2.1 排列与排列数
1.某学习小组共6人，约定假期每两人相互微信聊天各一次，共需发起的聊天次数为（ ）
A.30 B.20
C.10 D.5
2.从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ）
A.2 B.4
C.12 D.24
3.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为（ ）
A.6 B.4
C.8 D.10
4.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
5.（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（ ）
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C.从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D.从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
6.（多选）已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b.则下列说法正确的有（ ）
A.表示不同的正数的个数是6
B.表示不同的比1小的数的个数是6
C.（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6
D.（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6
7.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成 个以b为首的不同的排列，它们分别是 .
8.车展期间，某调研机构准备从8人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为 .
9.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有 种.
10.写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
（2）两名老师和两名学生合影留念，写出两名老师都不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
11.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A.4种 B.5种
C.6种 D.12种
12.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为（ ）
A.9 B.12
C.15 D.18
13.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示 种不同的信号.
14.现从7名学生干部中选出3名分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是 .
15.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
（2）可以排出多少个不同的三位数？
16.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.
2.1 排列与排列数
1.A 由题意得共需发起的聊天次数为6×5＝30.
2.C
3.B 列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.
4.A 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6（种）不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12（种）不同的排法.
5.AD A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列.
6.BC 对于选项A，若a，b均为正，共有2×2＝4个，若a，b均为负，共有1×2＝2个，但＝，所以共有5个，所以A错误；对于选项B，若为正，显然均比1大，所以只需为负即可，共有2×2＋1×2＝6个，所以B正确；对于选项C，要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3＝6个，所以C正确；对于选项D，要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4＝8个，所以D错误.故选B、C.
7.12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析：画出树状图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
8.336 解析：由题意可知，本题为从8个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有8×7×6＝336（种）.
9.20 解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20（种）添加方法.
10.解：（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示.
故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.
（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：
由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种.
11.C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.
12.B 本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：
由此可知共有12个符合题意的四位数.
13.15 解析：分三类完成：
第1类，挂1面旗，可以表示种不同的信号；第2类，挂2面旗，可以表示种不同的信号；第3类，挂3面旗，可以表示种不同的信号.根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有＋＋＝3＋3×2＋3×2×1＝15种.
14.210 解析：从7名学生干部中选出3名同学排列的种数为7×6×5＝210，故共有210种不同的选派方案.
15.解：（1）三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一.
第一步，得百位数字，有6种不同结果；
第二步，得十位数字，有5种不同结果；
第三步，得个位数字，有4种不同结果.
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120（个）.
（2）三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216（个）.
16.解：如图，
由树状图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
2 / 22.1 排列与排列数
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解排列的概念 数学抽象
2.能应用排列知识解决简单的实际问题 逻辑推理、数学运算
“排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行摇奖的，“排列三”“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码，每日进行开奖.
【问题】 福彩3D即“排列三”摇出的号码的总的结果数是多少？
知识点 排列的有关概念
1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N＋）个元素，按照 排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数：把从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N＋）个元素的 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 .
【想一想】
1.a，b，c与b，c，a是同一个排列吗？
2.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列是否发生了变化？
3.排列与排列数有什么区别？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）从1，2，3，…，10这10个正整数中任取两个组成一个集合，可以得到个不同的集合.（ ）
（2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现.（ ）
（3）从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列.（ ）
（4）从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题.（ ）
2.A，B，C三名同学站成一排照相留念，写出所有排列.
题型一 排列的有关概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题：
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
（2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1？
（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
尝试解答
通性通法
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
【跟踪训练】
1.从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为对数的底数，一个为对数的真数；⑥一个为被开方数，一个为根指数，其中为排列问题的是 （填序号）.
2.判断下列问题是否为排列问题：
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格（假设来回的票价相同）；
（2）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
（3）某班40名学生在假期相互通信.
题型二 用列举法解决排列问题
【例2】 写出下列问题的所有排列：
（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
（2）由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
尝试解答
通性通法
在排列个数不多的情况下，树状图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树状图写出排列.
【跟踪训练】
同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A.6种 B.9种
C.11种 D.23种
题型三 简单的排列问题
【例3】 （1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
尝试解答
通性通法
对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解.
【跟踪训练】
1.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票的种数为（ ）
A.15 B.30
C.12 D.36
2.3盆不同品种的花排成一排，共有 种不同的排法.
