培优课 二项式定理的综合应用
1.在（x－1）5展开式中，x2的系数为（ ）
A.10 B.5
C.－10 D.－5
2.若二项式（x2＋）7的展开式中的各项系数之和为－1，则a的值为（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
3.在的展开式中，常数项为（ ）
A.－112 B.112
C.－1 120 D.1 120
4.已知＝，设（2x－3）n＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋an（x－1）n，则a1＋a2＋…＋an＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
5.“n＝6”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.32 022除以10的余数是（ ）
A.9 B.3
C.1 D.0
7.展开式中x2y5的系数为（ ）
A.－21 B.21
C.－35 D.35
8.已知的展开式中只有第5项二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A.－448 B.－1 024
C.－1 792 D.－5 376
9.（多选）关于（7－x）7的展开式，下列判断正确的是（ ）
A.展开式共有8项
B.展开式的各二项式系数的和为128
C.展开式的第7项的二项式系数为49
D.展开式的各项系数的和为67
10.（多选）若（1－x）2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则（ ）
A.a0＝1
B.a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝1
C.展开式中的各项系数之和为0
D.展开式中所有项的二项式系数之和为22 023
11.（多选）已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）
A.n＝7
B.展开式中各项系数的和为1
C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D.展开式中含x4项的系数为84
12.（多选）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A.a＝1
B.展开式中常数项为160
C.展开式系数的绝对值的和为1 458
D.展开式中含x2项的系数为240
13.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2项的系数是 .
14.在的二项展开式中，系数最大的项为 .
15.已知（3x＋1）n（n∈N＋）展开式中所有项的系数之和为a，所有项的二项式系数之和为b，则＋的最小值为 .
16.已知（1＋2x2）的展开式中常数项为121，则实数a＝ .
17.在①a1＝35；②展开式中二项式系数最大值为7m；③＋＋…＋＝32（m∈N＋）.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知（1＋mx）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，且 .
（1）求m的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋a7的值（结果保留指数形式）.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一解答计分.
18.已知在的展开式中，前3项的系数分别为a1，a2，a3，且满足2a2＝a1＋a3.求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项.
培优课 二项式定理的综合应用
1.C （x－1）5展开式中含x2的项为x2·（－1）3＝－10x2，所以x2的系数为－10，故选C.
2.D 令x＝1，得二项式（x2＋）7的展开式中的各项系数之和为（1＋a）7，所以（1＋a）7＝－1，解得a＝－2，故选D.
3.B 二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝··（－2）r·x－r＝（－2）r··，令＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项为4＝112，故选B.
4.D 因为＝，所以由组合数的性质得n＝3＋6＝9，所以（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，令x＝2，得（2×2－3）9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，即a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1.令x＝1，得（2×1－3）9＝a0＝－1，所以a1＋a2＋…＋a9＝（a0＋a1＋a2＋…＋a9）－a0＝1－（－1）＝2，故选D.
5.A 二项式的通项为＝xn－r＝xn－2r（0≤r≤n），的二项展开式中存在常数项 n＝2r n为正偶数，∵n＝6 n为正偶数，n为正偶数推不出n＝6，∴n＝6是的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件.故选A.
6.A 32 022＝（10－1）1 011＝101 011－101 010＋101 009－·101 008＋…＋10－，所以101 011－101 010＋·101 009－101 008＋…－102＋10－1＝10（101 010－101 019＋101 008－·101 007＋…－10＋）－1，故32 022除以10的余数是9，故选A.
7.A 因为＝［－y］7展开式的通项公式为（x＋）7－k·（－y）k，所以当k＝5时，含有x2y5的项，此时（－y）5＝－21（x2＋4＋）y5，故x2y5的系数为－21.故选A.
8.C ∵展开式中只有第5项二项式系数最大，则n＝8，∴展开式的通项为Tr＋1＝·＝（－2）r，r＝0，1，…，8，则该展开式中各项系数ar＝（－2）r，r＝0，1，…，8，若求系数的最小值，则r为奇数且即解得r＝5，∴系数的最小值为a5＝（－2）5＝－1 792，故选C.
9.ABD 展开式共有7＋1＝8项，故A正确；展开式的各二项式系数的和为27＝128，故B正确；展开式的第7项的二项式系数为＝＝7，故C错误；展开式的各项系数的和为（7－1）7＝67，故D正确.故选A、B、D.
