2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量的分布列
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列 数学抽象、数学运算
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量.
【问题】 上述情景中，随机变量X的取值情况如何？
知识点一 随机变量
1.随机变量
（1）定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着 的变化而变化的量称为随机变量；
（2）表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示.
2.离散型随机变量
取值能够 出来的随机变量称为离散型随机变量.
【想一想】
所有的随机变量的取值都能一一列举吗？
知识点二 离散型随机变量的分布列及其性质
1.离散型随机变量的分布列
（1）定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi（i＝1，2，…，n，…），记作 （i＝1，2，…，n，…）.①
①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列；
（2）表示：与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示.
xi x1 x2 … xn …
P（X＝xi） p1 p2 … pn …
（3）性质：①pi＞ （i＝1，2，…，n，…）；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝ .
2.伯努利试验与两点分布
（1）伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有 的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为 ，每次“失败”的概率均为 ，则称这样的试验为伯努利试验.
（2）两点分布
X 1 0
P p q
若随机变量X的分布列为上表的形式，其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布（又称 分布或伯努利分布）.
【想一想】
如何计算离散型随机变量在某一范围内取值的概率呢？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的取值是任意的实数.（ ）
（2）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.（ ）
（3）在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.（ ）
（4）在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.（ ）
2.设离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P p
则p的值为（ ）
A. B.
C. D.
3.若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝0.2.令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）＝ .
题型一 随机变量的概念辨析
【例1】 （1）（多选）抛掷一枚均匀硬币一次，不能作为随机变量的是（ ）
A.抛掷硬币的次数
B.出现正面的次数
C.出现正面或反面的次数
D.出现正面和反面的次数之和
（2）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A.从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数
B.一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数
C.某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
尝试解答
通性通法
判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤
【跟踪训练】
一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的X的值；
（2）若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.
题型二 用随机变量表示随机试验的结果
【例2】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
（1）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；
（2）一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
尝试解答
通性通法
解决用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
（1）关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果；
（2）注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【跟踪训练】
抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值为Y，写出随机变量Y的取值，并说明这些值表示的随机试验的结果.
题型三 离散型随机变量的分布列及性质
角度1 离散型随机变量的分布列
【例3】 有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
（1）求n的值；
（2）求随机变量X的分布列.
尝试解答
通性通法
求离散型随机变量分布列的一般步骤
（1）用大写英文字母（或小写希腊字母）表示离散型随机变量；
（2）确定离散型随机变量的所有可能取值；
（3）计算离散型随机变量取每个值时的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验；
（4）写出分布列（通常以表格的形式呈现）.
角度2 离散型随机变量的性质
【例4】 设随机变量X的分布列为P＝ak（k＝1，2，3，4，5）.
（1）求常数a的值；
（2）求P.
尝试解答
通性通法
分布列的性质及其应用
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数；
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
角度3 两点分布
【例5】 若随机变量X只能取两个值0，1，又知X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列.
尝试解答
通性通法
两步法判断一个分布是否为两点分布
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1；
（2）验概率：检验P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.
【跟踪训练】
袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列.
1.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为X，则{X＝5}表示的试验结果是（ ）
A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标 D.第4次击中目标
2.某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－＝（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A.－0.2 B.0.2 C.0.1 D.－0.1
3.（多选）下列各量中是离散型随机变量的是（ ）
A.某机场候机室中一天的游客数量
B.某同学离开自己学校的距离
C.某将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次
D.体积为8 m3的正方体的棱长
4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用离散型随机变量X描述一次试验成功的次数，则P（X＝0）＝ .
5.口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，以X表示取出的球的最小号码，则X的分布列为 .
2.1 随机变量
2.2 离散型随机变量的分布列
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）试验结果 2.一一列举
想一想
提示：不一定.
知识点二
1.（1）P（X＝xi）＝pi （3）①0 ②1
2.（1）两个相互对立 p 1－p （2）0－1
想一想
提示：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）√
2.C 由离散型随机变量分布列的性质知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝1，所以p＝1－－－＝.
3.0.8 解析：由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，
所以P（Y＝－2）＝P（X＝0）＝0.8.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）ACD （2）AB 解析：（1）抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故B项为随机变量；而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为抛掷硬币的次数，也不是随机变量.
