1.1 条件概率的概念
1.已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（ ）
A. B. C. D.
2.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（ ）
A. B.
C. D.
3.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（ ）
A.0.2 B.0.33
C.0.5 D.0.6
4.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A表示“两个点数互不相同”，B表示“出现一个5点”，则P（B｜A）＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则（ ）
A.P（B｜A）＝ B.P（A｜B）＝
C.P（A｜B）＝ D.P（B｜A）＝
6.（多选）某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记A：学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场.B：学生丙第一个出场，则下列结论中正确的是（ ）
A.事件A中包括80种情况
B.P（A）＝
C.P（AB）＝
D.P（B｜A）＝
7.抛掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，则掷出两颗骰子点数之和大于等于10的概率为 .
8.分别用集合M＝{2，4，6，7，8，11，12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是 .
9.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中的1张放在验钞机上检验时发现是假钞，则2张都是假钞的概率是 .
10.某校高三（1）班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
（1）求选到的是第一组的学生的概率；
（2）已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.
11.在我国的传统节日“端午节”这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中2个腊肉馅，3个豆沙馅，小明随机抽取出2个粽子，若已知小明取到的2个粽子为同一种馅，则这2个粽子都为腊肉馅的概率为（ ）
A. B.
C. D.
12.近年来，受冷空气影响，气温变化异常，时有降雨及大风天气.某气象台统计，某地区每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气的条件下，降雨的概率为.则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（ ）
A. B. C. D.
13.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.P（B｜A）≥P（AB）
B.P（B｜A）＝是可能的
C.0＜P（B｜A）＜1
D.P（A｜A）＝0
14.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为 .
15.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动.
（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B｜A）.
16.（2022·新高考Ⅰ卷20题节选）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
（1）证明：R＝·；
（2）利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜）的估计值，并利用（1）的结果给出R的估计值.
1.1 条件概率的概念
1.C P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝×＝，故选C.
2.A 记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝，P（B｜A）＝，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝.
3.A 记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P（B｜A）＝＝＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
4.A 出现点数互不相同的共有6×5＝30（种），出现一个5点共有5×2＝10（种），所以P（B｜A）＝＝.
5.CD 事件A发生的样本点个数是n（A）＝6×5×4＝120，事件B发生的样本点个数是n（B）＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的样本点个数为n（AB）＝3×5×4＝60.所以P（A｜B）＝＝，P（B｜A）＝＝＝.故选C、D.
6.BC 事件A中共包括＋＝78（种）情况，故A错误；P（A）＝＝＝，故B正确；P（AB）＝＝＝，故C正确；又P（B｜A）＝＝，故D错误.
7. 解析：设“第一颗骰子掷出6点”为事件A，“掷出两颗骰子点数之和大于等于10”为事件B，则P（B｜A）＝＝＝.
8. 解析：设事件A表示“取出的两个元素中有一个是12”，事件B表示“取出的两个元素构成可约分数”，则n（A）＝6，n（AB）＝4.所以P（B｜A）＝＝.
9. 解析：设事件A表示“抽到的2张中至少有1张是假钞”，事件B表示“抽到的2张都是假钞”，则P（A）＝，P（AB）＝，所以P（B｜A）＝＝＝.故所求概率是.
10.解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”.
（1）由题意，得P（A）＝＝.
（2）法一 要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（A｜B）.不难理解，在事件B发生的条件下（即以所选到的学生是共青团员为前提），有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择.
因此，P（A｜B）＝.
法二 P（B）＝＝，P（AB）＝＝，
所以P（A｜B）＝＝.
11.A 设事件A为“取到的2个粽子为同一种馅”，事件B为“取到的2个粽子都是腊肉馅”，由题意可知P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（B｜A）＝＝，故选A.
12.B 记事件A表示“降雨”，B表示“出现四级以上大风天气”，则P（A）＝，P（B）＝，而P（A｜B）＝，根据条件概率公式知P（B｜A）＝，P（A｜B）＝，所以P（B｜A）＝＝.故选B.
13.AB 因为P（B｜A）＝，0＜P（A）≤1，所以P（B｜A）≥P（AB），故A正确；当P（A）＝1时，P（AB）＝P（B），所以P（B｜A）＝＝，故B正确；0≤P（B｜A）≤1，故C错误；P（A｜A）＝1，故D错误.
14.0.4 解析：记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P（A）＝0.8，P（B｜A）＝0.5，所以P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.