10.ACD 选项A：令x＝0，可得a0＝（1－0）2 023＝1，故A正确；选项B：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝（1－1）2 023＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝（a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023）－a0＝0－1＝－1，故B错误；选项C：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝（1－1）2 023＝0，故C正确；选项D：展开式中所有项的二项式系数之和＋＋＋…＋＝22 023，故D正确.故选A、C、D.
11.ACD 对于A，因为的展开式的二项式系数和为2n，所以2n＝128＝27，则n＝7，故A正确；对于B，令x＝1，则＝＝－1，所以展开式中各项系数的和为－1，故B错误；对于C，因为第4项的二项式系数为，第5项的二项式系数为，所以＝，又＞＞＞，＞＞＞，所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C正确；对于D，因为的展开式通项为Tk＋1＝x7－k＝（－2）kx7－k，令7－k＝4，得k＝2，则T3＝（－2）2x4＝4×21x4＝84x4，所以含x4项的系数为84，故D正确，故选A、C、D.
12.ACD 对于A，令x＝1，所以的展开式中各项系数的和为（1＋a）（2－1）6＝2，解得a＝1，故A正确；对于B和D，展开式通项为Tr＋1＝（2x）6－r（－）r＝（－1）r26－r·x6－2r，当6－2r＝0时，r＝3；当6－2r＝1时，r＝（舍去），所以展开式中常数项为1×（－1）3×23＝－160；当6－2r＝2时，r＝2；当6－2r＝3时，r＝（舍去），所以展开式中含x2项的系数为1×（－1）224＝240，故B错误，D正确；对于C，二项式展开式系数的绝对值的和可看做是二项式（1＋）·展开式系数的和，所以令x＝1，展开式系数的和为（1＋1）（2＋1）6＝1 458，故C正确，故选A、C、D.
13.120 解析：（1＋x）n（n≥2）的展开式中x2的系数为，故（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是＋＋…＋＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＝120.
14.70 解析：的展开式通项为Tr＋1＝x8－r·（－x－1）r＝（－1）rx8－2r，显然当r＝0，2，4，6，8时，二项展开式的系数为正，当r＝1，3，5，7时，二项展开式的系数为负，其中T1＝x8＝x8，T3＝（－1）2x4＝28x4，T5＝（－1）4x0＝70，T7＝（－1）6x－4＝28x－4，T9＝（－1）8x－8＝x－8，故系数最大的项为T5＝70.
15. 解析：令x＝1可得展开式中所有项的系数之和为a＝4n，由题知所有项的二项式系数之和为b＝2n，所以＋＝＋＝＋2n.令2n＝t，因为n∈N＋，所以t≥2，易知函数y＝＋t在t∈[2，＋∞）上单调递增，则当t＝2时，y取最小值，ymin＝2＋＝，所以＋的最小值为.
16.±2 解析：由题意可知，的展开式通项为Tr＋1＝·16－r·，当r＝0时，此时的常数项为1×＝1；当r＝2时，此时的常数项为2x2×·14·＝2a2＝30a2，所以展开式中的常数项为30a2＋1＝121，解得a＝±2.
17.解：（1）若选①，a1＝35，根据二项展开式的通项公式可得a1＝·16·m＝7m＝35，解得m＝5.
若选②，展开式中二项式系数最大值为7m，由二项式系数的性质可得＝7m或＝7m，解得7m＝35，即m＝5.
若选③，＋＋…＋＝32（m∈N＋），由二项式系数和可得2m＝32，解得m＝5.
（2）（1＋5x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝67，
令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a7＝－47，
相减可得2（a1＋a3＋a5＋a7）＝67＋47，所以a1＋a3＋a5＋a7＝.
18.解：（1）因为展开式的通项公式为Tk＋1＝·＝，k＝0，1，2，…，n，
所以a1＝＝1，a2＝＝n，a3＝＝，
依题意得2×n＝1＋，即n（n－1）＝8（n－1），由已知n≥2，
所以n＝8，
所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，
所以T5＝＝.
（2）由（1）知，Tk＋1＝，
设展开式中系数最大的项为第k＋1项，则
即
即
解得2≤k≤3，所以k＝2或k＝3，
所以展开式中系数最大的项为T3＝＝7和T4＝＝7.
