1.3 全概率公式
1.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ）
A.0.012 45 B.0.057 86
C.0.026 25 D.0.028 65
3.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ）
A.0.8 B.0.532
C.0.482 5 D.0.312 5
4.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，而在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立的有（ ）
A.P（A｜B）＝
B.P（AB）＝P（A）P（B｜A）
C.P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）
D.P（A｜B）＝
6.（多选）在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，病人中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，病人中60%表现出症状S.则（ ）
A.任意一位病人有症状S的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
7.设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、三厂生产的药品分别占，，.已知一厂、二厂、三厂生产的药品次品率分别为7%，5%，4%.现从中任取一药品，则该药品是次品的概率为 .
8.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（A｜C）＝0.95，P（｜）＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P（C）＝0.005，则P（C｜A）＝ .（精确到0.001）
9.一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为 .
10.小张从家到公司上班总共有三条路可以走（如图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P（L1）＝0.5，P（L2）＝0.3，P（L3）＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P（C1）＝0.2，P（C2）＝0.4，P（C3）＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么：
（1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？
（2）已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？
11.若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为（ ）
A. B.
C. D.
12.某乒乓球训练馆使用的球是A，B，C三种不同品牌的标准比赛球，以往使用的记录数据为：
品牌名称 合格率 购买球占比
A 98% 0.2
B 99% 0.6
C 97% 0.2
若这些球在盒子中是均匀混合的，且无区别的标志，现从盒子中随机地取1只球用于训练，则它是合格品的概率为（ ）
A.0.986 B.0.984
C.0.982 D.0.980
13.（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A.任取一个零件是第1台车床生产出来的次品的概率为0.06
B.任取一个零件是次品的概率为0.053
C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
14.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n（n∈N，n≥1）次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
（1）P2的值为 ；
（2）若n∈N，n≥2，且Pn－1表示Pn的表达式为 .
15.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起.
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；
（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
16.如图，1，2，3，4，5表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率为p，且各继电器触点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.
1.3 全概率公式
1.D 设A表示“先取到的是女生报名表”，Bi表示“取到第i个地区的报名表”，i＝1，2，3，∴P（A）＝P（Bi）P（A｜Bi）＝×＋×＋×＝.
2.C 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）P（C｜B）＝×5%＋×0.25%＝0.026 25.
3.C 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P（B）＝P（Ai）·P（B｜Ai）＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
4.B 设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，由全概率公式：P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（）P（A｜）＝×1＋×＝.由贝叶斯公式：P（B｜A）＝＝＝.故选B.
5.BCD 由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜），故D正确.故选B、C、D.
6.ABC P（D1）＝0.02，P（D2）＝0.05，P（D3）＝0.005，P（S｜D1）＝0.4，P（S｜D2）＝0.18，P（S｜D3）＝0.6，由全概率公式得P（S）＝P（Di）P（S｜Di）＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.由贝叶斯公式得：P（D1｜S）＝＝＝0.4，P（D2｜S）＝＝＝0.45，P（D3｜S）＝＝＝0.15.
7.0.05 解析：令A＝{该药品是次品}（显然A是一复杂事件），Bi＝{药品是由i厂生产的}（i＝1，2，3），显然它们构成一完备事件组，且事件A只能与其中之一事件同时发生.故用全概率公式计算.P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.07×0.25＋0.05×0.25＋0.04×0.50＝0.05.
8.0.087 解析：由题设，有P（）＝1－P（C）＝0.995，P（A｜）＝1－P（｜）＝0.05，由贝叶斯公式，得P（C｜A）＝≈0.087.
9. 解析：设A表示“第二次取出的均为新球”，Bi表示“第一次取出的3个球恰有i个新球”（i＝0，1，2，3）.由全概率公式得P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝·＋·＋·＋·＝.
10.解：（1）由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则
P（C）＝P（L1）×P（C｜L1）＋P（L2）×P（C｜L2）＋P（L3）×P（C｜L3）＝P（L1）×P（C1）＋P（L2）×P（C2）＋P（L3）×P（C3）＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36.
（2）P（L1｜C）＝＝＝.
所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率为.
11.C 设事件Ai表示取出数字i，i＝1，2，3，4，易知P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（A4）＝，事件B表示取到y＝2，则P（B｜A1）＝0，P（B｜A2）＝，P（B｜A3）＝，P（B｜A4）＝，∴P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝×（0＋＋＋）＝.
