4.2 二项式系数的性质
1.在（a＋b）n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是（ ）
A.第n－k项 B.第n－k－1项
C.第n－k＋1项 D.第n－k＋2项
2.已知（1＋x）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为（ ）
A.212 B.211
C.210 D.29
3.（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展开式中各项系数之和为（ ）
A.2n＋1 B.2n－1
C.2n＋1－1 D.2n＋1－2
4.（x－1）11的展开式中x的偶次项系数之和是（ ）
A.－2 048 B.－1 023
C.1 024 D.－1 024
5.（多选）对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是（ ）
A.a2＝－144
B.a0＝1
C.a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
6.（多选）关于的说法，正确的是（ ）
A.展开式中第7项和第8项的二项式系数最大
B.展开式中无常数项
C.展开式中的第7项的系数最大
D.展开式中第4项的系数为286
7.若（x＋3y）n的展开式中各项系数的和等于（7a＋b）10的展开式中二项式系数的和，则n的值为 .
8.已知展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项的二项式系数为 .
9.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝ .
10.在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为47，③各项系数之和为414，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设二项式，若其展开式中， ，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
11.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（ ）
A.530 B.502 C.503 D.505
12.已知二项式（a＋）n（a＞0）的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中含x2项的系数为84，则a的值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
13.（多选）设常数a∈R，n∈N＋，对于二项式（1＋a）n的展开式，下列结论中，正确的是（ ）
A.若a＜，则各项系数随着项数的增大而减小
B.若各项系数随着项数的增大而增大，则a＞n
C.若a＝－2，n＝10，则第7项的系数最大
D.若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为239
14.在的二项展开式中，常数项是8，则实数a的值是 ，第 项的二项式系数最大.
15.若（x2－3x＋2）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
（1）求a1＋a2＋…＋a10的值；
（2）求（a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10）2－（a1＋a3＋a5＋a7＋a9）2的值.
16.已知（1＋m）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
（1）求m，n的值；
（2）求展开式中偶数项的二项式系数之和；
（3）求（1＋m）n（1－x）的展开式中含x2项的系数.
4.2 二项式系数的性质
1.D 第k项的二项式系数是，由于＝，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同.
2.D ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，∴展开式中奇数项的二项式系数之和为＝29.
3.D 令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
4.D （x－1）11＝x11＋x10·（－1）＋x9·（－1）2＋…＋（－1）11，x的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.
5.ACD 对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－1）]9，所以a2＝－×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D正确.
6.ABC 展开式的第r＋1项Tr＋1＝x13－r＝（－1）rx13－2r（r＝0，1，2，…，13）.对于A，展开式共有14项，根据组合数的性质可知，中间两项的二项式系数最大，即第7项和第8项的二项式系数最大，故A正确；对于B，令13－2r＝0，得r＝，不是整数，则无常数项，故B正确；对于C，第7项的系数为（－1）6＝，第8项的系数为（－1）7＝－＜0，显然＞－，故第7项系数最大，故C正确；对于D，第4项的系数为（－1）3＝－286，故D不正确.故选A、B、C.
7.5 解析：（7a＋b）10的展开式中二项式系数的和为＋＋…＋＝210，令（x＋3y）n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
8.10 解析：∵展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴展开式的通项Tr＋1＝25－rx15－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为＝10.
9.－256 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256.
10.解：选①，因展开式中只有第八项的二项式系数最大，则展开式共有15项，即n＝14，
二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝
＝3r，r∈N，r≤14，
由7－r＝0得r＝2，因此，展开式中第3项是常数项，
所以存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项.
选②，因展开式中奇数项二项式系数之和为47，则有2n－1＝47＝214，解得n＝15，
二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝（）15－r
＝3r，r∈N，r≤15，
由＝0得，无整数解，即二项展开式中无常数项，
所以不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项.
