2.2 排列数公式
1.设m∈N＋，且m＜15，则＝（ ）
A.（20－m）（21－m）（22－m）（23－m）（24－m）（25－m）
B.（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）
C.（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）（15－m）
D.（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）（15－m）
2.已知－＝10，则n的值为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
3.12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖情况的种数为（ ）
A.123 B.312
C. D.33
4.五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（ ）
A.36种 B.48种
C.72种 D.120种
5.（多选）17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为（ ）
A. B.
C.＋ D.
6.（多选）若3男3女排成一排，则下列说法错误的是（ ）
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的共有120种排法
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120
D.男女生相间排法总数为72
7.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言.（用数字作答）
8.化简：＋＋＋…＋＝ .
9.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种.（用数字作答）
10.有语文、数学、外语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种不同的安排方法？
11.要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是（ ）
A.20 B.16
C.10 D.6
12.九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面的一种建筑，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高.九龙壁中九条蟠龙各具神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是沉降之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位.某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置.则不同的雕刻模型种数为（ ）
A. B.2
C. D.
13.（多选）有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法正确的是（ ）
A.6 B.
C. D.－3
14.满足不等式＞12的n的值可能为 .
15.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
（1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
（2）2个唱歌节目互不相邻；
（3）2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
16.已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），从0，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径.问：
（1）可以作多少个不同的圆？
（2）经过原点的圆有多少个？
（3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？
2.2 排列数公式
1.C 是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）·（16－m）（15－m）.
2.B 由－＝10，得（n＋1）n－n（n－1）＝10，解得n＝5.
3.C 12名选手中有3名获奖并安排奖次，共有种不同的获奖情况.故选C.
4.C 先将除甲、乙二人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙二人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有＝6×12＝72种.故选C.
5.BD 根据题意，①对于前排的7人，先在17人中选出7人，排成一排，有种排法，将剩下的10人排成一排，有种排法，则共有种排法，B正确.②直接将17人排成一排，从最左侧开始数的前7人安排在第一排，剩下的10人安排在第二排即可，有种排法，D正确.
6.BC 3男3女排成一排共计有＝720种；男生甲排在两端的共有2＝240种；男生甲、乙相邻的排法总数为＝240；男女生相间排法总数为2＝72.故选B、C.
7.1 560 解析：根据题意，得＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言.
8.1－ 解析：因为＝－＝－，
所以＋＋＋…＋＝＋＋…＋（－）＝1－.
9.36 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有＝12（种）方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36（种）选法.
10.解：法一（分类法） 分两类：
第1类，化学被选上，有×种排法；
第2类，化学不被选上，有种排法.
故共有×＋＝300种不同的安排方法.
法二（分步法） 分两步：第1步，第四节有种排法；第2步，其余三节有种排法，故共有×＝300种不同的安排方法.
法三（间接法） 从6门课中选4门课有种排法，而化学排第四节有种排法，
故共有－＝300种不同的安排方法.
11.B 不考虑限制条件有种选法，若a当副组长，有种选法，故a不当副组长，有－＝16（种）选法.
12.D 由题设可知：四条升腾之龙的相对位置有种调换方法，四条沉降之龙的相对位置有种调换方法，∴不同的雕刻模型共有种，故选D.
13.BCD 法一（元素分析法） 先排甲有6种，再排其余人有种，故共有6种排法.
法二（位置分析法） 中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有×种排法.
法三（等机会法） 9个人全排列有种排法.因为甲排在每一个位置的机会都是均等的，所以甲不在中间也不在两端的排法种数是×＝.
法四（间接法） 9个人全排列有种排法，甲排在中间和两端有3种排法，所以甲不在中间也不在两端的排法种数是－3.
14.10（或11，12，…）（答案不唯一）
解析：由排列数公式得＞12，
则（n－5）（n－6）＞12，解得n＞9或n＜2（舍去）.
又n∈N＋，所以n可以取10，11，12，….
15.解：（1）先排唱歌节目有种排法，再排其他节目有种排法，所以共有·＝1 440（种）排法.
