3.1 离散型随机变量的均值
1.设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则EX＝（ ）
A. B. C. D.
2.某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 18 20
频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
试估计该商品日平均需求量为（ ）
A.16 B.16.2
C.16.6 D.16.8
3.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察后，X，Y的分布列分别如下：
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
则据此判定（ ）
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
4.设离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P p1 p2 p3
则EX＝2的充要条件是（ ）
A.p1＝p2 B.p2＝p3
C.p1＝p3 D.p1＝p2＝p3
5.已知随机变量ξ的分布列为
ξ x y
P y x
且xy≠0，则下列说法正确的是（ ）
A.存在x，y∈（0，1），使得Eξ＞
B.对任意x，y∈（0，1），Eξ≤
C.对任意x，y∈（0，1），Eξ≤
D.对任意x，y∈（0，1），Eξ＞
6.（多选）已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6.3，则（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a＝7 B.b＝0.4
C.E（aX）＝44.1 D.E（bX＋a）＝2.62
7.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的均值EX＝ .
8.现有一个项目，对该项目投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为 万元.
9.盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个球，记总分为ξ，则P（ξ＝4）＝ ，Eξ＝ .
10.盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有两节废电池.现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值.
11.在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次，一旦命中目标，则停止射击，否则一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为p（0＜p＜1），射击次数为X，若X的均值EX＞，则p的取值范围是（ ）
A.（，） B.（，） C.（0，） D.（，1）
12.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（ ）
A. B.1
C. D.2
13.（多选）甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙两盒中随机取出i（i＝1，2）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的均值为EiX，EiY，则下列结论正确的是（ ）
A.E1X＋E1Y＝3 B.E2X＞E2Y
C.E1X＞E1Y D.E1X＝E2Y
14.设口袋中有黑球、白球共9个.从中任取2个球，若取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为 .
15.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
（1）随机变量ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的均值.
16.某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
3.1 离散型随机变量的均值
1.B EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
2.D 估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.
3.A 由题可知，EX＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，EY＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，由于EY＞EX，故甲比乙质量好.
4.C 由离散型随机变量X的分布列知，当EX＝2时，解得p1＝p3，此时p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1.EX＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2.故EX＝2的充要条件是p1＝p3.
5.C 由题意知0＜x＜1，0＜y＜1，x＋y＝1.Eξ＝xy＋yx＝2xy＝2x（1－x）＝－2x2＋2x＝－2（x－）2＋∈（0，］，只有选项C正确.
6.ABC 由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，且EX＝4×0.5＋0.1×a＋9×b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E（aX）＝aEX＝7×6.3＝44.1，E（bX＋a）＝bEX＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故A、B、C正确.
7. 解析：分布列如下表所示：
X 0 1 2
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＝＝.
8.1.18 解析：因为X的所有可能取值为1.2，1.18，1.17，P（X＝1.2）＝，P（X＝1.18）＝，P（X＝1.17）＝，
所以随机变量X的分布列为
X 1.2 1.18 1.17
P
则EX＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
9. 解析：ξ的所有可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝，Eξ＝3×＋4×＋5×＋6×＝.
10.解：X的可能取值为1，2，3，
则P（X＝1）＝，P（X＝2）＝×＝，P（X＝3）＝××1＝.
所以抽取次数X的分布列为
X 1 2 3
P
所以EX＝1×＋2×＋3×＝.
11.C 依题意X的可能取值为1，2，3.P（X＝1）＝p；P（X＝2）＝（1－p）p；P（X＝3）＝（1－p）2.∴EX＝p＋2（1－p）p＋3（1－p）2＝p2－3p＋3＞，且0＜p＜1，解得0＜p＜.故选C.
12.B 记抽到自己准备的书的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，4，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝4）＝＝，则EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.故选B.
13.ACD 由题意可知，X表示交换后甲盒子中的黑球个数，Y表示交换后乙盒子中的黑球个数，当i＝1时，P（X＝1）＝P（Y＝2）＝＝，P（X＝2）＝P（Y＝1）＝×2＝，P（X＝3）＝P（Y＝0）＝＝，因此E1X＝1×＋2×＋3×＝，E1Y＝2×＋1×＋0×＝，所以E1X＋E1Y＝3，E1X＞E1Y，故A正确，C正确.当i＝2时，P（X＝0）＝P（Y＝3）＝＝，P（X＝1）＝P（Y＝2）＝·＋·＝，P（X＝2）＝P（Y＝1）＝·＝，因此E2X＝0×＋1×＋2×＝，E2Y＝3×＋2×＋1×＝，所以E2X＜E2Y，E1X＝E2Y，故B错误，D正确.故选A、C、D.
