4.1 二项式定理的推导
1.设S＝（x－1）3＋3（x－1）2＋3（x－1）＋1，则S＝（ ）
A.（x－1）3 B.（x－2）3
C.x3 D.（x＋1）3
2.已知 的展开式的第4项等于5，则x＝（ ）
A. B.－
C.7 D.－7
3.（x－y）10的展开式中x6y4的系数是（ ）
A.－840 B.840
C.210 D.－210
4.使 （n∈N＋）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
5.（多选）若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
6.（多选）二项式（x＋）n（n∈N＋）的展开式中至少有2项的系数为有理数，则n的可能取值为（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
7.在的展开式中，第五项为 .
8.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 .
9.设二项式 （a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是 .
10.在二项式（x－）12的展开式中，求：
（1）第4项；
（2）常数项；
（3）有理项.
11.把（i－x）10按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（ ）
A.135 B.－135
C.－360i D.360i
12.设函数f（x）＝则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（ ）
A.－20 B.20
C.－15 D.15
13.（多选）对于二项式（n∈N＋），以下判断正确的有（ ）
A.存在n∈N＋，展开式中有常数项
B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N＋，展开式中没有含x的项
D.存在n∈N＋，展开式中有含x的项
14.已知＋2＋22＋…＋2n＝729，则n＝ ，＋＋＝ .
15.已知m，n∈N＋，f（x）＝（1＋x）m＋（1＋x）n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.
16.求证：（）2＋（）2＋（）2＋…＋（）2＝.
4.1 二项式定理的推导
1.C S＝[（x－1）＋1]3＝x3.
2.B T4＝x4＝5，则x＝－.
3.B 在通项公式Tk＋1＝（－y）kx10－k中，令k＝4，得x6y4的系数为（－）4＝840.
4.B Tr＋1＝（3x）n－r＝3n－r·，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立.
5.AB 二项式展开式的二项式通项为Tk＋1＝x6－k·＝mk.令6－k＝0，得k＝4，常数项为m4＝15，则m4＝1，解得m＝±1.故选A、B.
6.ACD （x＋）n的展开式的通项为Tk＋1＝（x）n－k（）k＝（）n－k·xn－k.结合选项，若n＝6或8，则当k＝0和6时，项的系数均为有理数；若n＝7，则只有当k＝3时，项的系数为有理数，不满足题意；若n＝9，则当k＝3和9时，项的系数均为有理数.故选A、C、D.
7.60 解析：二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝（2x）6－r＝26－r.令r＝4，则T4＋1＝22＝60.
8.56 解析：由题意知，＝，∴n＝8.∴Tr＋1＝·x8－r·＝·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为＝56.
9.2 解析：Tr＋1＝x6－r＝（－a）r，B＝（－a）4，A＝（－a）2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
10.解：二项展开式的第r＋1项是
Tr＋1＝x12－r（－）r
＝（－1）r.
（1）令r＝3，则T4＝（－1）3＝－220x8.
（2）令12－r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9＝－220.
（3）若求展开式中的有理项，则12－r为整数，即r＝0，3，6，9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220，T13＝x－4.
11.D 由题意得第8项的系数为×（i）3×（－1）7＝120×3i＝360i.故选D.
12.A 依据分段函数的解析式得，当x＞0时，f[f（x）]＝f（－）＝（－）6.展开式的第k＋1项Tk＋1＝（）6－k·（－）k＝（－1）kxk－3，令k－3＝0，得k＝3，则常数项为（－1）3＝－20.
13.AD 设二项式（n∈N＋）展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1＝（x3）k＝x4k－n，不妨令n＝4，则当k＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确.
14.6 32 解析：＋2＋22＋…＋2n＝（1＋2）n＝3n＝729，∴n＝6，∴＋＋＝＋＋＝32.
15.解：由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N＋，
∴1≤m≤18.
x2的系数为＋＝（m2－m）＋（n2－n）＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数有最小值为81，此时x7的系数为＋＝156.
16.证明：构造等式（1＋x）n·（1＋x）n＝（1＋x）2n，因为是二项式（1＋x）2n中xn的系数，所以是（1＋x）n·（1＋x）n中xn的系数.
