1.2 乘法公式与事件的独立性
1.已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（ ）
A. B. C. D.
2.甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p1，p2，p3，那么至少有一人解决这道题的概率是（ ）
A.p1＋p2＋p3
B.1－（1－p1）（1－p2）（1－p3）
C.1－p1p2p3
D.p1p2p3
3.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示.那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（ ）
甲 乙 丙 丁
甲获胜概率 — 0.3 0.3 0.8
乙获胜概率 0.7 — 0.6 0.4
丙获胜概率 0.7 0.4 — 0.5
丁获胜概率 0.2 0.6 0.5 —
A.0.15 B.0.105
C.0.045 D.0.21
5.（多选）下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（ ）
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
6.（多选）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机的品牌为甲、乙、其他，B表示买到的手机是优质品，则（ ）
A.P（A1）＝0.5 B.P（B｜A2）＝0.9
C.P（BA1）＝0.8 D.P（BA3）＝0.7
7.已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则p＝ .
8.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为 .
9.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为＋；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×＋×；④目标被命中的概率为1－×.以上正确说法的序号是 .
10.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师傅加工1个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.求徒弟加工2个零件都是精品的概率.
11.设0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则“P（A｜B）＋P（｜）＝1”是“A与B相互独立”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ）
A. B.
C. D.
13.（多选）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲中靶的概率为 0.8，乙中靶的概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（ ）
A.两人都中靶的概率为 0.72
B.至少一人中靶的概率为 0.88
C.至多一人中靶的概率为 0.26
D.恰好有一人脱靶的概率为 0.26
14.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是 .
15.在①A与B相互独立，②P（B）＝，P（｜A）＝，③P（B｜）＝，P（A）＝2P（B），这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
问题：已知P（｜B）＝， ，求P（A）.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
16.从装有a个红球和b个蓝球的袋中（a，b均不小于2），每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为事件A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件A2，“第二次摸球时摸到红球”为事件B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件B2.求证：
（1）P（B1）＝；
（2）P（B1）＋P（B2）＝1；
（3）P（B1｜A1）＋P（B2｜A1）＝1.
1.2 乘法公式与事件的独立性
1.C 由乘法公式得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝×＝.
2.B 至少有一人解决这道题的对立事件是“没有人解决这道题”，也即“三人均没有解出此题”，此概率为（1－p1）（1－p2）·（1－p3），∴至少有一人解决这道题的概率是1－（1－p1）（1－p2）（1－p3）.
3.D 设Ai（i＝1，2）表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军.
法一 B＝A1＋A2，故P（B）＝P（A1）＋P（）P（A2）＝＋×＝.
法二 P（B）＝1－P（）＝1－P（）·P（）＝1－×＝.
4.C 甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙比赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件同时发生的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3＝0.045.
5.CD 在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，P（MN）＝P（M）P（N），因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.故选C、D.
6.AB 依题意可得P（A1）＝0.5，P（B｜A1）＝0.8，P（B｜A2）＝0.9，P（B｜A3）＝0.7，P（A3）＝0.2，则P（BA1）＝P（B｜A1）·P（A1）＝0.8×0.5＝0.4，P（BA3）＝P（B｜A3）P（A3）＝0.7×0.2＝0.14.故选A、B.
7.0.03 解析：由题意，得（1－0.01）（1－p）＝0.960 3，解得p＝0.03.
8.0.09 解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率p＝（1－0.4）×0.5×（1－0.4）×0.5＝0.09.
9.②④ 解析：①错误，目标恰好被命中一次的概率为×＋×；②正确，目标恰好被命中两次的概率为×；目标被命中的概率为1－×，所以③错误，④正确.
10.解：设徒弟加工1个零件是精品的概率为p，则×p2＝，得p2＝，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是.
11.C 若P（A｜B）＋P（｜）＝1，则P（A｜B）＝1－P（｜）＝P（A｜），即B发生与否对A不影响，故A与B相互独立；若A与B相互独立，则与相互独立，则P（A｜B）＝P（A），P（｜）＝P（），所以P（A｜B）＋P（｜）＝1.所以“P（A｜B）＋P（｜）＝1”是“A与B相互独立”的充要条件.故选C.
