3.1 组合
3.2 组合数及其性质
第一课时 组合、组合数及其性质
1.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为（ ）
A.4 B.8
C.28 D.64
2.4人站成一排，重新站队时，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（ ）
A.4种 B.8种
C.12种 D.24种
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A.120种 B.90种
C.60种 D.30种
4.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）当m，n∈N＋，m＞n时，下列选项正确的有（ ）
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
6.（多选）某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（ ）
A.种 B.种
C.种 D.种
7.方程－＝的解集是 .
8.不等式－n＜5的解集为 .
9.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有 种（用数字作答）.
10.现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查.
（1）恰有1件是次品的抽法有多少种？
（2）至少有1件是次品的抽法有多少种？
11.2021年江苏省实行“3＋1＋2”新高考模式，学生选科时语文、数学、外语3科必选，物理、历史2科中选择1科，政治、地理、化学、生物4科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（ ）
A.6种 B.12种 C.18种 D.24种
12.从2名教师和5名学生中选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数为（ ）
A.20 B.25
C.30 D.55
13.（多选）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A.所有可能的安排方法有34种
B.若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C.若同学A必须去甲工厂，则不同的安排方法有16种
D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
14.下列有关排列数、组合数计算正确的是 （填序号）.
①＝；
②（n＋2）（n＋1）＝；
③＋＋＋…＋＝；
④＋是一个常数.
15.某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：
（1）小组赛：经抽签分甲、乙两组，每组六支球队进行单循环比赛（参加比赛的6支球队必须分别两两交锋一次），以积分及净胜球数取前两名.
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜负.
（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问全部赛程共需比赛多少场？
16.（1）解方程：3＝5；
（2）求＋的值.
第一课时 组合、组合数及其性质
1.C 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建＝28条公路.
2.B 将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有×2＝8（种）站法.
3.C ××＝60种.
4.B 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有种抽法.
5.AB 由组合数的性质＝＋及要有意义知A、B正确，C、D错误.
6.AC 要从A地到B地，最短走法是只往右走或往下走.以往右划分，必向右走3段，所以有＝10种走法；以往下划分，必向下走2段，所以有＝10种走法.故选A、C.
7.{5} 解析：因为＝＋，所以＝，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x＝－3（舍去）或x＝5.
8.{2，3，4} 解析：由－n＜5，得－n＜5，∴n2－3n－10＜0.解得－2＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N＋，∴n＝2，3，4.故原不等式的解集为{2，3，4}.
9.112 解析：每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有＋＋＋＝112种分配方案.
10.解：（1）分两步：
第1步，从2件次品中任取1件，有种抽法；
第2步，从8件正品中任取2件，有种抽法；
由分步乘法计数原理可知，不同的抽法种数为×＝2×＝56.
（2）法一 分两类：
第1类，抽出1件次品，抽法种数为×；
第2类，抽出2件次品，抽法种数为×.
由分类加法计数原理知，不同的抽法种数为×＋×＝56＋8＝64.
法二 从10件产品中任取3件的抽法有种，不含次品的抽法有种，所以至少有1件是次品的抽法种数为－＝64.
11.B 从物理、历史2科中选择1科，有＝2（种）选法，从政治、地理、化学、生物4科中选择2科，有＝6（种）选法，所以学生不同的选科方案共有2×6＝12（种）.故选B.
12.B 分两种情况：①选1名教师，2名学生，有＝20（种）方案；②选2名教师，1名学生，有＝5（种）方案.所以不同的选取方案的种数为20＋5＝25.故选B.
13.BCD 对于A，每人有4种选择，则三人一共有4×4×4＝43种方法，A错误；对于B，分三种情况讨论：①若有1名同学去甲工厂，则去甲工厂的同学选派情况为种，另外两名同学的安排方法有3×3＝9种，此种情况共有×9＝27种安排方法.②若有两名同学去甲工厂，则选派情况有＝3种，另外一名同学的安排方法有3种，此种情况共有×3＝9种安排方法.③若三名同学都去甲工厂，此种情况唯一，则共有27＋9＋1＝37种安排方法，B正确；对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排方法，共有4×4＝16种安排方法，C正确；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，则共有××＝24种安排方法，D正确.故选B、C、D.