选③，二项式展开式的各项系数之和为4n，依题意，4n＝414，解得n＝14，
二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝（）14－r＝3r，r∈N，r≤14，
由7－r＝0得r＝2，因此，展开式中第3项是常数项，
所以存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项.
11.B 由题意，得“上升”的正整数包含的两位数有个，三位数有个，…，九位数有个，则所有“上升”的正整数的个数为＋＋＋…＋＝29－－＝502.
12.B ∵二项式（a＋）n（a＞0）的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴n＝9.又∵（a＋）9的展开式的通项为Tr＋1＝a9－r＝a9－r，令＝2，解得r＝3，又展开式中含x2项的系数为84，即a6＝84，解得a＝1或a＝－1（舍去）.
13.BCD 二项式（1＋a）n的展开式的通项为Tr＋1＝·1n－r·（a）r＝·ar·，对于A，当a＝0时，则除常数项外，任意项的系数均为0，故A错误；对于B，若a≤n，则最后两项的系数为an－1，an，有an－1≥an，与已知矛盾，故a＞n，故B正确；对于C，若a＝－2，n＝10，则各项系数依次为（－2）0＝1，（－2）1＝－20，（－2）2＝180，（－2）3＝－960，（－2）4＝3 360，（－2）5＝－8 064，（－2）6＝13 440，（－2）7＝－15 360，（－2）8＝11 520，（－2）9＝－5 120，（－2）10＝1 024，故第7项的系数最大，故C正确；对于D，若a＝－，n＝7，则所有奇数项的系数和为a0＋a2＋a4＋a6＝1×1＋21×2＋35×4＋7×8＝239，故D正确.故选B、C、D.
14.－1 3 解析：的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通项可知Tk＋1＝（2x）4－k＝·24－k·（－a）k·，所以当k＝3时为常数项，代入可得·24－3·（－a）3＝8，解得a＝－1，由二项式定理可知展开式共有5项，则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大.
15.解：（1）令f（x）＝（x2－3x＋2）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0＝f（0）＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f（1）＝0，
故a1＋a2＋…＋a10＝－32.
（2）（a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10）2－（a1＋a3＋a5＋a7＋a9）2＝（a0＋a1＋a2＋…＋a10）（a0－a1＋a2－…＋a10）＝f（1）·f（－1）＝0.
16.解：（1）由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tk＋1＝mk，
∴含x项的系数为m2＝112，
解得m＝2或m＝－2（舍去）.
故m，n的值分别为2，8.
（2）展开式中偶数项的二项式系数之和为＋＋＋＝28－1＝128.
（3）∵（1＋2）8（1－x）＝（1＋2）8－x（1＋2）8，
∴含x2项的系数为24－22＝1 008.
2 / 24.2 二项式系数的性质
新课程标准解读 核心素养
掌握二项式系数的性质，会运用二项式系数的性质解决系数求和等问题 数学运算
同学们根据二项式定理写出（a＋b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的二项式系数.可以写成如下形式：
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就.
【问题】 你知道二项式系数有哪些性质吗？
知识点 二项式系数的性质
1.当n依次取1，2，3，…时，（a＋b）n展开式的二项式系数如图：
（1）该表叫作 ，也称为杨辉三角；
（2）特征：表中每行两端都是 ，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数 .
2.（a＋b）n展开式的二项式系数，，…，有如下性质：
（1）＝；
（2）＋＝ ；
（3）当r＜时， ；当r＞时， ；
（4）＋＋…＋＝ .
【想一想】
二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项一定相同吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）令f（r）＝（0≤r≤n，且r∈N），则f（r）的图象关于直线r＝对称.（ ）
（2）二项展开式中各项系数和等于二项式系数和.（ ）
（3）二项展开式的二项式系数和为＋＋…＋.（ ）
2.已知（a＋b）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝（ ）
A.11 B.10
C.9 D.8
3.（2－x）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝ .
题型一 杨辉三角的应用
【例1】 根据杨辉三角，写出（a＋b）8展开式的二项式系数.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）根据杨辉三角写出（a＋b）9展开式的二项式系数.