12.B 记“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率为1－P（）＝1－×＝.
13.AD 设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立.A选项：都中靶的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72，故A对；B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶，故至少一人中靶的概率为1－P（）＝1－P（）P（）＝1－0.2×0.1＝0.98，故B错；C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶，则至多一人中靶的概率为1－P（AB）＝0.28，故C错；D选项：恰好有一人脱靶的概率为P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故D对.故选A、D.
14.0.46 解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.6，P（A3）＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生，故所求概率为P＝P（A1A2A3∪A1A3∪A2A3）＝P（A1A2A3）＋P（A1A3）＋P（A2A3）＝P（A1）·P（A2）P（A3）＋P（A1）P（）P（A3）＋P（）P（A2）P（A3）＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
15.解：选择①，由P（｜B）＝，得P（A｜B）＝1－P（｜B）＝.
因为A与B相互独立，所以P（A）＝P（A｜B）＝.
选择②，因为P（｜B）＝，
所以P（A｜B）＝1－P（｜B）＝，即＝，
又P（B）＝，所以P（AB）＝.
因为P（｜A）＝，所以P（B｜A）＝，即＝，
所以P（A）＝.
选择③，因为P（｜B）＝＝，P（B｜）＝＝，
所以P（）＝P（B），
又P（A）＝2P（B），P（A）＋P（）＝1，
所以P（A）＝.
16.证明：（1）由题意可知，P（A1）＝，
P（A2）＝，∴P（B1）＝P（A1B1）＋P（A2B1）＝·＋·＝.
（2）∵P（B2）＝P（A1B2）＋P（A2B2）＝·＋·＝，
∴P（B1）＋P（B2）＝1.
（3）∵P（B1｜A1）＝＝＝，
P（B2｜A1）＝＝＝，
故P（B1｜A1）＋P（B2｜A1）＝1.
3 / 31.2 乘法公式与事件的独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率 数学运算
俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”.其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功.
【问题】 该挑战能否成功？
知识点 乘法公式与事件的独立性
1.乘法公式
设A，B是两个事件，则有P（AB）＝P（A）P（B｜A）（其中P（A）＞0），①
P（AB）＝P（B）P（A｜B）（其中P（B）＞0）， ②
称公式①②为乘法公式.
2.相互独立事件
（1）定义：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件；
（2）计算公式：事件A与事件B相互独立 P（AB）＝ ；当P（A）＞0时，P（B｜A）＝ ，当P（B）＞0时，P（A｜B）＝ .
【想一想】
1.若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与相互独立吗？
2.乘法公式可以推广吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不可能事件与任何一个事件相互独立.（ ）
（2）必然事件与任何一个事件相互独立.（ ）
（3）若两个事件互斥，则这两个事件相互独立.（ ）
2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为 .
题型一 乘法公式的应用
【例1】 已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同，先后三次从中不放回地各摸出一球.
（1）求前两次摸到的均为黑球的概率；
（2）求第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率；
（3）求第二次才摸到黑球的概率；
（4）求第三次才摸到黑球的概率.
尝试解答
通性通法
乘法公式的作用
乘法公式P（AB）＝P（B｜A）P（A）的作用就是方便我们在不好直接求得P（AB）的情况下，先迂回地求出方便计算的P（B｜A）和P（A），再求得P（AB）.概率的乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）反映了知二求一的方程思想.
【跟踪训练】
对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率是；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是.试求手机屏落地三次未打破的概率.
题型二 相互独立事件的判断与证明
【例2】 求证：当P（A）＞0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P（B｜A）＝P（B）.
尝试解答
通性通法
相互独立事件判断的两种方法
（1）若P（AB）＝P（A）P（B），则A，B相互独立；
（2）若P（A）＞0，且P（B｜A）＝P（B），则A，B相互独立；若P（B）＞0，且P（A｜B）＝P（A），则A，B相互独立.
【跟踪训练】
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
题型三 相互独立事件概率的计算
【例3】 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
尝试解答
通性通法
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们可同时发生.