15.解：（1）从6名班干部中选3人参加学校义务劳动，
总的选法有＝20（种），男生甲或女生乙被选中的选法有＋＝12＋4＝16（种），
所以男生甲或女生乙被选中的概率为＝.
（2）男生甲被选中的概率为P（A）＝＝，
男生甲、女生乙都被选中的概率为P（AB）＝＝，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙被选中的概率为P（B｜A）＝＝.
16.解：（1）证明：R＝
＝，
由题意知，证明＝即可，
左边＝
＝，
右边＝
＝.
左边＝右边，故R＝·.
（2）由调查数据可知P（A｜B）＝＝，P（A｜）＝＝，
且P（｜B）＝1－P（A｜B）＝，P（｜）＝1－P（A｜）＝，所以R＝×＝6.
2 / 21.1 条件概率的概念
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率 数学抽象、数学运算
2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系 数学抽象、数学运算
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度和质量都合格.令事件A表示“产品的长度合格”，事件B表示“产品的质量合格”，事件AB表示“产品的长度、质量都合格”.
【问题】 任取一件产品，已知其质量合格（即B发生），如何求它的长度（即A发生）也合格（记为A｜B）的概率.
知识点 条件概率
条件 设A，B是两个事件，且P（A）＞0
定义 称P（B｜A）＝为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
记作 P（B｜A）
读作 A发生的条件下B发生的概率
计算 公式 （1）事件个数法：P（B｜A）＝ ； （2）定义法：P（B｜A）＝
性质 （1）0≤P（B｜A）≤1； （2）若B和C是两个互斥事件，则P[（B∪C）｜A]＝P（B｜A）＋P（C｜A）
【想一想】
P（B｜A）与P（A｜B）相同吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P（A｜B）.（ ）
（2）若P（B｜A）＝P（B），则事件A，B相互独立.（ ）
（3）P（B｜A）相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率.（ ）
2.已知P（AB）＝，P（A）＝，则P（B｜A）＝（ ）
A. B.
C. D.
3.设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是 .
题型一 利用定义求条件概率
【例1】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；
（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
尝试解答
通性通法
计算条件概率的方法
在原样本空间Ω中，先计算P（AB），P（A），再按公式P（B｜A）＝计算求得P（B｜A）.求解的关键是正确求出P（A），P（AB）的值.
【跟踪训练】
某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
题型二 缩小样本空间范围求条件概率
【例2】 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数.若甲先取（不放回），乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，求乙抽到偶数的概率.
2.（变条件，变设问）若甲先取（放回），乙后取，若事件A表示“甲抽到的数大于4”；事件B表示“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P（B｜A）.
通性通法
利用缩小样本空间范围计算条件概率的方法
将原来的样本空间Ω缩小为已知事件A的样本空间ΩA，原来的事件B缩小为AB.而ΩA中仅包含有限个样本点，每个样本点发生的概率相等，从而可以在缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P（B｜A）＝，这里n（A）和n（AB）的计数是基于缩小的样本空间范围的.
【跟踪训练】
在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
题型三 利用条件概率的性质求概率
【例3】 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率.
尝试解答
通性通法
利用条件概率性质解题的策略
（1）分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P[（B∪C）｜A]＝P（B｜A）＋P（C｜A）；
（2）分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用概率的加法公式即得所求复杂事件的概率.
【跟踪训练】
有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为 .
1.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是（ ）
A. B. C. D.1
2.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A.0.8 B.0.75
C.0.6 D.0.45
3.（多选）设P（A｜B）＝P（B｜A）＝，P（A）＝，则（ ）
A.P（AB）＝ B.P（AB）＝
C.P（B）＝ D.P（B）＝
4.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道甲市一年中下雨天的比例占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P（A）＝0.2，P（B）＝0.18，P（AB）＝0.12，则P（A｜B）＝ ，P（B｜A）＝ .
5.某人一周内需有两个晚上安排值班，安排方法用抽签方式，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为 .
1.1 条件概率的概念
【基础知识·重落实】
知识点
想一想
提示：不相同，P（B｜A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P（A｜B）表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.B P（B｜A）＝＝＝.
3.0.5 解析：根据条件概率公式知P＝＝0.5.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
（1）从6个节目中不放回地依次抽取2个，样本空间包含的样本点个数n（Ω）＝＝30.
根据分步乘法计数原理，有n（A）＝·＝20，
所以P（A）＝＝＝.