若第一个因式取常数项x0，系数为，则第二个因式应取xn，系数为，此时xn的系数为＝（）2；…；若xr取自第一个因式，其系数为，则xn－r取自第二个因式，其系数为，此时（1＋x）n·（1＋x）n的展开式中xn的系数为·＝（）2，所以（1＋x）n·（1＋x）n中xn的系数为＋＋…＋＋…＋＝（）2＋（）2＋（）2＋…＋（）2.
所以（）2＋（）2＋（）2＋…＋（）2＝＝＝.
2 / 24.1 二项式定理的推导
新课程标准解读 核心素养
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去.
【问题】 你知道这个二项式定理的内容吗？
知识点 二项式定理
二项式定理 （a＋b）n＝
二项展开式 等号
二项式系数 各项系数
二项式通项 ＝ （k＝0，1，2，…，n）
【想一想】
从二项式定理中你能体会二项式系数与项的系数、项与项数的区别吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（a＋b）n的展开式中共有n项.（ ）
（2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.（ ）
（3）an－kbk是（a＋b）n展开式中的第k项.（ ）
（4）（a－b）n与（a＋b）n的二项展开式的二项式系数相同.（ ）
2.二项式（x2＋）10的展开式中的常数项是（ ）
A.第10项 B.第9项
C.第8项 D.第7项
3.在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为 （用数字作答）.
题型一 二项式定理的正用、逆用
【例1】 （1）求（3＋）4的展开式；
（2）化简：（x＋1）n－（x＋1）n－1＋（x＋1）n－2－…＋（－1）k（x＋1）n－k＋…＋（－1）n.
尝试解答
通性通法
1.（a＋b）n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：（1）各项的次数和等于n；（2）字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2.逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
【跟踪训练】
1.若（1＋）4＝a＋b（a，b为有理数），则a＋b＝ .
2.化简：（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）.
题型二 二项式系数与项的系数问题
【例2】 （1）求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
（2）求的展开式中x3的系数.
尝试解答
通性通法
1.一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数（二项式系数与数字系数的积）是两个不同的概念，二项式系数一定为正值，而项的系数既可以是正值也可以是负值，还可以是0.
2.求二项式系数可直接代入求解.求二项展开式某项的系数可以分为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整数，r为非负整数，n≥r）；（2）根据所求的指数，求所求解的项或项的系数.
【跟踪训练】
求的展开式的第三项的系数和常数项.
题型三 求二项展开式中的特定项
【例3】 已知在（－）n的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）求含x2项的系数.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）本题条件不变，求展开式中所有的有理项.
通性通法
1.求二项展开式的特定项的常见题型
（1）求第r项，Tr＝an－r＋1br－1；
（2）求含xr的项（或xpyq的项）；
（3）求常数项；
（4）求有理项.
2.求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）；
（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
【跟踪训练】
1.在（1－x3）（1＋x）10的展开式中，x5的系数是 .
2.若（x－）6展开式的常数项为60，则常数a的值为 .
1.在（x－）10的展开式中，含x6的项的系数是（ ）
A.－27 B.27
C.－9 D.9
2.在（－）8的展开式中常数项是（ ）
A.－28 B.－7
C.7 D.28
3.（2x－）6的展开式的中间项为（ ）
A.－40 B.－40x2
C.40 D.40x2
4.（1－x）10的展开式中第7项为 .
5.化简：2n＋2n－1＋…＋2n－k＋…＋＝ .
4.1 二项式定理的推导
【基础知识·重落实】
知识点
an＋bbk＋…＋bn 右边的式子 （k＝0，1，2，…，n） bk
想一想
提示：（1）二项展开式中的二项式系数是指，，…，这些组合数，与a，b无关；
（2）展开式中项的系数则是展开式中关于某一个（或两个）字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数；
（3）项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.B 通项Tk＋1＝·（x2）10－k·＝2k··，令20－＝0得k＝8，∴常数项为第9项.
3.60 解析：（1－2x）6的展开式的通项Tk＋1＝（－2）kxk，当k＝2时，T3＝（－2）2x2＝60x2，所以x2的系数为60.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一 ＝（3）4＋（3）3·＋（3）2·＋（3）·＋＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二 ＝＝（1＋3x）4＝·[1＋·3x＋（3x）2＋（3x）3＋（3x）4]＝（1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4）＝＋＋54＋108x＋81x2.
（2）原式＝（x＋1）n＋（x＋1）n－1（－1）＋（x＋1）n－2（－1）2＋…＋（x＋1）n－k（－1）k＋…＋（－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn.