1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（ ）
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
2.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A.5 B.10
C.20 D.60
3.（多选）下面问题中，不是排列问题的是（ ）
A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
4.从1，2，3，4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有 个.
5.有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有 种不同的种法.
2.1 排列与排列数
【基础知识·重落实】
知识点
1.一定的顺序
2.所有不同排列的个数
想一想
1.提示：a，b，c与b，c，a不是同一个排列.
2.提示：在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列就发生了变化，不再是原来的排列.
3.提示：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数.符号中，m，n均为正整数，且m≤n，是一个整体.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）√
2.解：
为了能不重不漏地找出所有排列，可以将元素按一定的顺序排出，如依据A在首位，B在首位或C在首位分类，用“树状图”（如图）确定第2个位置和第3个位置，从而得到所有的排列.故所有的排列为：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.
（2）第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.
（3）确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
跟踪训练
1.②④⑤⑥ 解析：从4个不同的数字中，每次取出两个相加、相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以①③不是排列问题；
相减，相除，一个为对数的底数、一个为对数的真数，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述四种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以②④⑤⑥属于排列问题.
2.解：（1）票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
（3）A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.
【例2】 解：（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数.
（2）画出树状图，如图所示.
由上面的树状图知，所有的四位数为1 234，1 243，1 324，1 342，1 423，1 432，2 134，2 143，2 314，2 341，2 413，2 431，3 124，3 142，3 214，3 241，3 412，3 421，4 123，4 132，4 213，4 231，4 312，4 321，共24个没有重复数字的四位数.
跟踪训练
B 法一 设四张贺年卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人（不妨设为A卡的供卡人）取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行.
用树状图表示，如图.
共有9种不同的分配方式.
法二 让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第1步，A先拿，有3种不同的方法；第2步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第3步，剩下的两个人都各有1种取法.由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1＝9种不同的分配方式.
【例3】 解：（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210（种）不同的送法.
（2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343（种）不同的送法.
跟踪训练
1.B 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30（种）.
2.6 解析：共有3×2×1＝6（种）不同的排法.
随堂检测
1.C 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
2.C 不同的送书种数为5×4＝20.
3.BCD 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B、C、D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关.
4.24
5.1 680 解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680（种）.
1 / 3(共59张PPT)
2.1 排列与排列数
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解排列的概念 数学抽象
2.能应用排列知识解决简单的实际问题 逻辑推理、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行
摇奖的，“排列三”“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的
中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为
当期摇出的全部中奖号码，每日进行开奖.
【问题】 福彩3D即“排列三”摇出的号码的总的结果数是多少？
知识点 排列的有关概念
1. 排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋）
个元素，按照 排成一列，叫作从 n 个不同元素中取
出 m 个元素的一个排列.
2. 排列数：把从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋）个元
素的 ，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元
素的排列数，记作 .
一定的顺序
所有不同排列的个数
1. a ， b ， c 与 b ， c ， a 是同一个排列吗？
提示： a ， b ， c 与 b ， c ， a 不是同一个排列.
2. 在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列是否发生了
变化？
提示：在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列就发生了
变化，不再是原来的排列.
【想一想】
3. 排列与排列数有什么区别？
提示：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事
的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数.符
号 中， m ， n 均为正整数，且 m ≤ n ， 是一个整体.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）从1，2，3，…，10这10个正整数中任取两个组成一个集合，
可以得到 个不同的集合. （ × ）
（2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现. （ √ ）
（3）从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列. （ × ）
（4）从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不
同的选法是一个排列问题. （ √ ）
×
√
×
√
2. A ， B ， C 三名同学站成一排照相留念，写出所有排列.
解：为了能不重不漏地找出所有排列，可以将元
素按一定的顺序排出，如依据 A 在首位， B 在首位
或 C 在首位分类，用“树状图”（如图）确定第2个
位置和第3个位置，从而得到所有的排列.故所有的
排列为： ABC ， ACB ， BAC ， BCA ， CAB ，
CBA .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 排列的有关概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题：
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个
座位安排三位客人，又有多少种方法？
解：第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.
（2）从集合 M ＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为 a ， b ，可以
得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 ＋ ＝1？可以得到多少
个焦点在 x 轴上的双曲线方程 － ＝1？
解：第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程 ＋
＝1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a ＞ b ， a ， b 的大小关
系一定；在双曲线 － ＝1中，不管 a ＞ b 还是 a ＜ b ，方程
－ ＝1均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故
是排列问题.
