第二课时 组合的综合应用
1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A.14 B.24
C.28 D.48
2.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A.70种 B.80种
C.100种 D.140种
3.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告.要求最后必须播放公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A.120种 B.48种
C.36种 D.18种
4.四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（ ）
A.30种 B.33种
C.36种 D.39种
5.（多选）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
A.若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
6.（多选）关于以正方体的顶点为顶点的几何体，下列叙述正确的是（ ）
A.若几何体为正四面体，则只有1个
B.若几何体为三棱柱，则共有12个
C.若几何体为四棱锥，则共有48个
D.若几何体为三棱锥，则共有58个
7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有 种.
8.某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有 种不同的选法.
9.现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有 种.
10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）.现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多有1张，则不同取法的种数为（ ）
A.232 B.252
C.472 D.484
12.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）
A.144种 B.288种
C.360种 D.720种
13.（多选）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C.分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D.分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
14.安排高二年级一、二两个班一天的数学、语文、外语、物理、体育以及一班的化学和二班的政治各6节课.要求体育课两个班一起上，但不能排在第1节.由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节.语文、数学、外语、物理四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课方法共有 种.
15.某单位现需要将“先进个人”“业务精英”“道德模范”“新长征突击手”“年度优秀员工”五种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有多少种？
16.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.
（1）由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
（2）由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
（3）图中共有多少个矩形？
第二课时 组合的综合应用
1.A 用间接法得不同选法有－1＝14种，故选A.
2.A 法一（直接法） 分两种情况：一男两女，有＝5×6＝30种；两男一女，有＝10×4＝40种，共计70种.
法二（间接法） 任意选取有＝84种，其中都是男医生的有＝10种，都是女医生的有＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝70种.
3.C 最后必须播放公益广告有种，2个公益广告不能连续播放，倒数第2个广告有种，故共有××＝36种不同的播放方式.
4.B 如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共面，共有3种取法；含顶点A的三条棱上都各有3个点，它们与所对棱的中点共面，此时共有3种取法.故与顶点A共面的3个点的取法共有3＋3＝33（种）.
5.BD 若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126种，故C错误，D正确.故选B、D.
6.BCD 对于A，如图，四面体ACB1D1，A1BDC1均为正四面体，所以A错误；对于B，在正方体中，以正方体的顶点为顶点的三棱柱有：三棱柱ABD-A1B1D1，BCD-B1C1D1，ABC-A1B1C1，ACD-A1C1D1，ABA1-DCD1，A1BB1-D1CC1，ABB1-DCC1，AB1A1-DC1D1，ADA1-BCB1，A1DD1-B1CC1，ADD1-BCC1，AA1D1-BB1C1，共12个，所以B正确；对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四点共面的情况包括六个表面和六个对角面共12种情况，以每个面作为底面，其余的四个点中的任意一个点为顶点可构成四棱锥，所以共有12×4＝48（个），所以C正确；对于D，在正方体中的8个顶点中任取4个点有＝70种情况，其中四点共面的情况包括六个表面和六个对角面，共12种情况，所以共有70－12＝58个三棱锥，所以D正确.故选B、C、D.
7.36 解析：把4名学生分成3组有种方法，再把3组学生分配到3所学校有种方法，故共有＝36（种）保送方案.
8.714 解析：若只有1名队长入选，则选法种数为·；若两名队长均入选，则选法种数为，故不同选法有·＋＝714（种）.
9.180 解析：6位游客选2人去A风景区，有种，余下4位游客选2人去B风景区，有种，余下2人去C，D风景区，有种，所以分配方案共有＝180（种）.
10.解：可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有种选法.
根据分类加法计数原理，一共有＋＋＝42（种）不同的选法.
11.C 若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有××＝64（种），若有2张颜色相同，则有＝144（种）；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有×××＝192（种），若同色，则有××＝72（种），所以共有64＋144＋192＋72＝472（种）.