（2）A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项，从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
跟踪训练
解：（1）列表如下：
X 0 1 2 3
结 果 取得3个黑球 取得1个白球，2个黑球 取得2个白球，1个黑球 取得3个白球
（2）由题意可得：η＝5X＋6，而X的可能取值为0，1，2，3，所以η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为6，11，16，21.显然η为离散型随机变量.
【例2】 解：（1）X的可能取值为0，1，2，3.
{X＝0}表示取5个球全是红球；
{X＝1}表示取1个白球，4个红球；
{X＝2}表示取2个白球，3个红球；
{X＝3}表示取3个白球，2个红球.
（2）X的可能取值为3，4，5.
{X＝3}表示取出的球的编号为1，2，3.
{X＝4}表示取出的球的编号为1，2，4；1，3，4；2，3，4.
{X＝5}表示取出的球的编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5；3，4，5.
跟踪训练
解：Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.
用（a，b）表示两枚骰子掷出的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数.
{Y＝0}表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的所有可能结果有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）.
{Y＝1}表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能结果有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5）.
{Y＝2}表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能结果有（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4）.
{Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能结果有（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3）.
{Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能结果有（1，5），（5，1），（2，6），（6，2）.
{Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能结果有（1，6），（6，1）.
【例3】 解：（1）因为当X＝2时，有种坐法，
所以＝6，即＝6，
n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3（舍去），
所以n＝4.
（2）因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意知X的可能取值是0，2，3，4，
所以P（X＝0）＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，
P（X＝4）＝1－－－＝，
所以X的分布列为
X 0 2 3 4
P
【例4】 解：由题意，所给分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
（1）由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
（2）法一 P＝P＋P＋P（X＝1）＝＋＋＝.
法二 P＝1－P＝1－（＋）＝.
【例5】 解：由题意及分布列满足的条件知P（X＝0）＋P（X＝1）＝3P（X＝1）＋P（X＝1）＝1，
所以P（X＝1）＝，故P（X＝0）＝.
所以X的分布列为
X 0 1
P
跟踪训练
解：由题设可知X服从两点分布.
P（X＝0）＝＝；
P（X＝1）＝1－P（X＝0）＝.
∴X的分布列为
X 0 1
P
随堂检测
1.C 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数X＝5，说明前4次均未击中目标.
2.B 由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.
3.AC A、C中的量均是随机变量，且其所有可能的取值都是可以一一列举出来的，故A、C中的量是离散型随机变量；B中的量是随机变量，其取值范围是一个区间，故B中的量是连续型随机变量；D中的量是一个常量，不是随机变量.故选A、C.
4. 解析：设该项试验的成功率为p，由题知此试验服从两点分布，因此可列下表：
X 0 1
P 1－p p
因为试验的成功率是失败率的2倍，所以p＝2（1－p），解得p＝，1－p＝.因此P（X＝0）＝.
5.
X 1 2 3
P 0.6 0.3 0.1
解析：X的可能取值为1，2，3.又P（X＝1）＝＝0.6，P（X＝2）＝＝0.3，P（X＝3）＝＝0.1.所以X的分布列为
X 1 2 3
P 0.6 0.3 0.1
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2.2
离散型随机变量的分布列
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理
解离散型随机变量的分布列 数学抽象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1
环，…，命中10环等结果，若用 X 来表示他一次射击所命中的环数，
则 X 即为随机变量.
【问题】 上述情景中，随机变量 X 的取值情况如何？
知识点一 随机变量
1. 随机变量
（1）定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本
空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关
系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着
的变化而变化的量称为随机变量；
（2）表示：随机变量常用字母 X ， Y ，ξ，η等来表示.
试
验结果
2. 离散型随机变量
取值能够 出来的随机变量称为离散型随机变量.
【想一想】
所有的随机变量的取值都能一一列举吗？
提示：不一定.