（2）先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有种排法，再从其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节目，有种插入方法，所以共有·＝30 240（种）排法.
（3）把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列，共有种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有种排法，故所求排法共有··＝2 880（种）排法.
16.解：（1）可分两步完成：第1步，先选r，因为r＞0，则r有种选法；第2步，再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法，所以由分步乘法计数原理可得有×＝448个不同的圆.
（2）圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，a，b，r满足a2＋b2＝r2，
满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a，b的顺序，有种情况，
所以符合题意的圆有2＝4个.
（3）圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10，则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6.
当a，b取10，0时，r有7种情况，
当a，b取3，7；4，6时，r不可取0，有6种情况，
考虑a，b的顺序，有种情况，
所以满足题意的圆共有×＋2×＝38个.
2 / 22.2 排列数公式
新课程标准解读 核心素养
1.能用计数原理推导排列数公式 数学抽象
2.能用排列数公式解决简单的实际问题 逻辑推理、数学运算
在上海交通大学建校125周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍……
【问题】 （1）这29位名人大家的排列顺序有多少种？
（2）这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
知识点 排列数及排列数公式
排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n且m，n∈N＋）个元素的所有 的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数
符号表示
阶乘 正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用 表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝ .规定0！＝ ，＝
排列数公式 ＝ （m，n∈N＋，且m≤n）
【想一想】
＝n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1）中n，m应满足的条件是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）＝n.（ ）
（2）＝m＋.（ ）
2.89×90×91×…×100可表示为（ ）
A. B.
C. D.
3.某电影要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有 种.（用数字作答）
题型一 排列数公式的应用
角度1 利用排列数公式求值
【例1】 计算：和.
尝试解答
角度2 利用排列数公式化简
【例2】 （1）用排列数表示（55－n）（56－n）…（69－n）（n∈N＋且n＜55）；
（2）化简：n（n＋1）（n＋2）（n＋3）·…·（n＋m）.
尝试解答
角度3 利用排列数公式证明
【例3】 求证：－＝m.
尝试解答
通性通法
排列数公式的选择
（1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数；
（2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
【跟踪训练】
1.（x－2）（x－3）（x－4）·…·（x－15）（x∈N＋，x＞15）可表示为（ ）
A. B.
C. D.
2.不等式＜6的解集为（ ）
A.[2，8] B.[2，6]
C.（7，12） D.{8}
题型二 排列中的特殊元素或特殊位置问题
【例4】 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站右端，也不站左端；
（2）甲、乙站在两端；
（3）甲不站左端，乙不站右端.
尝试解答
通性通法
“特殊”优先原则
常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种思路考虑：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数.以上三种思路可以简化为图表如下：
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决.
【跟踪训练】
把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有（ ）
A.20种 B.30种
C.40种 D.60种
题型三 排列中的相邻问题
【例5】 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（ ）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
尝试解答
通性通法
解决“相邻”问题用“捆绑法”
将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
（1）先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；
（2）把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种；
（3）“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；
（4）根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有·种.
【跟踪训练】
用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（用数字作答）
题型四 排列中的不相邻问题
【例6】 永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《祁阳小调》《道州调子戏》《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（ ）
A.480 B.240
C.384 D.1 440
尝试解答
通性通法
解决“不相邻”问题用“插空法”
将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（k≤n－k＋1），求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
（1）将没有不相邻要求的元素共（n－k）个排成一排，其排列方法有种；
（2）将要求两两不相邻的k个元素插入（n－k＋1）个空隙中，相当于从（n－k＋1）个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种；
（3）根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有·种.
【跟踪训练】
（多选）现有3名男生、4名女生按照不同的要求排队，下列不同的排队方法的种数正确的有（ ）
A.全体站成一排，男、女各站在一起有288种排法
B.全体站成一排，男生必须站在一起有150种排法
C.全体站成一排，男生不能站在一起有140种排法
D.全体站成一排，男、女各不相邻有144种排法
1.＝（ ）
A.9×3
B.93
C.9×8×7
D.9×8×7×6×5×4×3
2.将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（ ）
A.1 260 B.120 C.240 D.720
3.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A.144 B.72
C.36 D.12
4.＝ .