12.B 将品牌A，B，C分别记为第1，2，3个品牌，设事件Mi表示“取到的球是第i（i＝1，2，3）个品牌”，事件N表示“取到的球是合格品”，其中M1，M2，M3两两互斥，所以P（N）＝P（M1N）＋P（M2N）＋P（M3N）＝P（M1）P（N｜M1）＋P（M2）P（N｜M2）＋P（M3）P（N｜M3）＝0.98×0.2＋0.99×0.6＋0.97×0.2＝0.984，故选B.
13.BCD 记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件（i＝1，2，3），则P（A｜B1）＝6%，P（A｜B2）＝P（A｜B3）＝5%，P（B1）＝30%，P（B2）＝30%，P（B3）＝40%，对于A，任取一个零件是第1台车床生产出来的次品的概率为P（AB1）＝6%×30%＝0.018，故错误；对于B，任取一个零件是次品的概率为P（A）＝P（AB1）＋P（AB2）＋P（AB3）＝6%×30%＋5%×30%＋5%×40%＝0.053，故正确；对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P（B2｜A）＝＝＝＝，故正确；对于D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P（B3｜A）＝＝＝＝，故正确；故选B、C、D.
14.（1） （2）Pn＝－Pn－1＋
解析：（1）P2＝×＋×＝.
（2）Pn＝Pn－1×＋（1－Pn－1）×＝－Pn－1＋.
15.解：设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.3，P（B3）＝0.5，
P（A｜B1）＝0.95，P（A｜B2）＝0.9，P（A｜B3）＝0.8.
（1）由全概率公式得P（A）＝P（Bi）·P（A｜Bi）＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
（2）由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝＝＝，
P（B2｜A）＝
＝＝，
P（B3｜A）＝
＝＝.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性大.
16.解：设事件B＝{L至R为通路}，Ai＝{第i个继电器触点闭合}，i＝1，2，…，5.则Ω＝A3＋，B＝BA3＋B.如图①，P（B｜）＝P（A1A4∪A2A5）＝2p2－p4，
如图②，P（B｜A3）＝P（A1∪A2）P（A4∪A5）＝（2p－p2）2.
由全概率公式得P（B）＝P（B｜）P（）＋P（B｜A3）P（A3）＝2p2＋2p3－5p4＋2p5.
3 / 31.3 全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率 数学运算
2.了解贝叶斯公式并会运用 数学抽象、数学运算
有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装有2红球2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球.
【问题】 如何求取得红球的概率？
知识点一 全概率公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P（Bi）＞0（i＝1，2，…，n），则对任意一个事件A有P（A）＝ .称上式为全概率公式.
知识点二 贝叶斯公式*
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P（A）＞0，P（Bi）＞0（i＝1，2，…，n），则P（Bi｜A）＝ .称上式为贝叶斯公式.
提醒 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率P（B｜A）＝乘法公式
P（AB）＝P（A）P（B｜A）
全概率公式
P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）
贝叶斯公式
P（Ai｜B）＝，i＝1，2，…，n
【想一想】
1.怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？
2.贝叶斯公式的几何意义是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若P（A）＞0，P（）＞0，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）.（ ）
（2）若A1，A2，A3互斥且P（A1）＞0，P（A2）＞0，P（A3）＞0，则P（B）＝P（Ai）·P（B｜Ai）.（ ）
（3）全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai＝Ω.（ ）
（4）贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.（ ）
2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为 .
3.利率变化是影响某金融产品价格的重要因素，经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率是40%.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下价格上涨的概率为40%.则该金融产品价格上涨的概率为 .
题型一 全概率公式的应用
【例1】 有一批产品是由甲、乙、丙三个工厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率.
尝试解答
通性通法
1.全概率公式的适用范围
所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
2.运用全概率公式的一般步骤
（1）求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An；
（2）求P（Ai）（i＝1，2，…，n）；
（3）求P（B｜Ai）（i＝1，2，…，n）；
（4）求目标事件的概率P（B）.
【跟踪训练】
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率.
题型二 贝叶斯公式*的应用
【例2】 某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4.如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为，和，乘飞机不会迟到.结果他迟到了，求他乘汽车去的概率.
尝试解答
通性通法
贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式的应用是互逆的.当结果发生了，求某个原因的概率就用贝叶斯公式.
【跟踪训练】
英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P（A｜B）＝.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 .