一一列举
知识点二 离散型随机变量的分布列及其性质
1. 离散型随机变量的分布列
（1）定义：若离散型随机变量 X 的取值为 x1， x2，…， xn ，…，随
机变量 X 取 xi 的概率为 pi （ i ＝1，2，…， n ，…），记作
（ i ＝1，2，…， n ，…）. ①
①式称为离散型随机变量 X 的分布列，简称为 X 的分布列；
P
（ X ＝ xi ）＝ pi
（2）表示：与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可
以用表格表示，还可以用图形表示.
xi x1 x2 … xn …
P （ X ＝ xi ） p1 p2 … pn …
（3）性质：① pi ＞ （ i ＝1，2，…， n ，…）；
② p1＋ p2＋…＋ pn ＋…＝ .
0
1
2. 伯努利试验与两点分布
（1）伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有 的结果，
可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均
为 ，每次“失败”的概率均为 ，则称这样的试验
为伯努利试验.
两个相互对立
p
1－ p
（2）两点分布
X 1 0
P p q
若随机变量 X 的分布列为上表的形式，其中0＜ p ＜1， q ＝1－
p ，那么称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布（又
称 分布或伯努利分布）.
0－1
【想一想】
如何计算离散型随机变量在某一范围内取值的概率呢？
提示：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这
个范围内各个值的概率的和.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的取值是任意的实数. （ × ）
（2）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个. （ √ ）
（3）在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为
任意的实数. （ × ）
（4）在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1. （ √ ）
×
√
×
√
2. 设离散型随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P p
则 p 的值为（ ）
解析： 由离散型随机变量分布列的性质知 P （ X ＝1）＋ P （ X
＝2）＋ P （ X ＝3）＋ P （ X ＝4）＝1，所以 p ＝1－ － － ＝ .
3. 若随机变量 X 服从两点分布，且 P （ X ＝0）＝0.8， P （ X ＝1）＝
0.2.令 Y ＝3 X －2，则 P （ Y ＝－2）＝ .
解析：由 Y ＝－2，且 Y ＝3 X －2，得 X ＝0，
所以 P （ Y ＝－2）＝ P （ X ＝0）＝0.8.
0.8
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 随机变量的概念辨析
【例1】 （1）（多选）抛掷一枚均匀硬币一次，不能作为随机变量
的是（ ）
A. 抛掷硬币的次数
B. 出现正面的次数
C. 出现正面或反面的次数
D. 出现正面和反面的次数之和
解析：抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或
反面向上，以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随
机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，
故B项为随机变量；而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C
项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为抛掷硬币
的次数，也不是随机变量.
（2）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A. 从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的
卡片的号数
B. 一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的
个数
C. 某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D. 某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
解析： A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡
片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项，
从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正
品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散
型随机变量的定义；C项，林场树木的高度是一个随机变
量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离
散型随机变量；D项，实际测量值与规定值之间的差值无法
一一列出，不是离散型随机变量.
通性通法
判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤
（1）列表说明可能出现的结果与对应的 X 的值；
解：（1）列表如下：
X 0 1 2 3
结果 取得3个黑球 取得1个白球，
2个黑球 取得2个白球，
1个黑球 取得3个白球
【跟踪训练】
一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个
数为 X .
（2）若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加
分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η
是否为离散型随机变量.
解：由题意可得：η＝5 X ＋6，而 X 的可能取值为0，1，2，3，所以η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为6，11，16，21.显然η为离散型随机变量.
题型二 用随机变量表示随机试验的结果
【例2】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值
表示的随机试验的结果.
（1）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白
球的个数为 X ；
解：X 的可能取值为0，1，2，3.
{ X ＝0}表示取5个球全是红球；
{ X ＝1}表示取1个白球，4个红球；
{ X ＝2}表示取2个白球，3个红球；
{ X ＝3}表示取3个白球，2个红球.
（2）一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中
任取3个球，取出的球的最大号码记为 X .
解：X 的可能取值为3，4，5.
{ X ＝3}表示取出的球的编号为1，2，3.
{ X ＝4}表示取出的球的编号为1，2，4；1，3，4；2，3，4.
{ X ＝5}表示取出的球的编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；
2，3，5；2，4，5；3，4，5.
通性通法
解决用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
（1）关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取
值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应
一个或多个随机试验的结果；
（2）注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【跟踪训练】
抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第
二枚骰子掷出的点数之差的绝对值为 Y ，写出随机变量 Y 的取
值，并说明这些值表示的随机试验的结果.
