2.2.3 命题的证明
1．如图2－2－6，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是
( )
图2－2－6
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
2．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中
( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
3．如图2－2－7，下列推理不正确的是
( )
图2－2－7
A．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°
B．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC
C．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4
D．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD
4．用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”．在下面证明过程中填空．
已知：如图2－2－8,
l1∥l2,
l1、l2被l3所截．
求证：∠1＋∠2＝180°.
图2－2－8
证明：假设____________．
因为l1∥l2，
所以∠2＝
∠3(两直线平行，同位角相等)．
所以________≠180°，这与平角的定义相矛盾.
所以____________不成立.
所以____________．
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5．已知：如图2－2－9所示，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2.
求证：AD平分∠BAC.(填写分析和证明中的空白)
图2－2－9
分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明________＝________，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角和∠1、∠2的关系．由AD⊥BC于D，EF⊥BC于F可推出________∥______，然后根据平行线得出的同位角相等，内错角相等，即可将所要证明相等的角与∠1，∠2联系起来．
证明：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
所以________∥________(在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行)，
所以________＝________(两直线平行，内错角相等)，
________＝________(两直线平行，同位角相等)．
因为________(已知)，
所以________＝________．
即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．
6．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
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7．求证：如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．
答案解析
1．D
2．C 【解析】
用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都大于60°.故选C.
3．C
4．∠1＋∠2≠180° ∠1＋∠3 ∠1＋∠2≠180° ∠1＋∠2＝180°
5．∠BAD ∠CAD EF AD EF AD ∠1 ∠BAD ∠2 ∠CAD ∠1＝∠2 ∠BAD ∠CAD
6．解：已知：在等腰△ABC中，∠A＝∠B.
求证：∠A<90°，∠B<90°.
证明：假设∠A≥90°，∠B≥90°.
因为∠C>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与“三角形内角和等于180°”矛盾．
所以假设不成立，原命题成立，
即等腰三角形的底角是锐角．
7．解：已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点M，且EF交CD于点N.求证：EF⊥CD.
证明：因为EF⊥AB，所以∠EMB＝90°.又因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，所以∠END＝90°，所以EF⊥CD.
第7题答图2.2.2 真假命题、证明、定理与逆定理
1．下列命题中，是真命题的是
( )
A．对顶角相等
B．同位角相等
C．内错角相等
D．同旁内角互补
2．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是
( )
A．a＝－2
B．a＝－1
C．a＝1
D．a＝2
3．下列命题中，错误的是
( )
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．若|x|＝5，则x＝5.
4．下列命题中，是真命题的是
( )
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0
5．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是________(填写所有真命题的序号)．
6．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题____________________．
7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．
(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
(2)如果a＞b，那么ac＞bc；
(3)两个锐角的和是钝角．
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8．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
9．命题：若a＞b，则<.
(1)请判断这个命题是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举一个反例；
(2)请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题．
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10．如图2－2－3，点B，A，E在同一条直线上，(1)AD∥BC，(2)∠B＝∠C，(3)AD平分∠EAC.请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造命题，并说明你构造的命题是真命题还是假命题．
图2－2－3
答案解析
1．A 【解析】
对顶角相等，正确；在两条平行线被第三条直线所截的条件下，B、C、D才正确．故选A.
2．A 【解析】
用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a＝－2，因为(－2)2＞1，但是a＝－2＜1，所以选项A正确；故选A.
3．D
4．D 【解析】
选项A，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D，若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，是真命题．故选D.
5．①②④
6．对顶角相等(答案不唯一)
7．解：(1)假命题，两直线不平行时不成立，可通过画图说明；
(2)假命题，当c≤0时不成立，如3＞2，但3×0＝2×0等；
(3)假命题，如∠α＝20°，∠β＝50°，则∠α＋∠β＝70°不是钝角．
8．解：(1)假命题．
反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2；
(2)逆命题：若a2＞b2，则a＞b.
此命题为假命题．
反例：a＝－2，b＝－1，有a2＞b2，但a＜b.
9．解：(1)假命题．如a＝1，b＝－2符合a＞b，但不满足<.
(2)改成：若a＞b＞0，则<.
10．解：命题：如果AD∥BC，∠B＝∠C，那么AD平分∠EAC.(答案不唯一)
它是真命题，理由如下：
因为AD∥BC，
所以∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC.
又因为∠B＝∠C，
所以∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.
故是真命题．2.2命题与证明
第1课时 定义与命题
1．下列属于定义的是
( )
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等
D．线段是直线上的两点和两点间的部分
2．下列说法正确的是
( )
A．“作线段CD＝AB”是一个命题
B．三角形的三条中线的交点为三角形的重心
C．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题也是正确的
D．“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
3．定义：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)，例如f(2，3)＝(3，2)，g(－1，－4)＝(1，4)则g(f(－5，6))等于
( )
A．(－6，5)
B．(－5，－6)
C．(6，－5)
D．(－5，6)
4．把“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是____________
______________________________________，它的条件是____________，结论是_____________________________________________________________．
5．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是______________________
.
6．叙述下列概念的定义．
(1)轴对称图形；
(2)分式；
(3)两平行线间的距离．
7．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．
(1)末位数字是5的整数都能被5整除；
(2)直角三角形的两个锐角互余．
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8．阅读下列材料，然后回答问题．
材料：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．如图2－2－1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就是△ABC的中位线．
问题：请叙述三角形的中线的定义，并比较三角形的中线与三角形的中位线这两个概念的异同．
图2－2－1
9．某位同学在学过对顶角后，根据自己对对顶角的特征性质的了解给出了自己的定义：没有公共边且相等的两个角叫作对顶角．
你认为他的定义正确吗？若不正确，请写出“对顶角”的正确定义，并举出一个例子，说明他的定义是不正确的．
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10．我们知道平移是将图形中的每一个点都按同一方向移动相同的距离，试判断水磨转动是否为平移现象，并说明原因．
答案解析
1．D
2．B 【解析】
“作线段CD＝AB”没有对事情作判断，不是命题，故选项A错误；三角形的三条中线的交点为三角形的重心；命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题是若x2＝1，则x＝1是错误的，x也有可能等于－1，故选项C是错误的；同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项，故选项D错误．
3．A
4．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 两个角相等 这两个角的余角相等
5．互为补角的两个角的和为180°
【解析】
因为原条件为：和为180°，结论为：这两个角互补，所以“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是：互为补角的两个角的和为180°.
6．解：(1)如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形．
(2)一个整式f除以一个非零整式g，所得的商记作，把代数式叫作分式
.
(3)两平行线的公垂线段的长度叫作两平行线间的距离．
7．解：(1)如果一个整数的末位数是5，那么这个数就能被5整除；
(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．
8．解：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．
相同点：这两个概念都与三角形的边的中点有联系．
不同点：三角形的中线是连接一边中点与这边所对顶点的线段，而三角形的中位线则是连接三角形两边中点的线段．
9．解：不正确．对顶角：两个角有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫作对顶角．
如图，将一个直角三等分，那么∠AOB＝∠COD＝30°，并且它们没有公共边，但是它们显然不是对顶角．
第9题答图
10．解：水磨转动不是平移现象，原因是每个点移动的方向不同，移动的距离也不相等．