14.②④ 解析：∵＝，故①不正确；
∵（n＋2）（n＋1）＝（n＋2）（n＋1）n（n－1）…（n－m＋1）＝，故②正确；
∵＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋－1＝＋＋＋…＋－1＝＋＋…＋－1＝－1，故③不正确；
∵＋中n应满足解得n＝2.∴＋＝＋＝2.故④正确.
15.解：（1）小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，共有两组，所以小组赛共要比赛2＝2×＝30（场）.
（2）半决赛中甲组第一名与乙组第二名（乙组的第一名与甲组的第二名）主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2＝2×1×2＝4（场）.
（3）决赛只需比赛一场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35（场）.
16.解：（1）由排列数和组合数公式，原方程可化为3·＝5·，则＝，
即为（x－3）（x－6）＝40.所以x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的解，所以方程的解为x＝11.
（2）由组合数的定义知
所以7≤r≤9.又r∈N＋，所以r＝7，8，9，
当r＝7时，原式＝＋＝46；
当r＝8时，原式＝＋＝20；
当r＝9时，原式＝＋＝46.
2 / 23.1 组合 3.2 组合数及其性质
第一课时 组合、组合数及其性质
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解组合的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导组合数公式 逻辑推理、数学运算
在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表.
【问题】 共有多少种选择方案？
知识点一 组合的定义
一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n，且m，n∈N＋）个元素 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
【想一想】
1.a，b，c和b，c，a是同一个组合吗？
2.排列与组合的区别是什么？
知识点二 组合数的概念、公式及性质
组合数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N＋）个元素的 的个数，叫作从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N＋）个元素的组合数
符号表示
组合数公式 乘积式 ＝ ＝
阶乘式 ＝
性质 ＝，＝＋
备注 ①n，m∈N＋，且m≤n；②规定＝1
【想一想】
组合数公式与排列数公式有何联系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题.（ ）
（2）“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.（ ）
（3）组合数＝.（ ）
（4）两个组合相同，则其对应的元素一定相同.（ ）
2.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为
B.从1，3，5，7中任取两个数相乘可得个积
C.＝5×4×3＝60
D.＝＝2 023
3.计算＋＋＋＝ .
第一课时 组合、组合数及其性质
题型一 组合的有关概念
【例1】 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题：
（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？
（2）从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？
（3）从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？
尝试解答
通性通法
判断一个问题是否是组合问题的方法技巧
区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起.区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化.若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
【跟踪训练】
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
（1）某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
（2）把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
（3）从7本不同的书中取出5本给某个学生.
题型二 组合数公式及性质的应用
角度1 化简与求值
【例2】 求值：
（1）3－2；
（2）＋.
尝试解答
角度2 与组合数有关的证明
【例3】 证明：m＝n.
尝试解答
角度3 与组合数有关的方程或不等式
【例4】 （1）（多选）若＞，则n的可能取值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.10
（2）已知－＝，求＋.
尝试解答
通性通法
1.组合数公式＝一般用于计算，而组合数公式＝一般用于含字母的式子的化简与证明.
2.要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为m≤n，且m，n∈N＋.
3.计算时应注意利用组合数的两个性质：
（1）＝；（2）＝＋.
【跟踪训练】
（1）计算：＋；
（2）证明：＝.
题型三 简单的组合问题
【例5】 在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？
（1）任意选5人；
（2）甲、乙、丙三人必须参加；
（3）甲、乙、丙三人不能参加；
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加.
尝试解答
通性通法
解简单的组合应用题的策略
（1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；
（2）要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.