通性通法
利用杨辉三角——二项式系数表的规律
（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等；
（2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和；
（3）n＝2，4，6时，中间一项最大，n＝3，5时，中间两项相等且最大.由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.
【跟踪训练】
如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.
题型二 二项展开式中各项系数和问题（赋值法）
【例2】 设（1－2x）2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023·x2 023（x∈R）.
（1）求a0＋a1＋a2＋…＋a2 023的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值；
（3）求｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a2 023｜的值.
尝试解答
通性通法
二项展开式中系数和的求法
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m， n∈N＋）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N＋）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；
（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【跟踪训练】
1.若（1＋mx）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝（ ）
A.1或－3 B.1或3
C.－3 D.1
2.设（2x＋）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2的值为（ ）
A.1 B.－1
C.0 D.2
题型三 二项式系数性质的应用
【例3】 （多选）若（x－）n的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）
A.n＝8
B.各项二项式系数和为128
C.二项式系数最大项有2项
D.第4项与第5项系数相等且最大
尝试解答
通性通法
1.二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行讨论：
（1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
（2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项.
【跟踪训练】
已知的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n＝ ；展开式中的系数最大的项是 .
1.二项式（x－1）n的奇数项的二项式系数和是64，则n＝（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
2.（1－2x）15的展开式中的各项系数和是（ ）
A.1 B.－1
C.215 D.315
3.设（2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝（ ）
A.4 B.－71
C.64 D.199
4.（多选）关于（a－b）11的说法，正确的是（ ）
A.展开式中的二项式系数之和为2 048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最大
5.（2x－1）6的展开式中各项系数的和为 ；各项的二项式系数的和为 .
4.2 二项式系数的性质
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）二项式系数表 （2）1 之和
2.（2） （3）＜ ＜ （4）2n
想一想
提示：不一定.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）×
2.D 第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.
3.180 解析：由题意可知a8是x8的系数，所以a8＝×22＝180.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由杨辉三角知道（a＋b）6的各二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，根据其规律有：
所以（a＋b）8的各二项式系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1.
母题探究
解：由例1知（a＋b）8的各二项式系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1.
根据其规律有
所以（a＋b）9的各二项式系数为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1.
跟踪训练
34 解析：由杨辉三角可知第n行中的数是，，，…，，由题设∶＝2∶3，解得n＝34.
【例2】 解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝（－1）2 023＝－1.①
（2）令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 023＝32 023. ②
①－②得2（a1＋a3＋…＋a2 023）＝－1－32 023，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝.
（3）∵Tr＋1＝（－2x）r＝（－1）r··（2x）r，
∴a2k－1＜0（k∈N＋），a2k＞0（k∈N）.
∴｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a2 023｜＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023.
跟踪训练
1.A 因为（1＋mx）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，所以令x＝1得（1＋m）6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，所以1＋m＝2或1＋m＝－2，解得m＝1或m＝－3.故选A.
2.A （a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2＝（a0＋a1＋a2＋a3＋a4）·（a0－a1＋a2－a3＋a4）＝（2＋）4·（－2＋）4＝（－4＋3）4＝1.故选A.
【例3】 BC 由题意，的二项展开式共有8项，可得n＝7，所以A错误；根据二项展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为27＝128，所以B正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4项和第5项的二项式系数最大，所以C正确；由展开式的第4项为x4＝－35，第5项为x3＝35x，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D错误.故选B、C.
跟踪训练
4 108x5 解析：的展开式中的各二项式系数的和为2n.令x＝1，则各项系数的和为（3＋1）n＝22n，依题意得22n－2n＝240，（2n＋15）（2n－16）＝0，2n＝16，n＝4.所以二项式为，其展开式的通项为Tr＋1＝·（3x2）4－r·（x－1）r＝34－r··x8－3r，所以展开式中的系数为34－r·.令r＝0，1，2，3，4，得系数的取值为34＝81，33·＝108，32·＝54，3＝12，30·＝1，所以展开式中的系数最大的项是108x5.