5.用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件.
2.2 排列数公式
【基础知识·重落实】
知识点
不同排列 n！ n！ 1 1 n（n－1）（n－2）·…·[n－（m－1）]＝
想一想
提示：公式中n，m∈N＋，且m≤n.
自我诊断
1.（1）√ （2）√
2.C ＝100×99×…×（100－12＋1）＝100×99×…×89.
3.24 解析：4个不同元素全排列，即有＝24（种）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：＝15×14×13＝2 730，
＝6×5×4×3×2×1＝720.
【例2】 解：（1）∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有（69－n）－（55－n）＋1＝15（个）数，
∴（55－n）（56－n）…（69－n）＝.
（2）由排列数公式可知n（n＋1）（n＋2）·（n＋3）·…·（n＋m）＝.
【例3】 证明：∵－＝－＝·＝·＝m·＝m，
∴－＝m.
跟踪训练
1.B 由题意x∈N＋，x＞15.其中最大的数（x－2）为n，则m＝（x－2）－（x－15）＋1＝14.所以（x－2）（x－3）（x－4）·…·（x－15）＝.
2.D 由＜6，得＜6×，化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12， ①
又所以2≤x≤8， ②
由①②及x∈N＋，得x＝8.
【例4】 解：（1）法一（位置分析法） 因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种站法；再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知共有＝480种站法.
法二（元素分析法） 因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知，共有＝480种站法.
法三（间接法） 在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2，于是共有－2＝480种站法.
（2）法一（元素分析法） 首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有种站法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有＝48种站法.
法二（位置分析法） 首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有种站法；再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有＝48种站法.
（3）法一（间接法） 甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，而甲在左端且乙在右端的站法有种，故共有－2＋＝504种站法.
法二（直接法） 从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一类，甲站右端有种站法；第二类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有种站法，故共有＋＝504种站法.
跟踪训练
C 甲是特殊元素，应优先安排，分类完成.甲排周一，乙、丙只能从周二至周六这5天中选2天，有种安排方法；甲排周二，乙、丙有种安排方法；甲排周三，乙、丙有种安排方法；甲排周四，乙、丙只能排周五和周六，有种安排方法.由分类加法计数原理可知，不同的安排方法共有＋＋＋＝40（种）.
【例5】 C 因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共种，再排其内部顺序种，所以不同的安排方案有＝120×2＝240种.故选C.
跟踪训练
48 解析：分三类：①当2出现在第二位时，即×2×××，则第一位必为1，3，5中的一个数字，所以满足条件的五位数有3＝12（个）；②当2出现在第三位时，即××2××，则第一位、第二位为1，3，5中的两个数字或第四位、第五位为1，3，5中的两个数字，所以满足条件的五位数有2＝24（个）；③当2出现在第四位时，即×××2×，则第五位必为1，3，5中的一个数字，所以满足条件的五位数有3＝12（个）.综上，共有12＋24＋12＝48（个）.
【例6】 A 第一步，将《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《女书表演》四个节目全排列，有＝24种排法；第二步，将《祁阳小调》《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有＝20种插法，所以共有24×20＝480种不同的安排方法.故选A.
跟踪训练
AD 男生必须站在一起是男生的全排列，有种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有种排法.由分步乘法计数原理知，共有··＝288种排队方法，A正确；三个男生全排列有种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有种排法.故有·＝720种排队方法，B错误；先安排女生，共有种排法；男生在4个女生隔成的5个空中安排，共有种排法，故共有·＝1 440种排法，C错误；排好男生后让女生插空，共有·＝144种排法，D正确，故选A、D.
随堂检测
1.C
2.D 相当于3个元素排10个位置，不同的分法有＝720（种）.
3.A 先将老师排好，有种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有种排法，故共有＝144（种）排法.
4.36 解析：＝＝36.
5.210 解析：若1，3，5，7的顺序不定，则4个数字有＝24（种）排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×＝210（个）七位数符合条件.