（2）因为n（AB）＝＝12，所以P（AB）＝＝＝.
（3）由（1）（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P（B｜A）＝＝＝.
跟踪训练
解：设事件A表示“男生甲被选中”，事件B表示“女生乙被选中”.
则有P（A）＝＝＝，
P（AB）＝＝，利用条件概率公式，得P（B｜A）＝＝.
【例2】 解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作（a，b），甲抽到奇数的情形有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），共15个，在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，4），（3，5），（3，6），（5，6），共9个，所以所求概率为＝.
母题探究
1.解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），共9个，所以所求概率为＝.
2.解：甲抽到的数大于4的情形有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共12个，其中甲、 乙抽到的两数之和等于7的情形有（5，2），（6，1），共2个.所以P（B｜A）＝＝.
跟踪训练
解：设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”.
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中不放回地依次随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即n（Ω）＝＝5×4＝20.
因为n（AB）＝·＝3×2＝6，所以P（AB）＝＝＝.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，显然P（A）＝.利用条件概率公式，得P（B｜A）＝＝＝.
【例3】 解：设事件A表示“该考生6道题全答对”，事件B表示“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C表示“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D表示“该考生在这次考试中通过”，事件E表示“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率计算公式及概率的加法公式可知
P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＋＋＝，
P（AD）＝P（A），P（BD）＝P（B），
P（E｜D）＝P[（A∪B）｜D]＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝＋＝＋＝.
故所求的概率为.
跟踪训练
解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥.又P（A）＝＝，P（AB）＝＝，P（AC）＝＝，故P（D｜A）＝P[（B∪C）｜A]＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝＋＝.
随堂检测
1.B 因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题条件变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.
2.A 根据条件概率公式P（B｜A）＝，得所求概率为＝0.8.
3.AC P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝，由P（A｜B）＝，得P（B）＝＝×2＝.
4. 解析：由条件概率的计算公式知P（A｜B）＝＝，P（B｜A）＝＝.
5. 解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P（A）＝，P（AB）＝，故P（B｜A）＝＝.
3 / 3(共67张PPT)
1.1 条件概率的概念
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事
件的条件概率 数学抽象、
数学运算
2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85
件产品的长度和质量都合格.令事件 A 表示“产品的长度合格”，事件 B
表示“产品的质量合格”，事件 AB 表示“产品的长度、质量都合格”.
【问题】 任取一件产品，已知其质量合格（即 B 发生），如何求它
的长度（即 A 发生）也合格（记为 A ｜ B ）的概率.
知识点 条件概率
条件 设 A ， B 是两个事件，且 P （ A ）＞0
定义
记作 P （ B ｜ A ）
读作 A 发生的条件下 B 发生的概率
计算 公式 （1）事件个数法： P （ B ｜ A ）＝ ；
（2）定义法： P （ B ｜ A ）＝
性质 （1）0≤ P （ B ｜ A ）≤1；
（2）若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P [（ B ∪ C ）｜ A ]＝ P
（ B ｜ A ）＋ P （ C ｜ A ）
【想一想】
P （ B ｜ A ）与 P （ A ｜ B ）相同吗？
提示：不相同， P （ B ｜ A ）表示在事件 A 发生的条件下，事件 B
发生的概率； P （ A ｜ B ）表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发
生的概率.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在“ A 已发生”的条件下， B 发生的概率可记作 P （ A ｜ B ）.
（ × ）
（2）若 P （ B ｜ A ）＝ P （ B ），则事件 A ， B 相互独立.
（ √ ）
（3） P （ B ｜ A ）相当于事件 A 发生的条件下，事件 AB 发生的概
率. （ √ ）
×
√
√
2. 已知 P （ AB ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ B ｜ A ）＝（ ）
解析： P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
3. 设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为
0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是 .
解析：根据条件概率公式知 P ＝ ＝0.5.
0.5
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用定义求条件概率
【例1】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类
节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；
从6个节目中不放回地依次抽取2个，样本空间包含的样本
点个数 n （Ω）＝ ＝30.
根据分步乘法计数原理，有 n （ A ）＝ · ＝20，
所以 P （ A ）＝ ＝ ＝ .
解：设第1次抽到舞蹈节目为事件 A ，第2次抽到舞蹈节目为事件
B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 AB .
（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
解：因为 n （ AB ）＝ ＝12，所以 P （ AB ）＝ ＝
＝ .