跟踪训练
1.44 解析：∵（1＋）4＝1＋×（）1＋×（）2＋×（）3＋×（）4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.
2.解：原式＝（x－1）5＋（x－1）4＋（x－1）3＋（x－1）2＋（x－1）＋（x－1）0－1＝[（x－1）＋1]5－1＝x5－1.
【例2】 解：（1）由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝（2）6－r·＝（－1）r·26－r·，
∴T6＝－12.∴第6项的二项式系数为＝6，
第6项的系数为·（－1）5·2＝－12.
（2）展开式的通项为Tr＋1＝x9－r·＝（－1）r··x9－2r，
令9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为（－1）3·＝－84.
跟踪训练
解：T3＝（x3）3＝·x5，所以第三项的系数为·＝.
通项Tr＋1＝（x3）5－r＝·x15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝＝.
【例3】 解：通项公式为：Tr＋1＝
（－3）r＝（－3）r.
（1）∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
（2）令＝2，得r＝（10－6）＝2，
∴所求的系数为（－3）2＝405.
母题探究
解：由题意得，令＝k（k∈Z），
则10－2r＝3k，即r＝5－k.∵r∈Z，∴k应为偶数，
∴k＝2，0，－2，即r＝2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2.
跟踪训练
1.207 解析：x5应是（1＋x）10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，∴其系数为＋（－1）＝207.
2.4 解析：的展开式的通项是Tr＋1＝x6－r·x－2r＝x6－3r·（－）r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是a，根据已知得a＝60，解得a＝4.
随堂检测
1.D 含x6的项是T5＝x6（－）4＝9x6.
2.C Tr＋1＝··＝（－1）r···，当8－r＝0，即r＝6时，T7＝（－1）6··＝7.
3.B 的展开式的通项为Tk＋1＝（2x）6－k，则中间项为T4＝（2x）3·＝20×23××＝－40x2.
4.210x6 解析：T7＝（－x）6＝210x6.
5.3n 解析：原式＝（2＋1）n＝3n.
3 / 3(共56张PPT)
4.1 二项式定理的推导
新课程标准解读 核心素养
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发
现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩
下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟
斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去.
【问题】 你知道这个二项式定理的内容吗？
知识点 二项式定理
二项式定理
二项展开式 等号
二项式系数
二项式通项
an ＋ b ＋…＋ bk
bn
右边的式子
（ k ＝0，1，2，…， n ）
bk
从二项式定理中你能体会二项式系数与项的系数、项与项数的区
别吗？
提示：（1）二项展开式中的二项式系数是指 ， ，…， 这些
组合数，与 a ， b 无关；
（2）展开式中项的系数则是展开式中关于某一个（或两个）字母的
系数，与 a ， b 有关，项的系数未必是正数；
（3）项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式
中的位置.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（ a ＋ b ） n 的展开式中共有 n 项. （ × ）
（2）在公式中，交换 a ， b 的顺序对各项没有影响. （ × ）
（3） an－ kbk 是（ a ＋ b ） n 展开式中的第 k 项. （ × ）
（4）（ a － b ） n 与（ a ＋ b ） n 的二项展开式的二项式系数相同.
（ √ ）
×
×
×
√
2. 二项式（ x2＋ ）10的展开式中的常数项是（ ）
A. 第10项 B. 第9项 C. 第8项 D. 第7项
解析： 通项 Tk＋1＝ ·（ x2）10－ k · ＝2 k · · ，令20
－ ＝0得 k ＝8，∴常数项为第9项.
3. 在（1－2 x ）6的展开式中， x2的系数为 （用数字作答）.
解析：（1－2 x ）6的展开式的通项 Tk＋1＝ （－2） kxk ，当 k ＝2
时， T3＝ （－2）2 x2＝60 x2，所以 x2的系数为60.
60
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二项式定理的正用、逆用
【例1】 （1）求（3 ＋ ）4的展开式；
解：法一 ＝ （3 ）4＋ （3 ）3·
＋ （3 ）2· ＋ （3 ） ＋ ＝81 x2＋
108 x ＋54＋ ＋ .