解： Y 的可能取值为0，1，2，3，4，5.
用（ a ， b ）表示两枚骰子掷出的点数，其中 a 为第一枚骰子掷
出的点数， b 为第二枚骰子掷出的点数.
{ Y ＝0}表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的所有可能结
果有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），
（6，6）.
{ Y ＝1}表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能结
果有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），
（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5）.
{ Y ＝2}表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能结
果有（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），
（5，3），（4，6），（6，4）.
{ Y ＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能结
果有（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），
（6，3）.
{ Y ＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能结
果有（1，5），（5，1），（2，6），（6，2）.
{ Y ＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能结
果有（1，6），（6，1）.
题型三 离散型随机变量的分布列及性质
角度1 离散型随机变量的分布列
【例3】 有编号为1，2，3，…， n 的 n 个学生，入坐编号为1，2，
3，…， n 的 n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位
号与该生的编号不同的学生人数为 X ，已知 X ＝2时，共有6种坐法.
（1）求 n 的值；
解：因为当 X ＝2时，有 种坐法，
所以 ＝6，即 ＝6， n2－ n －12＝0，
解得 n ＝4或 n ＝－3（舍去），所以 n ＝4.
（2）求随机变量 X 的分布列.
解：因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X ，
由题意知 X 的可能取值是0，2，3，4，
所以 P （ X ＝0）＝ ＝ ，
P （ X ＝2）＝ ＝ ＝ ，
P （ X ＝3）＝ ＝ ＝ ，
P （ X ＝4）＝1－ － － ＝ ，
所以 X 的分布列为
X 0 2 3 4
P
通性通法
求离散型随机变量分布列的一般步骤
（1）用大写英文字母（或小写希腊字母）表示离散型随机变量；
（2）确定离散型随机变量的所有可能取值；
（3）计算离散型随机变量取每个值时的概率，并利用分布列的性质
对计算结果进行检验；
（4）写出分布列（通常以表格的形式呈现）.
角度2 离散型随机变量的性质
【例4】 设随机变量 X 的分布列为 P ＝ ak （ k ＝1，2，3，
4，5）.
（1）求常数 a 的值；
由分布列的性质得 a ＋2 a ＋3 a ＋4 a ＋5 a ＝1，解得 a ＝ .
解：由题意，所给分布列为
X 1
P a 2 a 3 a 4 a 5 a
（2）求 P .
解：法一 P ＝ P ＋ P ＋ P （ X ＝1）＝
＋ ＋ ＝ .
法二 P ＝1－ P ＝1－（ ＋ ）＝ .
通性通法
分布列的性质及其应用
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，
以保证每个概率值均为非负数；
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围
内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率
加法公式.
角度3 两点分布
【例5】 若随机变量 X 只能取两个值0，1，又知 X 取0的概率是取1的
概率的3倍，写出 X 的分布列.
解：由题意及分布列满足的条件知 P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝3 P
（ X ＝1）＋ P （ X ＝1）＝1，
所以 P （ X ＝1）＝ ，故 P （ X ＝0）＝ .
所以 X 的分布列为
X 0 1
P
通性通法
两步法判断一个分布是否为两点分布
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1；
（2）验概率：检验 P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝1是否成立.如果一个
分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.
【跟踪训练】
袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记 X ＝
求 X 的分布列.
解：由题设可知 X 服从两点分布.
P （ X ＝0）＝ ＝ ； P （ X ＝1）＝1－ P （ X ＝0）＝ .
∴ X 的分布列为
X 0 1
P
1. 某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，
记射击次数为 X ，则{ X ＝5}表示的试验结果是（ ）
A. 第5次击中目标 B. 第5次未击中目标
C. 前4次均未击中目标 D. 第4次击中目标
解析： 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数 X ＝5，说明
前4次均未击中目标.
2. 某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且 m ＋2 n ＝1.2，则 m － ＝
（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A. －0.2 B. 0.2 C. 0.1 D. －0.1
解析： 由离散型随机变量分布列的性质可得 m ＋ n ＋0.2＝1，又
m ＋2 n ＝1.2，解得 m ＝ n ＝0.4，可得 m － ＝0.2.
