(共99张PPT)
第二课时
空间中的距离问题
新课程标准解读 核心素养
能用向量的方法解决点线距、点面距、线面距的计算
问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与
另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离.
空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平
面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离
等.计算距离是空间度量最基本的问题.
【问题】 如何用向量方法求解这些距离呢？
知识点 空间距离及向量求法
1. 点 P 到平面α的距离
点 P 到平面α的距离，等于点 P 与平面α内任意一点 A 连线所得向量
，在平面α的单位法向量 n0方向上所作投影向量的长度，即 d
＝ .
｜ · n0｜
2. 点 P 到直线 l 的距离
若点 P 是直线 l 外一点， l0是直线 l 的单位方向向量，点 A 是直线 l 上
任意一点，则点 P 到直线 l 的距离为 d
＝ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）可以用｜ ｜＝ ＝ ，求空间两点 A ， B
的距离. （ √ ）
（2）设 n 是平面α的法向量， A 是平面α内一点， AB 是平面α的一条
斜线，则点 B 到α的距离为 d ＝ . （ √ ）
（3）若直线 l 与平面α平行，直线 l 上任意一点与平面α内任意一点
的距离就是直线 l 与平面α的距离. （ × ）
√
√
×
2. 在四面体 P - ABC 中， PA ， PB ， PC 两两垂直， M 是平面 ABC 内一
点，且点 M 到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点 M 到顶点
P 的距离是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
解析： 以 P 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴， y
轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），由题意，得｜
MP ｜＝ ＝7.
3. 已知平面α的一个法向量 n ＝（1，0，1），点 A （－1，1，0）在α
内，则平面外点 P （－1，1，1）到平面α的距离为 .
解析： ＝（0，0，1）， n ＝（1，0，1）， d ＝ ＝ ＝
.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 点面、线面、面面的距离问题
【例1】 已知正方形 ABCD 的边长为1， PD ⊥平面 ABCD ，且 PD ＝
1， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点.求点 D 到平面 PEF 的距离.
解：建立以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DP 所在直线为 x 轴， y 轴， z
轴的空间直角坐标系，如图所示.
则 D （0，0，0）， P （0，0，1）， A （1，0，0）， C （0，1，
0）， E ， F ，
∴ ＝ ， ＝ ，
＝ .
设 n ＝（ x ， y ， z ）是平面 PEF 的法向量，
则 n · ＝ x ＋ y － z ＝0， ①
n · ＝ x ＋ y － z ＝0， ②
①－②并整理得 x － y ＝0.
令 x ＝ y ＝1，则 z ＝ .∴ n ＝ .
∴点 D 到平面 PEF 的距离
d ＝ ＝ ＝ ＝ .
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，求直线 AC 到平面 PEF 的距离.
解：∵ E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则 AC ∥ EF ，
∴ AC ∥平面 PEF ，∴点 A 到平面 PEF 的距离等于直线 AC 到平面 PEF
的距离.
由本例知，平面 PEF 的法向量 n ＝ ， A （1，0，0），
＝（1，0，－1）.
d ＝ ＝ ＝ .
因此直线 AC 到平面 PEF 的距离为 .
通性通法
线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平
面的距离的前提是线面、面面平行.
点面距的求解步骤：
（1）求出该平面的一个法向量；
（2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
（3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向
量的模，即可求出点到平面的距离.
【跟踪训练】
如图，△ BCD 与△ MCD 都是边长为2的正三角形，平面 MCD ⊥平面 BCD ， AB ⊥平面 BCD ， AB ＝2 .求点 A 到平面 MBC 的距离.
解：取 CD 的中点 O ，连接 OB ， OM ，则 OB ⊥ CD ， OM ⊥
CD ，又平面 MCD ⊥平面 BCD ，所以 MO ⊥平面 BCD .
以 O 为坐标原点，分别以直线 OC ， BO ， OM 为 x 轴， y 轴， z
轴建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图所示.
因为△ BCD 与△ MCD 都是边长为2的正三角形，所以 OB ＝ OM
＝ ，则 O （0，0，0）， C （1，0，0），
M （0，0， ）， B （0，－ ，0），
A （0，－ ，2 ），所以 ＝（1，
，0）， ＝（0， ， ）.
设平面 MBC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），由 得
即取 x ＝ ，可得平面 MBC 的一个法向量为
n ＝（ ，－1，1）.
又 ＝（0，0，2 ），所以所求距离 d ＝ ＝ .
题型二 点到直线的距离
【例2】 在长方体 OABC - O1 A1 B1 C1中， OA ＝2， AB ＝3， AA1＝2，
求 O1到直线 AC 的距离.
解：法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， O1
（0，0，2）， C （0，3，0），过 O1作 O1 D ⊥ AC 于点 D ，设 D
（ x ， y ，0），则 ＝（ x ， y ，－2）， ＝（ x －2， y ，0）.
∵ ＝（－2，3，0）， ⊥ ， ∥ ，
∴解得∴ D （ ， ，0），
∴｜ ｜＝ ＝ .
即 O1到直线 AC 的距离为 .
法二 连接 AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （2，0，
0）， O1（0，0，2）， C （0，3，0），∴ ＝（－2，0，
2）， ＝（－2，3，0），∴ · ＝（－2，0，2）·（－
2，3，0）＝4，
∴ ＝ ，∴ O1到直线 AC 的距离 d ＝
＝ .