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2.2 排列数公式
新课程标准解读 核心素养
1.能用计数原理推导排列数公式 数学抽象
2.能用排列数公式解决简单的实际问题 逻辑推理、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在上海交通大学建校125周年之际，有29位曾是交大学子的名人大
家，要在庆祝会上逐一介绍……
（2）这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
【问题】 （1）这29位名人大家的排列顺序有多少种？
知识点 排列数及排列数公式
排列数定
义 从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n 且 m ， n ∈N＋）个元素
的所有 的个数，叫作从 n 个不同元素中取
出 m 个元素的排列数
符号表示
不同排列
阶乘
排列数公
式
n ！
n ！
1
1
n （ n －1）（ n －2）·…·[ n －（ m －1）]＝
【想一想】
＝ n （ n －1）（ n －2）·…·（ n － m ＋1）中 n ， m 应满足的条件
是什么？
提示：公式中 n ， m ∈N＋，且 m ≤ n .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） ＝ n . （ √ ）
（2） ＝ m ＋ . （ √ ）
√
√
2. 89×90×91×…×100可表示为（ ）
解析： ＝100×99×…×（100－12＋1）＝
100×99×…×89.
3. 某电影要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映
次序共有 种.（用数字作答）
解析：4个不同元素全排列，即有 ＝24（种）.
24
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 排列数公式的应用
角度1 利用排列数公式求值
【例1】 计算： 和 .
解： ＝15×14×13＝2 730，
＝6×5×4×3×2×1＝720.
角度2 利用排列数公式化简
【例2】 （1）用排列数表示（55－ n ）（56－ n ）…（69－ n ）（ n
∈N＋且 n ＜55）；
解：∵55－ n ，56－ n ，…，69－ n 中的最大数为69－ n ，
且共有（69－ n ）－（55－ n ）＋1＝15（个）数，
∴（55－ n ）（56－ n ）…（69－ n ）＝ .
（2）化简： n （ n ＋1）（ n ＋2）（ n ＋3）·…·（ n ＋ m ）.
解：由排列数公式可知 n （ n ＋1）（ n ＋2）·（ n ＋
3）·…·（ n ＋ m ）＝ .
角度3 利用排列数公式证明
【例3】 求证： － ＝ m .
证明：∵ － ＝ －
＝ · ＝ ·
＝ m · ＝ m ，
∴ － ＝ m .
通性通法
排列数公式的选择
（1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数；
（2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程
和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，
可以简化计算.
1. （ x －2）（ x －3）（ x －4）·…·（ x －15）（ x ∈N＋， x ＞15）可
表示为（ ）
解析： 由题意 x ∈N＋， x ＞15.其中最大的数（ x －2）为 n ，则
m ＝（ x －2）－（ x －15）＋1＝14.所以（ x －2）（ x －3）（ x －
4）·…·（ x －15）＝ .
【跟踪训练】
2. 不等式 ＜6 的解集为（ ）
A. [2，8] B. [2，6]
C. （7，12） D. {8}
解析： 由 ＜6 ，得 ＜6× ，化简得 x2－19
x ＋84＜0，解得7＜ x ＜12， ①
又所以2≤ x ≤8， ②
由①②及 x ∈N＋，得 x ＝8.
题型二 排列中的特殊元素或特殊位置问题
【例4】 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站右端，也不站左端；
解：（1）法一（位置分析法） 因为甲不站左右两端，故先从
甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有 种站法；再让剩
下的4个人站在中间的四个位置上，有 种站法，由分步乘法计
数原理知共有 ＝480种站法.
法二（元素分析法） 因为甲不能站左右两端，故先让甲排在
除左右两端之外的任一位置上，有 种站法；再让余下的5个人
站在其他5个位置上，有 种站法，由分步乘法计数原理知，共
有 ＝480种站法.
法三（间接法） 在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有 种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2 ，于是共有 －2 ＝480种站法.