12.A 第一步，将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》之外的四首诗词进行排列，因为《将进酒》排在《望岳》前面，所以不同排法有＝12（种）；第二步，排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，第一步中的4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，排法有＝12（种）.由分步乘法计数原理，后六场的排法有12×12＝144（种）.
13.ABC 对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有＝90种，故A正确；对B，先把6本书分成3堆：4本，1本，1本，有种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有＝90种，故B正确；对C，6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙、丁，有种方法.所以不同的分配方法有＝180种，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2本，2本，1本，1本，有·种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人， 所以不同的分配方法有··＝1 080种，故D错误.
14.5 400 解析：先安排体育课（不能在第1节），有种.一班的化学和二班的政治在同一节，有种.剩下4门课，不能同时上一种课.先安排一班，有种，不妨设第1，2，3，4节的顺序，二班的第1节对应一班选出的第2，3，4节中的某一节，比如第2节.此时二班的第2节对应一班的第1，3节或第1，4节或第3，4节，共3种，故不同的排课方法共有×3×3＝5 400种.
15.解：将五种荣誉分给3人，共有（3，1，1）和（2，2，1）两类.①当为（3，1，1）时，共有＝60（种），“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有＝18（种），故有60－18＝42（种）；②当为（2，2，1）时，共有·＝90（种），“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有＝18（种），故有90－18＝72（种）.综上，不同的分配方法共有42＋72＝114（种）.
16.解：（1）根据题意，由点A沿着题图中的线段到达点E的最近路线共需要移动6次，其中向右移动3次，向上移动3次，故由点A到达点E的最近路线的条数为·＝20.
（2）设点G，H，P的位置如图所示.
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着A→E→C，共有··＝60（条）最近路线；
②沿着A→G→C，共有···＝60（条）最近路线；
③沿着A→H→C，共有··＝40（条）最近路线；
④沿着A→P→C，共有·＝15（条）最近路线.
故由点A沿着题图中的线段到达点C的最近路线有60＋60＋40＋15＝175（条）.
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在CD上，共有·＝90个矩形；
②矩形的一条边在CD上，共有·＝12个矩形.
故题图中共有90＋12＝102个矩形.
2 / 2第二课时 组合的综合应用
题型一 有限制条件的组合问题
【例1】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）至少有一名队长当选；
（2）至多有两名女生当选；
（3）既要有队长，又要有女生当选.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
通性通法
有限制条件的组合问题分类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
【跟踪训练】
某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有（ ）
A.210种 B.420种
C.56种 D.22种
题型二 几何图形组合问题
【例2】 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
（2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
尝试解答
通性通法
解答几何图形组合问题的策略
（1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强；
（2）解答几何图形组合问题的方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可；
（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
【跟踪训练】
空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（ ）
A.205 B.110
C.204 D.200
题型三 组合中的分组、分配问题
【例3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
尝试解答
通性通法
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种.
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题.可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
【跟踪训练】
教育部为了发展西部地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有 种不同的分派方法.
题型四 排列与组合的综合运用
【例4】 （多选）我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”.某老师将其中的《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》六本书分给五名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
通性通法
1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
2.解排列、组合综合问题时要注意的两点
（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题；
（2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法.【跟踪训练】
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
1.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A.60种 B.70种
C.75种 D.150种
2.某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有（ ）
A.种 B.种
C.种 D.种
3.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）
A.96种 B.120种
C.480种 D.720种
4.某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏，但两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，那么熄灯方法共有 种.（用数字作答）
5.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
用隔板法解相同元素的分配问题
“n个相同元素分成m组（每组的任务不同）”的问题，一般可用隔板法求解.
“隔板法”也称“挡板法”，是解决相同元素的分配问题的常用方法.