3. （多选）下列各量中是离散型随机变量的是（ ）
A. 某机场候机室中一天的游客数量
B. 某同学离开自己学校的距离
C. 某将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次
D. 体积为8 m3的正方体的棱长
解析： A、C中的量均是随机变量，且其所有可能的取值都是
可以一一列举出来的，故A、C中的量是离散型随机变量；B中的量
是随机变量，其取值范围是一个区间，故B中的量是连续型随机变
量；D中的量是一个常量，不是随机变量.故选A、C.
解析：设该项试验的成功率为 p ，由题知此试验服从两点分布，因
此可列下表：
X 0 1
P 1－ p p
因为试验的成功率是失败率的2倍，所以 p ＝2（1－ p ），解得 p ＝
，1－ p ＝ .因此 P （ X ＝0）＝ .
5. 口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，以 X 表示
取出的球的最小号码，则 X 的分布列为 .
答案：
X 1 2 3
P 0.6 0.3 0.1
解析： X 的可能取值为1，2，3.又 P （ X ＝1）＝ ＝0.6， P （ X ＝
2）＝ ＝0.3， P （ X ＝3）＝ ＝0.1.
所以 X 的分布列为
X 1 2 3
P 0.6 0.3 0.1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在
在有放回抽取的条件下依次取出2个球，设2个球号码之和为随机变
量 X ，则 X 所有可能取值的个数是（ ）
A. 5 B. 9 C. 10 D. 25
解析： 号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.
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2. 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三
局.用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（ ）
A. 甲赢三局
B. 甲赢一局输两局
C. 甲、乙平局三次
D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
解析： 由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}分成
两种情况，即3＋0＋0或1＋1＋1两种情况，也即甲赢一局输两局或
甲、乙平局三次.故选D.
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3. 设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.1 m 0.3 0.2
若随机变量 Y ＝2 X －2，则 P （ Y ＝2）＝（ ）
A. 0.3 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析： 由离散型随机变量的分布列的性质得0.1＋0.1＋0.2＋0.3
＋ m ＝1，解得 m ＝0.3，∵随机变量 Y ＝2 X －2，∴ P （ Y ＝2）＝ P
（ X ＝2）＝0.3.
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4. 离散型随机变量 X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以 x ， y
（ x ， y ∈N）代替，分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0. x 5 0.10 0.1 y 0.20
则 P （ ＜ X ＜ ）＝（ ）
A. 0.25 B. 0.35
C. 0.45 D. 0.55
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解析：根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和
为1，可解得 x ＝2， y ＝5，故 P （ ＜ X ＜ ）＝ P （ X ＝2）＋ P
（ X ＝3）＝0.35.
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5. （多选）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么{ξ＝4}包含的随
机试验的结果有（ ）
A. 2枚都是4点
B. 1枚是1点，另1枚是3点
C. 2枚都是2点
D. 2枚中必有1枚是4点
解析： 由题意得，抛掷2枚骰子，{ξ＝4}表示掷出的1枚是1
点，另1枚是3点或者2枚都是2点，故选B、C.
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6. （多选）下列表格中，是某个随机变量的分布列的是（ ）
A.
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B.
X －2 0 2 4
P 0.4 0.2 0.3 0.1
C.
X 1 2 3
P
D.
X 1 2 3
P lg 2 lg 2
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解析： 由离散型随机变量分布列的性质可知，A、B、D正
确.C中， P （ X ＝1）＜0不符合 P （ X ＝ xi ）＞0的特点，也不符合
P （ X ＝1）＋ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝3）＝1的特点，所以C中表格
不是随机变量的分布列.
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7. 一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不
同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数（两两不同），设他拨到正
确号码所用的次数为 X ，随机变量 X 的可能值有 个.
解析：后3个数是从6，7，8，9四个数中取3个组成的，共有 ＝24
（个）.
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8. 设随机变量 X 等可能取值1，2，3，…， n ，如果 P （ X ＜4）＝
0.3，那么 P （ X ＝1）＝ ， n ＝ .
解析：由题意知 P （ X ＜4）＝3 P （ X ＝1）＝0.3，
∴ P （ X ＝1）＝0.1，又 nP （ X ＝1）＝1，∴ n ＝10.
0.1
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9. 把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是 X ，则 P （ X ＜2）
＝ .