随堂检测
1.C 二项式（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C.
2.B 令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.
3.C ∵（2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
4.AC （a－b）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A正确；
因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C正确；
展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确.故选A、C.
5.1 64 解析：令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
4 / 4(共65张PPT)
4.2 二项式系数的性质
新课程标准解读 核心素养
掌握二项式系数的性质，会运用二项式系数的性
质解决系数求和等问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
同学们根据二项式定理写出（ a ＋ b ） n （ n ＝1，2，3，4，5，
6）的二项式系数.可以写成如下形式：
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一
书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本
书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”.在欧洲，这个表被认为是
法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由
此可见我国古代在数学方面的成就.
【问题】 你知道二项式系数有哪些性质吗？
知识点 二项式系数的性质
1. 当 n 依次取1，2，3，…时，（ a ＋ b ） n 展开式的二项式系数如图：
（1）该表叫作 ，也称为杨辉三角；
（2）特征：表中每行两端都是 ，而且除1以外的每一个数都
等于它“肩上”的两个数 .
二项式系数表
1
之和
2. （ a ＋ b ） n 展开式的二项式系数 ， ，…， 有如下性质：
（1） ＝ ；
（2） ＋ ＝ ；
（3）当 r ＜ 时， ；当 r ＞ 时，
；
（4） ＋ ＋…＋ ＝ .
＜
＜
2 n
【想一想】
二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项一定相
同吗？
提示：不一定.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）令 f （ r ）＝ （0≤ r ≤ n ，且 r ∈N），则 f （ r ）的图象关于
直线 r ＝ 对称. （ √ ）
（2）二项展开式中各项系数和等于二项式系数和. （ × ）
（3）二项展开式的二项式系数和为 ＋ ＋…＋ . （ × ）
√
×
×
2. 已知（ a ＋ b ） n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则 n ＝
（ ）
A. 11 B. 10
C. 9 D. 8
解析： 第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴ n ＝8.
3. （2－ x ）10＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a10 x10，则 a8＝ .
解析：由题意可知 a8是 x8的系数，所以 a8＝ ×22＝180.
180
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 杨辉三角的应用
【例1】 根据杨辉三角，写出（ a ＋ b ）8展开式的二项式系数.
解：由杨辉三角知道（ a ＋ b ）6的各二
项式系数为1，6，15，20，15，6，
1，根据其规律有：
所以（ a ＋ b ）8的各二项式系数为1，
8，28，56，70，56，28，8，1.
解：由例1知（ a ＋ b ）8的各二项式系数为：1，8，28，56，70，56，
28，8，1.
根据其规律有
所以（ a ＋ b ）9的各二项式系数为1，9，36，84，126，126，84，
36，9，1.
【母题探究】
（变设问）根据杨辉三角写出（ a ＋ b ）9展开式的二项式系数.
通性通法
利用杨辉三角——二项式系数表的规律
（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数
相等；
（2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个
数的和；
（3） n ＝2，4，6时，中间一项最大， n ＝3，5时，中间两项相等且
最大.由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接
写出各项的二项式系数.
【跟踪训练】
如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 行中从左至
右第14个与第15个数的比为2∶3.
34
解析：由杨辉三角可知第 n 行中的数是 ， ， ，…，
，由题设 ∶ ＝2∶3，解得 n ＝34.
题型二 二项展开式中各项系数和问题（赋值法）
【例2】 设（1－2 x ）2 023＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a2 023· x2 023（ x
∈R）.
（1）求 a0＋ a1＋ a2＋…＋ a2 023的值；
解：令 x ＝1，得 a0＋ a1＋ a2＋…＋ a2 023＝（－1）2 023＝－1.①
（2）求 a1＋ a3＋ a5＋…＋ a2 023的值；
解：令 x ＝－1，得 a0－ a1＋ a2－…－ a2 023＝32 023. ②
①－②得2（ a1＋ a3＋…＋ a2 023）＝－1－32 023，
∴ a1＋ a3＋ a5＋…＋ a2 023＝ .