【跟踪训练】
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
题型四 相互独立事件概率的实际应用
【例4】 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率.
尝试解答
通性通法
求较复杂事件的概率的方法
（1）列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示；
（2）厘清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率.
1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是（ ）
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.不相互独立事件
2.周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是（ ）
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
3.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知P（B｜A）＝，P（AB）＝，则P（A）＝ .
5.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则3人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 .
1.2 乘法公式与事件的独立性
【基础知识·重落实】
知识点
2.（2）P（A）P（B） P（B） P（A）
想一想
1.提示：相互独立.
2.提示：可以.（1）推广到3个事件：若P（A1A2）＞0，则P（A1A2A3）＝P（A1）·P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）.
（2）推广到n个事件：若Ai（i＝1，2，…，n）为随机事件，且P（A1A2…An－1）＞0，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2｜A1）·P（A3｜A1A2）·…·P（An｜A1A2…An－1）.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.D 根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.
3.0.56 解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设事件Ai表示第i次摸到的是黑球（i＝1，2，3），则事件A1A2表示前两次摸到的均为黑球.
（1）由题意知P（A1）＝，P（A2｜A1）＝.
于是，根据乘法公式，有P（A1A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＝×＝.
所以前两次摸到的均为黑球的概率为.
（2）第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为P（A2｜）＝＝.
（3）第二次才摸到黑球的概率P（A2）＝P（）P（A2｜）＝×＝.
（4）设事件A表示第三次才摸到黑球，则A＝A3.
由题意知P（）＝，P（｜）＝，P（A3｜）＝.
于是，根据乘法公式，有P（A3）＝P（）·P（｜）P（A3｜）＝××＝.
所以第三次才摸到黑球的概率为.
跟踪训练
解：设手机屏第i（i＝1，2，3）次落地时打破的概率为P（Ai），则手机屏落地三次未打破的概率为P（）＝P（）P（｜）P（｜）＝×（1－）×（1－）＝.
【例2】 证明：充分性：若事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），又P（A）＞0，则P（B｜A）＝＝＝P（B）.
必要性：若P（B｜A）＝P（B），且P（A）＞0，则P（B）＝ P（AB）＝P（A）P（B），即事件A与B相互独立.
跟踪训练
B 事件甲发生的概率P（甲）＝，事件乙发生的概率P（乙）＝，事件丙发生的概率P（丙）＝＝，事件丁发生的概率P（丁）＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率P（甲丙）＝0，事件甲和丁同时发生的概率P（甲丁）＝，事件乙和丙同时发生的概率P（乙丙）＝，事件丙和丁同时发生概率P（丙丁）＝0.则P（丙｜甲）＝＝0≠P（丙），甲与丙不相互独立；P（丁｜甲）＝＝＝P（丁），甲与丁相互独立；P（丙｜乙）＝＝≠P（丙），乙与丙不相互独立；P（丙｜丁）＝＝0≠P（丙），丙与丁不相互独立.
【例3】 解：（1）甲连胜四场的概率为.
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，
至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为
1－－－＝.
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.
跟踪训练
解析：甲、乙两球落入盒子的概率分别为，，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
【例4】 解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝.
电路不发生故障的事件为（A2∪A3）A1，
则电路不发生故障的概率为
P＝P[（A2∪A3）A1]＝P（A2∪A3）·P（A1）＝[1－P（）·P（）]·P（A1）
＝×＝.
跟踪训练
解：记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝.
法一 该选手被淘汰的概率为P（）＋P（A1）＋P（A1A2）＝P（）＋P（A1）·P（）＋P（A1）P（A2）·P（）＝＋×＋××＝.
法二 该选手被淘汰的概率为1－P（A1A2A3）＝1－××＝.
随堂检测
1.D ∵P（A1）＝，若A1发生了，P（A2）＝＝；若A1不发生，P（A2）＝，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件.
2.B 设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×P（B）＝0.6，故P（B）＝0.75.故选B.
3.C 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝.