题型三 全概率公式和贝叶斯公式*的综合应用
【例3】 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
Ⅰ 0.02 0.15
Ⅱ 0.01 0.80
Ⅲ 0.03 0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，该次品来自第几家元件制造厂的可能性最大.
尝试解答
通性通法
概率树图法在全概率公式和贝叶斯公式中的应用
对于复杂问题，运用概率树图法比较方便.先根据题意，画出图形，在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解.
【跟踪训练】
有两箱同种类型的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，试求：
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.
1.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0.则他迟到的概率为（ ）
A.0.65 B.0.075 C.0.145 D.0
2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（ ）
A.0.21 B.0.06
C.0.94 D.0.95
3.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 .
4.李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5.几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为 .
1.3 全概率公式
【基础知识·重落实】
知识点一
P（Bi）P（A｜Bi）
知识点二
想一想
1.提示：如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概率公式，如果所求概率为条件概率P（A｜B），而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式.
2.提示：如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P（A｜B）表示原因A在结果B中的比重.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.0.8 解析：设B表示一辆汽车中途停车修理，A1表示该车是货车，A2表示该车是客车，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P（A1｜B）＝
＝＝0.8.
3.0.64 解析：记事件A为“利率下调”，则事件为“利率不变”.
记事件B为“金融产品价格上涨”，根据题意有
P（A）＝0.6，P（）＝0.4，P（B｜A）＝0.8，P（B｜）＝0.4.
因为P（B）＝P（AB∪B），
所以P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.6×0.8＋0.4×0.4＝0.64.
因此该金融产品价格上涨的概率为0.64.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设A，B，C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，
则由已知，P（A）＝50%，P（B）＝30%，P（C）＝20%，
P（D｜A）＝95%，P（D｜B）＝90%，P（D｜C）＝85%，
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到，即P（D）＝P（D｜A）P（A）＋P（D｜B）P（B）＋P（D｜C）P（C）＝×＋×＋×＝0.915.
跟踪训练
解：设B表示“从仓库中随机提出的一台是合格品”，A1表示“提出的一台是第1车间生产的产品”，A2表示“提出的一台是第2车间生产的产品”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥，则有B＝A1B∪A2B，
由题意P（A1）＝，P（A2）＝，
P（B｜A1）＝0.85，P（B｜A2）＝0.88，
由全概率公式得，P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×0.85＋×0.88＝0.868，即该产品合格的概率为0.868.
【例2】 解：设B表示“迟到”，A1表示“乘火车”，A2表示“乘轮船”，A3表示“乘汽车”，A4表示“乘飞机”，
根据题意，有P（A1）＝0.2，P（A2）＝0.1，P（A3）＝0.3，P（A4）＝0.4.
P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝，
P（B｜A3）＝.P（B｜A4）＝0.
由贝叶斯公式，有P（A3｜B）＝
＝
＝＝0.5，
即他乘汽车去的概率为0.5.
跟踪训练
解析：设A1：第一天去甲餐厅，A2：第二天去甲餐厅，B1：第一天去乙餐厅，B2：第二天去乙餐厅，所以P（A1）＝0.4，P（B1）＝0.6，P（A2｜A1）＝0.6，P（A2｜B1）＝0.5，P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（B1）P（A2｜B1）＝0.54，P（B2）＝1－P（A2）＝0.46，P（A1｜B2）＝＝＝＝.
【例3】 解：设A表示取到的是一只次品，Bi（i＝1，2，3）表示所取到的产品是由第i家工厂提供的.
本题的概率树图如下：
易知，B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划分，且有P（B1）＝0.15，P（B2）＝0.80，P（B3）＝0.05，
P（A｜B1）＝0.02，P（A｜B2）＝0.01，P（A｜B3）＝0.03.
（1）由全概率公式得P（A）＝P（A｜B1）P（B1）＋P（A｜B2）P（B2）＋P（A｜B3）P（B3）＝0.012 5.
（2）由贝叶斯公式P（B1｜A）＝＝＝0.24.
同理可得P（B2｜A）＝0.64，P（B3｜A）＝0.12.以上结果表明，这只次品来自第Ⅱ家元件制造厂的可能性最大.
跟踪训练
解：设Bi表示第i次取到一等品，i＝1，2，Aj表示第j箱产品，j＝1，2，显然A1∪A2＝Ω，A1A2＝ ，
（1）P（B1）＝P（A1）P（B1｜A1）＋P（A2）·P（B1｜A2）＝×＋×＝.