14.3 解析：设白球有m个，则取到白球的均值是×0＋×1＋×2＝，即＋×2＝，解得m＝3.
15.解：（1）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4.
则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝.
从而ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
（2）由（1）得ξ的均值为Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
16.解：（1）选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P（A）＝＝，所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P（A）·P（A）＝.
（2）若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为X元，则X的可能取值为0，600，700，1 000.
P（X＝0）＝＝，P（X＝600）＝＝，
P（X＝700）＝＝，P（X＝1 000）＝＝，
故X的分布列为
X 0 600 700 1 000
P
所以EX＝0×＋600×＋700×＋1 000×＝.
若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为Y，最后付款的金额为Z（单位：元），则Z＝1 000－200Y，
易得EY＝，
所以EZ＝E（1 000－200Y）＝1 000－200EY＝820.
因为EX＜EZ，
所以该顾客选择方案一更合算.
3 / 33.1 离散型随机变量的均值
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，理解随机变量的均值，并能解决简单的实际问题 数学运算、数学建模、数据分析
设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.
【问题】 每个西瓜的平均重量该如何求？
知识点 离散型随机变量的均值
1.定义：设离散型随机变量X的分布列如下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX＝ 为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.
2.意义：均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的 .
【想一想】
1.若两点分布中随机变量X＝0的概率为p，则X的期望是多少？
2.如何从加权平均数的角度理解均值的概念？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量X的均值EX是个变量，其随X的变化而变化.（ ）
（2）随机变量的均值反映了样本的平均水平.（ ）
（3）若随机变量X的均值EX＝2，则E（2X）＝4.（ ）
（4）若随机变量X服从两点分布，则EX＝P（X＝1）.（ ）
2.随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则EX＝（ ）
X 0 1
P a
A. B.
C. D.
3.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为 .
题型一 求离散型随机变量的均值
【例1】 在一个不透明的纸袋里装有5个除颜色外完全相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值.
尝试解答
通性通法
求离散型随机变量的均值的一般步骤
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值；
第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求均值”，利用均值的定义求均值.
【跟踪训练】
某商店试销某种商品20天，获得如下数据.
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和均值.
题型二 均值的实际应用
【例2】 某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件300元，已知两家超市的销售水平相同，且两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足，则食品厂以每件250元补货，若销售有剩余，则食品厂以每件150元回收.现需决策每日购进该食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
销售件数 8 9 10 11
频数 20 40 20 20
以频率代替概率，记X表示这两家超市每日共销售该食品的件数，n表示销售公司每日共需购进该食品的件数.
（1）求X的分布列；
（2）以销售该食品所得利润的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选一个，应选用哪个？
尝试解答
通性通法
1.实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.均值模型应用的三个解答步骤
（1）审题：确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；
（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
【跟踪训练】
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障时间x（年） 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2
轿车数量（辆） 2 3 45 5 45
每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的均值EX＝（ ）
A. B.2 C. D.3
2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（ ）
A.0 B.
C.1 D.－1
3.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的均值效益是（ ）
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
4.马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ 1 2 3
P ？ ！ ？
请小牛同学计算ξ的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案Eξ＝ .
5.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是 .
3.1 离散型随机变量的均值
【基础知识·重落实】
知识点
1.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
2.平均水平
想一想
1.提示：若两点分布中X＝0的概率为p，则X＝1的概率为1－p，所以X的期望EX＝0×p＋1×（1－p）＝1－p.
2.提示：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.A 由题意知＋a＝1，所以a＝，EX＝0×＋1×a＝a＝.
3. 解析：X的取值为2，3.P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.∴EX＝2×＋3×＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题意得，ξ可能的取值为1，2，3，4，5，则P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝×＝，P（ξ＝3）＝××＝，P（ξ＝4）＝×××＝，P（ξ＝5）＝××××1＝，
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P
由离散型随机变量的均值的定义知Eξ＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3.
跟踪训练
解：（1）P（当天商店不进货）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为1件）＝＋＝.
（2）由题意知X的可能取值为2，3，P（X＝2）＝P（当天商品销售量为1件）＝＝，P（X＝3）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为2件）＋P（当天商品销售量为3件）＝＋＋＝.
故X的分布列为
X 2 3
P
所以X的均值为EX＝2×＋3×＝.