4. 解析：由乘法公式P（AB）＝P（A）·P（B｜A），∴P（A）＝＝＝.
5.0.24 0.96 解析：由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P'＝1－（1－0.8）×（1－0.6）×（1－0.5）＝0.96.
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1.2
乘法公式与事件的独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由
甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”.其中甲、乙、丙能
答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”能答对该题目
的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要
1人答出该题即为挑战成功.
【问题】 该挑战能否成功？
知识点 乘法公式与事件的独立性
1. 乘法公式
设 A ， B 是两个事件，则有 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）
（其中 P （ A ）＞0），①
P （ AB ）＝ P （ B ） P （ A ｜ B ）（其中 P （ B ）＞0）， ②
称公式①②为乘法公式.
2. 相互独立事件
（1）定义：如果事件 A （或 B ）是否发生对事件 B （或 A ）发生的
概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件；
（2）计算公式：事件 A 与事件 B 相互独立 P （ AB ）＝
；当 P （ A ）＞0时， P （ B ｜ A ）＝
，当 P （ B ）＞0时， P （ A ｜ B ）＝ .
P （ A ）
P （ B ）
P
（ B ）
P （ A ）
【想一想】
1. 若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 ， 与 B ， 与 相互独立吗？
提示：相互独立.
2. 乘法公式可以推广吗？
提示：可以.（1）推广到3个事件：若 P （ A1 A2）＞0，则 P （ A1 A2
A3）＝ P （ A1）· P （ A2｜ A1） P （ A3｜ A1 A2）.
（2）推广到 n 个事件：若 Ai （ i ＝1，2，…， n ）为随机事件，且 P
（ A1 A2… An－1）＞0，则 P （ A1 A2… An ）＝ P （ A1） P （ A2｜ A1）
P （ A3｜ A1 A2）·…· P （ An ｜ A1 A2… An－1）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不可能事件与任何一个事件相互独立. （ √ ）
（2）必然事件与任何一个事件相互独立. （ √ ）
（3）若两个事件互斥，则这两个事件相互独立. （ × ）
√
√
×
2. 甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣
获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独
立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
解析： 根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或
甲没有获得乙获得，则所求概率是 × ＋ × ＝ ，
故选D.
3. 甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确
率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率
为 .
解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中
甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
0.56
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 乘法公式的应用
【例1】 已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全
相同，先后三次从中不放回地各摸出一球.
（1）求前两次摸到的均为黑球的概率；
由题意知 P （ A1）＝ ， P （ A2｜ A1）＝ .
于是，根据乘法公式，有 P （ A1 A2）＝ P （ A1） P （ A2｜ A1）
＝ × ＝ .
所以前两次摸到的均为黑球的概率为 .
解：设事件 Ai 表示第 i 次摸到的是黑球（ i ＝1，2，3），则事件
A1 A2表示前两次摸到的均为黑球.
（2）求第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率；
解：第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为 P
（ A2｜ ）＝ ＝ .
（3）求第二次才摸到黑球的概率；
解：第二次才摸到黑球的概率
P （ A2）＝ P （ ） P （ A2｜ ）＝ × ＝ .
解：设事件 A 表示第三次才摸到黑球，则 A ＝ A3.
由题意知 P （ ）＝ ， P （ ｜ ）＝ ，
P （ A3｜ ）＝ .
于是，根据乘法公式，有 P （ A3）＝ P （ ）· P （ ｜
） P （ A3｜ ）＝ × × ＝ .
所以第三次才摸到黑球的概率为 .
（4）求第三次才摸到黑球的概率.
通性通法
乘法公式的作用
乘法公式 P （ AB ）＝ P （ B ｜ A ） P （ A ）的作用就是方便我们
在不好直接求得 P （ AB ）的情况下，先迂回地求出方便计算的 P
（ B ｜ A ）和 P （ A ），再求得 P （ AB ）.概率的乘法公式 P （ AB ）＝
P （ A ） P （ B ｜ A ）反映了知二求一的方程思想.
【跟踪训练】
对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破
的概率是 ；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是 ；
若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是 .试求手机屏落地三次
未打破的概率.