“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组（每组的任务不同）”的问题，一般可用“隔板法”解：
（1）当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N＝种，即给n个元素的中间（n－1）个空格中加入（m－1）个“隔板”；
（2）任意分组，可能出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有N＝种，即将n个相同元素与（m－1）个相同“隔板”进行排序，在（n＋m－1）个位置中选（m－1）个安排“隔板”.
【例】 有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班.
（1）每班至少1个名额，有多少种分配方案？
（2）每班至少2个名额，有多少种分配方案？
（3）可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
尝试解答
第二课时 组合的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一 至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有·＋·＝825（种）.
法二 采用排除法有－＝825（种）.
（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有·＋·＋＝966（种）.
（3）分两种情况：
第一类：女队长当选，有种；
第二类：女队长不当选，则男队长当选，有·＋·＋·＋种.
故共有＋·＋·＋·＋＝790（种）.
母题探究
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有＝462（种）选法.
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：＋＝660（种）选法.
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）.
跟踪训练
A 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有＋＝210（种）.
【例2】 解：（1）法一 可作出三角形＋·＋·＝116（个）.
其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36（个）.
法二 可作三角形－＝116（个），
其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36（个）.
（2）可作出四边形＋·＋·＝360（个）.
跟踪训练
A 法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为＋＋＋＝205.
法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为－＝205.
【例3】 解：（1）根据分步乘法计数原理得有＝90种.
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步乘法计数原理可得：＝x，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.
（3）这是“不均匀分组”问题，一共有＝60种方法.
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有＝360种方法.
跟踪训练
90 解析：先把6个毕业生平均分成3组，有＝15（种）方法.再将3组毕业生分到3所学校，有＝6（种）方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·＝90（种）分派方法.
【例4】 AD 依题意，六本书分给五名数学爱好者，其中每人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书.思路一，分三步完成：第一步，选择一个人，有种选法；第二步，为这个人选两本书，有种选法；第三步，剩余四人各分得一本书，有种选法.故由分步乘法计数原理知，不同的分配方法的种数为，故A正确.思路二，分两步完成：第一步，先分组，选择两本书，将书分成“2＋1＋1＋1＋1”的五组，有种选法；第二步，将五组书分配给五个人，有种选法.故由分步乘法计数原理知，不同的分配方法的种数为，故D正确.故选A、D.
跟踪训练
D 法一 由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为··＝36（种），或列式为··＝3××2＝36（种）.故选D.
法二 先将4项工作分成三组，其中一组2项，方法数为，再将三组分配给3名志愿者，方法数为，由分步乘法计数原理，得＝6×6＝36（种）.
随堂检测
1.C ＝15×5＝75，故选C.
2.D 每个被选的人都无顺序差别，是组合问题.分两步完成：第一步，选女工，有种选法；第二步，选男工，有种选法.故共有种不同的选法.
3.C 由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有＝4种，其余人的拿法有＝120种，则梨子的不同分法共有4×120＝480种.
4.56 解析：依题意，问题相当于在已排成一行的9个元素间的8个空隙中，选3个插入3个相同的元素，方法种数为＝56.故熄灯方法共有56种.
5.36 解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36种.
拓视野 用隔板法解相同元素的分配问题
【例】 解：（1）因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有＝36（种）分法.
（2）要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，应用“隔板法”，可得有＝15（种）分法.
（3）因为允许某些班级没有名额，所以“隔板”可以相邻，可以把10个名额和2个“隔板”共12个元素进行排序，只要在12个位置中选好2个位置安排“隔板”，就可把名额分成3份，然后对应地分给3个班级，（比如“隔板”相邻了，说明2班名额为0个）这样每一种安置“隔板”的方法对应一种分法，分配方案共有＝66（种）.
4 / 4(共66张PPT)
第二课时
组合的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 有限制条件的组合问题
【例1】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、
女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多
少种选法？
（1）至少有一名队长当选；
解：法一 至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和
两名队长，故共有 · ＋ · ＝825（种）.
法二 采用排除法有 － ＝825（种）.