（2）甲、乙站在两端；
解：法一（元素分析法） 首先考虑特殊元素，让甲、
乙先站两端，有 种站法；再让其他4个人在中间4个位置全
排列，有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有 ＝
48种站法.
法二（位置分析法） 首先考虑两端两个位置，由甲、乙去
站，有 种站法；再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去
站，有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有 ＝48
种站法.
（3）甲不站左端，乙不站右端.
解：法一（间接法） 甲在左端的站法有 种，乙在右端
的站法有 种，而甲在左端且乙在右端的站法有 种，故共有
－2 ＋ ＝504种站法.
法二（直接法） 从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一
类，甲站右端有 种站法；第二类，甲站在中间4个位置之一，
而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有
种站法，故共有 ＋ ＝504种站法.
通性通法
“特殊”优先原则
常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元
素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种思路
考虑：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元
素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去
不符合要求的排列数.以上三种思路可以简化为图表如下：
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解
决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决.
【跟踪训练】
把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活
动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两
位前面，则不同的安排方法共有（ ）
A. 20种 B. 30种
C. 40种 D. 60种
解析： 甲是特殊元素，应优先安排，分类完成.甲排周一，乙、丙
只能从周二至周六这5天中选2天，有 种安排方法；甲排周二，乙、
丙有 种安排方法；甲排周三，乙、丙有 种安排方法；甲排周
四，乙、丙只能排周五和周六，有 种安排方法.由分类加法计数原
理可知，不同的安排方法共有 ＋ ＋ ＋ ＝40（种）.
题型三 排列中的相邻问题
【例5】 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设
“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，
课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（ ）
A. 60种 B. 120种
C. 240种 D. 480种
解析： 因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把“乐”“数”
捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共 种，再排其内部顺序
种，所以不同的安排方案有 ＝120×2＝240种.故选C.
通性通法
解决“相邻”问题用“捆绑法”
将 n 个不同的元素排成一排，其中 k 个元素排在相邻位置上，求
不同排法的种数，具体求解步骤如下：
（1）先将这 k 个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；
（2）把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有
种；
（3）“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有
种；
（4）根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有 · 种.
【跟踪训练】
用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在
首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条
件的不同五位数的个数是 .（用数字作答）
48
解析：分三类：①当2出现在第二位时，即×2×××，则第一
位必为1，3，5中的一个数字，所以满足条件的五位数有3
＝12（个）；②当2出现在第三位时，即××2××，则第一
位、第二位为1，3，5中的两个数字或第四位、第五位为1，3，
5中的两个数字，所以满足条件的五位数有2 ＝24（个）；
③当2出现在第四位时，即×××2×，则第五位必为1，3，5中
的一个数字，所以满足条件的五位数有3 ＝12（个）.综
上，共有12＋24＋12＝48（个）.
题型四 排列中的不相邻问题
【例6】 永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化
资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》《零陵
渔鼓》《瑶族伞舞》《祁阳小调》《道州调子戏》《女书表演》六个
节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种
数为（ ）
A. 480 B. 240
C. 384 D. 1 440
解析： 第一步，将《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《女
书表演》四个节目全排列，有 ＝24种排法；第二步，将《祁阳小
调》《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有 ＝20
种插法，所以共有24×20＝480种不同的安排方法.故选A.
通性通法
解决“不相邻”问题用“插空法”
将 n 个不同的元素排成一排，其中 k 个元素互不相邻（ k ≤ n － k ＋
1），求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
（1）将没有不相邻要求的元素共（ n － k ）个排成一排，其排列方法
有 种；
（2）将要求两两不相邻的 k 个元素插入（ n － k ＋1）个空隙中，相当
于从（ n － k ＋1）个空隙中选出 k 个分别分配给两两不相邻的 k
个元素，其排列方法有 种；
（3）根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有 · 种.