解析： P （ X ＜2）＝ P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝ ＋
＝ ＝ .
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10. 某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个
问题，每位选手都有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类
题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给
定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答
完该题后，再抽取下一道题目做答.某选手抽到科技类题目的道数
为 X .
（1）试求出随机变量 X 的可能取值；
解：由题意得 X 的可能取值为0，1，2，3.
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（2）{ X ＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的
结果？
解： { X ＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”.
从三类题目中各抽取一道，不同的结果有 ＝180（种）.
抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有
＝180（种）.
抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有
＝18（种）.
由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18
＝378（种）.
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11. 一个人有 n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试
开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数 X 为随机变量，则 P
（ X ＝ k ）＝（ ）
解析： { X ＝ k }表示第 k 次恰好打开，前 k －1次没有打开，∴ P
（ X ＝ k ）＝ × ×…× × ＝ .
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12. 随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中 a ＋ c ＝2 b ，则函数 f （ x ）＝ x2＋2 x ＋ξ有且只有一个零点的
概率为（ ）
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解析： 由题意知解得 b ＝ .∵ f （ x ）＝ x2＋2 x
＋ξ有且只有一个零点，∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，∴ P （ξ＝1）
＝ .故选B.
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13. （多选）设离散型随机变量 X 的分布列为
X －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3
则下列各式正确的是（ ）
A. P （ X ＝1.5）＝0
D. P （ X ＜0）＝0
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解析： ∵事件{ X ＝1.5}不存在，∴ P （ X ＝1.5）＝0，A正
确.∵ P （ X ＞－1）＝1－ P （ X ＝－1）＝ ，∴B正确.∵ P （0≤ X
＜2）＝ P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝ ， P （ X ＜0）＝ P （ X ＝
－1）＝ ，∴C、D均不正确.故选A、B.
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14. 若随机变量 X 的概率分布规律为 P （ X ＝ n ）＝ （ n ＝1，
2，3，4），其中 a 是常数，则 P 的值为 .
解析：∵ P （ X ＝ n ）＝ （ n ＝1，2，3，4），∴ ＋ ＋
＋ ＝1，∴ a ＝ .∴ P ＝ P （ X ＝1）＋ P （ X ＝2）
＝ ＋ ＝ a ＝ .
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15. 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等
级，每个等级对应的分数和人数如表所示：
等级 不及格 及格 中等 良 优
分数 1 2 3 4 5
人数 20 50 60 40 30
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数 X 的分布列及 P
（ X ≥4）的值.
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解：由题意知， X 是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，
3，4，5，且{ X ＝1}表示“不及格”，{ X ＝2}表示“及格”，{ X ＝3}
表示“中等”，{ X ＝4}表示“良”，{ X ＝5}表示“优”.根据古典概型的
知识，可得 X 的分布列如表所示：
X 1 2 3 4 5
P
P （ X ≥4）＝ P （ X ＝4）＋ P （ X ＝5）＝ ＋ ＝ .
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16. 设 S 是不等式 x2－ x －6≤0的解集，整数 m ， n ∈ S .
（1）设“使得 m ＋ n ＝0成立的有序实数组（ m ， n ）”为事件 A ，
试列举 A 包含的样本点；
解：由 x2－ x －6≤0得－2≤ x ≤3，即 S ＝{ x ｜－2≤ x ≤3}.
由于 m ， n ∈Z， m ， n ∈ S 且 m ＋ n ＝0，所以 A 包含的样本
点为（－2，2），（2，－2），（－1，1），（1，－1），
（0，0）.
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（2）设ξ＝ m2，求ξ的分布列.
解：由于 m 的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，
所以ξ＝ m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有
P （ξ＝0）＝ ， P （ξ＝1）＝ ＝ ，
P （ξ＝4）＝ ＝ ， P （ξ＝9）＝ .