解：设手机屏第 i （ i ＝1，2，3）次落地时打破的概率为 P （ Ai ），
则手机屏落地三次未打破的概率为 P （ ）＝ P （ ） P
（ ｜ ） P （ ｜ ）＝ ×（1－ ）×（1－ ）＝ .
题型二 相互独立事件的判断与证明
【例2】 求证：当 P （ A ）＞0时，当且仅当事件 A 与 B 相互独立
时，有 P （ B ｜ A ）＝ P （ B ）.
B
证明：充分性：若事件 A 与 B 相互独立，则 P （ AB ）＝ P （ A ） P
（ B ），又 P （ A ）＞0，则 P （ B ｜ A ）＝ ＝
＝ P （ B ）.
必要性：若 P （ B ｜ A ）＝ P （ B ），且 P （ A ）＞0，则 P （ B ）＝
P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ），即事件 A 与 B 相互独立.
通性通法
相互独立事件判断的两种方法
（1）若 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ），则 A ， B 相互独立；
（2）若 P （ A ）＞0，且 P （ B ｜ A ）＝ P （ B ），则 A ， B 相互独
立；若 P （ B ）＞0，且 P （ A ｜ B ）＝ P （ A ），则 A ， B 相互
独立.
【跟踪训练】
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回
地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数
字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件
“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数
字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
解析： 事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率
P （乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝ ＝ ，事件丁
发生的概率 P （丁）＝ ＝ .
事件甲与事件丙同时发生的概率 P （甲丙）＝0，事件甲和丁同时发生
的概率 P （甲丁）＝ ，事件乙和丙同时发生的概率 P （乙丙）＝ ，
事件丙和丁同时发生概率 P （丙丁）＝0.则 P （丙｜甲）＝
＝0≠ P （丙），甲与丙不相互独立； P （丁｜甲）＝ ＝ ＝
P （丁），甲与丁相互独立； P （丙｜乙）＝ ＝ ≠ P （丙），
乙与丙不相互独立；
P （丙｜丁）＝ ＝0≠ P （丙），丙与丁不相互独立.
题型三 相互独立事件概率的计算
【例3】 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮
空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直
至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中
一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 .
（1）求甲连胜四场的概率；
解：甲连胜四场的概率为 .
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
解：根据赛制，至少需要进行四场比赛，
至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 ；乙连胜四场的概率为 ；
丙上场后连胜三场的概率为 .
所以需要进行第五场比赛的概率为
1－ － － ＝ .
（3）求丙最终获胜的概率.
解： 丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照
丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负
空胜胜，概率分别为 ， ， .
因此丙最终获胜的概率为 ＋ ＋ ＋ ＝ .
通性通法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即
各个事件是相互独立的，而且它们可同时发生.
【跟踪训练】
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒
子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两
球至少有一个落入盒子的概率为 .
解析：甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ， ，且两球是否落入盒
子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为 × ＝ ，甲、乙两
球都不落入盒子的概率为 × ＝ ，所以甲、乙两球
至少有一个落入盒子的概率为 .
题型四 相互独立事件概率的实际应用
【例4】 三个元件 T1， T2， T3正常工作的概率分别为 ， ， ，将
它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所
示，求电路不发生故障的概率.
解：记“三个元件 T1， T2， T3正常工作”分别为事件 A1， A2， A3，则 P
（ A1）＝ ， P （ A2）＝ ， P （ A3）＝ .
电路不发生故障的事件为（ A2∪ A3） A1，
则电路不发生故障的概率为
P ＝ P [（ A2∪ A3） A1]＝ P （ A2∪ A3）· P （ A1）
＝[1－ P （ ）· P （ ）]· P （ A1）
＝ × ＝ .
通性通法
求较复杂事件的概率的方法
（1）列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示；
（2）厘清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独
立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算
其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题
者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第
一、二、三轮问题的概率分别为 ， ， ，且各轮问题能否正
确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率.
解：记事件“该选手能正确回答第 i 轮的问题”为 Ai （ i ＝1，2，
3），则 P （ A1）＝ ， P （ A2）＝ ， P （ A3）＝ .