（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定
多少条直线？可确定多少条射线？
解：确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
通性通法
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
1. 从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相加；②相减；③相
乘；④相除；⑤一个为对数的底数，一个为对数的真数；⑥一个为
被开方数，一个为根指数，其中为排列问题的是 （填序
号）.
②④⑤⑥
【跟踪训练】
解析：从4个不同的数字中，每次取出两个相加、相乘的时候，两
个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以①③
不是排列问题；相减，相除，一个为对数的底数、一个为对数的真数，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述四种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以②④⑤⑥属于排列问题.
2. 判断下列问题是否为排列问题：
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格
（假设来回的票价相同）；
解：票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样
的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
解：每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是
不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
（3）某班40名学生在假期相互通信.
解：A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺
序问题，属于排列问题.
题型二 用列举法解决排列问题
【例2】 写出下列问题的所有排列：
（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少
个不同的两位数？
解：所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，
24，42，34，43，共有12个不同的两位数.
（2）由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？
试全部列出.
解：画出树状图，如图所示.
由上面的树状图知，所有的四位数为1 234，1 243，1 324，1 342，1 423，1 432，2 134，2 143，2 314，2 341，2 413，2 431，3 124，3 142，3 214，3 241，3 412，3 421，4 123，4 132，4 213，4 231，4 312，4 321，共24个没有重复数字的四位数.
通性通法
在排列个数不多的情况下，树状图是一种比较有效的表示方式.在
操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准
进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定
第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样
能不重不漏，然后按树状图写出排列.
【跟踪训练】
同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送
出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A. 6种 B. 9种
C. 11种 D. 23种
解析： 法一 设四张贺年卡分别为 A ， B ， C ， D .
由题意知，某人（不妨设为 A 卡的供卡人）取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行.
用树状图表示，如图.共有9种不同的分配方式.
法二 让 A ， B ， C ， D 四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以
分三步：第1步， A 先拿，有3种不同的方法；第2步，让被 A 拿走的那
张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第3步，剩下的两个人都各
有1种取法.由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1＝9种不
同的分配方式.
题型三 简单的排列问题
【例3】 （1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1
本，共有多少种不同的送法？
解：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210（种）不同的送法.
（2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少
种不同的送法？
解：从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343（种）不同的送法.
通性通法
对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进
行，即采用元素分析法或位置分析法求解.
【跟踪训练】
1. 沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南
京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不
同的火车票的种数为（ ）
A. 15 B. 30 C. 12 D. 36
解析： 对于两个大站 A 和 B ，从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火
车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每
张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站
和终点站）的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30（种）.
2.3盆不同品种的花排成一排，共有 种不同的排法.
解析：共有3×2×1＝6（种）不同的排法.
6
1. 从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（ ）
A. 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B. 甲乙丙、乙丙甲
C. 甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D. 甲乙、甲丙、乙丙
解析： 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有
如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
2. 从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方
法的种数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 20 D. 60
解析： 不同的送书种数为5×4＝20.
3. （多选）下面问题中，不是排列问题的是（ ）
A. 由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B. 从40人中选5人组成篮球队
C. 从100人中选2人抽样调查
D. 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
解析： 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项
B、C、D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关.
4. 从1，2，3，4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数
有 个.
答案：
24
5. 有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有 种
不同的种法.
解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种
中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中
任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680
（种）.
1 680
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某学习小组共6人，约定假期每两人相互微信聊天各一次，共需发
起的聊天次数为（ ）
A. 30 B. 20 C. 10 D. 5
解析： 由题意得共需发起的聊天次数为6×5＝30.
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2. 从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的
坐标，则组成不同点的个数为（ ）
A. 2 B. 4
C. 12 D. 24
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3. 甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为
（ ）
A. 6 B. 4
C. 8 D. 10
解析： 列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.
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4. 将字母 a ， a ， b ， b ， c ， c 排成三行两列，要求每行的字母互不相
同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A. 12种 B. 18种
C. 24种 D. 36种
解析： 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有
3×2×1＝6（种）不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的
字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，
所以共有6×2×1＝12（种）不同的排法.
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5. （多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（ ）
A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C. 从 a ， b ， c ， d 四个字母中取出2个字母
D. 从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
解析： A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；
B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列
问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出
的两个数字还需要按顺序排成一列.