（2）P（B2｜B1）＝
＝≈0.485 6.
随堂检测
1.C 设A1表示他乘火车来，A2表示他乘船来，A3表示他乘汽车来，A4表示他乘飞机来，B表示他迟到.易知：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
2.D 令B表示取到的零件为合格品，Ai表示零件为第i台机床的产品，i＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×0.96＋×0.93＝0.95.故选D.
3. 解析：设A表示“从乙袋中取出的是白球”，Bi表示“从甲袋中取出的2球恰有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝·＋·＋·＝.
4. 解析：记事件B表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，A表示“花还活着”，由题意得P（B）＝0.5，P（）＝0.5，P（A｜B）＝0.8，P（A｜）＝0.3，则P（B｜A）＝
＝＝.
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1.3 全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率 数学运算
2.了解贝叶斯公式并会运用 数学抽象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装
有2红球2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球.
【问题】 如何求取得红球的概率？
知识点一 全概率公式
设 B1， B2，…， Bn 为样本空间Ω的一个划分，若 P （ Bi ）＞0（i＝1，
2，…，n），则对任意一个事件A有P（A）＝
.称上式为全概率公式.
P （ Bi ） P （ A ｜
Bi ）
知识点二 贝叶斯公式*
设 B1， B2，…， Bn 为样本空间Ω的一个划分，若 P （ A ）＞0， P
（ Bi ）＞0（ i ＝1，2，…， n ），则 P （ Bi ｜ A ）
＝ 称上式为贝叶斯公式.
.
提醒 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率 P （ B ｜ A ）＝ 乘法公式
P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）
全概率公式
P （ B ）＝ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
贝叶斯公式
P （ Ai ｜ B ）＝ ， i ＝1，2，…， n
1. 怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？
提示：如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概
率公式，如果所求概率为条件概率 P （ A ｜ B ），而 B 由多个原因
引起，此时应用贝叶斯公式.
2. 贝叶斯公式的几何意义是什么？
提示：如图所示， B 是由 A 和 两个原因引起的结
果， P （ A ｜ B ）表示原因 A 在结果 B 中的比重.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若 P （ A ）＞0， P （ ）＞0，则 P （ B ）＝ P （ A ） P （ B ｜
A ）＋ P （ ） P （ B ｜ ）. （ √ ）
（2）若 A1， A2， A3互斥且 P （ A1）＞0， P （ A2）＞0， P （ A3）
＞0，则 P （ B ）＝ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）. （ × ）
√
×
（4）贝叶斯公式是在观察到事件 B 已发生的条件下，寻找导致 B 发
生的每个原因的概率. （ √ ）
√
（3）全概率公式中样本空间Ω中的事件 Ai 需满足的条件为 Ai ＝
Ω. （ × ）
×
2. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修
理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该
汽车是货车的概率为 .
解析：设 B 表示一辆汽车中途停车修理， A1表示该车是货车， A2表
示该车是客车，则 B ＝ A1 B ∪ A2 B ，由贝叶斯公式有
P （ A1｜ B ）＝ ＝
＝0.8.
0.8
3. 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素，经分析师分析，最近
利率下调的概率为60%，利率不变的概率是40%.根据经验，在利率
下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情
况下价格上涨的概率为40%.则该金融产品价格上涨的概率为 .
0.64
解析：记事件 A 为“利率下调”，则事件 为“利率不变”.
记事件 B 为“金融产品价格上涨”，根据题意有
P （ A ）＝0.6， P （ ）＝0.4， P （ B ｜ A ）＝0.8， P （ B ｜ ）
＝0.4.
因为 P （ B ）＝ P （ AB ∪ B ），
所以 P （ B ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＋ P （ ） P （ B ｜ ）＝
0.6×0.8＋0.4×0.4＝0.64.
因此该金融产品价格上涨的概率为0.64.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 全概率公式的应用
【例1】 有一批产品是由甲、乙、丙三个工厂同时生产的，其中甲
厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品正品率
为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这
批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率.
解：设 A ， B ， C 分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的， D
表示抽得产品为正品，
则由已知， P （ A ）＝50%， P （ B ）＝30%， P （ C ）＝20%，
P （ D ｜ A ）＝95%， P （ D ｜ B ）＝90%， P （ D ｜ C ）＝85%，
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到，即 P （ D ）＝
P （ D ｜ A ） P （ A ）＋ P （ D ｜ B ） P （ B ）＋ P （ D ｜ C ） P （ C ）
＝ × ＋ × ＋ × ＝0.915.