解：至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、
没有女生，故共有 · ＋ · ＋ ＝966（种）.
（2）至多有两名女生当选；
（3）既要有队长，又要有女生当选.
解：分两种情况：
第一类：女队长当选，有 种；
第二类：女队长不当选，则男队长当选，有 · ＋ · ＋ ·
＋ 种.
故共有 ＋ · ＋ · ＋ · ＋ ＝790（种）.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5
人，有 ＝462（种）选法.
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的
选法有： ＋ ＝660（种）选法.
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）.
通性通法
有限制条件的组合问题分类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，
“不含”的元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类
法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立
面，确保不重不漏.
【跟踪训练】
某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者
可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种素菜
和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天不同
午餐的搭配方法共有（ ）
A. 210种 B. 420种
C. 56种 D. 22种
解析：由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有 ＋ ＝210（种）.
题型二 几何图形组合问题
【例2】 如图，在以 AB 为直径的半圆周上，有异于 A ， B 的六个点
C1， C2，…， C6，线段 AB 上有异于 A ， B 的四个点 D1， D2， D3，
D4.
（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1点的
有多少个？
解：法一 可作出三角形 ＋ · ＋ · ＝116（个）.
其中以 C1为顶点的三角形有 ＋ · ＋ ＝36（个）.
法二 可作三角形 － ＝116（个），
其中以 C1为顶点的三角形有 ＋ · ＋ ＝36（个）.
解：可作出四边形 ＋ · ＋ · ＝360（个）.
（2）以图中的12个点（包括 A ， B ）中的4个点为顶点，可作出多少
个四边形？
通性通法
解答几何图形组合问题的策略
（1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目
多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组
合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强；
（2）解答几何图形组合问题的方法与一般的组合问题基本一样，只
要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可；
（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的
情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
【跟踪训练】
空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点
共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数
为（ ）
A. 205 B. 110 C. 204 D. 200
解析： 法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3
个进行分类，则得到所有的取法总数为 ＋ ＋ ＋
＝205.
法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为 － ＝205.
题型三 组合中的分组、分配问题
【例3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
解：根据分步乘法计数原理得有 ＝90种.
（2）分为三份，每份两本；
解：分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，
这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x
种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方
法.根据分步乘法计数原理可得： ＝ x ，所以 x ＝
＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
解：这是“不均匀分组”问题，一共有 ＝60种方法.
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
解：在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
＝360种方法.
通性通法
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种.
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n 组均匀，最后必须除
以 n ！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题.可以按要求逐个分配，也可以分组后
再分配.
【跟踪训练】
教育部为了发展西部地区教育，在全国重点师范大学免费培养
教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培
养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有 种
不同的分派方法.
解析：先把6个毕业生平均分成3组，有 ＝15（种）方法.
再将3组毕业生分到3所学校，有 ＝6（种）方法，故6个毕业
生平均分到3所学校，共有 · ＝90（种）分派方法.
90
题型四 排列与组合的综合运用
【例4】 （多选）我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》《九
章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》
《海岛算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十
书”.某老师将其中的《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五经
算术》《缀术》和《缉古算经》六本书分给五名数学爱好者，其中每
人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ）
解析： 依题意，六本书分给五名数学爱好者，其中每人至少一
本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书.思路一，分三步完
成：第一步，选择一个人，有 种选法；第二步，为这个人选两本
书，有 种选法；第三步，剩余四人各分得一本书，有 种选法.故
由分步乘法计数原理知，不同的分配方法的种数为 ，故A正
确.思路二，分两步完成：第一步，先分组，选择两本书，将书分成“2
＋1＋1＋1＋1”的五组，有 种选法；第二步，将五组书分配给五个
人，有 种选法.故由分步乘法计数原理知，不同的分配方法的种数
为 ，故D正确.故选A、D.