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6. （多选）已知集合 M ＝{1，－2，3}， N ＝{－4，5，6，－7}，从
M ， N 这两个集合中各选一个元素分别记作 a ， b .则下列说法正确
的有（ ）
A. 表示不同的正数的个数是6
B. 表示不同的比1小的数的个数是6
C. （ a ， b ）表示 x 轴上方不同的点的个数是6
D. （ a ， b ）表示 y 轴右侧不同的点的个数是6
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解析： 对于选项A，若 a ， b 均为正，共有2×2＝4个，若 a ，
b 均为负，共有1×2＝2个，但 ＝ ，所以共有5个，所以A错误；
对于选项B，若 为正，显然均比1大，所以只需 为负即可，共有
2×2＋1×2＝6个，所以B正确；对于选项C，要使（ a ， b ）表示 x
轴上方的点，只需 b 为正即可，共有2×3＝6个，所以C正确；对于
选项D，要使（ a ， b ）表示 y 轴右侧的点，只需 a 为正即可，共有
2×4＝8个，所以D错误.故选B、C.
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7. 从 a ， b ， c ， d ， e 五个元素中每次取出三个元素，可组成 个以
b 为首的不同的排列，它们分别是
.
解析：画出树状图如下：
可知共12个，它们分别是 bac ， bad ， bae ， bca ，
bcd ， bce ， bda ， bdc ， bde ， bea ， bec ， bed .
12
bac ， bad ， bae ， bca ， bcd ，
bce ， bda ， bdc ， bde ， bea ， bec ， bed
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8. 车展期间，某调研机构准备从8人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆
的参观人数，则不同的安排方法种数为 .
解析：由题意可知，本题为从8个元素中选3个元素的排列问题，所
以安排方法有8×7×6＝336（种）.
336
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9. 一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添
加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共
有 种.
解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20
（种）添加方法.
20
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10. 写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种
机票？
解：列出每一
个起点和终点情
况，如图所示.故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.
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（2）两名老师和两名学生合影留念，写出两名老师都不在左端且
相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
解：由于老师不站左端，故
左端位置上只能安排学生.设两名
学生分别为 A ， B ，两名老师分
别为 M ， N ，此问题可分两类：由此可知，所有可能的站法为 AMNB ， ANMB ， ABMN ， ABNM ， BMNA ， BNMA ，
BAMN ， BANM ，共8种.
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11. 三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4
次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A. 4种 B. 5种
C. 6种 D. 12种
解析： 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲
→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给
丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.
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12. 由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数
字的四位数的个数为（ ）
A. 9 B. 12
C. 15 D. 18
解析： 本题要求首位数字是1，且恰
有三个相同的数字，用树形图表示为：
由此可知共有12个符合题意的四位数.
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13. 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信
号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的
信号，则一共可以表示 种不同的信号.
解析：分三类完成：
第1类，挂1面旗，可以表示 种不同的信号；第2类，挂2面旗，
可以表示 种不同的信号；第3类，挂3面旗，可以表示 种不同
的信号.根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有 ＋ ＋
＝3＋3×2＋3×2×1＝15种.
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14. 现从7名学生干部中选出3名分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三
个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是 .
解析：从7名学生干部中选出3名同学排列的种数为7×6×5＝
210，故共有210种不同的选派方案.
210
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15. 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此
时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
解：三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一.
第一步，得百位数字，有6种不同结果；
第二步，得十位数字，有5种不同结果；
第三步，得个位数字，有4种不同结果.
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120（个）.
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（2）可以排出多少个不同的三位数？
解：三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六
个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216（个）.
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16. 某药品研究所研制了5种消炎药 a1， a2， a3， a4， a5，4种退烧药
b1， b2， b3， b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效
试验，但 a1， a2两种药或同时用或同时不用， a3， b4两种药不能同
时使用，试写出所有不同的试验方法.
解：如图，由树状图可写出所有不同试验
方法如下： a1 a2 b1， a1 a2 b2， a1 a2 b3， a1
a2 b4， a3 a4 b1， a3 a4 b2， a3 a4 b3， a3 a5 b1，
a3 a5 b2， a3 a5 b3， a4 a5 b1， a4 a5 b2， a4 a5
b3， a4 a5 b4，共14种.
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谢 谢 观 看！