【例2】 解：（1）易知每家超市销售该食品的件数为8，9，10，11的概率分别为，，，，
X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P（X＝16）＝×＝.
P（X＝17）＝××2＝，
P（X＝18）＝×＋××2＝，
P（X＝19）＝××2＋××2＝，
P（X＝20）＝×＋××2＝＝，
P（X＝21）＝××2＝，
P（X＝22）＝×＝，
∴X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P
（2）当n＝19时，记Y1为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y1的分布列为
Y1 1 450 1 600 1 750 1 900 1950 2 000 2 050
P
EY1＝1 450×＋1 600×＋1 750×＋1 900×＋1 950×＋2 000×＋2 050×＝1 822.
当n＝20时，记Y2为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y2的分布列为
Y2 1 400 1 550 1 700 1 850 2 000 2 050 2 100
P
EY2＝1 400×＋1 550×＋1 700×＋1 850×＋2 000×＋2 050×＋2 100×＝1 804.
由EY1＞EY2，故应选n＝19.
跟踪训练
解：（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）＝＝.
（2）依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3
P
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
（3）由（2）得EX1＝1×＋2×＋3×＝2.86（万元）.
EX2＝1.8×＋2.9×＝2.79（万元）.
∵EX1＞EX2，∴应生产甲品牌轿车.
随堂检测
1.A EX＝1×＋2×＋3×＝.
2.A 因为P（X＝1）＝，P（X＝－1）＝，所以由均值的定义得EX＝1×＋（－1）×＝0.
3.B 出海的均值效益EX＝5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2 000）＝3 000－800＝2 200（元）.
4.2 解析：令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，∴Eξ＝a＋2b＋3a＝2（2a＋b）＝2.
5. 解析：试验次数ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝×＝，P（ξ＝3）＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以Eξ＝1×＋2×＋3×＝.
4 / 4(共67张PPT)
3.1
离散型随机变量的均值
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，理解随机变量的均值，并能解
决简单的实际问题 数学运算、数学建
模、数据分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有
5个.
【问题】 每个西瓜的平均重量该如何求？
知识点 离散型随机变量的均值
1. 定义：设离散型随机变量 X 的分布列如下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称 EX ＝ 为随机变量 X 的均
值或数学期望（简称期望）.
x1 p1＋ x2 p2＋…＋ xipi ＋…＋ xnpn
2. 意义：均值 EX 刻画的是 X 取值的“中心位置”，反映了离散型随机变
量 X 取值的 .
【想一想】
1. 若两点分布中随机变量 X ＝0的概率为 p ，则 X 的期望是多少？
提示：若两点分布中 X ＝0的概率为 p ，则 X ＝1的概率为1－ p ，所
以 X 的期望 EX ＝0× p ＋1×（1－ p ）＝1－ p .
2. 如何从加权平均数的角度理解均值的概念？
提示：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数.
平均水平
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量 X 的均值 EX 是个变量，其随 X 的变化而变化.
（ × ）
（2）随机变量的均值反映了样本的平均水平. （ × ）
（3）若随机变量 X 的均值 EX ＝2，则 E （2 X ）＝4. （ √ ）
（4）若随机变量 X 服从两点分布，则 EX ＝ P （ X ＝1）.
（ √ ）
×
×
√
√
2. 随机变量 X 服从两点分布，其分布列如表所示，则 EX ＝（ ）
X 0 1
P a
解析：由题意知 ＋ a ＝1，所以 a ＝ ， EX ＝0× ＋1× a ＝ a＝ .
3. 口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中
任取2个，则取出的球的最大编号 X 的均值为 .
解析： X 的取值为2，3. P （ X ＝2）＝ ＝ ，
P （ X ＝3）＝ ＝ .
∴ EX ＝2× ＋3× ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求离散型随机变量的均值
【例1】 在一个不透明的纸袋里装有5个除颜色外完全相同的小球，
其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的
是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值.
解：由题意得，ξ可能的取值为1，2，3，4，5，则 P （ξ＝1）＝ ， P
（ξ＝2）＝ × ＝ ， P （ξ＝3）＝ × × ＝ ， P （ξ＝4）＝ ×
× × ＝ ， P （ξ＝5）＝ × × × ×1＝ ，
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P
由离散型随机变量的均值的定义知 E ξ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5）＝3.
通性通法
求离散型随机变量的均值的一般步骤
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值；
第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的
性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求均值”，利用均值的定义求均值.
【跟踪训练】
某商店试销某种商品20天，获得如下数据.