2 / 2 二项式定理的综合应用
题型一 求两个多项式积的特定项
【例1】 （1）已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a＝（ ）
A.－4 B.－3
C.－2 D.－1
（2）（1＋2x）3（1－x）4的展开式中，含x项的系数为（ ）
A.10 B.－10
C.2 D.－2
尝试解答
通性通法
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到（a＋bx）n（s＋tx）m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝an－k（bx）k·sm－r（tx）r＝an－kbksm－r·trxk＋r（k＝0，1，2，…，n；r＝0，1，2，…，m），再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况.
【跟踪训练】
（x－y）（x＋y）8的展开式中x2y7的系数为 .（用数字作答）
题型二 三项式的展开问题
【例2】 （＋＋）5的展开式中的常数项为 （用数字作答）.
尝试解答
通性通法
三项式求特定项的常规方法
（1）因式分解法：通过分解因式将三项式变成两个二项式的积，然后用二项式定理分别展开；
（2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开；
（3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后应把各个同类项合并.
【跟踪训练】
（x2－x＋1）10的展开式中含x3项的系数为（ ）
A.－210 B.210
C.30 D.－30
题型三 二项式定理的应用
角度1 利用二项式定理证明整除问题或求余数
【例3】 （1）用二项式定理证明：32n＋3－24n＋37能被64整除；
（2）求9192除以100的余数.
尝试解答
通性通法
利用二项式定理解决整除问题的基本思路
利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除.因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理.
角度2 利用二项式定理近似计算
【例4】 求1.9975精确到0.001的近似值.
尝试解答
通性通法
（1＋a）n的近似计算的处理方法
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式（1＋a）n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分a2＋a3＋…＋an很小，所以可以忽略不计.但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式（1＋a）n≈1＋na＋a2等.
【跟踪训练】
（1）求1.003 55精确到0.001的近似值；
（2）求证：32n＋2－8n－9（n∈N＋）能被64整除.
培优课 二项式定理的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）C 解析：（1）由二项式定理得（1＋x）5的展开式的通项为Tk＋1＝·xk，所以（1＋ax）（1＋x）5的展开式中含x2的项的系数为＋·a＝5，所以a＝－1，故选D.
（2）（1＋2x）3（1－x）4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为·（2x）0··（－x）1＋·（2x）1··14·（－x）0，其系数为××（－1）＋×2×＝－4＋6＝2.故选C.
跟踪训练
－20 解析：由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·xy7－y·x2y6，故（x－y）（x＋y）8的展开式中x2y7的系数为－＝8－28＝－20.
【例2】 解析：法一 （＋＋）5在x＞0时可化为（＋）10，因而展开式的通项Tr＋1＝（）10－r·（）10－2r，则r＝5时为常数项，即·（）5＝.
（＋＋）5在x＜0时可化为－（－）10，所以展开式的通项T'k＋1＝－（）10－k（－1）k·（）10－2k，令10－2k＝0，得k＝5，则展开式的常数项为－（）5（－1）5＝.
综上，（＋＋）5的展开式的常数项为.
法二 原式＝（）5＝·[（x＋）2]5＝·（x＋）10.
求原展开式中的常数项，转化为求（x＋）10的展开式中含x5的项的系数，即·（）5.
所以原展开式中的常数项为＝.
法三 （＋＋）5是5个三项式（＋＋）相乘.常数项的产生有三种情况：
（1）在5个相乘的三项式（＋＋）中，从其中1个三项式中取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得····（）3＝20.
（2）在5个相乘的三项式（＋＋）中，从其中2个三项式中取，从另外3个三项式中选2个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得·（）2··＝.
（3）从5个相乘的三项式（＋＋）中都取常数项相乘，可得·（）5＝4.
综上，（＋＋）5的展开式中的常数项为20＋＋4＝.
法四 （＋＋）5＝［（＋）＋］5的通项为Tk＋1＝（＋）5－k，（＋）5－k的通项为T'r＋1＝x－rx5－k－r2－（5－k－r）＝·x5－2r－k2k＋r－5（0≤r≤5－k）.
令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1或k＝5，r＝0.