【跟踪训练】
（多选）现有3名男生、4名女生按照不同的要求排队，下列不
同的排队方法的种数正确的有（ ）
A. 全体站成一排，男、女各站在一起有288种排法
B. 全体站成一排，男生必须站在一起有150种排法
C. 全体站成一排，男生不能站在一起有140种排法
D. 全体站成一排，男、女各不相邻有144种排法
解析： 男生必须站在一起是男生的全排列，有 种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有 种排法；全体男生、
女生各视为一个元素，有 种排法.由分步乘法计数原理知，共
有 · · ＝288种排队方法，A正确；三个男生全排列有
种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全
排列，有 种排法.故有 · ＝720种排队方法，B错误；先安
排女生，共有 种排法；男生在4个女生隔成的5个空中安排，
共有 种排法，故共有 · ＝1 440种排法，C错误；排好男
生后让女生插空，共有 · ＝144种排法，D正确，故选A、D.
1. ＝（ ）
A. 9×3 B. 93
C. 9×8×7 D. 9×8×7×6×5×4×3
2. 将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分
法种数是（ ）
A. 1 260 B. 120 C. 240 D. 720
解析： 相当于3个元素排10个位置，不同的分法有 ＝720（种）.
3. 3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排
法种数为（ ）
A. 144 B. 72
C. 36 D. 12
解析： 先将老师排好，有 种排法，形成4个空，将3名学生插
入4个空中，有 种排法，故共有 ＝144（种）排法.
4. ＝ .
解析： ＝ ＝36.
5. 用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，
7的顺序一定，则有 个七位数符合条件.
解析：若1，3，5，7的顺序不定，则4个数字有 ＝24（种）排
法，故1，3，5，7的顺序一定的排法只占全排列种数的 .故有
× ＝210（个）七位数符合条件.
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210
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 m ∈N＋，且 m ＜15，则 ＝（ ）
A. （20－ m ）（21－ m ）（22－ m ）（23－ m ）（24－ m ）（25－
m ）
B. （20－ m ）（19－ m ）（18－ m ）（17－ m ）（16－ m ）
C. （20－ m ）（19－ m ）（18－ m ）（17－ m ）（16－ m ）（15－
m ）
D. （19－ m ）（18－ m ）（17－ m ）（16－ m ）（15－ m ）
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解析： 是指从20－ m 开始依次小1的连续的6个数相乘，
即（20－ m ）（19－ m ）（18－ m ）（17－ m ）·（16－ m ）（15－
m ）.
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2. 已知 － ＝10，则 n 的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析： 由 － ＝10，得（ n ＋1） n － n （ n －1）＝10，
解得 n ＝5.
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3. 12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各
一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖情况的种数为
（ ）
A. 123 B. 312
D. 33
解析： 12名选手中有3名获奖并安排奖次，共有 种不同的获
奖情况.故选C.
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4. 五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名
同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有
（ ）
A. 36种 B. 48种
C. 72种 D. 120种
解析： 先将除甲、乙二人外的另外三个人排成一排，再将甲、
乙二人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有 ＝
6×12＝72种.故选C.
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5. （多选）17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的
种数为（ ）
解析： 根据题意，①对于前排的7人，先在17人中选出7人，排
成一排，有 种排法，将剩下的10人排成一排，有 种排法，
则共有 种排法，B正确.②直接将17人排成一排，从最左侧开
始数的前7人安排在第一排，剩下的10人安排在第二排即可，有
种排法，D正确.
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6. （多选）若3男3女排成一排，则下列说法错误的是（ ）
A. 共计有720种不同的排法
B. 男生甲排在两端的共有120种排法
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为120
D. 男女生相间排法总数为72
解析： 3男3女排成一排共计有 ＝720种；男生甲排在两端的
共有2 ＝240种；男生甲、乙相邻的排法总数为 ＝240；男女
生相间排法总数为2 ＝72.故选B、C.
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7. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留
言，那么全班共写了 条毕业留言.（用数字作答）
解析：根据题意，得 ＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言.
1 560
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8. 化简： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 1－ .
解析：因为 ＝ － ＝ － ，
所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝1
－ .
1－
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9. 从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与
体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共
有 种.（用数字作答）
解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有 ＝12
（种）方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36（种）选法.
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10. 有语文、数学、外语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安
排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种不同的
安排方法？
解：法一（分类法） 分两类：
第1类，化学被选上，有 × 种排法；
第2类，化学不被选上，有 种排法.
