培优课 排列与组合的综合问题
1.某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法种数为（ ）
A.16 B.24
C.12 D.36
2.某学校组织庆祝中国共产党成立102周年党史知识竞赛，仅有三位同学进入最后的决赛.若这三位同学从A，B，C三类试题中随机选择一类试题作答，且各自的选择相互独立，则这三类试题都有同学选择的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3.不等式≤12的解集为（ ）
A.{n∣2≤n≤5，n∈N} B.{n∣3≤n≤6，n∈N}
C.{5} D.{5，6}
4.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左、右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（ ）
A.10条 B.8条
C.6条 D.4条
5.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（ ）
A.60个 B.53个
C.20个 D.35个
6.已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案种数为（ ）
A.30 B.40
C.50 D.80
7.2023年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支到救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）
A.36 B.81
C.120 D.180
8.《数术记遗》是我国古代的一部数学著作，该书记述了筹算、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算等十三种计算器械的使用方法.某研究性学习小组的6人（4男2女）分成两组，分别收集整理八卦算、九宫算的相关资料.若两个女生不单独成组，且每组至多4人，则不同的分配方法共有（ ）
A.20种 B.24种
C.28种 D.48种
9.（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B.有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C.某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D.从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
10.（多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理.学生根据高校专业的要求，结合自身特长兴趣，首先从物理、历史2个科目中选择1个，再从政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个，考试成绩计入考生总分，作为高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中选择3个作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A.若任意选，则选法总数为
B.若化学必选，则选法总数为
C.若政治和地理至少选择1科，则选法总数为
D.若物理必选，化学、生物至少选择1科，则选法总数为＋1
11.（多选）有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某灾区.若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列能表示N的算式是（ ）
A.－
B.＋＋＋
C.－－
D.
12.（多选）某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（ ）
A.若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种
B.若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种
C.若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种
D.若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有种
13.若＝，则x＝ .
14.如图，提供4种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 种.
15.冬季供暖时，供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种.
16.某校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有 种不同的选法.
17.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c是集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中3个不同的数，求坐标原点在该函数图象即抛物线内部的二次函数的个数.
18.杭州亚运会期间，相关部门将6名志愿者分配到亚运会三个不同的运动场馆做服务工作，每个岗位至少1人.
（1）一共有多少种不同的分配方案？
（2）若6名志愿者中的甲和乙必须分配在同一个场馆工作，则共有多少种不同的分配方案？
培优课 排列与组合的综合问题
1.B 甲先从4门课程中选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3门中选择1门，有3种选法，甲、乙再从剩下的2门中共同选择1门，有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为4×3×2＝24种，故选B.
2.B 由题意可知，这三位同学从A，B，C三类试题中随机选择一类试题作答时，每个同学均有3种选择，则共有33＝27种情况；其中，这三类试题都有同学选择的情况，则共有＝3×2×1＝6种；所以，这三类试题都有同学选择的概率P＝＝，故选B.
3.C 由≤12，得n（n－1）（n－2）·（n－3）（n－4）≤12×且n≥5，化简整理得n2－7n＋10≤0，解得2≤n≤5，又因为n≥5，所以n＝5，故选C.
4.C 由题意可知：“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，竖走两步；其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有＝3种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有＝2种走法.∴能顺带吃掉“炮”的可能路线共有3×2＝6（条），故选C.
5.C 由题意得：十位数只能是3，4，5，当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有＝2个；当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有＝6个；当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有＝12个；所以“伞数”共有20个，故选C.
6.C 喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人，当喜剧片2人且动作片2人时，共有种观看方案，当喜剧片3人且动作片2人时，共有种观看方案，当喜剧片2人且动作片3人时，共有种观看方案，所以一共有＋＋＝50种观看方案，故选C.
7.D 先从5支志愿团队中任选1支到救援物资接收点服务，有＝5种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有＝6×6＝36种不同的选派方案，所以，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案有＝5×36＝180种，故选D.
8.D ①分3，3的两组时，不会出现两个女生单独成组的情况，有种分组方法，再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有种情况，此时共有×＝20种安排方式；②分2，4的两组时，有＝15种分组方法，除去1种两个女生单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有种情况，此时共有14×＝28种安排方式，综上共有20＋28＝48种安排方式.故选D.
9.BCD 对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.故选B、C、D.
