1.1 分类加法计数原理 1.2 分步乘法计数原理
新课程标准解读 核心素养
通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 数学抽象、数学运算、逻辑推理
青岛是一座美丽的滨海城市，空气良好，城市生活也很悠闲，海水清澈明亮，能看到美丽的海岸线，青岛的海鲜很便宜，海滨城市边吃海鲜边吹海风很惬意，小新决定“五一”期间从枣庄乘火车到济南办事，再于次日从济南乘汽车到青岛旅游，一天中火车有3班，汽车有2班.
【问题】 小新将如何安排行程？
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝ 种方法（也称“加法原理”）.
【想一想】
分类加法计数原理中“不同方案”如何理解？
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝ 种方法（也称“乘法原理”）.
【想一想】
如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（ ）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（ ）
（3）在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.（ ）
（4）从甲地经丙地到乙地是分步问题.（ ）
2.某校高二有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任学生会主席，则不同的选法种数为（ ）
A.100 B.102
C.152 D.50
3.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有 条.
题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】 设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（ ）
A.6个 B.8个
C.12个 D.16个
尝试解答
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，设问变为：“方程＋＝1表示焦点位于y轴上的椭圆”有（ ）
A.6个 B.8个
C.12个 D.16个
通性通法
利用分类加法计数原理的解题流程
【跟踪训练】
某校高三共有三个班，各班人数如下表：
男生人数 女生人数 总人数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
题型二 分步乘法计数原理的应用
【例2】 从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例中若二次函数图象开口向下，则可以组成抛物线的条数又为多少？
2.（变条件，变设问）若从本例的六个数字中选2个作为椭圆＋＝1的参数m，n.则可以组成椭圆的个数是多少？
通性通法
利用分步乘法计数原理的解题流程
【跟踪训练】
一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.
（1）从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？
（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
1.某中学需从2023年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（ ）
A.6 B.5
C.3 D.2
2.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.8
3.x∈{1，2，3}，y∈{5，7，9}，则x·y的不同值个数是（ ）
A.2 B.6 C.9 D.8
4.设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b∈{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为（ ）
A.20 B.24
C.12 D.11
5.（1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ；
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 .
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
【基础知识·重落实】
知识点一
m1＋m2＋…＋mn
想一想
提示：分类加法计数原理中“完成一件事有n类不同方案”是指完成这件事的所有方法可以分为n类，即任何一类中的任何方法都可以完成这件事，这n类不同方案中的方法互不相同，且完成这件事的任何一种方法都在某一类方案中.
知识点二
m1·m2·…·mn
想一想
提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.C 这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生.根据分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法.
3.12 解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一种，由分步乘法计数原理得一共有4×3＝12（条）.
【典型例题·精研析】
【例1】 A 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m＞n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6（个）.
母题探究
A 因为椭圆的焦点在y轴上，所以m＜n，当m＝1时，n＝2，3，4；当m＝2时，n＝3，4；当m＝3时，n＝4，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6（个）.
跟踪训练
解：（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案.
第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.
根据分类加法计算原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165（种）不同的选法.
（2）从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案.
第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80（种）不同的选法.
【例2】 解：由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；
b的值也有5种选法；c的值有4种选法.
由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100.
母题探究
1.解：需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40（条）抛物线.
2.解：据条件知m＞0，n＞0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故可以组成椭圆的个数为3×2＝6.
跟踪训练
解：（1）各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20（种）不同的取法.
（2）若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能，所以共有49种不同的投法.
随堂检测
1.B 选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类加法计数原理，可知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B.
2.C 由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为2×3＝6.故选C.
3.C 求x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值.
4.A 当a＝1时，b＝2，3，4，5，6，7，有6个；当a＝2时，b＝3，4，5，6，7，有5个；当a＝3时，b＝4，5，6，7，有4个；当a＝4时，b＝5，6，7，有3个；当a＝5时，b＝6，7，有2个.由分类加法计数原理，共有6＋5＋4＋3＋2＝20个.
5.（1）9 （2）6 解析：（1）要完成的一件事情是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9.
（2）要完成的一件事情是“从A村经B村去C村”，不同路线的条数是3×2＝6.