故共有 × ＋ ＝300种不同的安排方法.
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法二（分步法） 分两步：第1步，第四节有 种排法；第2步，
其余三节有 种排法，故共有 × ＝300种不同的安排方法.
法三（间接法） 从6门课中选4门课有 种排法，而化学排第四
节有 种排法，
故共有 － ＝300种不同的安排方法.
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11. 要从 a ， b ， c ， d ， e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但 a 不能
当副组长，则不同的选法种数是（ ）
A. 20 B. 16
C. 10 D. 6
解析： 不考虑限制条件有 种选法，若 a 当副组长，有 种
选法，故 a 不当副组长，有 － ＝16（种）选法.
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12. 九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府
的正门对面的一种建筑，是权力的象征，做工十分精美，艺术和
历史价值很高.九龙壁中九条蟠龙各具神态，正中间即第五条为正
居之龙，两侧分别是沉降之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之
龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位.某
工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升
腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对
位置和四条沉降之龙的相对位置.则不同的雕刻模型种数为（ ）
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解析： 由题设可知：四条升腾之龙的相对位置有 种调换方
法，四条沉降之龙的相对位置有 种调换方法，∴不同的雕刻模
型共有 种，故选D.
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13. （多选）有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不
在两端的排法正确的是（ ）
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解析： 法一（元素分析法） 先排甲有6种，再排其余人有
种，故共有6 种排法.
法二（位置分析法） 中间和两端有 种排法，包括甲在内的其
余6人有 种排法，故共有 × 种排法.
法三（等机会法） 9个人全排列有 种排法.因为甲排在每一个
位置的机会都是均等的，所以甲不在中间也不在两端的排法种数
是 × ＝ .
法四（间接法） 9个人全排列有 种排法，甲排在中间和两端有
3 种排法，所以甲不在中间也不在两端的排法种数是 －3 .
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14. 满足不等式 ＞12的 n 的值可能为
.
解析：由排列数公式得 ＞12，
则（ n －5）（ n －6）＞12，解得 n ＞9或 n ＜2（舍去）.
又 n ∈N＋，所以 n 可以取10，11，12，….
10（或11，12，…）（答案不
唯一）
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15. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈
节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多
少种？
（1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
解： 先排唱歌节目有 种排法，再排其他节目有 种
排法，所以共有 · ＝1 440（种）排法.
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（2）2个唱歌节目互不相邻；
解： 先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有 种排法，
再从其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节目，有 种插
入方法，所以共有 · ＝30 240（种）排法.
（3）2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
解： 把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺
节目排列，共有 种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有
种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有 种排法，
故所求排法共有 · · ＝2 880（种）排法.
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16. 已知圆的方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2（ r ＞0），从0，3，
4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作圆心
的横坐标、纵坐标和圆的半径.问：
（1）可以作多少个不同的圆？
解： 可分两步完成：第1步，先选 r ，因为 r ＞0，则 r
有 种选法；第2步，再选 a ， b ，在剩余8个数中任取2个，
有 种选法，所以由分步乘法计数原理可得有 × ＝
448个不同的圆.
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（2）经过原点的圆有多少个？
解： 圆（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2经过原点， a ，
b ， r 满足 a2＋ b2＝ r2，
满足该条件的 a ， b ， r 共有3，4，5与6，8，10两组，考虑
a ， b 的顺序，有 种情况，
所以符合题意的圆有2 ＝4个.
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（3）圆心在直线 x ＋ y －10＝0上的圆有多少个？
解： 圆心在直线 x ＋ y －10＝0上，即满足 a ＋ b ＝10，
则满足条件的 a ， b 有三组：0，10；3，7；4，6.
当 a ， b 取10，0时， r 有7种情况，
当 a ， b 取3，7；4，6时， r 不可取0，有6种情况，
考虑 a ， b 的顺序，有 种情况，
所以满足题意的圆共有 × ＋2 × ＝38个.
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谢 谢 观 看！