通性通法
1. 解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合
题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
2. 解排列、组合综合问题时要注意的两点
（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是
组合问题，有序的问题是排列问题；
（2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条
件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合
问题的一般方法.
【跟踪训练】
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由
1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A. 12种 B. 18种
C. 24种 D. 36种
解析： 法一 由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他
2人各完成1项工作，可得安排方式为 · · ＝36（种），
或列式为 · · ＝3× ×2＝36（种）.故选D.
法二 先将4项工作分成三组，其中一组2项，方法数为 ，再将三组分配给3名志愿者，方法数为 ，由分步乘法计数原理，得 ＝6×6＝36（种）.
1. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一
个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A. 60种 B. 70种
C. 75种 D. 150种
解析： ＝15×5＝75，故选C.
2. 某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援
另一施工小组，不同的选法有（ ）
解析： 每个被选的人都无顺序差别，是组合问题.分两步完成：
第一步，选女工，有 种选法；第二步，选男工，有 种选法.故
共有 种不同的选法.
3. 小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，
一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔
拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的
一个，则梨子的不同分法共有（ ）
A. 96种 B. 120种
C. 480种 D. 720种
解析： 由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、
姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有 ＝4种，其余人的拿法有
＝120种，则梨子的不同分法共有4×120＝480种.
4. 某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用电而不影响正常的照
明，可以熄灭其中的3盏，但两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻
的2盏，那么熄灯方法共有 种.（用数字作答）
解析：依题意，问题相当于在已排成一行的9个元素间的8个空隙
中，选3个插入3个相同的元素，方法种数为 ＝56.故熄灯方法共
有56种.
56
5.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，
每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其
中1组2人，其余2组各1人，有 ＝6种安排方法；第二步，将分好
的3组安排到对应的3个小区，有 ＝6种安排方法，所以不同的安
排方法有6×6＝36种.
36
用隔板法解相同元素的分配问题
“ n 个相同元素分成 m 组（每组的任务不同）”的问题，一般可用隔板
法求解.
“隔板法”也称“挡板法”，是解决相同元素的分配问题的常用方法.
“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“ n 个相同元素有序分成 m 组
（每组的任务不同）”的问题，一般可用“隔板法”解：
（1）当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有 N ＝ 种，即给 n 个元素的中间（ n －1）个空格中加入（ m －1）个“隔板”；
（2）任意分组，可能出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方
式有 N ＝ 种，即将 n 个相同元素与（ m －1）个相同
“隔板”进行排序，在（ n ＋ m －1）个位置中选（ m －1）个安
排“隔板”.
【例】 有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班.
（1）每班至少1个名额，有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有 ＝36（种）分法.
解：要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，
分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个
名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，应用“隔板法”，可
得有 ＝15（种）分法.
（2）每班至少2个名额，有多少种分配方案？
解：因为允许某些班级没有名额，所以“隔板”可以相邻，可
以把10个名额和2个“隔板”共12个元素进行排序，只要在12个
位置中选好2个位置安排“隔板”，就可把名额分成3份，然后对
应地分给3个班级，（比如“隔板”相邻了，说明2班名额为0
个）这样每一种安置“隔板”的方法对应一种分法，分配方案共
有 ＝66（种）.
（3）可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果
要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A. 14 B. 24 C. 28 D. 48
解析： 用间接法得不同选法有 －1＝14种，故选A.
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2. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求
其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A. 70种 B. 80种
C. 100种 D. 140种
解析： 法一（直接法）：分两种情况：一男两女，有 ＝
5×6＝30种；两男一女，有 ＝10×4＝40种，共计70种.
法二（间接法）：任意选取有 ＝84种，其中都是男医生的有
＝10种，都是女医生的有 ＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝
70种.
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3. 某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同
的公益广告.要求最后必须播放公益广告，且2个公益广告不能连续
播放，则不同的播放方式有（ ）
A. 120种 B. 48种
C. 36种 D. 18种
解析： 最后必须播放公益广告有 种，2个公益广告不能连续
播放，倒数第2个广告有 种，故共有 × × ＝36种不同的
播放方式.