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
解：由（1）（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次
抽到舞蹈节目的概率 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
通性通法
计算条件概率的方法
在原样本空间Ω中，先计算 P （ AB ）， P （ A ），再按公式 P
（ B ｜ A ）＝ 计算求得 P （ B ｜ A ）.求解的关键是正确求出 P
（ A ）， P （ AB ）的值.
【跟踪训练】
某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校的义务
劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
解：设事件 A 表示“男生甲被选中”，事件 B 表示“女生乙被选中”.
则有 P （ A ）＝ ＝ ＝ ，
P （ AB ）＝ ＝ ，
利用条件概率公式，得 P （ B ｜ A ）＝ ＝ .
题型二 缩小样本空间范围求条件概率
【例2】 集合 A ＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从 A 中任取一
个数.若甲先取（不放回），乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽
到的数比甲抽到的数大的概率.
解：将甲抽到数字 a ，乙抽到数字 b ，记作（ a ， b ），甲抽到奇数的
情形有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），
（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），共15个，在这15个情形
中，乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（1，6），（3，4），（3，5），（3，6），
（5，6），共9个，所以所求概率为 ＝ .
1. （变设问）本例条件不变，求乙抽到偶数的概率.
解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有（1，2），（1，
4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），
（5，4），（5，6），共9个，所以所求概率为 ＝ .
【母题探究】
2. （变条件，变设问）若甲先取（放回），乙后取，若事件 A 表示“甲
抽到的数大于4”；事件 B 表示“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求 P
（ B ｜ A ）.
解：甲抽到的数大于4的情形有（5，1），（5，2），（5，3），
（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，
3），（6，4），（6，5），（6，6），共12个，其中甲、 乙抽到
的两数之和等于7的情形有（5，2），（6，1），共2个.所以 P
（ B ｜ A ）＝ ＝ .
通性通法
利用缩小样本空间范围计算条件概率的方法
将原来的样本空间Ω缩小为已知事件 A 的样本空间Ω A ，原来的事
件 B 缩小为 AB . 而Ω A 中仅包含有限个样本点，每个样本点发生的概率
相等，从而可以在缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概
率，即 P （ B ｜ A ）＝ ，这里 n （ A ）和 n （ AB ）的计数是基
于缩小的样本空间范围的.
在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽
出的题不再放回，求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
【跟踪训练】
解：设事件 A 表示“第1次抽到代数题”，事件 B 表示“第2次抽到
几何题”.
“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件 AB . 从5道
试题中不放回地依次随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个
等可能的样本点，即 n （Ω）＝ ＝5×4＝20.因为 n （ AB ）＝
· ＝3×2＝6，所以 P （ AB ）＝ ＝ ＝ .
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
解：“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率
就是事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，显然 P （ A ）＝
.利用条件概率公式，得 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
题型三 利用条件概率的性质求概率
【例3】 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至
少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优
秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中
已经通过，求他获得优秀的概率.
解：设事件 A 表示“该考生6道题全答对”，事件 B 表示“该考生答对了
其中5道题，另一道答错”，事件 C 表示“该考生答对了其中4道题，而
另2道题答错”，事件 D 表示“该考生在这次考试中通过”，事件 E 表示
“该考生在考试中获得优秀”，则 A ， B ， C 两两互斥，且 D ＝ A ∪ B ∪
C ， E ＝ A ∪ B ，由古典概型的概率计算公式及概率的加法公式可知
P （ D ）＝ P （ A ∪ B ∪ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （ C ）＝
＋ ＋ ＝ ，
P （ AD ）＝ P （ A ）， P （ BD ）＝ P （ B ），
P （ E ｜ D ）＝ P [（ A ∪ B ）｜ D ]＝ P （ A ｜ D ）＋ P （ B ｜ D ）＝
＋ ＝ ＋ ＝ .
故所求的概率为 .
通性通法
利用条件概率性质解题的策略
（1）分析条件，选择公式：首先看事件 B ， C 是否互斥，若互斥，则
选择公式 P [（ B ∪ C ）｜ A ]＝ P （ B ｜ A ）＋ P （ C ｜ A ）；
（2）分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把
它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求
出这些简单事件的概率，再利用概率的加法公式即得所求复杂
事件的概率.
【跟踪训练】
有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中
随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红
色或黑色的概率为 .