提醒 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.
【跟踪训练】
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（1）现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？
（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
（3）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
1.下列问题是组合问题的有（ ）
（1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上有多少种票价？
（3）3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？
（4）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
A.（1）（2）（4） B.（1）（3）（4）
C.（2）（3）（4） D.（1）（2）（3）
2.在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一（即13张牌）组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为（ ）
A.4×13手 B.134手
C.手 D.手
3.（多选）下列等式正确的有（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4.＋＋＋…＋＝ .
5.10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为 （用数字作答）.
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
【基础知识·重落实】
知识点一
为一组
想一想
1.提示：是.
2.提示：排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序.
知识点二
所有组合
想一想
提示：按照分步乘法计数原理，从n个元素中取m（m≤n）个元素进行排列，可分两步进行：第1步，从n个元素中先取m个元素，有种选法；第2步，把选出的m个元素进行全排列有种排法.所以从n个不同元素中取m个不同元素进行排列有＝·种方法，所以＝.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√
2.ABD
3.210 解析：原式＝（＋）＋＝＋＝＝＝＝210.
第一课时 组合、组合数及其性质
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的.
（2）是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别.
（3）是排列问题.因为3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区别的.
跟踪训练
解：（1）因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题.
（2）由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题.
（3）从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.
【例2】 解：（1）3－2＝3×－2×＝148.
（2）∵∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，∴n＝10，
∴＋＝＋＝＋＝466.
【例3】 证明：m＝m·
＝
＝n·＝n.
【例4】 （1）ABC 由＞得
又n∈N＋，则n＝6，7，8，9.
∴n的可能取值为6，7，8，9.
（2）解：∵－＝，
∴－＝，
即－
＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
∵0≤m≤5，m∈N＋，∴m＝2，
∴＋＝＋＝＝84.
跟踪训练
解：（1）＋＝＋＝＋200＝4 950＋200＝5 150.
（2）证明：＝·＝＝.
【例5】 解：（1）从中任取5人是组合问题，共有＝792种不同的选法.
（2）甲、乙、丙三人必须参加，则只须从另外9人中选2人，是组合问题，共有＝36种不同的选法.
（3）甲、乙、丙三人不能参加，则只须从另外的9人中选5人，共有＝126种不同的选法.
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有＝3种选法；再从另外9人中选4人，有种选法.共有×＝378种不同的选法.
跟踪训练
解：（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为＝＝45.
（2）可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有种选法；
第2类，选出的2名是女教师有种选法.
根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21种不同的选法.
（3）从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有×＝15×6＝90种不同的选法.
随堂检测
1.A 根据组合定义知（1）（2）（4）是组合问题.
2.D 本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到手不同的牌.
3.ABC A是组合数公式，B是组合数性质；由·＝×＝得C正确；D错误.
4.7 315 解析：原式＝＋＋＋…＋＝＝7 315.
5.210 解析：先给甲组选4人，有种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为＝210.
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3.2 组合数及其性质
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解组合的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导组合数公式 逻辑推理、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表.
【问题】 共有多少种选择方案？
知识点一 组合的定义
一般地，从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋）个元
素 ，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
【想一想】
1. a ， b ， c 和 b ， c ， a 是同一个组合吗？
提示：是.
2. 排列与组合的区别是什么？
提示：排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序.
为一组
知识点二 组合数的概念、公式及性质
组合数 定义 从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋）
个元素的 的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋）个元素的组合数
符号表示
组合数公式 乘积式
阶乘式
所有组合
性质
备注
提示：按照分步乘法计数原理，从 n 个元素中取 m （ m ≤ n ）个元素进
行排列，可分两步进行：第1步，从 n 个元素中先取 m 个元素，有
种选法；第2步，把选出的 m 个元素进行全排列有 种排法.所以从 n
个不同元素中取 m 个不同元素进行排列有 ＝ · 种方法，所以
＝ .