（3）求｜ a0｜＋｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ a2 023｜的值.
解：∵ Tr＋1＝ （－2 x ） r ＝（－1） r · ·（2 x ）r ，
∴ a2 k－1＜0（ k ∈N＋）， a2 k ＞0（ k ∈N）.
∴｜ a0｜＋｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜ a2 023｜
＝ a0－ a1＋ a2－ a3＋…－ a2 023＝32 023.
通性通法
二项展开式中系数和的求法
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax2＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c ∈R， m ，
n ∈N＋）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只
需令 x ＝1即可；对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N＋）的式子
求其展开式各项系数之和，只需令 x ＝ y ＝1即可；
（2）一般地，若 f （ x ）＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ anxn ，则 f （ x ）展开
式中各项系数之和为 f （1），
奇数项系数之和为 a0＋ a2＋ a4＋…＝ ，
偶数项系数之和为 a1＋ a3＋ a5＋…＝ .
1. 若（1＋ mx ）6＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a6 x6，且 a0＋ a1＋ a2＋…＋
a6＝64，则实数 m ＝（ ）
A. 1或－3 B. 1或3 C. －3 D. 1
解析： 因为（1＋ mx ）6＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a6 x6，所以令 x
＝1得（1＋ m ）6＝ a0＋ a1＋ a2＋…＋ a6＝64，所以1＋ m ＝2或1＋
m ＝－2，解得 m ＝1或 m ＝－3.故选A.
【跟踪训练】
2. 设（2 x ＋ ）4＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋ a3 x3＋ a4 x4，则（ a0＋ a2＋ a4）2
－（ a1＋ a3）2的值为（ ）
A. 1 B. －1
C. 0 D. 2
解析： （ a0＋ a2＋ a4）2－（ a1＋ a3）2＝（ a0＋ a1＋ a2＋ a3＋
a4）·（ a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4）＝（2＋ ）4·（－2＋ ）4＝（－4
＋3）4＝1.故选A.
题型三 二项式系数性质的应用
【例3】 （多选）若（ x － ） n 的二项展开式共有8项，则该二项展
开式（ ）
A. n ＝8
B. 各项二项式系数和为128
C. 二项式系数最大项有2项
D. 第4项与第5项系数相等且最大
解析： 由题意， 的二项展开式共有8项，可得 n ＝7，
所以A错误；根据二项展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数
的和为27＝128，所以B正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得
中间项的二项式系数最大，即第4项和第5项的二项式系数最大，所以
C正确；由 展开式的第4项为 x4 ＝－35 ，第5项
为 x3 ＝35 x ，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以
D错误.故选B、C.
通性通法
1. 二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（ a ＋ b ） n 中的
n 进行讨论：
（1）当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
（2）当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2. 展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要
根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求（ a ＋ bx ） n （ a ， b
∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中
各项系数分别为 A0， A1， A2，…， An ，且第 k ＋1项最大，应用
解出 k ，即得出系数最大的项.
【跟踪训练】
已知 的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小
240，则 n ＝ ；展开式中的系数最大的项是 .
4
108 x5
解析： 的展开式中的各二项式系数的和为2 n .令 x ＝1，
则各项系数的和为（3＋1） n ＝22 n ，依题意得22 n －2 n ＝240，（2 n
＋15）（2 n －16）＝0，2 n ＝16， n ＝4.所以二项式为 ，
其展开式的通项为 Tr＋1＝ ·（3 x2）4－ r ·（ x－1） r ＝34－ r · ·
x8－3 r ，所以展开式中的系数为34－ r · .令 r ＝0，1，2，3，4，得系
数的取值为34＝81，33· ＝108，32· ＝54，3 ＝12，30· ＝
1，所以展开式中的系数最大的项是108 x5.