当k＝1，r＝2时，展开式中的项为2－2＝；
当k＝3，r＝1时，展开式中的项为2·2－1＝20；
当k＝5，r＝0时，展开式中的项为4＝4.
综上，（＋＋）5的展开式中的常数项为＋20＋4＝.
跟踪训练
A 利用展开式中项的特征求解.展开式中含有x3的项，可能有一个因式x2－x＋1取含有x2的项，另一个因式取含有x的项，其余因式均取常数项1，也可能有三个因式取含有x的项，其余因式均取常数项1，所以含有x3的项的系数是（－1）＋（－1）3＝－90－120＝－210.
【例3】 解：（1）证明：32n＋3－24n＋37＝3×9n＋1－24n＋37＝3（8＋1）n＋1－24n＋37＝3（8n＋1＋8n＋…＋8＋1）－24n＋37＝3×64（8n－1＋8n－2＋…＋）＋24－24n＋40＝64×3（8n－1＋8n－2＋…＋）＋64，
显然上式是64的倍数，故原式能被64整除.
（2）法一 9192＝（100－9）92＝·10092－·10091·9＋·10090·92－…－·100·991＋992，显然展开式中前92项均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数.
992＝（10－1）92＝·1092－·1091＋…＋·102－·10＋1，显然展开式中前91项均能被100整除，后两项的和为－919，所以992除以100的余数为81.
故9192除以100的余数为81.
法二 9192＝（90＋1）92＝·9092＋·9091＋…＋·902＋·90＋，前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81.
【例4】 解：1.9975＝（2－0.003）5≈25－×0.003×24＋×0.0032×23＝32－0.24＋0.000 72≈31.761.
跟踪训练
解：（1）1.003 55＝（1＋0.003 5）5≈1＋5×0.003 5＝1.017 5≈1.018.
（2）证明：32n＋2－8n－9＝（8＋1）n＋1－8n－9＝8n＋1＋8n＋…＋－8n－9＝8n＋1＋8n＋…＋82＋（n＋1）×8＋1－8n－9＝8n＋1＋8n＋…＋82.①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
2 / 2(共55张PPT)
培优课
二项式定理的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 求两个多项式积的特定项
【例1】 （1）已知（1＋ ax ）（1＋ x ）5的展开式中，含 x2的项的系
数为5，则 a ＝（ ）
A. －4 B. －3
C. －2 D. －1
解析：由二项式定理得（1＋ x ）5的展开式的通项为 Tk＋1
＝ · xk ，所以（1＋ ax ）（1＋ x ）5的展开式中含 x2的项的系数
为 ＋ · a ＝5，所以 a ＝－1，故选D.
（2）（1＋2 x ）3（1－ x ）4的展开式中，含 x 项的系数为（ ）
A. 10 B. －10
C. 2 D. －2
解析： 1＋2 x ）3（1－ x ）4的展开式中含 x 项的系数是由两个因
式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二
个因式的一次项与常数项，为 ·（2 x ）0· ·（－ x ）1＋
·（2 x ）1· ·14·（－ x ）0，其系数为 × ×（－1）＋
×2× ＝－4＋6＝2.故选C.
通性通法
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到（ a ＋
bx ） n （ s ＋ tx ） m 的展开式中一般项为： Tk＋1· Tr＋1＝ an－ k （ bx ）
k · sm－ r （ tx ） r ＝ an－ kbksm－ r · trxk＋ r （ k ＝0，1，2，…， n ； r
＝0，1，2，…， m ），再依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k
所满足的条件，进而求出 r ， k 的取值情况.
【跟踪训练】
（ x － y ）（ x ＋ y ）8的展开式中 x2 y7的系数为 .（用数字作答）
解析：由二项展开式的通项公式可知，含 x2 y7的项可表示为 x · xy7－
y · x2 y6，故（ x － y ）（ x ＋ y ）8的展开式中 x2 y7的系数为 －
＝8－28＝－20.
－20
题型二 三项式的展开问题
【例2】 （ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项为 （用数字作
答）.
解析：法一 （ ＋ ＋ ）5在 x ＞0时可化为（ ＋ ）10，因而
展开式的通项 Tr＋1＝ （ ）10－ r ·（ ）10－2 r ，则 r ＝5时为常数
项，即 ·（ ）5＝ .