解析：设事件 A 为“其中一瓶是蓝色”，事件 B 为“另一瓶是红
色”，事件 C 为“另一瓶是黑色”，事件 D 为“另一瓶是红色或黑
色”，则 D ＝ B ∪ C 且 B 与 C 互斥.又 P （ A ）＝ ＝ ， P
（ AB ）＝ ＝ ， P （ AC ）＝ ＝ ，故 P （ D ｜ A ）＝ P
[（ B ∪ C ）｜ A ]＝ P （ B ｜ A ）＋ P （ C ｜ A ）＝ ＋
＝ .
1.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知
第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是
（ ）
D. 1
解析： 因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题条件变
为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是 .
2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质
量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.75
C. 0.6 D. 0.45
解析： 根据条件概率公式 P （ B ｜ A ）＝ ，得所求概率
为 ＝0.8.
3. （多选）设 P （ A ｜ B ）＝ P （ B ｜ A ）＝ ， P （ A ）＝ ，则
（ ）
解析： P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＝ × ＝ ，由 P
（ A ｜ B ）＝ ，得 P （ B ）＝ ＝ ×2＝ .
4. 甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道甲
市一年中下雨天的比例占20%，乙市占18%，两地同时下雨占
12%，记 P （ A ）＝0.2， P （ B ）＝0.18， P （ AB ）＝0.12，则 P
（ A ｜ B ）＝ ， P （ B ｜ A ）＝ .
解析：由条件概率的计算公式知 P （ A ｜ B ）＝ ＝ ， P
（ B ｜ A ）＝ ＝ .
解析：设事件 A 为“周日值班”，事件 B 为“周六值班”，则 P （ A ）＝
， P （ AB ）＝ ，故 P （ B ｜ A ）＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 P （ B ｜ A ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ AB ）＝（ ）
解析： P （ AB ）＝ P （ B ｜ A ）· P （ A ）＝ × ＝ ，故选C.
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2. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次
失败、第二次成功的概率是（ ）
解析： 记事件 A 为第一次失败，事件 B 为第二次成功，则 P
（ A ）＝ ， P （ B ｜ A ）＝ ，所以 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ｜
A ）＝ .
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3. 某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，
两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格
的概率是（ ）
A. 0.2 B. 0.33
C. 0.5 D. 0.6
解析： 记“数学不及格”为事件 A ，“语文不及格”为事件 B ， P
（ B ｜ A ）＝ ＝ ＝0.2，所以数学不及格时，该生语文
也不及格的概率为0.2.
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4. 将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 A 表示“两个点数互不相
同”， B 表示“出现一个5点”，则 P （ B ｜ A ）＝（ ）
解析： 出现点数互不相同的共有6×5＝30（种），出现一个5点
共有5×2＝10（种），所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ .
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5. （多选）将3颗骰子各掷一次，记事件 A 表示“三个点数都不相同”，
事件 B 表示“至少出现一个3点”，则（ ）
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解析： 事件 A 发生的样本点个数是 n （ A ）＝6×5×4＝120，
事件 B 发生的样本点个数是 n （ B ）＝6×6×6－5×5×5＝91，事
件 A ， B 同时发生的样本点个数为 n （ AB ）＝3×5×4＝60.所以 P
（ A ｜ B ）＝ ＝ ， P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .故选
C、D.
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6. （多选）某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采
用抽签法决定演讲顺序，记 A ：学生甲不是第一个出场，学生乙不
是最后一个出场. B ：学生丙第一个出场，则下列结论中正确的是
（ ）
A. 事件 A 中包括80种情况
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解析： 事件 A 中共包括 ＋ ＝78（种）情况，故A错
误； P （ A ）＝ ＝ ＝ ，故B正确； P （ AB ）＝
＝ ＝ ，故C正确；又 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ，故D错误.
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7. 抛掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，则掷出两颗骰子
点数之和大于等于10的概率为 .
解析：设“第一颗骰子掷出6点”为事件 A ，“掷出两颗骰子点数之和
大于等于10”为事件 B ，则 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
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8. 分别用集合 M ＝{2，4，6，7，8，11，12}中的任意两个元素作分
子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个
元素与之构成可约分数的概率是 .
解析：设事件 A 表示“取出的两个元素中有一个是12”，事件 B 表示
“取出的两个元素构成可约分数”，则 n （ A ）＝6， n （ AB ）＝4.所
以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ .
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解析：设事件 A 表示“抽到的2张中至少有1张是假钞”，事件 B 表示
“抽到的2张都是假钞”，则 P （ A ）＝ ， P （ AB ）＝ ，
所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .故所求概率是 .