3 / 3(共57张PPT)
1.1 分类加法计数原理 1.2 分步乘法计数原理
新课程标准解读 核心素养
通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计
数原理及其意义 数学抽象、数学运
算、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
青岛是一座美丽的滨海城市，空气良好，城市生活也很悠闲，
海水清澈明亮，能看到美丽的海岸线，青岛的海鲜很便宜，海滨
城市边吃海鲜边吹海风很惬意，小新决定“五一”期间从枣庄乘火车
到济南办事，再于次日从济南乘汽车到青岛旅游，一天中火车有3
班，汽车有2班.
【问题】 小新将如何安排行程？
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事，可以有 n 类办法，在第1类办法中有 m1种方法，在第2类
办法中有 m2种方法……在第 n 类办法中有 mn 种方法，那么，完成这件
事共有 N ＝ 种方法（也称“加法原理”）.
m1＋ m2＋…＋ mn
提示：分类加法计数原理中“完成一件事有 n 类不同方案”是指完成这
件事的所有方法可以分为 n 类，即任何一类中的任何方法都可以完成
这件事，这 n 类不同方案中的方法互不相同，且完成这件事的任何一
种方法都在某一类方案中.
【想一想】
分类加法计数原理中“不同方案”如何理解？
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第1步有 m1种不同的方
法，做第2步有 m2种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法，那
么，完成这件事共有 N ＝ 种方法（也称“乘法原
理”）.
【想一想】
如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件
事，若能完成，则是分类，否则，是分步.
m1· m2·…· mn
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.
（ × ）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.
（ √ ）
（3）在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任
何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成
后，这件事情才算完成. （ √ ）
（4）从甲地经丙地到乙地是分步问题. （ √ ）
×
√
√
√
2. 某校高二有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任
学生会主席，则不同的选法种数为（ ）
A. 100 B. 102
C. 152 D. 50
解析： 这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也
可能是三班学生.根据分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种
不同选法.
3. 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有 条.
解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选
法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一种，由分步乘法计
数原理得一共有4×3＝12（条）.
12
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】 设集合 A ＝{1，2，3，4}， m ， n ∈ A ，则方程 ＋ ＝1
表示焦点位于 x 轴上的椭圆有（ ）
A. 6个 B. 8个
C. 12个 D. 16个
解析： 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以 m ＞ n .当 m ＝4时， n ＝1，
2，3；当 m ＝3时， n ＝1，2；当 m ＝2时， n ＝1，即所求的椭圆共有
3＋2＋1＝6（个）.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，设问变为：“方程 ＋ ＝1表示焦点位
于 y 轴上的椭圆”有（ ）
A. 6个 B. 8个
C. 12个 D. 16个
解析： 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以 m ＜ n ，当 m ＝1时， n ＝
2，3，4；当 m ＝2时， n ＝3，4；当 m ＝3时， n ＝4，即所求的椭圆
共有3＋2＋1＝6（个）.
通性通法
利用分类加法计数原理的解题流程
男生人数 女生人数 总人数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的
选法？
【跟踪训练】
某校高三共有三个班，各班人数如下表：
解：从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类
不同的方案.
第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.
根据分类加法计算原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会
主席，共有50＋60＋55＝165（种）不同的选法.
（2）从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名
学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解：从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生
中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案.
第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的
选法；
第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的
选法；
第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的
选法.
根据分类加法计数原理知，从高三（1）班、（2）班男生中或从
高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋
30＋20＝80（种）不同的选法.
题型二 分步乘法计数原理的应用
【例2】 从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数
字作为二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的系数 a ， b ， c ，则可以组成抛物线
的条数为多少？
解：由题意知 a 不能为0，故 a 的值有5种选法；
b 的值也有5种选法； c 的值有4种选法.
由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100.
1. （变条件）本例中若二次函数图象开口向下，则可以组成抛物线的
条数又为多少？
解：需分三步完成，第一步确定 a 有2种方法，第二步确定 b 有5
种方法，第三步确定 c 有4种方法，故可组成2×5×4＝40（条）
抛物线.
【母题探究】
2. （变条件，变设问）若从本例的六个数字中选2个作为椭圆 ＋
＝1的参数 m ， n .则可以组成椭圆的个数是多少？
解：据条件知 m ＞0， n ＞0，且 m ≠ n ，故需分两步完成，第一步确
定 m ，有3种方法，第二步确定 n ，有2种方法，故可以组成椭圆的
个数为3×2＝6.