通性通法
1. 全概率公式的适用范围
所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能
中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概
率公式.
2. 运用全概率公式的一般步骤
（1）求出样本空间Ω的一个划分 A1， A2，…， An ；
（2）求 P （ Ai ）（ i ＝1，2，…， n ）；
（3）求 P （ B ｜ Ai ）（ i ＝1，2，…， n ）；
（4）求目标事件的概率 P （ B ）.
B
【跟踪训练】
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率
为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆
放在一个仓库.假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有
一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率.
解：设 B 表示“从仓库中随机提出的一台是合格品”， A1表示
“提出的一台是第1车间生产的产品”， A2表示“提出的一台是
第2车间生产的产品”，则Ω＝ A1∪ A2，且 A1与 A2互斥，则有 B
＝ A1 B ∪ A2 B ，
由题意 P （ A1）＝ ， P （ A2）＝ ， P （ B ｜ A1）＝0.85， P
（ B ｜ A2）＝0.88，
由全概率公式得， P （ B ）＝ P （ A1） P （ B ｜ A1）＋ P
（ A2） P （ B ｜ A2）＝ ×0.85＋ ×0.88＝0.868，即该产品
合格的概率为0.868.
题型二 贝叶斯公式*的应用
【例2】 某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的
概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4.如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到
的概率分别为 ， 和 ，乘飞机不会迟到.结果他迟到了，求他乘汽
车去的概率.
解：设 B 表示“迟到”， A1表示“乘火车”， A2表示“乘轮船”， A3表示“乘
汽车”， A4表示“乘飞机”，
根据题意，有 P （ A1）＝0.2， P （ A2）＝0.1， P （ A3）＝0.3， P
（ A4）＝0.4.
P （ B ｜ A1）＝ ， P （ B ｜ A2）＝ ， P （ B ｜ A3）＝ .
P （ B ｜ A4）＝0.
＝ ＝ ＝0.5，
即他乘汽车去的概率为0.5.
由贝叶斯公式，有 P （ A3｜ B ）＝
通性通法
贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式的
应用是互逆的.当结果发生了，求某个原因的概率就用贝叶斯公式.
【跟踪训练】
英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理
论，随机事件 A ， B 存在如下关系： P （ A ｜ B ）＝ .
某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概
率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概
率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，
则王同学第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 .
解析：设 A1：第一天去甲餐厅， A2：第二天去甲餐厅， B1：第一天去
乙餐厅， B2：第二天去乙餐厅，
所以 P （ A1）＝0.4， P （ B1）＝0.6， P （ A2｜ A1）＝0.6， P （ A2｜
B1）＝0.5， P （ A2）＝ P （ A1） P （ A2｜ A1）＋ P （ B1） P （ A2｜
B1）＝0.54， P （ B2）＝1－ P （ A2）＝0.46， P （ A1｜ B2）＝
＝ ＝ ＝ .
题型三 全概率公式和贝叶斯公式*的综合应用
【例3】 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.
根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
Ⅰ 0.02 0.15
Ⅱ 0.01 0.80
Ⅲ 0.03 0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
解：设 A 表示取到的是一只次品， Bi （ i ＝1，2，3）表示所取
到的产品是由第 i 家工厂提供的.
本题的概率树图如下：
易知， B1， B2， B3是样本空间
Ω的一个划分，且有 P （ B1）＝0.15， P （ B2）＝0.80， P
（ B3）＝0.05， P （ A ｜ B1）＝0.02， P （ A ｜ B2）＝0.01， P （ A ｜ B3）＝0.03.
由全概率公式得 P （ A ）＝ P （ A ｜ B1） P （ B1）＋ P
（ A ｜ B2） P （ B2）＋ P （ A ｜ B3） P （ B3）＝0.012 5.
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，该次品来
自第几家元件制造厂的可能性最大.
解：由贝叶斯公式 P （ B1｜ A ）＝ ＝
＝0.24.
同理可得 P （ B2｜ A ）＝0.64， P （ B3｜ A ）＝0.12.以上结果表
明，这只次品来自第Ⅱ家元件制造厂的可能性最大.
通性通法
概率树图法在全概率公式和贝叶斯公式中的应用
对于复杂问题，运用概率树图法比较方便.先根据题意，画出图
形，在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图
形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解.