10.BD 若任意选科，选法总数为，故A错误.若化学必选，则选法总数为，故B正确.若政治和地理至少选1门，则选法总数为×（＋1），故C错误.若物理必选，化学、生物至少选1门，选法总数为＋1，故D正确.故选B、D.
11.BC 因为有13名医生，其中女医生6人，所以男医生7人.A：表示选派1个男医生4个女医生，因此－表示不选派1个男医生4个女医生，这里包括不选派男医生，显然不符合题意；B：表示选派2个男医生3个女医生，表示选派3个男医生2个女医生，表示选派4个男医生1个女医生，表示选派5个男医生，显然＋＋＋表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；C：表示选派1个男医生4个女医生，表示选派5个女医生，显然－－表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；D：表示先从7名男医生中选2名男医生，再从剩下全部医生中选3名医生，显然不符合题意，故选B、C.
12.AC 对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种，A正确；对于选项B，甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲、乙、丙三人中选出一人，有种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有种方法，故不同的安排方法共有种，B错误；对于选项C，甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲、乙视为一个整体，与除甲、乙、丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有种，C正确；选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有种，完成第二步的方法有种，所以不同的安排方法共有种，D错误；故选A、C.
13.4或2 解析：因为＝，所以2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝8，解得x＝4或x＝2，经检验成立.
14.48 解析：先对B区域涂色，共有4种不同的涂法，再对D区域涂色，共有3种不同的涂法，再对A区域涂色，共有2种不同的涂法，最后对C区域涂色，共有2种不同的涂法，根据分步乘法计数原理，则不同的涂法共有4×3×2×2＝48种.
15.150 解析：将5名水暖工分成2，2，1或3，1，1三组，共有＋＝25（种）分法，将这三组水暖工分配到3个小区共有＝6（种）分法，由分步乘法计数原理，分配方案共有25×6＝150（种）.
16.216 解析：根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.第一类：2个只会跳舞的都不选，有·＝16种；第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有··＝120种；第三类：2个只会跳舞的全入选，有··＝80种，所以共有216种不同的选法.
17.解：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征分析：
当a＞0时，抛物线开口向上，坐标原点在其内部等价于f（0）＝c＜0；
当a＜0时，抛物线开口向下，原点在其内部等价于f（0）＝c＞0.
所以对抛物线y＝ax2＋bx＋c，原点在其内部等价于af（0）＝ac＜0，于是在确定二次函数的解析式时，先定一正一负的a和c，再定b，
因此满足题设的二次函数共有＝144个.
18.解：（1）当分配的人数分别是1人，1人，4人时，共有＝90种分配方案；
当分配的人数分别是3人，2人，1人时，共有＝360种分配方案；
当分配的人数分别是2人，2人，2人时，共有＝90种分配方案.
所以一共有90＋360＋90＝540种不同的分配方案.
（2）把甲、乙两人看作一个整体，6个人变成了5个元素，再把这5个元素分成3组，
若分配的元素分别是1人，1人，3人时，共有＝60种分配方案；
若分配的元素分别是2人，2人，1人时，共有＝90种分配方案.
则有60＋90＝150种不同的分配方案.
3 / 3 排列与组合的综合问题
题型一 排列中的定序问题
【例1】 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
尝试解答
通性通法
部分元素定序的排列问题的两种解法
一是把不要求定序的元素首先排列，剩余的位置就是定序的元素，这些定序的元素只有一种排法，所以问题就转化为求不要求定序的元素有多少种排法；
二是用“倍缩法”，有（m＋n）个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这（m＋n）个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法.
【跟踪训练】
某年元宵节灯展后，如图所示悬挂着的六盏不同的花灯需要取下，每次取一盏，甲比乙先取下，丙比丁先取下，戊比己先取下，则共有 种不同的取法.（用数字作答）
题型二 选派问题
【例2】 有4名男医生，3名女医生，从中选2名男医生，1名女医生到3个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则不同的分派方案共有 种.（用数字作答）
尝试解答
通性通法
选派问题的解题策略
（1）解选派问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.因此很多同类型试题都可转化为选派问题进行求解；
（2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，这是处理选派问题的一般方法.
【跟踪训练】
某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从6人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有 种.（用数字作答）
题型三 排列与组合的综合运用
【例3】 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念.两者一经发布，深受大家喜爱.某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航6人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（ ）
A.20种 B.28种 C.32种 D.40种
尝试解答
通性通法
排列与组合综合问题的解题方法
求解排列、组合的综合问题时，要认真审题，把握问题的实质，分清是排列还是组合问题，并注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确定分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序.