（ ＋ ＋ ）5在 x ＜0时可化为－（ － ）10，所以展开式的
通项T' k＋1＝－ （ ）10－ k （－1） k ·（ ）10－2 k ，令10－2 k ＝
0，得 k ＝5，则展开式的常数项为－ （ ）5（－1）5＝ .
综上，（ ＋ ＋ ）5的展开式的常数项为 .
法二 原式＝（ ）5＝ ·[（ x ＋ ）2]5＝ ·（ x ＋
）10.
求原展开式中的常数项，转化为求（ x ＋ ）10的展开式中含 x5的项
的系数，即 ·（ ）5.
所以原展开式中的常数项为 ＝ .
法三 （ ＋ ＋ ）5是5个三项式（ ＋ ＋ ）相乘.常数项的产
生有三种情况：
（1）在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中，从其中1个三项式中取
，从另外4个三项式中选一个取 ，从剩余的3个三项式中取常数项相
乘，可得 · · · ·（ ）3＝20 .
（2）在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中，从其中2个三项式中取
，从另外3个三项式中选2个取 ，从剩余的1个三项式中取常数项相
乘，可得 ·（ ）2· · ＝ .
（3）从5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中都取常数项相乘，可得
·（ ）5＝4 .
综上，（ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项为20 ＋ ＋4 ＝
.
法四 （ ＋ ＋ ）5＝［（ ＋ ）＋ ］5的通项为 Tk＋1＝
（ ＋ ）5－ k ，（ ＋ ）5－ k 的通项为T' r＋1＝ x－ rx5－ k－ r 2－（5－ k－
r）＝ · x5－2 r－ k 2 k＋ r－5（0≤ r ≤5－ k ）.
令5－2 r － k ＝0，则 k ＋2 r ＝5，可得 k ＝1， r ＝2或 k ＝3， r ＝1或 k
＝5， r ＝0.
当 k ＝1， r ＝2时，展开式中的项为 2－2＝ ；
当 k ＝3， r ＝1时，展开式中的项为 2 ·2－1＝20 ；
当 k ＝5， r ＝0时，展开式中的项为 4 ＝4 .
综上，（ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项为 ＋20 ＋4 ＝
.
通性通法
三项式求特定项的常规方法
（1）因式分解法：通过分解因式将三项式变成两个二项式的积，然
后用二项式定理分别展开；
（2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其
中含两项的一组展开；
（3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识
分析项的构成，注意最后应把各个同类项合并.
A. －210 B. 210
C. 30 D. －30
解析： 利用展开式中项的特征求解.展开式中含有 x3的项，可
能有一个因式 x2－ x ＋1取含有 x2的项，另一个因式取含有 x 的
项，其余因式均取常数项1，也可能有三个因式取含有 x 的项，
其余因式均取常数项1，所以含有 x3的项的系数是 （－1）
＋ （－1）3＝－90－120＝－210.
【跟踪训练】
（ x2－ x ＋1）10的展开式中含 x3项的系数为（ ）
题型三 二项式定理的应用
角度1 利用二项式定理证明整除问题或求余数
【例3】 （1）用二项式定理证明：32 n＋3－24 n ＋37能被64整除；
解：证明：32 n＋3－24 n ＋37＝3×9 n＋1－24 n ＋37＝3（8＋
1） n＋1－24 n ＋37＝3（ 8 n＋1＋ 8 n ＋…＋ 8＋1）－
24 n ＋37＝3×64（ 8 n－1＋ 8 n－2＋…＋ ）＋24
－24 n ＋40＝64×3（ 8 n－1＋ 8 n－2＋…＋ ）
＋64，
显然上式是64的倍数，故原式能被64整除.
（2）求9192除以100的余数.
解：法一 9192＝（100－9）92＝ ·10092－ ·10091·9＋
·10090·92－…－ ·100·991＋ 992，显然展开式中前92项
均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数.
992＝（10－1）92＝ ·1092－ ·1091＋…＋ ·102－ ·10＋
1，显然展开式中前91项均能被100整除，后两项的和为－919，
所以992除以100的余数为81.
故9192除以100的余数为81.
法二 9192＝（90＋1）92＝ ·9092＋ ·9091＋…＋ ·902＋ ·90
＋ ，前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显
然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81.