通性通法
利用分步乘法计数原理的解题流程
【跟踪训练】
一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.
（1）从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？
解：各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了
这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有
5×4＝20（种）不同的取法.
（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的
投法？
解：若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮
筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可
能，所以共有49种不同的投法.
1. 某中学需从2023年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选
聘1人，则不同的选法种数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 2
解析： 选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3
种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类加法计
数原理，可知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B.
2. 已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙
地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到
丙地不同的交通方式的种数为（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
解析： 由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式
的种数为2×3＝6.故选C.
3. x ∈{1，2，3}， y ∈{5，7，9}，则 x · y 的不同值个数是（ ）
A. 2 B. 6
C. 9 D. 8
解析： 求 x · y 需分两步取值：第1步， x 的取值有3种；第2步， y
的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值.
4. 设椭圆 ＋ ＝1的焦点在 y 轴上，其中 a ∈{1，2，3，4，5}， b
∈{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为（ ）
A. 20 B. 24
C. 12 D. 11
解析： 当 a ＝1时， b ＝2，3，4，5，6，7，有6个；当 a ＝2
时， b ＝3，4，5，6，7，有5个；当 a ＝3时， b ＝4，5，6，7，有4
个；当 a ＝4时， b ＝5，6，7，有3个；当 a ＝5时， b ＝6，7，有2
个.由分类加法计数原理，共有6＋5＋4＋3＋2＝20个.
5. （1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，
另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不
同选法的种数是 ；
解析：要完成的一件事情是“选出1人完成工作”，不同的
选法种数是5＋4＝9.
（2）从 A 村去 B 村的道路有3条，从 B 村去 C 村的道路有2条，从 A
村经 B 村去 C 村，不同路线的条数是 .
解析：要完成的一件事情是“从 A 村经 B 村去 C 村”，不
同路线的条数是3×2＝6.
9
6
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会
用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任
选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（ ）
A. 8 B. 15 C. 18 D. 30
解析： 共有5＋3＝8种不同的选法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 如图，一条电路从 A 处到 B 处的五个开关中，选择其中两个闭合并
使电路接通时，可构成线路的条数为（ ）
A. 8 B. 6
C. 5 D. 3
解析： 从 A 处到 B 处的电路接通可分两步：第1步，前一个并联
电路接通有2条线路；第2步，后一个并联电路接通有3条线路.由分
步乘法计数原理知电路从 A 处到 B 处接通时，可构成线路的条数为
2×3＝6，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 已知 x ∈{2，3，7}， y ∈{－31，－24，4}，则（ x ， y ）可表示不
同的点的个数是（ ）
A. 1 B. 3
C. 6 D. 9
解析： 这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任
取一个 x 值有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一
个 y 值有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五
名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》
《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一
本名著，则不同的借阅方案种数为（ ）
A. 1 024 B. 625
C. 120 D. 5
解析： 对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可
能，根据分步乘法计数原理，故共有45＝1 024种可能.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最
大信息量，现从结点 A 向结点 B 传递消息，信息可以分开沿不同的
路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们
有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）
A. 18 B. 19
C. 24 D. 26
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条
线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传
递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6.
因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3＋4＋6＋6＝
19，故选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3
人，则下列说法正确的是（ ）
A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法
B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选
法
C. 从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法
D. 若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共
有100种不同的报名方法
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，先
选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有10×9＝90种
不同的选法，错误；对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女
生各1人，则共有7×3＝21种不同的选法，正确；对于C，选1人参
加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有7＋3＝10种不
同的选法，正确；对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共
有210＝1 024种不同的报名方法，错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有 个.
解析：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此可以分两类计
数：第1类，末位数字是0的数，共有20个；第2类，末位数字是5的
数，共有20个.根据分类加法计数原理，能够被5整除的数共有20＋
20＝40个.
40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走
法 种.
解析：由分步乘法计数原理得共有4×4＝16（种）走法.
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 现在要排一份5天值班表，每天有一人值班，共有5个人，每个人都
可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，则此值
班表共有 种不同的排法.