法二 ＝ ＝ （1＋3 x ）4
＝ ·[1＋ ·3 x ＋ （3 x ）2＋ （3 x ）3＋ （3 x ）4]＝ （1＋
12 x ＋54 x2＋108 x3＋81 x4）＝ ＋ ＋54＋108 x ＋81 x2.
（2）化简： （ x ＋1） n － （ x ＋1） n－1＋ （ x ＋1） n－2－…
＋（－1） k （ x ＋1） n－ k ＋…＋（－1） n .
解：原式＝ （ x ＋1） n ＋ （ x ＋1） n－1（－1）＋ （ x ＋1） n
－2（－1）2＋…＋ （ x ＋1） n－ k （－1） k ＋…＋ （－1） n ＝[（ x
＋1）＋（－1）] n ＝ xn .
通性通法
1. （ a ＋ b ） n 的二项展开式有 n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规
律是：（1）各项的次数和等于 n ；（2）字母 a 按降幂排列，从第
一项起，次数由 n 逐项减1直到0；字母 b 按升幂排列，从第一项
起，次数由0逐项加1直到 n .
2. 逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知
多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
【跟踪训练】
1. 若（1＋ ）4＝ a ＋ b （ a ， b 为有理数），则 a ＋ b ＝ .
44
解析：∵（1＋ ）4＝1＋ ×（ ）1＋ ×（ ）2＋ ×
（ ）3＋ ×（ ）4＝1＋4 ＋18＋12 ＋9＝28＋16 ，
∴ a ＝28， b ＝16，∴ a ＋ b ＝28＋16＝44.
2. 化简：（ x －1）5＋5（ x －1）4＋10（ x －1）3＋10（ x －1）2＋5
（ x －1）.
解：原式＝ （ x －1）5＋ （ x －1）4＋ （ x －1）3＋ （ x
－1）2＋ （ x －1）＋ （ x －1）0－1＝[（ x －1）＋1]5－1＝ x5
－1.
题型二 二项式系数与项的系数问题
【例2】 （1）求二项式 的展开式中第6项的二项式系数
和第6项的系数；
解：由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝ （2 ）6－
r · ＝（－1） r ·26－ r · ，
∴ T6＝－12 .∴第6项的二项式系数为 ＝6，
第6项的系数为 ·（－1）5·2＝－12.
（2）求 的展开式中 x3的系数.
解：展开式的通项为 Tr＋1＝ x9－ r · ＝（－1）
r · · x9－2 r ，令9－2 r ＝3，∴ r ＝3，即展开式中第四项含 x3，其
系数为（－1）3· ＝－84.
通性通法
1. 一个二项展开式的某一项的二项式系数 与这一项的系数（二项式
系数与数字系数的积）是两个不同的概念，二项式系数一定为正
值，而项的系数既可以是正值也可以是负值，还可以是0.
2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分
为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确
定指数，求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件（ n 为正整
数， r 为非负整数， n ≥ r ）；（2）根据所求的指数，求所求解的项
或项的系数.
【跟踪训练】
求 的展开式的第三项的系数和常数项.
解： T3＝ （ x3）3 ＝ · x5，
所以第三项的系数为 · ＝ .
通项 Tr＋1＝ （ x3）5－ r ＝ · x15－5 r ，令15－5 r ＝0，得
r ＝3，所以常数项为 T4＝ ＝ .
题型三 求二项展开式中的特定项
【例3】 已知在（ － ） n 的展开式中，第6项为常数项.
（1）求 n ；
∵第6项为常数项，
∴ r ＝5时，有 ＝0，即 n ＝10.
解：通项公式为：
Tr＋1＝ （－3） r ＝ （－3） r .
（2）求含 x2项的系数.
解：令 ＝2，得 r ＝ （10－6）＝2，
∴所求的系数为 （－3）2＝405.
解：由题意得，令 ＝ k （ k ∈Z），
则10－2 r ＝3 k ，即 r ＝5－ k .
∵ r ∈Z，∴ k 应为偶数，∴ k ＝2，0，－2，即 r ＝2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为405 x2，－61 236，295 245 x－2.
【母题探究】
（变设问）本题条件不变，求展开式中所有的有理项.
通性通法
1. 求二项展开式的特定项的常见题型
（1）求第 r 项， Tr ＝ an－ r＋1 br－1；
（2）求含 xr 的项（或 xpyq 的项）；
（3）求常数项；
（4）求有理项.