通性通法
利用向量法求点到直线的距离的两种思路
（1）将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题.过已知点作直
线的垂线段，建立适当的空间直角坐标系，利用待定系数法求
出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法；
（2）直接套用点线距公式求解，其步骤为：
直线的方向向量 a →所求点到直线上一点的向量 及 在直线
的方向向量 a 上的投影→代入公式.
另外，注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
【跟踪训练】
已知直三棱柱 ABC - A1 B1 C1，过 A1， B ， C1三点的平面和平面
ABC 的交线为 l .
（1）判断直线 A1 C1和 l 的位置关系，并加以证明；
解：A1 C1∥ l .证明如下：
∵ A1 C1∥ AC ， A1 C1 平面 ABC ，
∴ A1 C1∥平面 ABC .
又平面 A1 C1 B ∩平面 ABC ＝ l ，∴ l ∥ A1 C1.
（2）如果 AA1＝1， AB ＝4， BC ＝3，∠ ABC ＝90°，求点 A1到直线 l
的距离.
解：建立空间直角坐标系 A - xyz ，如图，则 B
（4，0，0）， C （4，3，0）， A1（0，0，
1）， C1（4，3，1），
∴ ＝（4，0，－1）， ＝（4，3，0）.
过点 B 作 BH ⊥ A1 C1，垂足为 H ，由（1）
知， l ∥ A1 C1，
∴ BH 即为点 A1到直线 l 的距离.
∵ · ＝16，
∴｜ ｜＝ ＝ ，
∴｜ ｜＝ ＝ ，
即点 A1到直线 l 的距离为 .
1. 已知 A （0， 0， 2）， B （1， 0， 2）， C （0， 2， 0），则点 A
到直线 BC 的距离为（ ）
B. 1
解析： ∵ A （0， 0，2）， B （1， 0，2）， C （0， 2，0），
＝（1， 0，0）， ＝（－1， 2，－2），∴点 A 到直线 BC 的
距离为 d ＝ ＝ ＝ .
2. 若三棱锥 P - ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA ＝ PB ＝ PC ＝1，
则点 P 到平面 ABC 的距离是（ ）
解析： 分别以 PA ， PB ， PC 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空
间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B （0，1，0）， C （0，0，1）.
可以求得平面 ABC 的一个法向量为 n ＝（1，1，1），则 d ＝
＝ .
3. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1，则平面 AB1 C 与平面 A1 C1
D 之间的距离为（ ）
解析：B 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1（1，0，0）， C1
（0，1，0）， D （0，0，1）， A （1，0，1），所以 ＝（1，
0，－1）， ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，0），设平面
A1 C1 D 的一个法向量为 m ＝（ x ， y ，1），
则 即
解得故 m ＝（1，1，1），显然平面 AB1 C ∥
平面 A1 C1 D ，所以平面 AB1 C 与平面 A1 C1 D 之间的距离 d ＝
＝ ＝ .
4. 已知直线 l 经过点 A （2，3，1），且向量 n ＝（1，0，－1）所在直
线与 l 垂直，则点 P （4，3，2）到 l 的距离为 .
解析：因为 ＝（－2，0，－1），又 n 与 l 垂直，所以点 P 到 l 的
距离为 ＝ ＝ .
5. 棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， N 分别是线段 BB1， B1
C1的中点，则直线 MN 到平面 ACD1的距离为 .
解析：如图，以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为
x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.则 D （0，0，0）， C （0，
1，0）， D1（0，0，1）， M ，
A （1，0，0）， ＝
， ＝（－1，1，0）， ＝（－1，0，1）.设平面
ACD1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 即
取 x ＝1，则 y ＝ z ＝1，∴ n ＝（1，1，1）.∴点 M 到
平面 ACD1的距离 d ＝ ＝ .又 ＝ ，故 MN ∥平面
ACD1，故直线 MN 到平面 ACD1的距离为 .
空间直角坐标系的构建策略
坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方
法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰
当的空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图
形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直
关系）建系，下面就几种常见的建系方法予以说明.
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
【例1】 如图，已知直四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AA1＝2，底面
ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角， AB ∥ CD ， AB ＝4， AD ＝2， DC
＝1，求异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值.
建系方法
易得 DA ， DC ， DD1三线两两垂直，如图，以 D 为坐标原点，分别以
DA ， DC ， DD1所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系.
方法总结
由题意知，在直四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，三条棱 DA ， DC ，
DD1两两互相垂直且交于一点 D ，可考虑以点 D 为原点，三条棱所在
的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，此为根据题目中现有的条件，
直接建立空间直角坐标系.
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
【例2】 （2021·全国乙卷18题）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩
形， PD ⊥底面 ABCD ， PD ＝ DC ＝1， M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM .
（1）求 BC ；
（2）求二面角 A - PM - B 的正弦值.
建系方法 因为 PD ⊥平面 ABCD ，所以 PD ⊥ AD ， PD ⊥ DC .
在矩形 ABCD 中， AD ⊥ DC ，故可以点 D 为坐标原点建立空间
直角坐标.
方法总结
由条件中的垂直关系 PD ⊥底面 ABCD ，且四边形 ABCD 为矩形，
进而 PD ， AD ， DC 两两垂直且共点于 D ，可建立空间直角坐标系，
此为通过先证明题目中建系的条件，建立空间直角坐标系.