【想一想】
组合数公式与排列数公式有何联系？
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）从 a1， a2， a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问
题. （ √ ）
（2）“ abc ”“ acb ”与“ bac ”是三种不同的组合. （ × ）
（3）组合数 ＝ . （ √ ）
（4）两个组合相同，则其对应的元素一定相同. （ √ ）
√
×
√
√
2. （多选）下列说法正确的是（ ABD ）
3. 计算 ＋ ＋ ＋ ＝ .
解析：原式＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝
＝210.
210
第一课时
组合、组合数及其性质
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 组合的有关概念
【例1】 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题：
（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？
解：是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的.
（2）从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？
解：是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别.
（3）从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？
解：是排列问题.因为3个人中，担任哪一科的代表是有顺
序区别的.
通性通法
判断一个问题是否是组合问题的方法技巧
区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是
按顺序排列还是无序地组合在一起.区分有无顺序的方法是把问题的一
个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是
否会产生新的变化.若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新
变化，即说明无顺序，是组合问题.
【跟踪训练】
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
（1）某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
解：因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和
乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题.
（2）把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
解：由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之
分，因此它是排列问题.
（3）从7本不同的书中取出5本给某个学生.
解：从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法
中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.
题型二 组合数公式及性质的应用
角度1 化简与求值
【例2】 求值：
（1）3 －2 ；
解：3 －2 ＝3× －2× ＝148.
（2） ＋ .
解：∵
∴9.5≤ n ≤10.5.
∵ n ∈N＋，∴ n ＝10，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝466.
角度2 与组合数有关的证明
【例3】 证明： m ＝ n .
证明： m ＝ m · ＝
＝ n · ＝ n .
角度3 与组合数有关的方程或不等式
【例4】 （1）（多选）若 ＞ ，则 n 的可能取值为（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 10
解析： 由 ＞ 得 又 n ∈N
＋，则 n ＝6，7，8，9.
∴ n 的可能取值为6，7，8，9.
（2）已知 － ＝ ，求 ＋ .
解：∵ － ＝ ，
∴ － ＝ ，
即 －
＝ ，
∴1－ ＝ ，
即 m2－23 m ＋42＝0，解得 m ＝2或 m ＝21.
∵0≤ m ≤5， m ∈N＋，∴ m ＝2，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝84.
通性通法
1. 组合数公式 ＝ 一般用于计算，而组
合数公式 ＝ 一般用于含字母的式子的化简与证明.
2. 要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数 的隐
含条件为 m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋.
3. 计算时应注意利用组合数的两个性质：
（1） ＝ ；（2） ＝ ＋ .
【跟踪训练】
（1）计算： ＋ ；
解： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋200
＝4 950＋200＝5 150.
（2）证明： ＝ .
证明： ＝ ·
＝ ＝ .
题型三 简单的组合问题
【例5】 在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中
选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？
（1）任意选5人；
解：从中任取5人是组合问题，共有 ＝792种不同的选法.
（2）甲、乙、丙三人必须参加；
解：甲、乙、丙三人必须参加，则只须从另外9人中选2
人，是组合问题，共有 ＝36种不同的选法.
（3）甲、乙、丙三人不能参加；
解：甲、乙、丙三人不能参加，则只须从另外的9人中选5
人，共有 ＝126种不同的选法.
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加.
解：甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从
甲、乙、丙中选1人，有 ＝3种选法；再从另外9人中选4人，
有 种选法.共有 × ＝378种不同的选法.
通性通法
解简单的组合应用题的策略
（1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合
问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺
序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；
（2）要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.
提醒 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.
【跟踪训练】
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（1）现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？
解：从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为 ＝
＝45.
（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
解：可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有 种选法；
第2类，选出的2名是女教师有 种选法.
根据分类加法计数原理，共有 ＋ ＝15＋6＝21种不同
的选法.