2. 求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）；
（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数
恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母
的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性
来求解；
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数
应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
1. 在（1－ x3）（1＋ x ）10的展开式中， x5的系数是 .
解析： x5应是（1＋ x ）10中含 x5项、含 x2项分别与1，－ x3相乘的结
果，∴其系数为 ＋ （－1）＝207.
2. 若（ x － ）6展开式的常数项为60，则常数 a 的值为 .
解析： 的展开式的通项是 Tr＋1＝ x6－ r · x－2 r ＝
x6－3 r （－ ） r ，令6－3 r ＝0，得 r ＝2，即当 r ＝2时， Tr＋1为
常数项，即常数项是 a ，根据已知得 a ＝60，解得 a ＝4.
207
4
【跟踪训练】
1. 在（ x － ）10的展开式中，含 x6的项的系数是（ ）
解析： 含 x6的项是 T5＝ x6（－ ）4＝9 x6.
2. 在（ － ）8的展开式中常数项是（ ）
A. －28 B. －7
C. 7 D. 28
解析： Tr＋1＝ · · ＝（－1） r · · · ，当8－ r ＝0，即 r ＝6时， T7＝（－1）6· · ＝7.
3. （2 x － ）6的展开式的中间项为（ ）
A. －40 B. －40 x2
C. 40 D. 40 x2
解析： 的展开式的通项为 Tk＋1＝ （2 x ）6－ k
，则中间项为 T4＝ （2 x ）3· ＝20×23×
× ＝－40 x2.
4. （1－ x ）10的展开式中第7项为 .
解析： T7＝ （－ x ）6＝210 x6.
5. 化简： 2 n ＋ 2 n－1＋…＋ 2 n－ k ＋…＋ ＝ .
解析：原式＝（2＋1） n ＝3 n .
210 x6
3 n
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 S ＝（ x －1）3＋3（ x －1）2＋3（ x －1）＋1，则 S ＝（ ）
A. （ x －1）3 B. （ x －2）3
C. x3 D. （ x ＋1）3
解析： S ＝[（ x －1）＋1]3＝ x3.
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2. 已知 的展开式的第4项等于5，则 x ＝（ ）
C. 7 D. －7
解析： T4＝ x4 ＝5，则 x ＝－ .
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3. （ x － y ）10的展开式中 x6 y4的系数是（ ）
A. －840 B. 840
C. 210 D. －210
解析： 在通项公式 Tk＋1＝ （－ y ） kx10－ k 中，令 k ＝4，得
x6 y4的系数为 （－ ）4＝840.
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4. 使 （ n ∈N＋）的展开式中含有常数项的最小的 n 为
（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： Tr＋1＝ （3 x ） n－ r ＝ 3 n－ r ，当 Tr＋1是
常数项时， n － r ＝0，当 r ＝2， n ＝5时成立.
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5. （多选）若二项式 展开式中的常数项为15，则实数 m 的值
可能为（ ）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： 二项式 展开式的二项式通项为 Tk＋1＝ x6－
k · ＝ mk .令6－ k ＝0，得 k ＝4，常数项为 m4＝
15，则 m4＝1，解得 m ＝±1.故选A、B.
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6. （多选）二项式（ x ＋ ） n （ n ∈N＋）的展开式中至少有2项
的系数为有理数，则 n 的可能取值为（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： （ x ＋ ） n 的展开式的通项为 Tk＋1＝ （
x ） n－ k （ ） k ＝ （ ） n－ k · xn－ k .结合选项，若 n ＝6或8，
则当 k ＝0和6时，项的系数均为有理数；若 n ＝7，则只有当 k ＝3
时，项的系数为有理数，不满足题意；若 n ＝9，则当 k ＝3和9时，
项的系数均为有理数.故选A、C、D.
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7. 在 的展开式中，第五项为 .
解析：二项式 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝ （2 x ）6－
r ＝ 26－ r .令 r ＝4，则 T4＋1＝ 22 ＝60.
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8. 若 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开
式中 的系数为 .
解析：由题意知， ＝ ，∴ n ＝8.∴ Tr＋1＝ · x8－ r · ＝
· x8－2 r ，当8－2 r ＝－2时， r ＝5，∴ 的系数为 ＝56.
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9. 设二项式 （ a ＞0）的展开式中 x3的系数为 A ，常数项为
B . 若 B ＝4 A ，则 a 的值是 .