法一 该选手被淘汰的概率为 P （ ）＋ P （ A1 ）＋ P （ A1 A2
）＝ P （ ）＋ P （ A1）· P （ ）＋ P （ A1） P （ A2）· P （ ）
＝ ＋ × ＋ × × ＝ .
法二 该选手被淘汰的概率为1－ P （ A1 A2 A3）＝1－ × × ＝ .
1. 坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次
取一球，用 A1表示第一次取得白球， A2表示第二次取得白球，则 A1
和 A2是（ ）
A. 互斥事件 B. 相互独立事件
C. 对立事件 D. 不相互独立事件
解析： ∵ P （ A1）＝ ，若 A1发生了， P （ A2）＝ ＝ ；若 A1
不发生， P （ A2）＝ ，即 A1发生的结果对 A2发生的结果有影响，
∴ A1与 A2不是相互独立事件.
2. 周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一
道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道
题的概率是（ ）
A. 0.80 B. 0.75
C. 0.60 D. 0.48
解析： 设“做对第一道题”为事件 A ，“做对第二道题”为事件 B ，
则 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）＝0.8× P （ B ）＝0.6，故 P （ B ）
＝0.75.故选B.
3. 甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学
生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的
概率是（ ）
解析： 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件 A ， B 分别为
甲班、乙班派出的是三好学生，则事件 AB 为两班派出的都是三好
学生，则 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）＝ × ＝ .
4. 已知 P （ B ｜ A ）＝ ， P （ AB ）＝ ，则 P （ A ）＝ .
解析：由乘法公式 P （ AB ）＝ P （ A ）· P （ B ｜ A ），
∴ P （ A ）＝ ＝ ＝ .
5. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，
0.6，0.5，则3人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的
概率是 .
解析：由题意可知三人都达标的概率为 P ＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三
人中至少有一人达标的概率为P'＝1－（1－0.8）×（1－0.6）×（1
－0.5）＝0.96.
0.24
0.96
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 P （ B ｜ A ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ AB ）＝（ ）
解析： 由乘法公式得 P （ AB ）＝ P （ A ）· P （ B ｜ A ）＝ ×
＝ .
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2. 甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率
依次是 p1， p2， p3，那么至少有一人解决这道题的概率是（ ）
A. p1＋ p2＋ p3
B. 1－（1－ p1）（1－ p2）（1－ p3）
C. 1－ p1 p2 p3
D. p1 p2 p3
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解析： 至少有一人解决这道题的对立事件是“没有人解决这道
题”，也即“三人均没有解出此题”，此概率为（1－ p1）（1－
p2）·（1－ p3），∴至少有一人解决这道题的概率是1－（1－ p1）
（1－ p2）（1－ p3）.
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3. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得
冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相
同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
解析： 设 Ai （ i ＝1，2）表示继续比赛时，甲在第 i 局获胜， B
事件表示甲队获得冠军.
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法一 B ＝ A1＋ A2，故 P （ B ）＝ P （ A1）＋ P （ ） P （ A2）＝
＋ × ＝ .
法二 P （ B ）＝1－ P （ ）＝1－ P （ ）· P （ ）＝1－ ×
＝ .
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4. 甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一
组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚
军.4个人相互比赛的胜率如表所示.那么甲得冠军且丙得亚军的概率
是（ ）
甲 乙 丙 丁
甲获胜概率 — 0.3 0.3 0.8
乙获胜概率 0.7 — 0.6 0.4
丙获胜概率 0.7 0.4 — 0.5
丁获胜概率 0.2 0.6 0.5 —
A. 0.15 B. 0.105
C. 0.045 D. 0.21
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解析： 甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概
率是0.5，甲、丙比赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件同时发生
的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为
0.3×0.5×0.3＝0.045.