1. 二项式（ x －1） n 的奇数项的二项式系数和是64，则 n ＝（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 二项式（ a ＋ b ） n 的展开式中，奇数项的二项式系数和
等于偶数项的二项式系数和，∴2 n－1＝64，∴ n ＝7.故选C.
2. （1－2 x ）15的展开式中的各项系数和是（ ）
A. 1 B. －1
C. 215 D. 315
解析： 令 x ＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.
3. 设（2－ x ）6＝ a0＋ a1（1＋ x ）＋ a2（1＋ x ）2＋…＋ a6（1＋ x ）
6，则 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＝（ ）
A. 4 B. －71
C. 64 D. 199
解析： ∵（2－ x ）6＝ a0＋ a1（1＋ x ）＋ a2（1＋ x ）2＋…＋ a6
（1＋ x ）6，令 x ＝0，∴ a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＝26＝64.
4. （多选）关于（ a － b ）11的说法，正确的是（ ）
A. 展开式中的二项式系数之和为2 048
B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大
C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最大
解析： （ a － b ）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2
048，所以A正确；因为 n ＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间
两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C
正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确.
故选A、C.
5. （2 x －1）6的展开式中各项系数的和为 ；各项的二项式系数的和
为 .
解析：令 x ＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
1
64
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在（ a ＋ b ） n 的二项展开式中，与第 k 项的二项式系数相同的项是
（ ）
A. 第 n － k 项 B. 第 n － k －1项
C. 第 n － k ＋1项 D. 第 n － k ＋2项
解析： 第 k 项的二项式系数是 ，由于 ＝ ，故
第 n － k ＋2项的二项式系数与第 k 项的二项式系数相同.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知（1＋ x ） n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式
中的奇数项的二项式系数之和为（ ）
A. 212 B. 211 C. 210 D. 29
解析： ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴ n ＝10，
∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，∴展开
式中奇数项的二项式系数之和为 ＝29.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. （1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋…＋（1＋ x ） n 的展开式中各项系数之和
为（ ）
A. 2 n＋1 B. 2 n －1
C. 2 n＋1－1 D. 2 n＋1－2
解析： 令 x ＝1，则2＋22＋…＋2 n ＝2 n＋1－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. （ x －1）11的展开式中 x 的偶次项系数之和是（ ）
A. －2 048 B. －1 023
C. 1 024 D. －1 024
解析： （ x －1）11＝ x11＋ x10·（－1）＋ x9·（－1）2
＋…＋ （－1）11， x 的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1
024.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）对任意实数 x ，有（2 x －3）9＝ a0＋ a1（ x －1）＋ a2（ x
－1）2＋ a3（ x －1）3＋…＋ a9（ x －1）9.则下列结论成立的是
（ ）
A. a2＝－144
B. a0＝1
C. a0＋ a1＋ a2＋…＋ a9＝1
D. a0－ a1＋ a2－ a3＋…－ a9＝－39
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 对任意实数 x ，有（2 x －3）9＝ a0＋ a1（ x －1）＋
＋ a3（ x －1）3＋…＋ a9（ x －1）9＝[－1＋2（ x －
1）]9，所以 a2＝－ ×22＝－144，故A正确；令 x ＝1，可得 a0＝
－1，故B不正确；令 x ＝2，可得 a0＋ a1＋ a2＋…＋ a9＝1，故C正
确；令 x ＝0，可得 a0－ a1＋ a2－ a3＋…－ a9＝－39，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）关于 的说法，正确的是（ ）
A. 展开式中第7项和第8项的二项式系数最大
B. 展开式中无常数项
C. 展开式中的第7项的系数最大
D. 展开式中第4项的系数为286
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 展开式的第 r ＋1项 Tr＋1＝ x13－ r ＝
（－1） r x13－2 r （ r ＝0，1，2，…，13）.对于A，展开式共有14
项，根据组合数的性质可知，中间两项的二项式系数最大，即第7
项和第8项的二项式系数最大，故A正确；对于B，令13－2 r ＝0，
得 r ＝ ，不是整数，则无常数项，故B正确；对于C，第7项的系
数为（－1）6 ＝ ，第8项的系数为（－1）7 ＝－ ＜0，
显然 ＞－ ，故第7项系数最大，故C正确；对于D，第4项的
系数为（－1）3 ＝－286，故D不正确.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 若（ x ＋3 y ） n 的展开式中各项系数的和等于（7 a ＋ b ）10的展开式
中二项式系数的和，则 n 的值为 .