【跟踪训练】
有两箱同种类型的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30
只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两
次，每次任取一只，作不放回抽样，试求：
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；
P （ B1）＝ P （ A1） P （ B1｜ A1）＋ P （ A2）· P （ B1｜
A2）＝ × ＋ × ＝ .
解：设 Bi 表示第 i 次取到一等品， i ＝1，2， Aj 表示第 j 箱产品，
j ＝1，2，显然 A1∪ A2＝Ω， A1 A2＝ ，
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等
品的概率.
解： P （ B2｜ B1）＝ ＝ ≈0.485 6.
1. 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，
0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0.则他迟到的概
率为（ ）
A. 0.65 B. 0.075 C. 0.145 D. 0
解析： 设 A1表示他乘火车来， A2表示他乘船来， A3表示他乘汽
车来， A4表示他乘飞机来， B 表示他迟到.易知： A1， A2， A3， A4
构成一个完备事件组，由全概率公式得 P （ B ）＝ P （ Ai ） P
（ B ｜ Ai ）＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品
率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台
加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（ ）
A. 0.21 B. 0.06
C. 0.94 D. 0.95
解析： 令 B 表示取到的零件为合格品， Ai 表示零件为第 i 台机床
的产品， i ＝1，2.由全概率公式得： P （ B ）＝ P （ A1） P （ B ｜
A1）＋ P （ A2） P （ B ｜ A2）＝ ×0.96＋ ×0.93＝0.95.故选D.
解析：设 A 表示“从乙袋中取出的是白球”， Bi 表示“从甲袋中取出的
2球恰有 i 个白球”， i ＝0，1，2.由全概率公式 P （ A ）＝ P （ B0） P
（ A ｜ B0）＋ P （ B1） P （ A ｜ B1）＋ P （ B2） P （ A ｜ B2）＝ ·
＋ · ＋ · ＝ .
4. 李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如
果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内
邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了
解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5.几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为 .
解析：记事件 B 表示“邻居记得浇水”， 表示“邻居忘记浇水”， A
表示“花还活着”，由题意得 P （ B ）＝0.5， P （ ）＝0.5， P
（ A ｜ B ）＝0.8， P （ A ｜ ）＝0.3，则 P （ B ｜ A ）＝
＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生
报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中
先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（ ）
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解析： 设 A 表示“先取到的是女生报名表”， Bi 表示“取到第 i 个
地区的报名表”， i ＝1，2，3，∴ P （ A ）＝ P （ Bi ） P （ A ｜
Bi ）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
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2. 已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，
现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ）
A. 0.012 45 B. 0.057 86
C. 0.026 25 D. 0.028 65
解析： 用事件 A ， B 分别表示随机选一人是男人或女人，用事件
C 表示此人恰好患色盲，则Ω＝ A ∪ B ，且 A ， B 互斥， P （ C ）＝
P （ A ） P （ C ｜ A ）＋ P （ B ） P （ C ｜ B ）＝ ×5%＋ ×0.25%
＝0.026 25.
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3. 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，
1%的四等种子.一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的
概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上
麦粒的概率为（ ）
A. 0.8 B. 0.532
C. 0.482 5 D. 0.312 5
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解析： 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事
件是 A1， A2， A3， A4，则Ω＝ A1∪ A2∪ A3∪ A4，且 A1， A2， A3，
A4两两互斥，设 B 表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以
上麦粒”，则 P （ B ）＝ P （ Ai ）· P （ B ｜ Ai ）＝95.5%×0.5＋
2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
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4. 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某
考生知道正确答案的概率为 ，而在乱猜时，4个答案都有机会被他
选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）
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解析： 设 A 表示“考生答对”， B 表示“考生知道正确答案”，由全
概率公式： P （ A ）＝ P （ B ） P （ A ｜ B ）＋ P （ ） P （ A ｜
）＝ ×1＋ × ＝ .由贝叶斯公式： P （ B ｜ A ）＝
＝ ＝ .故选B.
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5. （多选）若0＜ P （ A ）＜1，0＜ P （ B ）＜1，则下列等式中成立
的有（ ）
B. P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）
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解析： 由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正
确；由全概率公式知C正确； P （ B ）· P （ A ｜ B ）＝ P （ AB ）， P
（ B ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＋ P （ ） P （ B ｜ ），故D正确.
故选B、C、D.