解排列、组合的综合问题的一般思路是：
（1）先特殊后一般；
（2）先组合后排列；
（3）先分类后分步.
【跟踪训练】
我国首辆火星车全球征名活动的初次评审环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内涵，计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是第一个被分析的情况有（ ）
A.2 016种 B.1 512种
C.1 426种 D.1 362种
培优课 排列与组合的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一（整体法） 7名学生的排列方法共有种，其中女生的排列方法有种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故不同的排法共有＝＝840（种）.
法二（空位插空法） 设想有7把椅子让4名男生去坐，共有种方法，3名女生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有一种，故不同的坐法共有＝840（种）.
法三（逐步插空法） 先将3名女生按顺序排好，形成4个空位，第一名男生选一个空位站好，有4种站法，排好的这4名学生形成5个空位，再排第二名男生，以此类推逐步完成，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有4×5×6×7＝840（种）.
跟踪训练
90 解析：因为每串两个灯取下的顺序确定，所以问题可转化为求六个元素的排列数，其中甲在乙前，丙在丁前，戊在己前，先将六个元素全排列，有种排法，因为甲、乙顺序确定，丙、丁顺序确定，戊、己顺序确定，所以满足条件的排法数有＝＝90（种），即取下六盏不同的花灯，每次取一盏，共有90种不同的取法.
【例2】 90 解析：法一 分两类完成.
第一类：甲被选中，有＝36（种）分派方案.
第二类：甲不被选中，有＝54（种）分派方案.
根据分类加法计数原理，分派方案共有36＋54＝90（种）.
法二 分两类完成.
第一类：地区A分派女医生，有种分派方案.
第二类：地区A分派除医生甲之外的男医生，有＝54（种）分派方案.
根据分类加法计数原理，分派方案共有36＋54＝90（种）.
跟踪训练
180 解析：法一 先从6人中选出2人参加会议甲，再从余下的4人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的3人中选出1人参加会议丙.根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有＝180（种）.
法二 先从6人中选出2人参加会议甲，再从余下的4人中选出2人分别参加会议乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有＝180（种）.
法三 先从6人中选出4人，其中2人参加会议甲，另外2人分别参加会议乙、丙.
根据分步乘法计数原理，得不同的安排方法共有＝180（种）.
【例3】 B 由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一组，共有＝16种；第二种：三人一组和三人一组，共有＝12种；所以不同的方案一共有：＋＝28种.故选B.
跟踪训练
B 由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名称共有种不同的组合.选出的4个名称的不同分析顺序有种，其中赤兔是第一个被分析的顺序有种，故赤兔不是第一个被分析的情况共有·（－）＝1 512（种），故选B.
2 / 2(共54张PPT)
培优课
排列与组合的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 排列中的定序问题
【例1】 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名
学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
解：法一（整体法） 7名学生的排列方法共有 种，其中女生的排
列方法有 种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故
不同的排法共有 ＝ ＝840（种）.
法二（空位插空法） 设想有7把椅子让4名男生去坐，共有 种方
法，3名女生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有
一种，故不同的坐法共有 ＝840（种）.
法三（逐步插空法） 先将3名女生按顺序排好，形成4个空位，第一
名男生选一个空位站好，有4种站法，排好的这4名学生形成5个空位，
再排第二名男生，以此类推逐步完成，由分步乘法计数原理得，不同
的排法共有4×5×6×7＝840（种）.
通性通法
部分元素定序的排列问题的两种解法
一是把不要求定序的元素首先排列，剩余的位置就是定序的元
素，这些定序的元素只有一种排法，所以问题就转化为求不要求定序
的元素有多少种排法；
二是用“倍缩法”，有（ m ＋ n ）个元素排成一列，其中 m 个元素
之间的先后顺序确定不变，将这（ m ＋ n ）个元素排成一列，有
种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他 n 个元素的位置
不动，把这 m 个元素交换顺序，有 种排法，其中只有一个排列是
我们需要的，因此共有 种满足条件的不同排法.