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4. 四面体的一个顶点为 A ，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它
们和点 A 在同一平面上，不同的取法有（ ）
A. 30种 B. 33种
C. 36种 D. 39种
解析： 如图，含顶点 A 的四面体的3个面上，除点 A
外都有5个点，从中取出3个点必与点 A 共面，共有3
种取法；含顶点 A 的三条棱上都各有3个点，它们与所
对棱的中点共面，此时共有3种取法.故与顶点 A 共面的3
个点的取法共有3 ＋3＝33（种）.
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5. （多选）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进
社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本
次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班
都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
C. 若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D. 若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
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解析： 若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个
班级至少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故A错误；若1班有
除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级
至少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故B正确；若每个班至
少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名
额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1
个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有
＝126种，故C错误，D正确.故选B、D.
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6. （多选）关于以正方体的顶点为顶点的几何体，下列叙述正确的是
（ ）
A. 若几何体为正四面体，则只有1个
B. 若几何体为三棱柱，则共有12个
C. 若几何体为四棱锥，则共有48个
D. 若几何体为三棱锥，则共有58个
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解析： 对于A，如图，四面体 ACB1 D1， A1
BDC1均为正四面体，所以A错误；对于B，在正
方体中，以正方体的顶点为顶点的三棱柱有：三
棱柱 ABD - A1 B1 D1， BCD - B1 C1 D1， ABC - A1 B1
C1， ACD - A1 C1 D1， ABA1- DCD1， A1 BB1- D1 CC1， ABB1- DCC1， AB1 A1- DC1 D1， ADA1- BCB1， A1 DD1- B1 CC1， ADD1- BCC1， AA1 D1- BB1 C1，共12个，所以B正确；对于C，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，四点共面的情况包括六个表面和六个对角面共12种情况，以每个面作为底面，其余的四个点中的任意一个点为顶点可构成四棱锥，所以共有12×4＝48（个），所以C正确；
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对于D，在正方体中的8个顶点中任取4个点有 ＝
70种情况，其中四点共面的情况包括六个表面和六
个对角面，共12种情况，所以共有70－12＝58个三
棱锥，所以D正确.故选B、C、D.
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7. 4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有 种.
解析：把4名学生分成3组有 种方法，再把3组学生分配到3所学校
有 种方法，故共有 ＝36（种）保送方案.
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8. 某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上
最少有1名队长，那么共有 种不同的选法.
解析：若只有1名队长入选，则选法种数为 · ；若两名队长均
入选，则选法种数为 ，故不同选法有 · ＋ ＝714（种）.
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9. 现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中 A ， B 风景区门票各2
张， C ， D 风景区门票各1张，则不同的分配方案共有 种.
解析：6位游客选2人去 A 风景区，有 种，余下4位游客选2人去 B
风景区，有 种，余下2人去 C ， D 风景区，有 种，所以分配方
案共有 ＝180（种）.
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10. 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语
翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）.现在要从中挑选5
名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语
翻译工作，则有多少种不同的选法？
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解：可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有
种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有
种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有
种选法.
根据分类加法计数原理，一共有 ＋ ＋ ＝42
（种）不同的选法.
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11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从
中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多
有1张，则不同取法的种数为（ ）
A. 232 B. 252
C. 472 D. 484
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解析： 若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，
若都不同色，则有 × × ＝64（种），若有2张颜色相同，
则有 ＝144（种）；若红色卡片有1张，则剩余2张若不
同色，有 × × × ＝192（种），若同色，则有 ×
× ＝72（种），所以共有64＋144＋192＋72＝472（种）.