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6. （多选）在某一季节，疾病 D1的发病率为2%，病人中40%表现出症
状 S ，疾病 D2的发病率为5%，病人中18%表现出症状 S ，疾病 D3的
发病率为0.5%，病人中60%表现出症状 S . 则（ ）
A. 任意一位病人有症状 S 的概率为0.02
B. 病人有症状 S 时患疾病 D1的概率为0.4
C. 病人有症状 S 时患疾病 D2的概率为0.45
D. 病人有症状 S 时患疾病 D3的概率为0.25
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解析： P （ D1）＝0.02， P （ D2）＝0.05， P （ D3）＝
0.005， P （ S ｜ D1）＝0.4， P （ S ｜ D2）＝0.18， P （ S ｜ D3）＝
0.6，由全概率公式得 P （ S ）＝ P （ Di ） P （ S ｜ Di ）＝
0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.由贝叶斯公式得： P
（ D1｜ S ）＝ ＝ ＝0.4， P （ D2｜ S ）＝
＝ ＝0.45， P （ D3｜ S ）＝
＝ ＝0.15.
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7. 设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一
厂、二厂、三厂生产的药品分别占 ， ， .已知一厂、二厂、三厂
生产的药品次品率分别为7%，5%，4%.现从中任取一药品，则该药
品是次品的概率为 .
解析：令 A ＝{该药品是次品}（显然 A 是一复杂事件）， Bi ＝{药品
是由 i 厂生产的}（ i ＝1，2，3），显然它们构成一完备事件组，且
事件 A 只能与其中之一事件同时发生.故用全概率公式计算. P （ A ）
＝ P （ B1） P （ A ｜ B1）＋ P （ B2） P （ A ｜ B2）＋ P （ B3） P
（ A ｜ B3）＝0.07×0.25＋0.05×0.25＋0.04×0.50＝0.05.
0.05
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8. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以 A
表示事件“试验反应为阳性”，以 C 表示事件“被诊断者患有癌症”，
则有 P （ A ｜ C ）＝0.95， P （ ｜ ）＝0.95，现在对自然人群进
行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即 P （ C ）＝
0.005，则 P （ C ｜ A ）＝ .（精确到0.001）
解析：由题设，有 P （ ）＝1－ P （ C ）＝0.995， P （ A ｜ ）＝1
－ P （ ｜ ）＝0.05，由贝叶斯公式，得 P （ C ｜ A ）＝
≈0.087.
0.087
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9. 一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意
抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只
球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为 .
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解析：设 A 表示“第二次取出的均为新球”， Bi 表示“第一次取出的3
个球恰有 i 个新球”（ i ＝0，1，2，3）.由全概率公式得 P （ A ）＝ P
（ B0） P （ A ｜ B0）＋ P （ B1） P （ A ｜ B1）＋ P （ B2） P （ A ｜
B2）＋ P （ B3） P （ A ｜ B3）＝ · ＋ · ＋ · ＋
· ＝ .
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10. 小张从家到公司上班总共有三条路可以走（如图），但是每条路
每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率
分别为 P （ L1）＝0.5， P （ L2）＝0.3， P （ L3）＝0.2，每天上述
三条路不拥堵的概率分别为 P （ C1）＝0.2， P （ C2）＝0.4， P
（ C3）＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么：
（1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？
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解：由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件 C 表示到公司不迟到，则
P （ C ）＝ P （ L1）× P （ C ｜ L1）
＋ P （ L2）× P （ C ｜ L2）＋ P
（ L3）× P （ C ｜ L3）＝ P （ L1）×
P （ C1）＋ P （ L2）× P （ C2）＋ P
（ L3）× P （ C3）＝0.5×0.2＋
0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36.
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（2）已知到达公司未迟到，选择道路 L1的概率是多少？
解：P （ L1｜ C ）＝
＝ ＝ .
所以已知到达公司未迟到，选择道
路 L1的概率为 .
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11. 若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为 x ，再从1，…， x 中任取
一个数记为 y ，则 y ＝2的概率为（ ）
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解析： 设事件 Ai 表示取出数字 i ， i ＝1，2，3，4，易知 P
（ A1）＝ P （ A2）＝ P （ A3）＝ P （ A4）＝ ，事件 B 表示取到 y
＝2，则 P （ B ｜ A1）＝0， P （ B ｜ A2）＝ ， P （ B ｜ A3）＝ ，
P （ B ｜ A4）＝ ，∴ P （ B ）＝ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）＝ ×
＝ .