（3）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同
的选法？
解：从6名男教师中选2名的选法有 种，从4名女教师中选2名
的选法有 种，根据分步乘法计数原理，共有 × ＝15×6
＝90种不同的选法.
1. 下列问题是组合问题的有（ ）
（1）设集合 A ＝{ a ， b ， c ， d ， e }，则集合 A 的子集中含有3个元
素的有多少个？
（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上有多少种票价？
（3）3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？
（4）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分
配方法？
A. （1）（2）（4） B. （1）（3）（4）
C. （2）（3）（4） D. （1）（2）（3）
解析： 根据组合定义知（1）（2）（4）是组合问题.
2. 在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一（即
13张牌）组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为（ ）
A. 4×13手 B. 134手
解析： 本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名
参赛者可能得到 手不同的牌.
3. （多选）下列等式正确的有（ ）
解析： A是组合数公式，B是组合数性质；由 · ＝
× ＝ 得C正确；D错误.
4. ＋ ＋ ＋…＋ ＝ .
解析：原式＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝7 315.
5.10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数
为 （用数字作答）.
解析：先给甲组选4人，有 种选法，余下的6人为乙组，故共有不
同的分组种数为 ＝210.
7 315
210
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何
三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建
公路的条数为（ ）
A. 4 B. 8
C. 28 D. 64
解析： 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建
＝28条公路.
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2. 4人站成一排，重新站队时，恰有1个人站在自己原来的位置，则不
同的站法共有（ ）
A. 4种 B. 8种
C. 12种 D. 24种
解析： 将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有 种
站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有 ×2＝8（种）
站法.
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3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，
甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方
法共有（ ）
A. 120种 B. 90种
C. 60种 D. 30种
解析： × × ＝60种.
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4. 某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名
成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例
随机抽样，则此考察团的组成方法种数是（ ）
解析： 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男
性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有 种抽法.
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5. （多选）当 m ， n ∈N＋， m ＞ n 时，下列选项正确的有（ ）
解析： 由组合数的性质 ＝ ＋ 及 要有意义知
A、B正确，C、D错误.
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6. （多选）某城市的街道如图，某人要从 A 地前往 B 地，则路程最短
的走法有（ ）
解析： 要从 A 地到 B 地，最短走法是只往右走或往下走.以往右
划分，必向右走3段，所以有 ＝10种走法；以往下划分，必向下
走2段，所以有 ＝10种走法.故选A、C.
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7. 方程 － ＝ 的解集是 .
解析：因为 ＝ ＋ ，所以 ＝ ，由组合数公式
的性质，得 x －1＝2 x ＋2或 x －1＋2 x ＋2＝16，解得 x ＝－3（舍
去）或 x ＝5.
{5}
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8. 不等式 － n ＜5的解集为 .
解析：由 － n ＜5，得 － n ＜5，∴ n2－3 n －10＜0.解得
－2＜ n ＜5.由题设条件知 n ≥2，且 n ∈N＋，∴ n ＝2，3，4.故原不
等式的解集为{2，3，4}.
{2，3，4}
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9. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，
那么互不相同的分配方案共有 种（用数字作答）.
解析：每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3
人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有 ＋
＋ ＋ ＝112种分配方案.
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10. 现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查.
（1）恰有1件是次品的抽法有多少种？
解：分两步：
第1步，从2件次品中任取1件，有 种抽法；
第2步，从8件正品中任取2件，有 种抽法；
由分步乘法计数原理可知，不同的抽法种数为 × ＝2×
＝56.
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（2）至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：法一 分两类：
第1类，抽出1件次品，抽法种数为 × ；
第2类，抽出2件次品，抽法种数为 × .
由分类加法计数原理知，不同的抽法种数为 × ＋ ×
＝56＋8＝64.
法二 从10件产品中任取3件的抽法有 种，不含次品的抽法有
种，所以至少有1件是次品的抽法种数为 － ＝64.