解析： Tr＋1＝ x6－ r ＝ （－ a ） r ， B ＝ （－
a ）4， A ＝ （－ a ）2.
∵ B ＝4 A ， a ＞0，∴ a ＝2.
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10. 在二项式（ x － ）12的展开式中，求：
（1）第4项；
令 r ＝3，则 T4＝（－1）3 ＝－220 x8.
解：二项展开式的第 r ＋1项是
Tr＋1＝ x12－ r （－ ） r ＝（－1） r .
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（2）常数项；
解：令12－ r ＝0，则 r ＝9，从而常数项为（－1）9 ＝
－220.
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（3）有理项.
解：若求展开式中的有理项，则12－ r 为整数，即 r ＝0，
3，6，9，12，故有理项分别为 T1＝ x12，
T4＝－ x8＝－220 x8，
T7＝ x4＝924 x4，
T10＝－ ＝－220， T13＝ x－4.
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11. 把（ i－ x ）10按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是
（ ）
A. 135 B. －135
解析： 由题意得第8项的系数为 ×（ i）3×（－1）7＝
120×3 i＝360 i.故选D.
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12. 设函数 f （ x ）＝则当 x ＞0时， f [ f （ x ）]表
达式的展开式中常数项为（ ）
A. －20 B. 20
C. －15 D. 15
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解析： 依据分段函数的解析式得，当 x ＞0时， f [ f （ x ）]＝ f
（－ ）＝（ － ）6.展开式的第 k ＋1项 Tk＋1＝ （ ）6－
k ·（－ ） k ＝ （－1） kxk－3，令 k －3＝0，得 k ＝3，则常数项
为 （－1）3＝－20.
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13. （多选）对于二项式 （ n ∈N＋），以下判断正确的有
（ ）
A. 存在 n ∈N＋，展开式中有常数项
B. 对任意 n ∈N＋，展开式中没有常数项
C. 对任意 n ∈N＋，展开式中没有含 x 的项
D. 存在 n ∈N＋，展开式中有含 x 的项
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解析： 设二项式 （ n ∈N＋）展开式的通项为 Tk＋
1，则 Tk＋1＝ （ x3） k ＝ x4 k－ n ，不妨令 n ＝4，则当 k ＝
1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令 n ＝3，则当 k ＝1
时，展开式中有含 x 的项，故C错误，D正确.
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14. 已知 ＋2 ＋22 ＋…＋2 n ＝729，则 n ＝ ， ＋ ＋
＝ .
32
解析： ＋2 ＋22 ＋…＋2 n ＝（1＋2） n ＝3 n ＝729，∴ n
＝6，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝32.
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15. 已知 m ， n ∈N＋， f （ x ）＝（1＋ x ） m ＋（1＋ x ） n 的展开式中 x
的系数为19，求 x2的系数的最小值及此时展开式中 x7的系数.
解：由题设知， m ＋ n ＝19，又 m ， n ∈N＋，∴1≤ m ≤18.
x2的系数为 ＋ ＝ （ m2－ m ）＋ （ n2－ n ）＝ m2－19 m ＋
171.
∴当 m ＝9或10时， x2的系数有最小值为81，此时 x7的系数为 ＋
＝156.
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16. 求证：（ ）2＋（ ）2＋（ ）2＋…＋（ ）2＝ .
证明：构造等式（1＋ x ） n ·（1＋ x ） n ＝（1＋ x ）2 n ，因为 是
二项式（1＋ x ）2 n 中 xn 的系数，所以 是（1＋ x ） n ·（1＋ x ） n
中 xn 的系数.
若第一个因式取常数项 x0，系数为 ，则第二个因式应取 xn ，系
数为 ，此时 xn 的系数为 ＝（ ）2；…；若 xr 取自第一个
因式，其系数为 ，
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则 xn－ r 取自第二个因式，其系数为 ，此时（1＋ x ） n ·（1＋
x ） n 的展开式中 xn 的系数为 · ＝（ ）2，所以（1＋ x ）
n ·（1＋ x ） n 中 xn 的系数为 ＋ ＋…＋ ＋…＋
＝（ ）2＋（ ）2＋（ ）2＋…＋（ ）2.
所以（ ）2＋（ ）2＋（ ）2＋…＋（ ）2＝ ＝
＝ .
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谢 谢 观 看！