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10. 某校高三（1）班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4
个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
（1）求选到的是第一组的学生的概率；
解：设事件 A 表示“选到第一组学生”，事件 B 表示“选到共青
团员”.
由题意，得 P （ A ）＝ ＝ .
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解：法一 要求的是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的
条件概率 P （ A ｜ B ）.不难理解，在事件 B 发生的条件下
（即以所选到的学生是共青团员为前提），有15种不同的选
择，其中属于第一组的有4种选择.
因此， P （ A ｜ B ）＝ .
（2）已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.
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法二 P （ B ）＝ ＝ ， P （ AB ）＝ ＝ ，
所以 P （ A ｜ B ）＝ ＝ .
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11. 在我国的传统节日“端午节”这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中2
个腊肉馅，3个豆沙馅，小明随机抽取出2个粽子，若已知小明取
到的2个粽子为同一种馅，则这2个粽子都为腊肉馅的概率为
（ ）
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解析： 设事件 A 为“取到的2个粽子为同一种馅”，事件 B 为“取
到的2个粽子都是腊肉馅”，由题意可知 P （ A ）＝ ＝ ， P
（ AB ）＝ ＝ ，所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ，故选A.
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12. 近年来，受冷空气影响，气温变化异常，时有降雨及大风天气.某
气象台统计，某地区每年四月份降雨的概率为 ，出现四级以上
大风天气的概率为 ，在出现四级以上大风天气的条件下，降雨
的概率为 .则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概
率为（ ）
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解析： 记事件 A 表示“降雨”， B 表示“出现四级以上大风天
气”，则 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ，而 P （ A ｜ B ）＝ ，根据
条件概率公式知 P （ B ｜ A ）＝ ， P （ A ｜ B ）＝
，所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ .故选B.
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13. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. P （ B ｜ A ）≥ P （ AB ）
C. 0＜ P （ B ｜ A ）＜1
D. P （ A ｜ A ）＝0
AB
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解析： 因为 P （ B ｜ A ）＝ ，0＜ P （ A ）≤1，所以 P
（ B ｜ A ）≥ P （ AB ），故A正确；当 P （ A ）＝1时， P （ AB ）＝
P （ B ），所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ，故B正确；0≤ P
（ B ｜ A ）≤1，故C错误； P （ A ｜ A ）＝1，故D错误.
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14. 某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目
标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射
击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率
为 .
解析：记“射中第一个目标”为事件 A ，“射中第二个目标”为事件
B ，则 P （ A ）＝0.8， P （ B ｜ A ）＝0.5，所以 P （ AB ）＝ P
（ B ｜ A ）· P （ A ）＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为
0.4.
0.4
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15. 某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的
义务劳动.
（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；
解：从6名班干部中选3人参加学校义务劳动，
总的选法有 ＝20（种），男生甲或女生乙被选中的选法有
＋ ＝12＋4＝16（种），
所以男生甲或女生乙被选中的概率为 ＝ .
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（2）设“男生甲被选中”为事件 A ，“女生乙被选中”为事件 B ，求 P
（ A ）和 P （ B ｜ A ）.
解：男生甲被选中的概率为 P （ A ）＝ ＝ ，
男生甲、女生乙都被选中的概率为 P （ AB ）＝ ＝ ，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙被选中的概率为 P
（ B ｜ A ）＝ ＝ .
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16. （2022·新高考Ⅰ卷20题节选）一医疗团队为研究某地的一种地方性
疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两
类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例
组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照
组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
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从该地的人群中任选一人， A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良
好”， B 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指
标，记该指标为 R .
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（1）证明： R ＝ · ；
解：证明： R ＝ ＝ ，
由题意知，证明 ＝
即可，
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左边＝ ＝ ，
右边＝ ＝ .
左边＝右边，故 R ＝ · .
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（2）利用该调查数据，给出 P （ A ｜ B ）， P （ A ｜ ）的估计
值，并利用（1）的结果给出 R 的估计值.
解：由调查数据可知 P （ A ｜ B ）＝ ＝ ， P （ A ｜
）＝ ＝ ，
且 P （ ｜ B ）＝1－ P （ A ｜ B ）＝ ， P （ ｜ ）＝1－ P
（ A ｜ ）＝ ，所以 R ＝ × ＝6.
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谢 谢 观 看！
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