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
【例3】 （2021·新高考Ⅰ卷20题）如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面
ABD ⊥平面 BCD ， AB ＝ AD ， O 为 BD 的中点.
（1）证明： OA ⊥ CD ；
（2）若△ OCD 是边长为1的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE ＝
2 EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为45°，求三棱锥 A - BCD
的体积.
建系方法
由题意知 AO ⊥平面 BCD ，显然 AO ⊥ OB .
以 O 为坐标原点， OB ， OA 所在直线分别
为 x ， z 轴，在平面 BCD 内，以过点 O 且
与 BD 垂直的直线为 y 轴建立空间直角坐标系.
方法总结
由已知条件平面 ABD ⊥平面 BCD ，结合其他已知证得 AO ⊥平面
BCD ，选取 OB ， OA 所在的直线分别为 x ， z 轴后， y 轴就可由以下三
个限制条件确定：（1）必须在平面 BCD 内且过点 O ；（2）必须垂直
于 OB ；（3）方向必须符合右手直角坐标系.
四、利用正棱锥的底面中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
【例4】 已知正四棱锥 V - ABCD 中， E 为 VC 的中点，正四棱锥的底
面边长为2 a ，高为 h ，若 BE ⊥ VC ，则∠ DEB 的余弦值为 .
建系方法 如图所示，以 V 在底面 ABCD 内的投影 O 为坐标原点建立
空间直角坐标系，其中 Ox ∥ BC ， Oy ∥ AB .
方法总结
解决有关正棱锥的题目时，一般要利用正棱锥的底面的中心与正
棱锥的高所在的直线构建空间直角坐标系.
五、利用底面正三角形构建空间直角坐标系
【例5】 如图，在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AB ＝ AA1＝2，点 P ，
Q 分别为 A1 B1， BC 的中点.
（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；
（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值.
建系方法
在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，
设 AC ， A1 C1的中点分别为 O ， O1，连接 OB ， OO1，
则 OB ⊥ OC ， OO1⊥ OC ， OO1⊥ OB ，
以 ， ， 为一组基，
建立空间直角坐标系 O - xyz .
方法总结
解决底面为正三角形的几何体建系时，一般将正三角形底边中线
和与底边中线垂直的直线作为空间直角坐标系的 x 轴， y 轴，再结合其
他条件确定 z 轴.
综上五类常见几何图形的建系特征，即从直接利用具有公共顶点
的三条棱构建空间直角坐标系，到利用线面垂直、面面垂直构建空间
直角坐标系，再到利用立体图形的对称性等构建空间直角坐标系，有
些题目可直接建立空间直角坐标系，而有些题目需先证明存在垂直关
系后，再建立空间直角坐标系.无论利用哪种关系建系，都应遵循与求
解问题相关的元素尽可能多的在坐标轴上或坐标平面上，这样便于计
算点的坐标（空间向量的坐标），减少计算量.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若 O 为坐标原点， ＝（1，1，－2）， ＝（3，2，8），
＝（0，1，0），则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为（ ）
解析： ∵ ＝ （ ＋ ）＝ （4，3，6）＝
， ＝（0，1，0），∴ ＝ － ＝ ，
∴｜ ｜＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为 a ，上底面 A1 B1 C1 D1的中心为
O ，则点 O 到平面 A1 BD 的距离是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 以 A 为原点， AB ， AD ， AA1所在直线
分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如
图.则 A （0，0，0）， B （ a ，0，0）， D （0，
a ，0）， C1（ a ， a ， a ）， O （ ， ， a ），
A1（0，0， a ），所以 ＝（ a ， a ， a ）， ＝（ ， ，0），由于 AC1⊥平面 A1 BD ，所以点 O 到平面 A1 BD 的距离 d ＝ ＝ ＝ a .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， ＝（0，2，－3）， ＝（－2 ，
0，－3）， ＝（－ ，0， ），则该三棱柱的高为（ ）
C. 2 D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 设平面 ABC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则
所以令 z ＝2，则 x ＝－ ， y ＝
3，所以 n ＝（－ ，3，2）是平面 ABC 的一个法向量.所以点 A1到
平面 ABC 的距离 d ＝ ＝ ，故该三棱柱的高为 .故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 如图，在长方体 ABCD -A'B'C'D'中， AB ＝1， BC ＝1，AA'＝2，则
点 B 到直线A'C的距离是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系
如图所示，因为 AB ＝1， BC ＝1，AA'＝2，所以A'
（0，0，2）， C （1，1，0）， B （1，0，0），所
以 ＝（1，1，－2）， ＝（0，1，0），则
在 上的投影向量的模为｜ · ｜＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