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12. 《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首
特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，
别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀
州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望
岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均
不排在最后，则后六场的排法有（ ）
A. 144种 B. 288种
C. 360种 D. 720种
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解析： 第一步，将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》之外
的四首诗词进行排列，因为《将进酒》排在《望岳》前面，所以
不同排法有 ＝12（种）；第二步，排《山居秋暝》与《送杜少
府之任蜀州》，第一步中的4首诗词排好后，不含最后，有4个空
位，在4个空位中任选2个排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀
州》，排法有 ＝12（种）.由分步乘法计数原理，后六场的排法
有12×12＝144（种）.
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13. （多选）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正
确的是（ ）
A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B. 分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C. 分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D. 分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160
种分法
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解析： 对A，先从6本书中分给甲2本，有 种方法；再从
其余的4本书中分给乙2本，有 种方法；最后的2本书给丙，有
种方法.所以不同的分配方法有 ＝90种，故A正确；对
B，先把6本书分成3堆：4本，1本，1本，有 种方法；再分给
甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有 ＝90种，故B正
确；对C，6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有 种方
法；其余2本分给丙、丁，有 种方法.所以不同的分配方法有
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＝180种，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2
本，2本，1本，1本，有 · 种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人， 所以不同的分配方法有 · · ＝1 080种，故D错误.
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14. 安排高二年级一、二两个班一天的数学、语文、外语、物理、体
育以及一班的化学和二班的政治各6节课.要求体育课两个班一起
上，但不能排在第1节.由于选课之故，一班的化学和二班的政治要
安排在同一节.语文、数学、外语、物理四科由同一任课教师分班
上课，则不同的排课方法共有 种.
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解析：先安排体育课（不能在第1节），有 种.一班的化学和二
班的政治在同一节，有 种.剩下4门课，不能同时上一种课.先安
排一班，有 种，不妨设第1，2，3，4节的顺序，二班的第1节对
应一班选出的第2，3，4节中的某一节，比如第2节.此时二班的第2
节对应一班的第1，3节或第1，4节或第3，4节，共3种，故不同的
排课方法共有 ×3×3＝5 400种.
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15. 某单位现需要将“先进个人”“业务精英”“道德模范”“新长征突击
手”“年度优秀员工”五种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种
荣誉，五种荣誉
中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配
方法共有多少种？
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解：将五种荣誉分给3人，共有（3，1，1）和（2，2，1）两类.①
当为（3，1，1）时，共有 ＝60（种），“道德模范”与“新长
征突击手”分给一个人共有 ＝18（种），故有60－18＝42
（种）；②当为（2，2，1）时，共有 · ＝90（种），“道德
模范”与“新长征突击手”分给一个人共有 ＝18（种），故有
90－18＝72（种）.综上，不同的分配方法共有42＋72＝114
（种）.
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16. 如图，已知图形 ABCDEF ，内部连有线段.
（1）由点 A 沿着图中的线段到达点 E 的最近路线有多少条？
解：根据题意，由点 A 沿着题图中的线段到达点 E 的最近路线共需要移动6次，其中向右移动3次，向上移动3次，故由点 A 到达点 E 的最近路线的条数为 · ＝20.
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（2）由点 A 沿着图中的线段到达点 C 的最近路线有多少条？
解：设点 G ， H ， P 的位置如图所示.则点 A 沿着图中的线段到达点 C 的最近路线可分为4种情况：
①沿着 A → E → C ，共有 · · ＝60（条）最近路线；
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②沿着 A → G → C ，共有 · · · ＝60（条）最近路线；
③沿着 A → H → C ，共有 · · ＝40（条）最近路线；
④沿着 A → P → C ，共有 · ＝15（条）最近路线.
故由点 A 沿着题图中的线段到达点 C 的最
近路线有60＋60＋40＋15＝175（条）.
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（3）图中共有多少个矩形？
解：由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横
线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在 CD 上，共有 · ＝90个矩形；
②矩形的一条边在 CD 上，共有 · ＝12个矩形.
故题图中共有90＋12＝102个矩形.
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