通性通法
利用二项式定理解决整除问题的基本思路
利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基
本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子
按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除.因此，一般先将被
除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去
法”，结合整除的有关知识来处理.
角度2 利用二项式定理近似计算
【例4】 求1.9975精确到0.001的近似值.
解：1.9975＝（2－0.003）5≈25－ ×0.003×24＋ ×0.0032×23＝32
－0.24＋0.000 72≈31.761.
通性通法
（1＋ a ） n 的近似计算的处理方法
当 a 的绝对值与1相比很小且 n 不大时，常用近似公式（1＋ a ） n
≈1＋ na ，因为这时展开式的后面部分 a2＋ a3＋…＋ an 很小，
所以可以忽略不计.但是使用这个公式时应注意 a 的条件，以及对精确
度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式（1＋ a ） n
≈1＋ na ＋ a2等.
【跟踪训练】
（1）求1.003 55精确到0.001的近似值；
解：1.003 55＝（1＋0.003 5）5≈1＋5×0.003 5＝1.017
5≈1.018.
（2）求证：32 n＋2－8 n －9（ n ∈N＋）能被64整除.
解：证明：32 n＋2－8 n －9＝（8＋1） n＋1－8 n －9
＝ 8 n＋1＋ 8 n ＋…＋ －8 n －9
＝ 8 n＋1＋ 8 n ＋…＋ 82＋（ n ＋1）×8＋1－8 n －9
＝ 8 n＋1＋ 8 n ＋…＋ 82.①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 在（ x －1）5展开式中， x2的系数为（ ）
A. 10 B. 5
C. －10 D. －5
解析： （ x －1）5展开式中含 x2的项为 x2·（－1）3＝－10 x2，
所以 x2的系数为－10，故选C.
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2. 若二项式（ x2＋ ）7的展开式中的各项系数之和为－1，则 a 的值为
（ ）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： 令 x ＝1，得二项式（ x2＋ ）7的展开式中的各项系数之
和为（1＋ a ）7，所以（1＋ a ）7＝－1，解得 a ＝－2，故选D.
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3. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. －112 B. 112
C. －1 120 D. 1 120
解析： 二项式 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝
· ·（－2） r · x－ r ＝（－2） r · · ，令 ＝0，求得 r ＝
2，可得展开式的常数项为4 ＝112，故选B.
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4. 已知 ＝ ，设（2 x －3） n ＝ a0＋ a1（ x －1）＋ a2（ x －1）2
＋…＋ an （ x －1） n ，则 a1＋ a2＋…＋ an ＝（ ）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 因为 ＝ ，所以由组合数的性质得 n ＝3＋6＝9，所
以（2 x －3）9＝ a0＋ a1（ x －1）＋ a2（ x －1）2＋…＋ a9（ x －1）
9，令 x ＝2，得（2×2－3）9＝ a0＋ a1＋ a2＋…＋ a9，即 a0＋ a1＋ a2
＋…＋ a9＝1.令 x ＝1，得（2×1－3）9＝ a0＝－1，所以 a1＋ a2＋…
＋ a9＝（ a0＋ a1＋ a2＋…＋ a9）－ a0＝1－（－1）＝2，故选D.
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5. “ n ＝6”是“ 的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 二项式 的通项为 ＝ xn－ r · ＝ xn－2 r
（0≤ r ≤ n ）， 的二项展开式中存在常数项 n ＝2 r n 为
正偶数，∵ n ＝6 n 为正偶数， n 为正偶数推不出 n ＝6，∴ n ＝6是
的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件.故选A.
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6. 32 022除以10的余数是（ ）
A. 9 B. 3
C. 1 D. 0
解析： 32 022＝（10－1）1 011＝ 101 011－ 101 010＋
101 009－ ·101 008＋…＋ 10－ ，所以 101
011－ 101 010＋ ·101 009－ 101 008＋…－ 102＋
10－1＝10（ 101 010－ 101 019＋ 101 008－
·101 007＋…－ 10＋ ）－1，故32 022除以10的余数是
9，故选A.
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7. 展开式中 x2 y5的系数为（ ）
A. －21 B. 21
C. －35 D. 35
解析： 因为 ＝ 展开式的通项公式为
·（－ y ） k ，所以当 k ＝5时，含有 x2 y5的项，此时
（－ y ）5＝－21 y5，故 x2 y5的系数为－21.