＝ ，所以点 B 到直线A'C的距离为 d ＝ ＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）已知平面α的一个法向量 n ＝（－2，－2，1），点 A （－
1，3，0）在平面α内，若点 P （－2，1， z ）到α的距离为 ，则 z
的值可以是（ ）
A. －16 B. －4
C. 4 D. 16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 点 A （－1，3，0）， P （－2，1， z ），∴ ＝（－
1，－2， z ），又 n ＝（－2，－2，1），则 d ＝ ＝
＝ ＝ ，解得 z ＝4或－16.故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AC ＝ BC ＝ AA1＝2，
∠ ACB ＝90°， D ， E ， F 分别为 AC ， AA1， AB 的中点，则下列
结论正确的是（ ）
A. AC1与 EF 相交
B. B1 C1∥平面 DEF
C. EF 与 AC1所成的角为90°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 对选项A，由图知 AC1 平面 ACC1 A1， EF ∩平面 ACC1
A1＝ E ，且 E AC1.由异面直线的定义可知 AC1与 EF 异面，故A错
误.对于选项B，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， B1 C1∥ BC ，∵ D ， F
分别是 AC ， AB 的中点，∴ FD ∥ BC ，
∴ B1 C1∥ FD . 又∵ B1 C1 平面 DEF ，
DF 平面 DEF ，∴ B1 C1∥平面 DEF ，
故B正确.对于选项C，由题意，
建立如图所示的空间直角坐标系 C - xyz ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
则 C （0，0，0）， A （2，0，0）， B （0，2，0）， A1（2，0，2）， B1（0，2，2）， C1（0，0，2）， D （1，0，0）， E （2，0，1）， F （1，1，0）.∴ ＝（－1，1，－1）， ＝（－2，0，2）.∵ · ＝2＋0－2＝0，∴ ⊥ ，∴ EF ⊥ AC1.∴ EF 与 AC1所成的角为90°，故C正确.对于选项D，设平面 DEF 的法向量是 n
＝（ x ， y ， z ），∵ ＝（1，0，1）， ＝（0，1，0），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴ 即取 x ＝1，则 z ＝－1，∴ n ＝（1，0，
－1）.设点 B1到平面 DEF 的距离为 d ，∵ ＝（－1，2，2），∴
d ＝ ＝ ＝ ，∴点 B1到平面 DEF 的距离为
，故D正确.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n ＝（2，－
2，1）.已知点 P （－1，3，2），则点 P 到平面 OAB 的距离 d ＝ .
解析： d ＝ ＝ ＝2.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AA1＝ AB ＝2， AD ＝1，点
F ， G 分别是 AB ， CC1的中点，则点 D1到直线 GF 的距离为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ，
DC ， DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空
间直角坐标系，则 D1（0，0，2）， F （1，1，
0）， G （0，2，1），于是有 ＝（1，－1，－
1）， ＝（0，－2，1），所以 ＝ ＝ ，｜ ｜＝ ，所以点 D1到直线 GF 的距离为 ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 如图，直三棱柱 ABC - A1 B1 C1的侧棱 AA1＝ ，在△ ABC 中，∠
ACB ＝90°， AC ＝ BC ＝1，则点 B1到平面 A1 BC 的距离为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B
（0，1，0）， C （0，0，0）， A1（1，0， ）， B1（0，1，
）， C1（0，0， ），∴ ＝（－1，1，－ ）， ＝
（－1，0，－ ）， ＝（－1，1，0）.设平面 A1 BC 的法向量
为 n ＝（ x ， y ， z ），则 即
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
令 z ＝1得 x ＝－ ， y ＝0，∴ n ＝（－ ，0，1）.∴点 B1到平面
A1 BC 的距离 d ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，底面是等腰三角形，∠ ACB ＝90°，侧
棱 AA1＝2， CA ＝2， D 是 CC1的中点.试问：线段 A1 B （不包括端
点）上是否存在一点 E ，使得点 A1到平面 AED 的距离为 ？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：如图，以 CA ， CB ， CC1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立
空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， A1（2，0，2）， D （0，
0，1），所以 ＝（0，0，2）， ＝（－2，0，1）.
假设线段 A1 B （不包括端点）上存在一点 E ，使得点 A1到平面
AED 的距离为 .
设点 E 到 AB 的距离为 a （0＜ a ＜2），
则 E （ a ，2－ a ， a ），
＝（ a －2，2－ a ， a ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设向量 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 AED 的法向量，则有 · n ＝0，
· n ＝0，
即
取 x ＝1，可得平面 AED 的一个法向量为 n ＝ .
由题意可知点 A1到平面 AED 的距离 d ＝ ＝ ＝
，解得 a ＝1或 a ＝0（舍去），所以 E （1，1，1）.