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5. （多选）下列各对事件中， M ， N 是相互独立事件的有（ ）
A. 掷1枚质地均匀的骰子一次，事件 M ＝“出现的点数为奇数”，事件
N ＝“出现的点数为偶数”
B. 袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两
次，事件 M ＝“第1次摸到红球”，事件 N ＝“第2次摸到红球”
C. 分别抛掷2枚相同的硬币，事件 M ＝“第1枚为正面”，事件 N ＝“两
枚结果相同”
D. 一枚硬币掷两次，事件 M ＝“第一次为正面”，事件 N ＝“第二次为
反面”
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解析： 在A中， M ， N 是互斥事件，不相互独立；在B中，
M ， N 不是相互独立事件；在C中， P （ M ）＝ ， P （ N ）＝ ， P
（ MN ）＝ ， P （ MN ）＝ P （ M ） P （ N ），因此 M ， N 是相互
独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此
M ， N 是相互独立事件.故选C、D.
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6. （多选）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信
息如下：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
在该市场中任意买一部手机，用 A1， A2， A3分别表示买到的智能手
机的品牌为甲、乙、其他， B 表示买到的手机是优质品，则（ ）
A. P （ A1）＝0.5 B. P （ B ｜ A2）＝0.9
C. P （ BA1）＝0.8 D. P （ BA3）＝0.7
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解析： 依题意可得 P （ A1）＝0.5， P （ B ｜ A1）＝0.8， P
（ B ｜ A2）＝0.9， P （ B ｜ A3）＝0.7， P （ A3）＝0.2，则 P
（ BA1）＝ P （ B ｜ A1） P （ A1）＝0.8×0.5＝0.4， P （ BA3）＝ P
（ B ｜ A3） P （ A3）＝0.7×0.2＝0.14.故选A、B.
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7. 已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废
品的概率分别为0.01和 p ，每道工序是否产生废品相互独立，若经
过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则 p ＝ .
解析：由题意，得（1－0.01）（1－ p ）＝0.960 3，解得 p ＝0.03.
0.03
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8. 在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为
0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二
局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四
局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为 .
解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再
胜丙，∴概率 p ＝（1－0.4）×0.5×（1－0.4）×0.5＝0.09.
0.09
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9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 和 ，甲、乙两人各
射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为 ＋ ；②
目标恰好被命中两次的概率为 × ；③目标被命中的概率为 ×
＋ × ；④目标被命中的概率为1－ × .以上正确说法的序号
是 .
解析：①错误，目标恰好被命中一次的概率为 × ＋ × ；②正
确，目标恰好被命中两次的概率为 × ；目标被命中的概率为1－
× ，所以③错误，④正确.
②④
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10. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互
不影响.已知师傅加工1个零件是精品的概率为 ，师徒二人各加工
2个零件都是精品的概率为 .求徒弟加工2个零件都是精品的概率.
解：设徒弟加工1个零件是精品的概率为 p ，则 × p2＝ ，得 p2
＝ ，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是 .
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11. 设0＜ P （ A ）＜1，0＜ P （ B ）＜1，则“ P （ A ｜ B ）＋ P （ ｜
）＝1”是“ A 与 B 相互独立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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解析： 若 P （ A ｜ B ）＋ P （ ｜ ）＝1，则 P （ A ｜ B ）＝1
－ P （ ｜ ）＝ P （ A ｜ ），即 B 发生与否对 A 不影响，故 A
与 B 相互独立；若 A 与 B 相互独立，则 与 相互独立，则 P
（ A ｜ B ）＝ P （ A ）， P （ ｜ ）＝ P （ ），所以 P （ A ｜
B ）＋ P （ ｜ ）＝1.所以“ P （ A ｜ B ）＋ P （ ｜ ）＝1”是
“ A 与 B 相互独立”的充要条件.故选C.
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12. 从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为 ，
身体关节构造合格的概率为 .从中任挑一儿童，这两项至少有一
项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没
有影响）（ ）
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解析： 记“儿童体型合格”为事件 A ，“身体关节构造合格”为事
件 B ，则 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ，且 A ， B 相互独立，从中任
挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率为1－ P （ ）＝1－
× ＝ .