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始
营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2
件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
解：P （当天商店不进货）＝ P （当天商品销售量为0件）
＋ P （当天商品销售量为1件）＝ ＋ ＝ .
（2）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和均值.
解：由题意知 X 的可能取值为2，3， P （ X ＝2）＝ P （当
天商品销售量为1件）＝ ＝ ， P （ X ＝3）＝ P （当天商品销
售量为0件）＋ P （当天商品销售量为2件）＋ P （当天商品销售
量为3件）＝ ＋ ＋ ＝ .
故 X 的分布列为
X 2 3
P
所以 X 的均值为 EX ＝2× ＋3× ＝ .
题型二 均值的实际应用
【例2】 某销售公司在当地 A ， B 两家超市各有一个销售点，每日从
同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件
300元，已知两家超市的销售水平相同，且两家超市之间调配食品不
计费用，若进货不足，则食品厂以每件250元补货，若销售有剩余，
则食品厂以每件150元回收.现需决策每日购进该食品数量，为此搜集
并整理了 A ， B 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如
下数据：
销售件数 8 9 10 11
频数 20 40 20 20
以频率代替概率，记 X 表示这两家超市每日共销售该食品的件数， n
表示销售公司每日共需购进该食品的件数.
（1）求 X 的分布列；
解：易知每家超市销售该食品的件数为8，9，10，11的概
率分别为 ， ， ， ，
X 的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P （ X ＝16）＝ × ＝ .
P （ X ＝17）＝ × ×2＝ ，
P （ X ＝18）＝ × ＋ × ×2＝ ，
P （ X ＝19）＝ × ×2＋ × ×2＝ ，
P （ X ＝20）＝ × ＋ × ×2＝ ＝ ，
P （ X ＝21）＝ × ×2＝ ，
P （ X ＝22）＝ × ＝ ，
∴ X 的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P
（2）以销售该食品所得利润的均值为决策依据，在 n ＝19与 n ＝20之
中选一个，应选用哪个？
解：当 n ＝19时，记 Y1为 A ， B 两家超市销售该食品所得
的利润，则 Y1的分布列为
Y1 1 450 1 600 1 750 1 900 1950 2 000 2 050
P
EY1＝1 450× ＋1 600× ＋1 750× ＋1 900× ＋1 950×
＋2 000× ＋2 050× ＝1 822.
当 n ＝20时，记 Y2为 A ， B 两家超市销售该食品所得的利润，则
Y2的分布列为
Y2 1 400 1 550 1 700 1 850 2 000 2 050 2 100
P
EY2＝1 400× ＋1 550× ＋1 700× ＋1 850× ＋2 000×
＋2 050× ＋2 100× ＝1 804.
由 EY1＞ EY2，故应选 n ＝19.
通性通法
1. 实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消
费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等
方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2. 均值模型应用的三个解答步骤
（1）审题：确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类
型，所用的公式有哪些；
（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
【跟踪训练】
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车
的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生
产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的
两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌 甲 乙 首次出现故障 时间 x （年） 0＜ x ≤1 1＜ x ≤2 x ＞2 0＜ x ≤2 x ＞2
轿车数量（辆） 2 3 45 5 45
每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故
障发生在保修期内的概率；
解：设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事
件 A ，则 P （ A ）＝ ＝ .
（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润
为 X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2，分别求 X1， X2的分
布列；
解：依题意得， X1的分布列为
X1 1 2 3
P
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只
能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认
为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.
解：由（2）得 EX1＝1× ＋2× ＋3× ＝2.86（万元）.
EX2＝1.8× ＋2.9× ＝2.79（万元）.
∵ EX1＞ EX2，∴应生产甲品牌轿车.
1. 已知离散型随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3
P
则 X 的均值 EX ＝（ ）
B. 2
D. 3
解析： EX ＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分 X
的均值为（ ）
A. 0
C. 1 D. －1
解析： 因为 P （ X ＝1）＝ ， P （ X ＝－1）＝ ，所以由均值
的定义得 EX ＝1× ＋（－1）× ＝0.
3. 某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失
2 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的均值效益是
（ ）
A. 2 000元 B. 2 200元
C. 2 400元 D. 2 600元
解析： 出海的均值效益 EX ＝5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2
000）＝3 000－800＝2 200（元）.
4. 马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ 1 2 3
P ？ ！ ？
请小牛同学计算ξ的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处
字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正
确答案 E ξ＝ .