解析：（7 a ＋ b ）10的展开式中二项式系数的和为 ＋ ＋…＋
＝210，令（ x ＋3 y ） n 中 x ＝ y ＝1，则由题设知，4 n ＝210，即22
n ＝210，解得 n ＝5.
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 已知 展开式的各项系数和为243，则展开式中含 x7的项的
二项式系数为 .
解析：∵ 展开式的各项系数和为243，
∴令 x ＝1，可得3 n ＝243，
10
解得 n ＝5.
∴ 展开式的通项 Tr＋1＝ 25－ rx15－4 r ， r ∈{0，1，…，
5}.令15－4 r ＝7，得 r ＝2，
∴展开式中含 x7的项的二项式系数为 ＝10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 已知（1－ x ）5＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋ a3 x3＋ a4 x4＋ a5 x5，则（ a0＋ a2
＋ a4）（ a1＋ a3＋ a5）＝ .
解析：令 x ＝1，得 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＝0，令 x ＝－1，得 a0
－ a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5＝25＝32，两式相加可得2（ a0＋ a2＋ a4）＝
32，两式相减可得2（ a1＋ a3＋ a5）＝－32，则 a0＋ a2＋ a4＝16， a1
＋ a3＋ a5＝－16，所以（ a0＋ a2＋ a4）（ a1＋ a3＋ a5）＝－256.
－256
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为
47，③各项系数之和为414，这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中，若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，说明理由.设
二项式 ，若其展开式中， ，是否存在整数 k ，使得
Tk 是展开式中的常数项？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：选①，因展开式中只有第八项的二项式系数最大，则展开式
共有15项，即 n ＝14，
二项式 展开式的通项公式为 Tr＋1＝
＝3 r ， r ∈N， r ≤14，
由7－ r ＝0得 r ＝2，因此，展开式中第3项是常数项，
所以存在整数 k ＝3，使得 Tk 是展开式中的常数项.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
选②，因展开式中奇数项二项式系数之和为47，则有2 n－1＝47＝
214，解得 n ＝15，
二项式 展开式的通项公式为 Tr＋1＝ （ ）15－ r
＝3 r ， r ∈N， r ≤15，
由 ＝0得，无整数解，即二项展开式中无常数项，
所以不存在整数 k ，使得 Tk 是展开式中的常数项.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
选③，二项式 展开式的各项系数之和为4 n ，依题意，4
n ＝414，解得 n ＝14，
二项式 展开式的通项公式为 Tr＋1＝ （ ）14－ r
＝3 r ， r ∈N， r ≤14，
由7－ r ＝0得 r ＝2，因此，展开式中第3项是常数项，
所以存在整数 k ＝3，使得 Tk 是展开式中的常数项.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序
排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为
（ ）
A. 530 B. 502
C. 503 D. 505
解析： 由题意，得“上升”的正整数包含的两位数有 个，三
位数有 个，…，九位数有 个，则所有“上升”的正整数的个数
为 ＋ ＋ ＋…＋ ＝29－ － ＝502.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 已知二项式（ a ＋ ） n （ a ＞0）的展开式的第五、六项的二
项式系数相等且最大，且展开式中含 x2项的系数为84，则 a 的值为
（ ）
A. 2 B. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： ∵二项式（ a ＋ ） n （ a ＞0）的展开式的第五、六
项的二项式系数相等且最大，∴ n ＝9.又∵（ a ＋ ）9的展开
