=60°，
∵CD=AB=2，
∴tan60°=，
∴=，
∴CM=2．