故选A.
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8. 已知 的展开式中只有第5项二项式系数最大，则该展开式
中各项系数的最小值为（ ）
A. －448 B. －1 024
C. －1 792 D. －5 376
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解析： ∵展开式中只有第5项二项式系数最大，则 n ＝8，∴展
开式的通项为 Tr＋1＝ · ＝（－2） r ， r ＝
0，1，…，8，则该展开式中各项系数 ar ＝（－2） r ， r ＝0，
1，…，8，若求系数的最小值，则 r 为奇数且即
解得 r ＝5，∴系数的最小值为 a5
＝（－2）5 ＝－1 792，故选C.
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9. （多选）关于（7－ x ）7的展开式，下列判断正确的是（ ）
A. 展开式共有8项
B. 展开式的各二项式系数的和为128
C. 展开式的第7项的二项式系数为49
D. 展开式的各项系数的和为67
解析： 展开式共有7＋1＝8项，故A正确；展开式的各二项式
系数的和为27＝128，故B正确；展开式的第7项的二项式系数为
＝ ＝7，故C错误；展开式的各项系数的和为（7－1）7＝67，故D
正确.故选A、B、D.
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10. （多选）若（1－ x ）2 023＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a2 023 x2 023，则
（ ）
A. a0＝1
B. a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2 023＝1
C. 展开式中的各项系数之和为0
D. 展开式中所有项的二项式系数之和为22 023
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解析： 选项A：令 x ＝0，可得 a0＝（1－0）2 023＝1，故A正
确；选项B：令 x ＝1，可得 a0＋ a1＋ a2＋…＋ a2 023＝（1－1）2 023
＝0，所以 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2 023＝（ a0＋ a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2
023）－ a0＝0－1＝－1，故B错误；选项C：令 x ＝1，可得 a0＋ a1
＋ a2＋…＋ a2 023＝（1－1）2 023＝0，故C正确；选项D：展开式中
所有项的二项式系数之和 ＋ ＋ ＋…＋ ＝
22 023，故D正确.故选A、C、D.
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11. （多选）已知 的展开式的二项式系数和为128，则下列
说法正确的是（ ）
A. n ＝7
B. 展开式中各项系数的和为1
C. 展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D. 展开式中含 x4项的系数为84
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解析： 对于A，因为 的展开式的二项式系数和为2
n ，所以2 n ＝128＝27，则 n ＝7，故A正确；对于B，令 x ＝1，则
＝ ＝－1，所以展开式中各项系数的和为－1，
故B错误；对于C，因为第4项的二项式系数为 ，第5项的二项式
系数为 ，所以 ＝ ，又 ＞ ＞ ＞ ， ＞ ＞
＞ ，所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C正
确；
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对于D，因为 的展开式通项为 Tk＋1＝ x7－ k ＝（－2）
k x7－ k ，令7－ k ＝4，得 k ＝2，则 T3＝（－2）2 x4＝4×21 x4＝
84 x4，所以含 x4项的系数为84，故D正确，故选A、C、D.
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12. （多选）已知 的展开式中各项系数的和为2，则
下列结论正确的有（ ）
A. a ＝1
B. 展开式中常数项为160
C. 展开式系数的绝对值的和为1 458
D. 展开式中含 x2项的系数为240
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解析： 对于A，令 x ＝1，所以 的展开式中
各项系数的和为（1＋ a ）（2－1）6＝2，解得 a ＝1，故A正确；
对于B和D， 展开式通项为 Tr＋1＝ （2 x ）6－ r （－ ） r
＝ （－1） r 26－ r · x6－2 r ，当6－2 r ＝0时， r ＝3；当6－2 r ＝1
时， r ＝ （舍去），所以 展开式中常数项为1×
（－1）3×23＝－160；当6－2 r ＝2时， r ＝2；
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当6－2 r ＝3时， r ＝ （舍去），所以 展开式中含 x2
项的系数为1× （－1）224＝240，故B错误，D正确；对于C，二项
式 展开式系数的绝对值的和可看做是二项式
· 展开式系数的和，所以令 x ＝1， 展开
式系数的和为（1＋1）（2＋1）6＝1 458，故C正确，故选A、C、D.