解析：令“？”为 a ，“！”为 b ，则2 a ＋ b ＝1，∴ E ξ＝ a ＋2 b ＋3 a ＝
2（2 a ＋ b ）＝2.
2
5. 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重
新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功
的概率均为 ，则此人试验次数ξ的均值是 .
解析：试验次数ξ的可能取值为1，2，3，则 P （ξ＝1）＝ ， P （ξ
＝2）＝ × ＝ ， P （ξ＝3）＝ × × ＝ .
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以 E ξ＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P
则 EX ＝（ ）
解析： EX ＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
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2. 某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得
下表：
日需求量 n 14 15 16 18 20
频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
试估计该商品日平均需求量为（ ）
A. 16 B. 16.2
C. 16.6 D. 16.8
解析： 估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3
＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.
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3. 甲、乙两台自动车床生产同种标准件， X 表示甲车床生产1 000件产
品中的次品数， Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段
时间考察后， X ， Y 的分布列分别如下：
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
则据此判定（ ）
A. 甲比乙质量好 B. 乙比甲质量好
C. 甲与乙质量相同 D. 无法判定
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解析： 由题可知， EX ＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝
0.6， EY ＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，由于 EY ＞ EX ，故
甲比乙质量好.
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4. 设离散型随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3
P p1 p2 p3
则 EX ＝2的充要条件是（ ）
A. p1＝ p2 B. p2＝ p3
C. p1＝ p3 D. p1＝ p2＝ p3
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解析： 由离散型随机变量 X 的分布列知，当 EX ＝2时，
解得 p1＝ p3，此时 p1＋ p2＋ p3＝2 p1＋ p2＝1.
EX ＝ p1＋2 p2＋3 p3＝4 p1＋2 p2＝2.故 EX ＝2的充要条件是 p1＝ p3.
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5. 已知随机变量ξ的分布列为
ξ x y
P y x
且 xy ≠0，则下列说法正确的是（ ）
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解析： 由题意知0＜ x ＜1，0＜ y ＜1， x ＋ y ＝1. E ξ＝ xy ＋ yx ＝2
xy ＝2 x （1－ x ）＝－2 x2＋2 x ＝－2（ x － ）2＋ ∈（0， ］，只
有选项C正确.
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6. （多选）已知某一随机变量 X 的分布列如下，且 EX ＝6.3，则
（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A. a ＝7 B. b ＝0.4
C. E （ aX ）＝44.1 D. E （ bX ＋ a ）＝2.62
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解析： 由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋ b ＝1，且 EX ＝
4×0.5＋0.1× a ＋9× b ＝6.3，解得 b ＝0.4， a ＝7.∴ E （ aX ）＝
aEX ＝7×6.3＝44.1， E （ bX ＋ a ）＝ bEX ＋ a ＝0.4×6.3＋7＝
9.52，故A、B、C正确.
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解析：分布列如下表所示：
X 0 1 2
P
所以 EX ＝0× ＋1× ＋2× ＝ ＝ .
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8. 现有一个项目，对该项目投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18
万元，1.17万元的概率分别为 ， ， .随机变量 X 表示对此项目投
资10万元一年后的利润，则 X 的均值为 万元.
解析：因为 X 的所有可能取值为1.2，1.18，1.17， P （ X ＝1.2）＝
， P （ X ＝1.18）＝ ， P （ X ＝1.17）＝ ，
所以随机变量 X 的分布列为
X 1.2 1.18 1.17
P
1.18
则 EX ＝1.2× ＋1.18× ＋1.17× ＝1.18.
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9. 盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3
个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个球，
记总分为ξ，则 P （ξ＝4）＝ ， E ξ＝ .
解析：ξ的所有可能取值为3，4，5，6， P （ξ＝3）＝ ＝ ， P
（ξ＝4）＝ ＝ ， P （ξ＝5）＝ ＝ ， P （ξ＝6）＝ ＝
， E ξ＝3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ .
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10. 盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有两节废电池.现无放回地
每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 X 的分布
列及均值.
解： X 的可能取值为1，2，3，
则 P （ X ＝1）＝ ， P （ X ＝2）＝ × ＝ ， P （ X ＝3）＝ ×
×1＝ .
所以抽取次数 X 的分布列为
X 1 2 3
P
所以 EX ＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
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11. 在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次，一旦命中目标，则
停止射击，否则一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的
概率为 p （0＜ p ＜1），射击次数为 X ，若 X 的均值 EX ＞ ，则 p
的取值范围是（ ）
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解析： 依题意 X 的可能取值为1，2，3. P （ X ＝1）＝ p ； P （ X
＝2）＝（1－ p ） p ； P （ X ＝3）＝（1－ p ）2.∴ EX ＝ p ＋2（1－
p ） p ＋3（1－ p ）2＝ p2－3 p ＋3＞ ，且0＜ p ＜1，解得0＜ p ＜ .