所以存在一点 E ，使得点 A1到平面 AED 的距离为 ，此时 E 为线
段 A1 B 的中点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 在正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点
B1到平面 AD1 C 的距离为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 如图，以 D 为原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x
轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， C （0，
2，0）， D1（0，0，4）， B1（2，2，4），∴ ＝（－2，2，
0）， ＝（－2，0，4）， ＝（－2，－2，0）.设平面 AD1
C 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 即
取 z ＝1，则 x ＝ y ＝2，∴ n ＝
（2，2，1），∴点 B1到平面 AD1 C 的距离为
＝ ，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 如图，已知长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， A1 A ＝5， AB ＝12，则直
线 B1 C1到平面 A1 BCD1的距离是（ ）
A. 5 B. 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 以 D 为坐标原点， ， ，
的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如
图所示的空间直角坐标系，则 C （0，12，
0）， D1（0，0，5）.设 B （ x ，12，0）， B1
（ x ，12，5）（ x ＞0）.设平面 A1 BCD1的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），由 n ⊥ ， n ⊥ ，得 n · ＝（ a ， b ， c ）·（－ x ，0，0）＝－ ax ＝0， n · ＝（ a ， b ， c ）·（0，－12，5）＝－12 b ＋5 c ＝0，所以 a ＝0， b ＝ c ，所以可取 n ＝（0，5，12）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又 ＝（0，0，－5），所以点 B1到平面 A1 BCD1的距离为 ＝ .因为 B1 C1∥平面 A1 BCD1，所以 B1 C1到平面 A1 BCD1的距离为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1， E ， O 分别是
A1 B1， A1 C1的中点，点 P 在正方体内部且满足 ＝ ＋
＋ ，则下列说法正确的是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 如图，建立空间直角坐标系，则 A （0，0，0）， B
（1，0，0）， D （0，1，0）， A1（0，0，1）， C1（1，1，
1）， D1（0，1，1）， E （ ，0，1）， O （ ， ，1）.所以
＝（－1，0，0）， ＝（－ ，0，1）.设∠ ABE ＝θ，则 cos θ＝
＝ ，所以 sin θ＝ ＝
，故点 A 到直线 BE 的距离 d1＝｜ ｜
sin θ＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故点 A 到直线 BE 的距离 d1＝｜ ｜ sin θ＝ ，故A错误.易知 ＝（－ ，－ ，0），平面 ABC1 D1的一个法向量 ＝（0，－1，1），则点 O 到平面 ABC1 D1的距离 d2＝ ＝ ＝ ，故B正确. ＝（1，0，－1）， ＝（0，1，－1）， ＝（0，1，0）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设平面 A1 BD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 所以
令 z ＝1，得 y ＝1， x ＝1，所以 n ＝（1，1，1）.所以
点 D1到平面 A1 BD 的距离 d3＝ ＝ ＝ .因为平面 A1 BD
∥平面 B1 CD1，所以平面 A1 BD 与平面 B1 CD1间的距离等于点 D1到
平面 A1 BD 的距离，所以平面 A1 BD 与平面 B1 CD1间的距离为 ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故C正确.因为 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝（ ， ，
）.又 ＝（1，0，0），所以 ＝ ，所以点 P 到直线 AB
的距离 d4＝ ＝ ＝ ，故D错误.
故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 在底面是直角梯形的四棱锥 P - ABCD 中，侧棱 PA ⊥底面 ABCD ，
BC ∥ AD ，∠ ABC ＝90°， PA ＝ AB ＝ BC ＝2， AD ＝1，则 AD 到
平面 PBC 的距离为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： AD 到平面 PBC 的距离等于点 A 到平面 PBC 的距离.由已知
可得 AB ， AD ， AP 两两垂直.以 A 为坐标原点， ， ， 的
方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），
则 A （0，0，0）， B （2，0，0）， C （2，2，0）， P （0，0，
2），则 ＝（2，0，－2）， ＝（0，2，0）.设平面 PBC 的
法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），则 即取
a ＝1，得 n ＝（1，0，1），又 ＝（2，0，0），所以 d ＝
＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 为线段 A1 B1的中点， F
为线段 AB 的中点.
（1）求点 B 到直线 AC1的距离；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：以 D1为坐标原点， D1 A1， D1 C1， D1 D 所在直线分别为
x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A
（1，0，1）， B （1，1，1）， C （0，1，1）， C1（0，
1，0）， E ， F ，所以 ＝（0，1，
0）， ＝（－1，1，－1）， ＝
， ＝ ，
＝ ， ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
取 a ＝ ＝（0，1，0）， u ＝ ＝ （－1，
1，－1），则 a2＝1， a · u ＝ .
所以点 B 到直线 AC1的距离为 ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求直线 FC 到平面 AEC1的距离.
解：因为 ＝ ＝ ，所以 FC ∥ EC1，又
EC1 平面 AEC1， FC 平面 AEC1，所以 FC ∥平面 AEC1.所
以点 F 到平面 AEC1的距离为直线 FC 到平面 AEC1的距离.设平
面 AEC1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则 所以所以
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
取 z ＝1，则 x ＝1， y ＝2.所以 n ＝（1，2，1）是平面 AEC1
的一个法向量.
又因为 ＝ ，所以点 F 到平面 AEC1的距离为
＝ ＝ .
即直线 FC 到平面 AEC1的距离为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图，在四棱锥 P - ABCD 的平面展开图中，四边形 ABCD 是边长
为2的正方形，△ ADE 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，∠ HDC
＝∠ FAB ＝90°，求四棱锥 P - ABCD 外接球的球心到平面 PBC 的
距离.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：该几何体的直观图如图所示，分别取 AD ， BC 的中点 O ，
M ，连接 OM ， PM ， PO ，
∵ PO ＝1， OM ＝2， PM ＝ ＝ ＝ ，
∴ OP2＋ OM2＝ PM2，∴ OP ⊥ OM ，
又∵ PO ⊥ AD ，∴由线面垂直的判定定理得出 PO ⊥平面 ABCD ，
以点 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则 A （1，0，0）， B （1，2，0），
C （－1，2，0）， D （－1，
0，0）， P （0，0，1），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设四棱锥 P - ABCD 外接球的球心为 N （0，1， a ），
∵ PN ＝ NA ，∴1＋（1－ a ）2＝1＋1＋ a2，解得 a ＝0.