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13. （1＋ x ）2＋（1＋ x ）3＋…＋（1＋ x ）9的展开式中 x2项的系数
是 .
解析：（1＋ x ） n （ n ≥2）的展开式中 x2的系数为 ，故（1＋
x ）2＋（1＋ x ）3＋…＋（1＋ x ）9的展开式中 x2的系数是 ＋
＋…＋ ＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＝120.
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14. 在 的二项展开式中，系数最大的项为 .
解析： 的展开式通项为 Tr＋1＝ x8－ r ·（－ x－1） r ＝（－
1） r x8－2 r ，显然当 r ＝0，2，4，6，8时，二项展开式的系数为
正，当 r ＝1，3，5，7时，二项展开式的系数为负，其中 T1＝ x8
＝ x8， T3＝（－1）2 x4＝28 x4， T5＝（－1）4 x0＝70， T7＝
（－1）6 x－4＝28 x－4， T9＝（－1）8 x－8＝ x－8，故系数最大
的项为 T5＝70.
70
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15. 已知（3 x ＋1） n （ n ∈N＋）展开式中所有项的系数之和为 a ，所
有项的二项式系数之和为 b ，则 ＋ 的最小值为 .
解析：令 x ＝1可得展开式中所有项的系数之和为 a ＝4 n ，由题知
所有项的二项式系数之和为 b ＝2 n ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋2 n .
令2 n ＝ t ，因为 n ∈N＋，所以 t ≥2，易知函数 y ＝ ＋ t 在 t ∈[2，＋
∞）上单调递增，则当 t ＝2时， y 取最小值， ymin＝2＋ ＝ ，所以
＋ 的最小值为 .
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16. 已知（1＋2 x2） 的展开式中常数项为121，则实数 a
＝ .
解析：由题意可知， 的展开式通项为 Tr＋1＝ ·16－
r · ，当 r ＝0时，此时的常数项为1× ＝1；当 r ＝2时，此
时的常数项为2 x2× ·14· ＝2 a2 ＝30 a2，所以展开式中
的常数项为30 a2＋1＝121，解得 a ＝±2.
±2
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17. 在① a1＝35；②展开式中二项式系数最大值为7 m ；③ ＋
＋…＋ ＝32（ m ∈N＋）.这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中，并解答.
已知（1＋ mx ）7＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a7 x7，且 .
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（1）求 m 的值；
解：若选①， a1＝35，根据二项展开式的通项公式可
得 a1＝ ·16· m ＝7 m ＝35，
解得 m ＝5.
若选②，展开式中二项式系数最大值为7 m ，由二项式系数
的性质可得 ＝7 m 或 ＝7 m ，解得7 m ＝35，即 m ＝5.
若选③， ＋ ＋…＋ ＝32（ m ∈N＋），由二项式系
数和可得2 m ＝32，解得 m ＝5.
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（2）求 a1＋ a3＋ a5＋ a7的值（结果保留指数形式）.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一解答计分.
解：（1＋5 x ）7＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a7 x7，
令 x ＝1，可得 a0＋ a1＋ a2＋…＋ a7＝67，
令 x ＝－1，可得 a0－ a1＋ a2－…－ a7＝－47，
相减可得2（ a1＋ a3＋ a5＋ a7）＝67＋47，
所以 a1＋ a3＋ a5＋ a7＝ .
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18. 已知在 的展开式中，前3项的系数分别为 a1， a2，
a3，且满足2 a2＝ a1＋ a3.求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
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解：因为 展开式的通项公式为 Tk＋1＝ ·
＝ ， k ＝0，1，2，…， n ，所以 a1＝ ＝1， a2＝ ＝ n ， a3＝ ＝ ，依题意得2× n ＝1＋ ，即 n （ n －1）＝8（ n －1），由已知 n ≥2，所以 n ＝8，
所以 的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，所
以 T5＝ ＝ .
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（2）展开式中系数最大的项.
解：由（1）知， Tk＋1＝ ，设展开式中系数
最大的项为第 k ＋1项，则
即
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即
解得2≤ k ≤3，所以 k ＝2或 k ＝3，
所以展开式中系数最大的项为 T3＝ ＝7 和 T4＝
＝7 .
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谢 谢 观 看！