故ξ的分布列为
ξ 0 1 4 9
P
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谢 谢 观 看！2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量的分布列
1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出2个球，设2个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（ ）
A.5 B.9
C.10 D.25
2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（ ）
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.1 m 0.3 0.2
若随机变量Y＝2X－2，则P（Y＝2）＝（ ）
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
4.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，y∈N）代替，分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则P（ ＜X＜）＝（ ）
A.0.25 B.0.35
C.0.45 D.0.55
5.（多选）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么{ξ＝4}包含的随机试验的结果有（ ）
A.2枚都是4点
B.1枚是1点，另1枚是3点
C.2枚都是2点
D.2枚中必有1枚是4点
6.（多选）下列表格中，是某个随机变量的分布列的是（ ）
A.
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B.
X －2 0 2 4
P 0.4 0.2 0.3 0.1
C.
X 1 2 3
P －
D.
X 1 2 3
P lg 2 lg 2 lg
7.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数（两两不同），设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有 个.
8.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X＜4）＝0.3，那么P（X＝1）＝ ，n＝ .
9.把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P（X＜2）＝ .
10.某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，每位选手都有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答.某选手抽到科技类题目的道数为X.
（1）试求出随机变量X的可能取值；
（2）{X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
11.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P（X＝k）＝（ ）
A. B.
C. D.
12.随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中a＋c＝2b，则函数f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为（ ）
A. B.
C. D.
13.（多选）设离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3
则下列各式正确的是（ ）
A.P（X＝1.5）＝0
B.P（X＞－1）＝
C.P（0≤X＜2）＝
D.P（X＜0）＝0
14.若随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P的值为 .
15.某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示：
等级 不及格 及格 中等 良 优
分数 1 2 3 4 5
人数 20 50 60 40 30
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列及P（X≥4）的值.
16.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
（1）设“使得m＋n＝0成立的有序实数组（m，n）”为事件A，试列举A包含的样本点；
（2）设ξ＝m2，求ξ的分布列.
2.1 随机变量
2.2 离散型随机变量的分布列
1.B 号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.
2.D 由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}分成两种情况，即3＋0＋0或1＋1＋1两种情况，也即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选D.
3.A 由离散型随机变量的分布列的性质得0.1＋0.1＋0.2＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3，∵随机变量Y＝2X－2，∴P（Y＝2）＝P（X＝2）＝0.3.
4.B 根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，故P（ ＜X＜）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.35.
5.BC 由题意得，抛掷2枚骰子，{ξ＝4}表示掷出的1枚是1点，另1枚是3点或者2枚都是2点，故选B、C.
6.ABD 由离散型随机变量分布列的性质可知，A、B、D正确.C中，P（X＝1）＜0不符合P（X＝xi）＞0的特点，也不符合P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝1的特点，所以C中表格不是随机变量的分布列.
7.24 解析：后3个数是从6，7，8，9四个数中取3个组成的，共有＝24（个）.
8.0.1 10 解析：由题意知P（X＜4）＝3P（X＝1）＝0.3，∴P（X＝1）＝0.1，又nP（X＝1）＝1，∴n＝10.
9. 解析：P（X＜2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝＝.
10.解：（1）由题意得X的可能取值为0，1，2，3.
（2）{X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”.
从三类题目中各抽取一道，不同的结果有＝180（种）.
抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有＝180（种）.
抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有＝18（种）.
由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378（种）.
11.B {X＝k}表示第k次恰好打开，前k－1次没有打开，∴P（X＝k）＝××…××＝.
12.B 由题意知解得b＝.∵f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，∴P（ξ＝1）＝.故选B.
13.AB ∵事件{X＝1.5}不存在，∴P（X＝1.5）＝0，A正确.∵P（X＞－1）＝1－P（X＝－1）＝，∴B正确.∵P（0≤X＜2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝，P（X＜0）＝P（X＝－1）＝，∴C、D均不正确.故选A、B.
14. 解析：∵P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），∴＋＋＋＝1，∴a＝.∴P＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＝a＝.
15.解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X＝1}表示“不及格”，{X＝2}表示“及格”，{X＝3}表示“中等”，{X＝4}表示“良”，{X＝5}表示“优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列如表所示：
X 1 2 3 4 5
P
P（X≥4）＝P（X＝4）＋P（X＝5）＝＋＝.
16.解：（1）由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x｜－2≤x≤3}.由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的样本点为（－2，2），（2，－2），（－1，1），（1，－1），（0，0）.
（2）由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有
P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝9）＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 4 9
P
1 / 3