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13. （多选）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲中靶的概率
为 0.8，乙中靶的概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则
下列结论正确的是（ ）
A. 两人都中靶的概率为 0.72
B. 至少一人中靶的概率为 0.88
C. 至多一人中靶的概率为 0.26
D. 恰好有一人脱靶的概率为 0.26
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解析： 设事件 A 为：“甲中靶”，设事件 B 为：“乙中靶”，这
两个事件相互独立.A选项：都中靶的概率为 P （ AB ）＝ P （ A ） P
（ B ）＝0.8×0.9＝0.72，故A对；B选项：至少一人中靶，其对立
事件为：两人都不中靶，故至少一人中靶的概率为1－ P （ ）
＝1－ P （ ） P （ ）＝1－0.2×0.1＝0.98，故B错；C选项：至
多一人中靶的对立事件为：两人都中靶，则至多一人中靶的概率
为1－ P （ AB ）＝0.28，故C错；D选项：恰好有一人脱靶的概率
为 P （ A ） P （ ）＋ P （ ） P （ B ）＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝
0.26，故D对.故选A、D.
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14. 同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：
答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不
答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为
0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分
不低于300分的概率是 .
0.46
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解析：设“同学甲答对第 i 个题”为事件 Ai （ i ＝1，2，3），则 P
（ A1）＝0.8， P （ A2）＝0.6， P （ A3）＝0.5，且 A1， A2， A3相互
独立，同学甲得分不低于300分对应于事件 A1 A2 A3∪ A1 A3∪
A2 A3发生，故所求概率为 P ＝ P （ A1 A2 A3∪ A1 A3∪ A2 A3）＝
P （ A1 A2 A3）＋ P （ A1 A3）＋ P （ A2 A3）＝ P （ A1） P
（ A2） P （ A3）＋ P （ A1） P （ ） P （ A3）＋ P （ ） P
（ A2） P （ A3）＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝
0.46.
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15. 在① A 与 B 相互独立，② P （ B ）＝ ， P （ ｜ A ）＝ ，③ P
（ B ｜ ）＝ ， P （ A ）＝2 P （ B ），这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并求解.
问题：已知 P （ ｜ B ）＝ ， ，求 P （ A ）.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选择①，由 P （ ｜ B ）＝ ，得 P （ A ｜ B ）＝1－ P （ ｜
B ）＝ .
因为 A 与 B 相互独立，所以 P （ A ）＝ P （ A ｜ B ）＝ .
A
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选择②，因为 P （ ｜ B ）＝ ，
所以 P （ A ｜ B ）＝1－ P （ ｜ B ）＝ ，即 ＝ ，
又 P （ B ）＝ ，所以 P （ AB ）＝ .
因为 P （ ｜ A ）＝ ，所以 P （ B ｜ A ）＝ ，
即 ＝ ，所以 P （ A ）＝ .
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选择③，因为 P （ ｜ B ）＝ ＝ ， P （ B ｜ ）＝
＝ ，
所以 P （ ）＝ P （ B ），
又 P （ A ）＝2 P （ B ）， P （ A ）＋ P （ ）＝1，
所以 P （ A ）＝ .
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16. 从装有 a 个红球和 b 个蓝球的袋中（ a ， b 均不小于2），每次不放
回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为事件 A1，“第一次
摸球时摸到蓝球”为事件 A2，“第二次摸球时摸到红球”为事件 B1，
“第二次摸球时摸到蓝球”为事件 B2.求证：
（1） P （ B1）＝ ；
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证明：由题意可知， P （ A1）＝ ，
P （ A2）＝ ，∴ P （ B1）＝ P （ A1 B1）＋ P （ A2 B1）＝
· ＋ · ＝ .
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（2） P （ B1）＋ P （ B2）＝1；
证明：∵ P （ B2）＝ P （ A1 B2）＋ P （ A2 B2）＝
· ＋ · ＝ ，
∴ P （ B1）＋ P （ B2）＝1.
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（3） P （ B1｜ A1）＋ P （ B2｜ A1）＝1.
证明：∵ P （ B1｜ A1）＝ ＝ ＝ ，
P （ B2｜ A1）＝ ＝ ＝ ，
故 P （ B1｜ A1）＋ P （ B2｜ A1）＝1.
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