设平面 PBC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
＝（1，2，－1）， ＝（－1，2，－1），
＝（0，－1，1），
取 z ＝2，则 n ＝（0，1，2），
则四棱锥 P - ABCD 外接球的球心到平面 PBC 的距离为 d ＝
＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！第二课时 空间中的距离问题
新课程标准解读 核心素养
能用向量的方法解决点线距、点面距、线面距的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算
几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离.
空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题.
【问题】 如何用向量方法求解这些距离呢？
知识点 空间距离及向量求法
1.点P到平面α的距离
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝ .
2.点P到直线l的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）可以用｜｜＝＝，求空间两点A，B的距离.（ ）
（2）设n是平面α的法向量，A是平面α内一点，AB是平面α的一条斜线，则点B到α的距离为d＝.（ ）
（3）若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离.（ ）
2.在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点M到顶点P的距离是（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
3.已知平面α的一个法向量n＝（1，0，1），点A（－1，1，0）在α内，则平面外点P（－1，1，1）到平面α的距离为 .
题型一 点面、线面、面面的距离问题
【例1】 已知正方形ABCD 的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求点D到平面PEF的距离.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，求直线AC到平面PEF的距离.
通性通法
线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.
点面距的求解步骤：
（1）求出该平面的一个法向量；
（2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
（3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
【跟踪训练】
如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离.
题型二 点到直线的距离
【例2】 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离.
尝试解答
通性通法
利用向量法求点到直线的距离的两种思路
（1）将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题.过已知点作直线的垂线段，建立适当的空间直角坐标系，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法；
（2）直接套用点线距公式求解，其步骤为：
直线的方向向量a→所求点到直线上一点的向量及在直线的方向向量a上的投影→代入公式.
另外，注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
【跟踪训练】
已知直三棱柱ABC-A1B1C1，过A1，B，C1三点的平面和平面ABC的交线为l.
（1）判断直线A1C1和l的位置关系，并加以证明；
（2）如果AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点A1到直线l的距离.
1.已知A（0， 0， 2），B（1， 0， 2），C（0， 2， 0），则点A到直线BC的距离为（ ）
A. B.1
C. D. 2
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知直线l经过点A（2，3，1），且向量n＝（1，0，－1）所在直线与l垂直，则点P（4，3，2）到l的距离为 .
5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为 .
空间直角坐标系的构建策略
坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建系，下面就几种常见的建系方法予以说明.
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
【例1】 如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
建系方法 易得DA，DC，DD1三线两两垂直，如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
方法总结
由题意知，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，三条棱DA，DC，DD1两两互相垂直且交于一点D，可考虑以点D为原点，三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，此为根据题目中现有的条件，直接建立空间直角坐标系.
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
【例2】 （2021·全国乙卷18题）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.
（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值.
建系方法 因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标.
方法总结
由条件中的垂直关系PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形，进而PD，AD，DC两两垂直且共点于D，可建立空间直角坐标系，此为通过先证明题目中建系的条件，建立空间直角坐标系.
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
【例3】 （2021·新高考Ⅰ卷20题）如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.
建系方法
由题意知AO⊥平面BCD，显然AO⊥OB.
以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.
方法总结
由已知条件平面ABD⊥平面BCD，结合其他已知证得AO⊥平面BCD，选取OB，OA所在的直线分别为x，z轴后，y轴就可由以下三个限制条件确定：（1）必须在平面BCD内且过点O；（2）必须垂直于OB；（3）方向必须符合右手直角坐标系.
四、利用正棱锥的底面中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
【例4】 已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，若BE⊥VC，则∠DEB的余弦值为 .
建系方法 如图所示，以V在底面ABCD内的投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.
方法总结
解决有关正棱锥的题目时，一般要利用正棱锥的底面的中心与正棱锥的高所在的直线构建空间直角坐标系.
五、利用底面正三角形构建空间直角坐标系
【例5】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
建系方法
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，
则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，
以，，为一组基，建立空间直角坐标系O-xyz.
方法总结
解决底面为正三角形的几何体建系时，一般将正三角形底边中线和与底边中线垂直的直线作为空间直角坐标系的x轴，y轴，再结合其他条件确定z轴.
综上五类常见几何图形的建系特征，即从直接利用具有公共顶点的三条棱构建空间直角坐标系，到利用线面垂直、面面垂直构建空间直角坐标系，再到利用立体图形的对称性等构建空间直角坐标系，有些题目可直接建立空间直角坐标系，而有些题目需先证明存在垂直关系后，再建立空间直角坐标系.无论利用哪种关系建系，都应遵循与求解问题相关的元素尽可能多的在坐标轴上或坐标平面上，这样便于计算点的坐标（空间向量的坐标），减少计算量.
第二课时 空间中的距离问题
【基础知识·重落实】
知识点
1.｜·n0｜ 2.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.A 以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），由题意，得｜MP｜＝＝7.
3. 解析：＝（0，0，1），n＝（1，0，1），d＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示.
则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E，F，∴＝，＝（，1，－1），＝.
设n＝（x，y，z）是平面PEF的法向量，
则n·＝x＋y－z＝0， ①
n·＝x＋y－z＝0， ②
①－②并整理得x－y＝0.
令x＝y＝1，则z＝.∴n＝.
∴点D到平面PEF的距离
d＝＝＝＝.