【跟踪训练】
某年元宵节灯展后，如图所示悬挂着的六盏不同的花灯需要取下，每
次取一盏，甲比乙先取下，丙比丁先取下，戊比己先取下，则共
有 种不同的取法.（用数字作答）
90
解析：因为每串两个灯取下的顺序确定，所以问题可转化为求六个元
素的排列数，其中甲在乙前，丙在丁前，戊在己前，先将六个元素全
排列，有 种排法，因为甲、乙顺序确定，丙、丁顺序确定，戊、己
顺序确定，所以满足条件的排法数有 ＝ ＝90（种），即
取下六盏不同的花灯，每次取一盏，共有90种不同的取法.
题型二 选派问题
【例2】 有4名男医生，3名女医生，从中选2名男医生，1名女医生
到3个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区 A ，则不同的分
派方案共有 种.（用数字作答）
解析：法一 分两类完成.
第一类：甲被选中，有 ＝36（种）分派方案.
第二类：甲不被选中，有 ＝54（种）分派方案.
根据分类加法计数原理，分派方案共有36＋54＝90（种）.
90
法二 分两类完成.
第一类：地区 A 分派女医生，有 种分派方案.
第二类：地区 A 分派除医生甲之外的男医生，有 ＝54
（种）分派方案.
根据分类加法计数原理，分派方案共有36＋54＝90（种）.
通性通法
选派问题的解题策略
（1）解选派问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元
素都选出来，再对元素或位置进行排列.因此很多同类型试题都
可转化为选派问题进行求解；
（2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，
然后考虑是分类还是分步，这是处理选派问题的一般方法.
【跟踪训练】
某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，
乙、丙各需1人参加，从6人中选派4人参加这三个会议，不同的
安排方法共有 种.（用数字作答）
180
解析：法一 先从6人中选出2人参加会议甲，再从余下的4人中
选出1人参加会议乙，最后从剩下的3人中选出1人参加会议丙.根
据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 ＝180（种）.
法二 先从6人中选出2人参加会议甲，再从余下的4人中选出2人分别
参加会议乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有
＝180（种）.
法三 先从6人中选出4人，其中2人参加会议甲，另外2人分别参加会
议乙、丙.
根据分步乘法计数原理，得不同的安排方法共有 ＝180（种）.
题型三 排列与组合的综合运用
【例3】 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦
厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型
进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念.两者一经发布，
深受大家喜爱.某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小
赵、小孙、小王、小航6人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉
祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小
王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（ ）
A. 20种 B. 28种
C. 32种 D. 40种
解析： 由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一
组，共有 ＝16种；第二种：三人一组和三人一组，共有
＝12种；所以不同的方案一共有： ＋ ＝28种.故选B.
通性通法
排列与组合综合问题的解题方法
求解排列、组合的综合问题时，要认真审题，把握问题的实质，
分清是排列还是组合问题，并注意结合分类与分步两个原理，要按元
素的性质确定分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序.解排
列、组合的综合问题的一般思路是：（1）先特殊后一般；（2）先组
合后排列；（3）先分类后分步.
【跟踪训练】
我国首辆火星车全球征名活动的初次评审环节遴选出弘毅、麒麟、哪
吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作
为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内涵，
计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是
第一个被分析的情况有（ ）
A. 2 016种 B. 1 512种
C. 1 426种 D. 1 362种
解析： 由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名
称共有 种不同的组合.选出的4个名称的不同分析顺序有 种，其
中赤兔是第一个被分析的顺序有 种，故赤兔不是第一个被分析的情
况共有 ·（ － ）＝1 512（种），故选B.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电
工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，
则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法种数为
（ ）
A. 16 B. 24 C. 12 D. 36
解析： 甲先从4门课程中选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3
门中选择1门，有3种选法，甲、乙再从剩下的2门中共同选择1门，
有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲、乙两名同学的选
课中恰有一门课程相同的选法为4×3×2＝24种，故选B.
1
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2. 某学校组织庆祝中国共产党成立102周年党史知识竞赛，仅有三位
同学进入最后的决赛.若这三位同学从 A ， B ， C 三类试题中随机选
择一类试题作答，且各自的选择相互独立，则这三类试题都有同学
选择的概率为（ ）
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解析： 由题意可知，这三位同学从 A ， B ， C 三类试题中随机选
择一类试题作答时，每个同学均有3种选择，则共有33＝27种情况；
其中，这三类试题都有同学选择的情况，则共有 ＝3×2×1＝6
种；所以，这三类试题都有同学选择的概率 P ＝ ＝ ，故选B.