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11. 2021年江苏省实行“3＋1＋2”新高考模式，学生选科时语文、数
学、外语3科必选，物理、历史2科中选择1科，政治、地理、化
学、生物4科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（ ）
A. 6种 B. 12种
C. 18种 D. 24种
解析： 从物理、历史2科中选择1科，有 ＝2（种）选法，从
政治、地理、化学、生物4科中选择2科，有 ＝6（种）选法，所
以学生不同的选科方案共有2×6＝12（种）.故选B.
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12. 从2名教师和5名学生中选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求
入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数为
（ ）
A. 20 B. 25
C. 30 D. 55
解析： 分两种情况：①选1名教师，2名学生，有 ＝20
（种）方案；②选2名教师，1名学生，有 ＝5（种）方案.所
以不同的选取方案的种数为20＋5＝25.故选B.
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13. （多选）现安排高二年级 A ， B ， C 三名同学到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人
选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A. 所有可能的安排方法有34种
B. 若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C. 若同学 A 必须去甲工厂，则不同的安排方法有16种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
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解析： 对于A，每人有4种选择，则三人一共有4×4×4＝43
种方法，A错误；对于B，分三种情况讨论：①若有1名同学去甲工
厂，则去甲工厂的同学选派情况为 种，另外两名同学的安排方
法有3×3＝9种，此种情况共有 ×9＝27种安排方法.②若有两名
同学去甲工厂，则选派情况有 ＝3种，另外一名同学的安排方法
有3种，此种情况共有 ×3＝9种安排方法.③若三名同学都去甲
工厂，此种情况唯一，则共有27＋9＋1＝37种安排方法，B正确；
对于C，若 A 必去甲工厂，则 B ， C 两名同学各有4种安排方法，共
有4×4＝16种安排方法，C正确；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，则共有 × × ＝24种安排方法，D正确.故选B、C、D.
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14. 下列有关排列数、组合数计算正确的是 （填序号）.
① ＝ ；
②（ n ＋2）（ n ＋1） ＝ ；
③ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ；
④ ＋ 是一个常数.
②④
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解析：∵ ＝ ，故①不正确；
∵（ n ＋2）（ n ＋1） ＝（ n ＋2）（ n ＋1） n （ n －1）…（ n
－ m ＋1）＝ ，故②正确；
∵ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ －1
＝ ＋ ＋ ＋…＋ －1＝ ＋ ＋…＋ －1＝
－1，故③不正确；
∵ ＋ 中 n 应满足
解得 n ＝2.∴ ＋ ＝ ＋ ＝2.故④正确.
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15. 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：
（1）小组赛：经抽签分甲、乙两组，每组六支球队进行单循环比
赛（参加比赛的6支球队必须分别两两交锋一次），以积分
及净胜球数取前两名.
解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队
的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元
素中任取2个元素的组合数，共有两组，所以小组赛共要比
赛2 ＝2× ＝30（场）.
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（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二
名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜负.
解：半决赛中甲组第一名与乙组第二名（乙组的第一
名与甲组的第二名）主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛
2 ＝2×1×2＝4（场）.
（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问全部赛程共需比赛多少场？
解：决赛只需比赛一场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35（场）.
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16. （1）解方程：3 ＝5 ；
解：由排列数和组合数公式，原方程可化为3·
＝5· ，则 ＝ ，
即为（ x －3）（ x －6）＝40.所以 x2－9 x －22＝0，解之可得
x ＝11或 x ＝－2.经检验知 x ＝11是原方程的解，所以方程的
解为 x ＝11.
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（2）求 ＋ 的值.
解：由组合数的定义知
所以7≤ r ≤9.又 r ∈N＋，所以 r ＝7，8，9，
当 r ＝7时，原式＝ ＋ ＝46；
当 r ＝8时，原式＝ ＋ ＝20；
当 r ＝9时，原式＝ ＋ ＝46.
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谢 谢 观 看！
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