母题探究
解：∵E，F分别为AB，BC的中点，则AC∥EF，
∴AC∥平面PEF，∴点A到平面PEF的距离等于直线AC到平面PEF的距离.
由本例知，平面PEF的法向量n＝，A（1，0，0），＝（1，0，－1）.
d＝＝＝.
因此直线AC到平面PEF的距离为.
跟踪训练
解：取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，－，0），A（0，－，2），
所以＝（1，，0），＝（0，，）.
设平面MBC的法向量为n＝（x，y，z），由得
即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝（，－1，1）.
又＝（0，0，2），所以所求距离d＝＝.
【例2】 解：法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0），过O1作O1D⊥AC于点D，设D（x，y，0），则＝（x，y，－2），＝（x－2，y，0）.
∵＝（－2，3，0），⊥，∥，
∴解得
∴D（，，0），
∴｜｜＝＝.
即O1到直线AC的距离为.
法二 连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0），∴＝（－2，0，2），＝（－2，3，0），∴·＝（－2，0，2）·（－2，3，0）＝4，
∴＝，∴O1到直线AC的距离d＝＝.
跟踪训练
解：（1）A1C1∥l.证明如下：
∵A1C1∥AC，A1C1 平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC.
又平面A1C1B∩平面ABC＝l，∴l∥A1C1.
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，如图，则B（4，0，0），C（4，3，0），A1（0，0，1），C1（4，3，1），
∴＝（4，0，－1），＝（4，3，0）.
过点B作BH⊥A1C1，垂足为H，由（1）知，l∥A1C1，
∴BH即为点A1到直线l的距离.
∵·＝16，
∴｜｜＝＝，
∴｜｜＝＝，
即点A1到直线l的距离为.
随堂检测
1.A ∵A（0， 0，2），B（1， 0，2），C（0， 2，0），＝（1， 0，0），＝（－1， 2，－2），∴点A到直线BC的距离为d＝＝＝.
2.D 分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.可以求得平面ABC的一个法向量为n＝（1，1，1），则d＝＝.
3.B 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（1，0，0）， C1（0，1，0）， D（0，0，1）， A（1，0，1），所以 ＝（1，0，－1），＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，0），设平面 A1C1D 的一个法向量为m＝（x，y，1），则 即
解得故m＝（1，1，1），显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝ .
4. 解析：因为＝（－2，0，－1），又n与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝.
5. 解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D（0，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），M，A（1，0，0），＝，＝（－1，1，0），＝（－1，0，1）.设平面ACD1的法向量为n＝（x，y，z），则即取x＝1，则y＝z＝1，∴n＝（1，1，1）.∴点M到平面ACD1的距离d＝＝.又＝，故MN∥平面ACD1，故直线MN到平面ACD1的距离为.
6 / 6第二课时 空间中直线、平面的垂直
1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝（－2，2，1），b＝（3，－2，m），若l1⊥l2，则m＝（ ）
A.－2 B.2
C.10 D.6
2.若平面α，β的法向量分别为a＝（－1，2，4），b＝（x，－1，－2），且α⊥β，则x的值为（ ）
A.10 B.－10
C. D.－
3.已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x，0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（ ）
A.（1，0，－2） B.（1，0，2）
C.（－1，0，2） D.（2，0，－1）
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列结论正确的是（ ）
A.EF与BD1相交
B.EF与BD1异面
C.EF⊥A1D，EF⊥AC
D.EF至多与A1D，AC之一垂直
5.（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A.若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝（2，－2，－1），b＝（－2，0，－4），则l1⊥l2
B.若直线l的方向向量是a＝（1，1，2），平面α的法向量是n＝（5，－1，－2），则l⊥α
C.若直线l的方向向量是a＝（0，2，0），平面α的法向量是n＝（0，－3，0），则l∥α
D.若两个不同的平面α，β的法向量分别是m＝（3，－4，2），n＝（2，2，1），则α⊥β
6.（多选）已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），n1，n2分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中正确的是（ ）
A.v1∥v2 l1⊥l2 B.v1⊥v2 l1⊥l2
C.n1∥n2 α⊥β D.n1⊥n2 α⊥β
7.已知平面α的法向量为a＝（1，2，－2），平面β的法向量为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝ .
8.在空间直角坐标系中，已知Rt△ABC的三个顶点为A（－3，－2，1），B（－1，－1，－1），C（－5，x，0），则x的值为 .
9.在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝，则n的坐标为 .
10.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
11.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝（ ）
A. B.1 C.2 D.3
12.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.与AC，MN都不垂直
13.（多选）如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A.·＝0
B.AB⊥DC
C.BD⊥AC
D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
14.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有 条.
15.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.求证：A1C⊥平面BB1D1D.
16.如图，正三角形ABC的边长为4，CD为边AB上的高，E，F分别是边AC和边BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）在线段BC上是否存在一点P，使得AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
第二课时 空间中的距离问题
1.D ∵＝（＋）＝（4，3，6）＝，＝（0，1，0），∴＝－＝，∴｜｜＝＝.
2.D 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.则A（0，0，0），B（a，0，0），D（0，a，0），C1（a，a，a），O（，，a），A1（0，0，a），所以＝（a，a，a），＝（ ，，0），由于AC1⊥平面A1BD，所以点O到平面A1BD的距离d＝＝＝a.