解析：先排第一天，可排5人中任意一人，有5种排法；再排第二
天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第3天，此时不
能排第二天已排的人，有4种排法；同理第4、5天均有4种排法.由分
步乘法计数原理知值班表共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法.
1 280
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.
（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
解：分三类：
第1类，选出的是医生，有3种选法；
第2类，选出的是护士，有5种选法；
第3类，选出的是麻醉师，有2种选法.
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗
小组，有多少种不同的选法？
解：分三步：
第1步，选1名医生，有3种选法；
第2步，选1名护士，有5种选法；
第3步，选1名麻醉师，有2种选法.
根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30种选法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如果 x ， y ∈N，且1≤ x ≤3， x ＋ y ＜7，那么满足条件的不同的有序
自然数对（ x ， y ）的个数是（ ）
A. 15 B. 12
C. 5 D. 4
解析： 分情况讨论：①当 x ＝1时， y ＝0，1，2，3，4，5，有
6种情况；②当 x ＝2时， y ＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当 x
＝3时， y ＝0，1，2，3，有4种情况.由分类加法计数原理可得满
足条件的有序自然数对（ x ， y ）的个数是6＋5＋4＝15.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主
食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一
种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的
选取方法有（ ）
A. 48种 B. 36种
C. 24种 D. 12种
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 由题意可知分三步完成：第一步，从2种主食中任选一
种，有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种，有3种选法；第
三步，从6种荤菜中任选一种，有6种选法.根据分步乘法计数原
理，得不同的选取方法的种数为2×3×6＝36.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）有一项活动，需在3名老师，8名男学生和5名女学生中选
人参加，则下列说法正确的是（ ）
A. 若只需1人参加，则有16种不同的选法
B. 若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有16种不同的选法
C. 若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同的选法
D. 若需1名老师、1名学生参加，则有16种不同的选法
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 由题意，有一项活动，若只需1人参加，则可分类完成
这件事.即所选1人为老师，则有3种不同选法；若所选1人为男学
生，则有8种不同选法；若所选1人为女学生，则有5种不同选法.则
完成这件事共有3＋8＋5＝16种不同选法，A正确；若需老师、男
学生、女学生各1人参加，则共有3×8×5＝120种不同选法，故B
错误，C正确；若需1名老师、1名学生参加，则有3×（8＋5）＝
39种不同选法，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正
交线面对”.在一个正方体中，则由两个顶点确定的直线与由四个顶
点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 .
解析：由分类加法计数原理知：第一类，正方体的一条棱与相应
的上、下底面可构成2个“正交线面对”，共有24个；第二类，正方
体的一条面对角线与对角面可构成1个“正交线面对”，共有12个.所
以“正交线面对”的个数是24＋12＝36.
36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 若直线方程 Ax ＋ By ＝0中的 A ， B 可以从0，1，2，3，5这五
个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有
多少条？
解：分两类完成：
第一类：当 A 或 B 中有一个为0时，表示直线为 x ＝0或 y ＝0，共有
2条；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
第二类：当 A ， B 都不为0时，直线 Ax ＋ By ＝0被确定需分两
步完成：
第一步，确定 A 的值，从1，2，3，5中选一个，共有4种不同
的方法；
第二步，确定 B 的值，共有3种不同的方法.
由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12（条）直线.
由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14
（条）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知集合 A ＝{ a ， b ， c }，集合 B ＝{－1，0，1}.
（1）从集合 A 到 B 能构造多少个不同的函数？
解：每个元素 a ， b ， c 都可以有3个数和它对应，故从
A 到 B 能构造3×3×3＝27个不同的函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）满足 f （ a ）＋ f （ b ）＋ f （ c ）＝0的函数有多少个？
解：列表如下：
f （ a ） 0 0 0 1 1 －1 －1
f （ b ） 0 1 －1 0 －1 1 0
f （ c ） 0 －1 1 －1 0 0 1
从表中可知满足 f （ a ）＋ f （ b ）＋ f （ c ）＝0的函数有7个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
161.1 分类加法计数原理 1.2 分步乘法计数原理
1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（ ）
A.8 B.15 C.18 D.30
2.如图，一条电路从A处到B处的五个开关中，选择其中两个闭合并使电路接通时，可构成线路的条数为（ ）
A.8 B.6
C.5 D.3
3.已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则（x，y）可表示不同的点的个数是（ ）
A.1 B.3
C.6 D.9
4.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ）
A.1 024 B.625
C.120 D.5
5.（多选）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）
A.18 B.19
C.24 D.26
6.（多选）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）
A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法
B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法
C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法
D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法
7.在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有 个.