式的通项为 Tr＋1＝ a9－ r ＝ a9－ r ，令 ＝2，
解得 r ＝3，又展开式中含 x2项的系数为84，即 a6 ＝84，解得 a
＝1或 a ＝－1（舍去）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）设常数 a ∈R， n ∈N＋，对于二项式（1＋ a ） n 的展开
式，下列结论中，正确的是（ ）
B. 若各项系数随着项数的增大而增大，则 a ＞ n
C. 若 a ＝－2， n ＝10，则第7项的系数最大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 二项式（1＋ a ） n 的展开式的通项为 Tr＋1＝ ·1 n
－ r ·（ a ） r ＝ · ar · ，对于A，当 a ＝0时，则除常数项外，
任意项的系数均为0，故A错误；对于B，若 a ≤ n ，则最后两项的
系数为 an－1， an ，有 an－1≥ an ，与已知矛盾，故 a
＞ n ，故B正确；对于C，若 a ＝－2， n ＝10，则各项系数依次为
（－2）0＝1， （－2）1＝－20， （－2）2＝180，
（－2）3＝－960， （－2）4＝3 360， （－2）5＝－8 064，
（－2）6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
＝13 440， （－2）7＝－15 360， （－2）8＝11 520， （－2）
9＝－5 120， （－2）10＝1 024，故第7项的系数最大，故C正确；
对于D，若 a ＝－ ， n ＝7，则所有奇数项的系数和为 a0＋ a2
＋ a4＋ a6＝1×1＋21×2＋35×4＋7×8＝239，故D正确.故选B、
C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 在 的二项展开式中，常数项是8，则实数 a 的值是
，第 项的二项式系数最大.
解析： 的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通
项可知 Tk＋1＝ （2 x ）4－ k ＝ ·24－ k ·（－ a ） k · ，
所以当 k ＝3时为常数项，代入可得 ·24－3·（－ a ）3＝8，解得 a
＝－1，由二项式定理可知展开式共有5项，则根据二项式系数可
知第3项二项式系数最大.
－
1
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 若（ x2－3 x ＋2）5＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a10 x10.
（1）求 a1＋ a2＋…＋ a10的值；
解：令 f （ x ）＝（ x2－3 x ＋2）5＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…
＋ a10 x10，
a0＝ f （0）＝25＝32， a0＋ a1＋ a2＋…＋ a10＝ f （1）＝0，
故 a1＋ a2＋…＋ a10＝－32.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求（ a0＋ a2＋ a4＋ a6＋ a8＋ a10）2－（ a1＋ a3＋ a5＋ a7＋ a9）
2的值.
解：（ a0＋ a2＋ a4＋ a6＋ a8＋ a10）2－（ a1＋ a3＋ a5＋
a7＋ a9）2＝（ a0＋ a1＋ a2＋…＋ a10）（ a0－ a1＋ a2－…＋
a10）＝ f （1）· f （－1）＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知（1＋ m ） n （ m 是正实数）的展开式的二项式系数之和为
256，展开式中含有 x 项的系数为112.
（1）求 m ， n 的值；
解：由题意可得2 n ＝256，解得 n ＝8，
∴展开式的通项为 Tk＋1＝ mk ，
∴含 x 项的系数为 m2＝112，
解得 m ＝2或 m ＝－2（舍去）.
故 m ， n 的值分别为2，8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求展开式中偶数项的二项式系数之和；
解：展开式中偶数项的二项式系数之和为 ＋ ＋
＋ ＝28－1＝128.
（3）求（1＋ m ） n （1－ x ）的展开式中含 x2项的系数.
解：（3）∵（1＋2 ）8（1－ x ）＝（1＋2 ）8－ x （1
＋2 ）8，
∴含 x2项的系数为 24－ 22＝1 008.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