故选C.
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12. “四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子
书”，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬
中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班
有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4
本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这
4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自
己准备的书的人数的均值为（ ）
B. 1
D. 2
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解析： 记抽到自己准备的书的人数为 X ，则 X 的可能取值为0，
1，2，4， P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝1）＝ ＝ ， P
（ X ＝2）＝ ＝ ， P （ X ＝4）＝ ＝ ，则 EX ＝0× ＋
1× ＋2× ＋4× ＝1.故选B.
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13. （多选）甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2
个白球，同时从甲、乙两盒中随机取出 i （ i ＝1，2）个球交换，
分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的均值为 EiX ， EiY ，则
下列结论正确的是（ ）
A. E1 X ＋ E1 Y ＝3 B. E2 X ＞ E2 Y
C. E1 X ＞ E1 Y D. E1 X ＝ E2 Y
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解析： 由题意可知， X 表示交换后甲盒子中的黑球个数， Y
表示交换后乙盒子中的黑球个数，当 i ＝1时， P （ X ＝1）＝ P （ Y
＝2）＝ ＝ ， P （ X ＝2）＝ P （ Y ＝1）＝ ×2＝ ， P
（ X ＝3）＝ P （ Y ＝0）＝ ＝ ，因此 E1 X ＝1× ＋2× ＋
3× ＝ ， E1 Y ＝2× ＋1× ＋0× ＝ ，所以 E1 X ＋ E1 Y ＝3，
E1 X ＞ E1 Y ，故A正确，C正确.当 i ＝2时， P （ X ＝0）＝ P （ Y ＝
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3）＝ ＝ ， P （ X ＝1）＝ P （ Y ＝2）＝ · ＋ ·
＝ ， P （ X ＝2）＝ P （ Y ＝1）＝ · ＝ ，因此 E2 X ＝
0× ＋1× ＋2× ＝ ， E2 Y ＝3× ＋2× ＋1× ＝ ，所以 E2
X ＜ E2 Y ， E1 X ＝ E2 Y ，故B错误，D正确.故选A、C、D.
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14. 设口袋中有黑球、白球共9个.从中任取2个球，若取到白球个数的
均值为 ，则口袋中白球的个数为 .
解析：设白球有 m 个，则取到白球的均值是 ×0＋ ×1
＋ ×2＝ ，即 ＋ ×2＝ ，解得 m ＝3.
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15. 春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位
朋友在每一个景点下车的概率均为 ，用ξ表示4位朋友在第三个景
点下车的人数，求：
（1）随机变量ξ的分布列；
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解：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4.
则 P （ξ＝0）＝ ＝ ， P （ξ＝1）＝ ＝ ，
P （ξ＝2）＝ ＝ ， P （ξ＝3）＝ ＝ ， P （ξ＝
4）＝ ＝ .
从而ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
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（2）随机变量ξ的均值.
解：由（1）得ξ的均值为 E ξ＝0× ＋1× ＋2×
＋3× ＋4× ＝ .
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16. 某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含
600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其
中的一种.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，
黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸
出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1
个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折.
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方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，
黑球7个）的抽奖盒中，每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每
摸到1次红球，立减200元.
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（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试
求两位顾客均享受免单优惠的概率；
解：选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件 A ，则 P （ A ）＝ ＝ ，所以两位顾客均享受免单优惠的概率为 P （ A ）· P （ A ）＝ .
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（2）若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率的角度分析该顾客选
择哪一种抽奖方案更合算？
解：若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为 X 元，
则 X 的可能取值为0，600，700，1 000.
P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝600）＝ ＝ ，
P （ X ＝700）＝ ＝ ， P （ X ＝1 000）＝ ＝ ，
故 X 的分布列为
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X 0 600 700 1 000
P
所以 EX ＝0× ＋600× ＋700× ＋1 000× ＝ .
若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为 Y ，最后付款的
金额为 Z （单位：元），则 Z ＝1 000－200 Y ，
易得 EY ＝ ，
所以 EZ ＝ E （1 000－200 Y ）＝1 000－200 EY ＝820.
因为 EX ＜ EZ ，所以该顾客选择方案一更合算.
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谢 谢 观 看！