8.一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法 种.
9.现在要排一份5天值班表，每天有一人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，则此值班表共有 种不同的排法.
10.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.
（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
11.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对（x，y）的个数是（ ）
A.15 B.12
C.5 D.4
12.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A.48种 B.36种
C.24种 D.12种
13.（多选）有一项活动，需在3名老师，8名男学生和5名女学生中选人参加，则下列说法正确的是（ ）
A.若只需1人参加，则有16种不同的选法
B.若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有16种不同的选法
C.若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同的选法
D.若需1名老师、1名学生参加，则有16种不同的选法
14.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，则由两个顶点确定的直线与由四个顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 .
15.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
16.已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}.
（1）从集合A到B能构造多少个不同的函数？
（2）满足f（a）＋f（b）＋f（c）＝0的函数有多少个？
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
1.A 共有5＋3＝8种不同的选法.
2.B 从A处到B处的电路接通可分两步：第1步，前一个并联电路接通有2条线路；第2步，后一个并联电路接通有3条线路.由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.
3.D 这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个x值有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个y值有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点.
4.A 对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据分步乘法计数原理，故共有45＝1 024种可能.
5.AB 第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6.因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19，故选A、B.
6.BC 对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有10×9＝90种不同的选法，错误；
对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有7×3＝21种不同的选法，正确；
对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有7＋3＝10种不同的选法，正确；
对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有210＝1 024种不同的报名方法，错误.故选B、C.
7.40 解析：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此可以分两类计数：第1类，末位数字是0的数，共有20个；第2类，末位数字是5的数，共有20个.根据分类加法计数原理，能够被5整除的数共有20＋20＝40个.
8.16 解析：由分步乘法计数原理得共有4×4＝16（种）走法.
9.1 280 解析：先排第一天，可排5人中任意一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第3天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；同理第4、5天均有4种排法.由分步乘法计数原理知值班表共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法.
10.解：（1）分三类：
第1类，选出的是医生，有3种选法；
第2类，选出的是护士，有5种选法；
第3类，选出的是麻醉师，有2种选法.
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法.
（2）分三步：
第1步，选1名医生，有3种选法；
第2步，选1名护士，有5种选法；
第3步，选1名麻醉师，有2种选法.
根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30种选法.
11.A 分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况.由分类加法计数原理可得满足条件的有序自然数对（x，y）的个数是6＋5＋4＝15.
12.B 由题意可知分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种，有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种，有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种，有6种选法.根据分步乘法计数原理，得不同的选取方法的种数为2×3×6＝36.故选B.
13.AC 由题意，有一项活动，若只需1人参加，则可分类完成这件事.即所选1人为老师，则有3种不同选法；若所选1人为男学生，则有8种不同选法；若所选1人为女学生，则有5种不同选法.则完成这件事共有3＋8＋5＝16种不同选法，A正确；若需老师、男学生、女学生各1人参加，则共有3×8×5＝120种不同选法，故B错误，C正确；若需1名老师、1名学生参加，则有3×（8＋5）＝39种不同选法，故D错误.
14.36 解析：由分类加法计数原理知：第一类，正方体的一条棱与相应的上、下底面可构成2个“正交线面对”，共有24个；第二类，正方体的一条面对角线与对角面可构成1个“正交线面对”，共有12个.所以“正交线面对”的个数是24＋12＝36.
15.解：分两类完成：
第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x＝0或y＝0，共有2条；
第二类：当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：
第一步，确定A的值，从1，2，3，5中选一个，共有4种不同的方法；
第二步，确定B的值，共有3种不同的方法.
由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12（条）直线.
由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14（条）.
16.解：（1）每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的函数.
（2）列表如下：
f（a） 0 0 0 1 1 －1 －1
f（b） 0 1 －1 0 －1 1 0
f（c） 0 －1 1 －1 0 0 1
从表中可知满足f（a）＋f（b）＋f（c）＝0的函数有7个.
1 / 2