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12. 某乒乓球训练馆使用的球是 A ， B ， C 三种不同品牌的标准比赛
球，以往使用的记录数据为：
品牌名称 合格率 购买球占比
A 98% 0.2
B 99% 0.6
C 97% 0.2
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若这些球在盒子中是均匀混合的，且无区别的标志，现从盒子中
随机地取1只球用于训练，则它是合格品的概率为（ ）
A. 0.986 B. 0.984
C. 0.982 D. 0.980
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解析： 将品牌 A ， B ， C 分别记为第1，2，3个品牌，设事件
Mi 表示“取到的球是第 i （ i ＝1，2，3）个品牌”，事件 N 表示“取
到的球是合格品”，其中 M1， M2， M3两两互斥，所以 P （ N ）＝ P
（ M1 N ）＋ P （ M2 N ）＋ P （ M3 N ）＝ P （ M1） P （ N ｜ M1）＋
P （ M2） P （ N ｜ M2）＋ P （ M3） P （ N ｜ M3）＝0.98×0.2＋
0.99×0.6＋0.97×0.2＝0.984，故选B.
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13. （多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为
6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一
起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，
30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台车床生产出来的次品的概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.053
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解析： 记事件 A ：车床加工的零件为次品，记事件 Bi ：第 i
台车床加工的零件（ i ＝1，2，3），则 P （ A ｜ B1）＝6%， P
（ A ｜ B2）＝ P （ A ｜ B3）＝5%， P （ B1）＝30%， P （ B2）＝
30%， P （ B3）＝40%，对于A，任取一个零件是第1台车床生产出
来的次品的概率为 P （ AB1）＝6%×30%＝0.018，故错误；对于
B，任取一个零件是次品的概率为 P （ A ）＝ P （ AB1）＋ P
（ AB2）＋ P （ AB3）＝6%×30%＋5%×30%＋5%×40%＝
0.053，故正确；
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对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 P
（ B2｜ A ）＝ ＝ ＝ ＝ ，故正确；
对于D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 P
（ B3｜ A ）＝ ＝ ＝ ＝ ，故正确；
故选B、C、D.
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14. 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按
下后，出现红球与绿球的概率都是 ，从按钮第二次按下起，若前
一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ， ，若
前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ， ，
记第 n （ n ∈N， n ≥1）次按下按钮后出现红球的概率为 Pn .
解析：P2＝ × ＋ × ＝ .
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（2）若 n ∈N， n ≥2，且 Pn－1表示 Pn 的表达式为
.
解析：Pn ＝ Pn－1× ＋（1－ Pn－1）×
＝－ Pn－1＋ .
Pn ＝－ Pn－1＋
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15. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正
品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混
合在一起.
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；
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由全概率公式得 P （ A ）＝ P （ Bi ）· P （ A ｜ Bi ）
＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
解：设事件 A 表示取到的产品为正品， B1， B2， B3分别表示
产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω＝ B1∪ B2∪ B3，且 B1， B2， B3
两两互斥，
由已知 P （ B1）＝0.2， P （ B2）＝0.3， P （ B3）＝0.5，
P （ A ｜ B1）＝0.95， P （ A ｜ B2）＝0.9， P （ A ｜ B3）＝0.8.
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（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个
厂生产的可能性大？
解：由贝叶斯公式得 P （ B1｜ A ）＝ ＝
＝ ，
P （ B2｜ A ）＝ ＝ ＝ ，
P （ B3｜ A ）＝ ＝ ＝ .
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性大.
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16. 如图，1，2，3，4，5表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率
为 p ，且各继电器触点闭合与否相互独立，求 L 至 R 是通路的概率.
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解：设事件 B ＝{ L 至 R 为通路}， Ai ＝{第 i 个继电器触点闭合}， i
＝1，2，…，5.则Ω＝ A3＋ ， B ＝ BA3＋ B .如图①， P （ B ｜
）＝ P （ A1 A4∪ A2 A5）＝2 p2－ p4，
如图②， P （ B ｜ A3）＝ P （ A1∪ A2） P （ A4∪ A5）＝（2 p －
p2）2.
由全概率公式得 P （ B ）＝ P （ B ｜ ） P （ ）＋ P （ B ｜ A3）
P （ A3）＝2 p2＋2 p3－5 p4＋2 p5.
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谢 谢 观 看！