3.B 设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则所以令z＝2，则x＝－，y＝3，所以n＝（－，3，2）是平面ABC的一个法向量.所以点A1到平面ABC的距离d＝＝，故该三棱柱的高为.故选B.
4.B 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为AB＝1，BC＝1，AA'＝2，所以A'（0，0，2），C（1，1，0），B（1，0，0），所以＝（1，1，－2），＝（0，1，0），则在上的投影向量的模为
｜·｜＝＝，所以点B到直线A'C的距离为d＝＝＝＝.
5.AC 点A（－1，3，0），P（－2，1，z），∴＝（－1，－2，z），又n＝（－2，－2，1），则d＝＝＝＝，解得z＝4或－16.故选A、C.
6.BCD 对选项A，由图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1.由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误.对于选项B，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，∵D，F分别是AC，AB的中点，∴FD∥BC，∴B1C1∥FD.又∵B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，∴B1C1∥平面DEF，故B正确.对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，0），E（2，0，1），F（1，1，0）.∴＝（－1，1，－1），＝（－2，0，2）.∵·＝2＋0－2＝0，∴⊥，∴EF⊥AC1.∴EF与AC1所成的角为90°，故C正确.对于选项D，设平面DEF的法向量是n＝（x，y，z），∵＝（1，0，1），＝（0，1，0），∴即取x＝1，则z＝－1，∴n＝（1，0，－1）.设点B1到平面DEF的距离为d，∵＝（－1，2，2），∴d＝＝＝，∴点B1到平面DEF的距离为，故D正确.故选B、C、D.
7.2 解析：d＝＝＝2.
8. 解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），F（1，1，0），G（0，2，1），于是有＝（1，－1，－1），＝（0，－2，1），所以＝＝，｜｜＝，所以点D1到直线GF的距离为＝.
9. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），A1（1，0，），B1（0，1，），C1（0，0，），∴＝（－1，1，－），＝（－1，0，－），＝（－1，1，0）.设平面A1BC的法向量为n＝（x，y，z），
则即
令z＝1得x＝－，y＝0，∴n＝（－，0，1）.∴点B1到平面A1BC的距离d＝＝.
10.解：如图，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），D（0，0，1），所以＝（0，0，2），＝（－2，0，1）.
假设线段A1B（不包括端点）上存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为.
设点E到AB的距离为a（0＜a＜2），则E（a，2－a，a），＝（a－2，2－a，a）.
设向量n＝（x，y，z）为平面AED的法向量，则有·n＝0，·n＝0，
即
取x＝1，可得平面AED的一个法向量为n＝.
由题意可知点A1到平面AED的距离d＝＝＝，解得a＝1或a＝0（舍去），所以E（1，1，1）.
所以存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为，此时E为线段A1B的中点.
11.A 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4），∴＝（－2，2，0），＝（－2，0，4），＝（－2，－2，0）.设平面AD1C的法向量为n＝（x，y，z），则即取z＝1，则x＝y＝2，∴n＝（2，2，1），∴点B1到平面AD1C的距离为＝，故选A.
12.C 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）.设B（x，12，0），B1（x，12，5）（x＞0）.设平面A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c），由n⊥，n⊥，得n·＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0，n·＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝（0，5，12）.又＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
13.BC 如图，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），E（，0，1），O（，，1）.所以＝（－1，0，0），＝（－，0，1）.设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，所以sin θ＝＝，故点A到直线BE的距离d1＝｜｜sin θ＝，故A错误.易知＝（－，－，0），平面ABC1D1的一个法向量＝（0，－1，1），则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确.＝（1，0，－1），＝（0，1，－1），＝（0，1，0）.设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），则所以令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝（1，1，1）.所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝.因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为，故C正确.因为＝＋＋，所以＝（，，）.又＝（1，0，0），所以＝，所以点P到直线AB的距离d4＝＝＝，故D错误.故选B、C.
14. 解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离.由已知可得AB，AD，AP两两垂直.以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），则＝（2，0，－2），＝（0，2，0）.设平面PBC的法向量为n＝（a，b，c），则即取a＝1，得n＝（1，0，1），又＝（2，0，0），所以d＝＝.
15.解：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，1），B（1，1，1），C（0，1，1），C1（0，1，0），E，F，所以＝（0，1，0），＝（－1，1，－1），＝，＝，＝，＝.
（1）取a＝＝（0，1，0），u＝＝（－1，1，－1），则a2＝1，a·u＝.
所以点B到直线AC1的距离为＝＝.
（2）因为＝＝，所以FC∥EC1，又EC1 平面AEC1，FC 平面AEC1，所以FC∥平面AEC1.所以点F到平面AEC1的距离为直线FC到平面AEC1的距离.设平面AEC1的法向量为n＝（x，y，z），
则
所以所以
取z＝1，则x＝1，y＝2.所以n＝（1，2，1）是平面AEC1的一个法向量.
又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝.
即直线FC到平面AEC1的距离为.
16.解：该几何体的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，
∵PO＝1，OM＝2，PM＝＝＝，
∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D（－1，0，0），P（0，0，1），
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N（0，1，a），
∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0.
设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），
＝（1，2，－1），＝（－1，2，－1），＝（0，－1，1），
取z＝2，则n＝（0，1，2），
则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为d＝＝＝＝.
3 / 3