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3. 不等式 ≤12 的解集为（ ）
A. { n ∣2≤ n ≤5， n ∈N} B. { n ∣3≤ n ≤6， n ∈N}
C. {5} D. {5，6}
解析： 由 ≤12 ，得 n （ n －1）（ n －2）（ n －3）（ n －
4）≤12× 且 n ≥5，化简整理得 n2－7 n ＋10≤0，解得2≤
n ≤5，又因为 n ≥5，所以 n ＝5，故选C.
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4. 由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋
局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和
“炮”不动，“兵”只能往前走或左、右走，每次只能走一格，从“兵”
吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可
能路线有（ ）
A. 10条 B. 8条
C. 6条 D. 4条
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解析： 由题意可知：“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，
竖走两步；其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步：第一步，横走
两步，竖走一步，有 ＝3种走法；第二步，横走一步，竖走一
步，有 ＝2种走法.∴能顺带吃掉“炮”的可能路线共有3×2＝6
（条），故选C.
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5. 若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这
个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成
没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（ ）
A. 60个 B. 53个
C. 20个 D. 35个
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解析： 由题意得：十位数只能是3，4，5，当十位数是3时，个
位和百位只能是1，2，“伞数”共有 ＝2个；当十位数是4时，个位
和百位只能是1，2，3，“伞数”共有 ＝6个；当十位数是5时，个
位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有 ＝12个；所以“伞数”共
有20个，故选C.
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6. 已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部
动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，
则不同的观影方案种数为（ ）
A. 30 B. 40
C. 50 D. 80
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解析： 喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：喜剧片2人且动
作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人，当喜
剧片2人且动作片2人时，共有 种观看方案，当喜剧片3人且
动作片2人时，共有 种观看方案，当喜剧片2人且动作片3人
时，共有 种观看方案，所以一共有 ＋ ＋ ＝
50种观看方案，故选C.
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7. 2023年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿
团队中任选1支到救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给
“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只
能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分
配方案种数为（ ）
A. 36 B. 81
C. 120 D. 180
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解析： 先从5支志愿团队中任选1支到救援物资接收点服务，有
＝5种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物
资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有 ＝6×6＝36种不
同的选派方案，所以，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案有
＝5×36＝180种，故选D.
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8. 《数术记遗》是我国古代的一部数学著作，该书记述了筹算、太乙
算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算等十三种计算器械
的使用方法.某研究性学习小组的6人（4男2女）分成两组，分别收
集整理八卦算、九宫算的相关资料.若两个女生不单独成组，且每组
至多4人，则不同的分配方法共有（ ）
A. 20种 B. 24种
C. 28种 D. 48种
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解析： ①分3，3的两组时，不会出现两个女生单独成组的情
况，有 种分组方法，再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有
种情况，此时共有 × ＝20种安排方式；②分2，4的两组
时，有 ＝15种分组方法，除去1种两个女生单独成组的情况，则
有14种符合条件的分组方法，再对应到八卦算、九宫算的收集整
理，有 种情况，此时共有14× ＝28种安排方式，综上共有20
＋28＝48种安排方式.故选D.
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9. （多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，
有多少种不同的选法
B. 有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C. 某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果
有多少种
D. 从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
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解析： 对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡
镇涉及顺序问题，是排列问题；对于B，从7人中选出4人观看不涉
及顺序问题，是组合问题；对于C，射击命中不涉及顺序问题，是
组合问题；对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，
是组合问题.故选B、C、D.
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10. （多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生
物、政治、历史、地理.学生根据高校专业的要求，结合自身特长
兴趣，首先从物理、历史2个科目中选择1个，再从政治、地理、
化学、生物4个科目中选择2个，考试成绩计入考生总分，作为高
考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、
地理这6个科目中选择3个作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
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解析： 若任意选科，选法总数为 ，故A错误.若化学必
选，则选法总数为 ，故B正确.若政治和地理至少选1门，则选
法总数为 ×（ ＋1），故C错误.若物理必选，化学、生物
至少选1门，选法总数为 ＋1，故D正确.故选B、D.
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11. （多选）有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成
医疗小组前往某灾区.若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3
名女医生，设不同的选派方法种数为 N ，则下列能表示 N 的算式是
（ ）
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解析： 因为有13名医生，其中女医生6人，所以男医生7
人.A： 表示选派1个男医生4个女医生，因此 － 表示
不选派1个男医生4个女医生，这里包括不选派男医生，显然不符
合题意；B： 表示选派2个男医生3个女医生， 表示选派
3个男医生2个女医生， 表示选派4个男医生1个女医生， 表
示选派5个男医生，显然 ＋ ＋ ＋ 表示医疗小组
至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；
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C： 表示选派1个男医生4个女医生， 表示选派5个女医生，显
然 － － 表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名
女医生，符合题意；D： 表示先从7名男医生中选2名男医生，
再从剩下全部医生中选3名医生，显然不符合题意，故选B、C.
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12. （多选）某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三
日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班
一天，则下列说法正确的是（ ）
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解析： 对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法
共有 种，A正确；对于选项B，甲、乙、丙三人只有一人安排了
值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲、乙、丙三人中
选出一人，有 种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四
月三日至四月五日，有 种方法，故不同的安排方法共有
种，B错误；对于选项C，甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙
没有值班等价于将甲、乙视为一个整体，与除甲、乙、丙外的两
人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共
有 种，C正确；
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选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班
可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小
组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有 种，完
成第二步的方法有 种，所以不同的安排方法共有 种，D错误；
故选A、C.
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13. 若 ＝ ，则 x ＝ .
解析：因为 ＝ ，所以2 x －1＝ x ＋3或2 x －1＋ x ＋3＝
8，解得 x ＝4或 x ＝2，经检验成立.
4或2
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14. 如图，提供4种不同的颜色给图中 A ， B ， C ， D 四块区域涂色，
若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 种.
解析：先对 B 区域涂色，共有4种不同的涂法，再对 D 区域涂色，
共有3种不同的涂法，再对 A 区域涂色，共有2种不同的涂法，最后
对 C 区域涂色，共有2种不同的涂法，根据分步乘法计数原理，则
不同的涂法共有4×3×2×2＝48种.
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15. 冬季供暖时，供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检
查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去
检查，那么分配的方案共有 种.
解析：将5名水暖工分成2，2，1或3，1，1三组，共有 ＋ ＝
25（种）分法，将这三组水暖工分配
到3个小区共有 ＝6（种）分法，由分步乘法计数原理，分配方
案共有25×6＝150（种）.
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16. 某校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中
3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞.现要从中
选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有 种不同的选法.
解析：根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.第一
类：2个只会跳舞的都不选，有 · ＝16种；第二类：2个只会
跳舞的有1人入选，有 · · ＝120种；第三类：2个只会跳舞
的全入选，有 · · ＝80种，所以共有216种不同的选法.
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17. 已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的系数 a 、 b 、 c 是集合{－3，－2，
－1，0，1，2，3，4}中3个不同的数，求坐标原点在该函数图象
即抛物线内部的二次函数的个数.
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解：由二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象特征分析：
当 a ＞0时，抛物线开口向上，坐标原点在其内部等价于 f （0）＝ c
＜0；
当 a ＜0时，抛物线开口向下，原点在其内部等价于 f （0）＝ c ＞0.
所以对抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，原点在其内部等价于 af （0）＝ ac
＜0，于是在确定二次函数的解析式时，先定一正一负的 a 和 c ，
再定 b ，
因此满足题设的二次函数共有 ＝144个.
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18. 杭州亚运会期间，相关部门将6名志愿者分配到亚运会三个不同的
运动场馆做服务工作，每个岗位至少1人.
（1）一共有多少种不同的分配方案？
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解：当分配的人数分别是1人，1人，4人时，共有
＝90种分配方案；
当分配的人数分别是3人，2人，1人时，共有 ＝
360种分配方案；
当分配的人数分别是2人，2人，2人时，共有 ＝90
种分配方案.
所以一共有90＋360＋90＝540种不同的分配方案.
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（2）若6名志愿者中的甲和乙必须分配在同一个场馆工作，则共
有多少种不同的分配方案？
解：把甲、乙两人看作一个整体，6个人变成了5个元
素，再把这5个元素分成3组，
若分配的元素分别是1人，1人，3人时，共有 ＝60
种分配方案；
若分配的元素分别是2人，2人，1人时，共有 ＝90
种分配方案.
则有60＋90＝150种不同的分配方案.
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谢 谢 观 看！
