2.3等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1．给出下列关于等腰三角形性质的叙述：①等腰三角形两底角相等；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；③等腰三角形是轴对称图形．其中正确的有
( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是
( )
A．55°，55°
B．70°，40°
C．55°，55°或70°，40°
D．以上都不对
3．夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图2－3－5，中塔左右两边所挂的最长钢索AB＝AC，塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是________米．
图2－3－5
4．如图2－3－6，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．
图2－3－6
5．做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合．
对于下列结论：
①在同一个三角形中，等角对等边；
②在同一个三角形中，等边对等角；
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合．
其中由上述操作可得出的是________(将正确结论的序号都填上)．
6．如图2－3－7，已知AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
图2－3－7
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"../../../B组.EPS"
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7．如图2－3－8，已知等边三角形EAD和正方形ABCD，试求∠BEC的度数．
图2－3－8
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"../../../C组.EPS"
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8．如图2－3－9①，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H.易证PE＋PF＝CH.
证明过程如下：
如图①，连接AP.
因为PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
所以S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.
又因为S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，
所以AB·PE＋AC·PF＝AB·CH.
因为AB＝AC，
所以PE＋PF＝CH.
如图2－3－9②，P为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
图2－3－9
答案解析
1．D 2.C
3．456 【解析】
因为AB＝AC，BD＝228米，AD⊥BC，所以BD＝CD，
所以BC＝2BD＝456米．故填456.
4．35° 【解析】
因为△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，所以AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠BAC＝×70°＝35°.
5．②③
6．证明：作AF⊥BC于F.
因为AB＝AC(已知)，
所以BF＝CF，
又因为AD＝AE(已知)，
所以DF＝EF，
所以BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE(等式的性质)．
第6题答图
7．【解析】
要求∠BEC，先求出∠AEB与∠CED，由题意可知△ABE与△DCE为等腰三角形，且顶角为60°＋90°＝150°，于是可得∠AEB与∠CED的度数．
解：因为已知等边△EAD与正方形ABCD，
所以AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，
所以∠AEB＝∠ABE＝(180°－150°)＝15°.
同理∠CED＝15°，
所以∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠CED＝60°－15°－15°＝30°.
8．解：PE＝PF＋CH.证明如下：
连接AP.
因为PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
所以S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.
因为S△ABP＝S△ACP＋S△ABC，
所以AB·PE＝AC·PF＋AB·CH，
又因为AB＝AC，
所以PE＝PF＋CH.2.3.2 等腰三角形的判定
1．若△ABC的三边长分别为a，b，c满足(a－b)(b－c)·(c－a)＝0，那么△ABC的形状是
( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
2．下列条件中，不能得到等边三角形的是
( )
A．有两个内角是60°的三角形
B．有两边相等且是轴对称的三角形
C．有一个角是60°且是轴对称的三角形
D．三边都相等的三角形
3．如图2－3－14，已知∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，且BC＝10，AD＝9，则CE＝________．
图2－3－14
4．如图2－3－15，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA＝OB，试说明△OCD是等腰三角形．
图2－3－15
5．在折纸游戏中，将一条两边沿互相平行的纸带如图2－3－16折叠，小明在游戏中发现：不管折叠角是锐角、直角或钝角，△PEF始终是等腰三角形．你认为他的想法对吗？请说明理由．
图2－3－16
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"../../../B组.EPS"
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6．如图2－3－17，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．
图2－3－17
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"../../../C组.EPS"
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7．如图2－3－18所示，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，延长CB到E使BE＝BD，连接DE.
(1)请你写出图中的一个等腰三角形(除△ABC外，不必说明理由)．
(2)如果已知AC＝2
013
cm，你能求出图中CE的长吗？试试看．
(3)把“CD是AB边上的高”改成什么条件仍能使(1)(2)成立？
图2－3－18
答案解析
1．A 【解析】
因为(a－b)(b－c)(c－a)＝0，
所以a－b＝0或b－c＝0或c－a＝0，
即a＝b或b＝c或c＝a，因而该三角形一定是等腰三角形．
故选A.
2．B
3．10 【解析】
由AD∥CE，得∠BEC＝∠A，由已知可得∠BEC＝∠B，从而得出BC＝EC.
4．解：因为AB∥CD，所以∠A＝∠D，∠B＝∠C，又因为OA＝OB，所以∠A＝∠B，所以∠C＝∠D，所以△OCD是等腰三角形．
5．解：正确．
由折叠，得∠PEF＝∠FEC′.
又因为BD′∥AC′，
所以∠FEC′＝∠PFE.
所以∠PEF＝∠PFE，
所以PE＝PF.
所以△PEF是等腰三角形．
6．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：
因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，
所以∠BAD＝∠CAD(等腰三角形三线合一定理)．
因为DE∥AB，
所以∠BAD＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)，
所以∠CAD＝∠ADE，
所以AE＝DE，
所以△ADE是等腰三角形．
7．解：(1)△BDE为等腰三角形；
(2)因为△ABC为等边三角形，
所以AB＝AC＝2
013
cm；
又因为CD是AB边上的高，
所以BD＝AB＝1
006.5
cm，
所以BE＝BD＝1
006.5
cm，
所以CE＝BC＋BE＝2
013＋1
006.5＝3
019.5
cm；
(3)把“CD是AB边上的高”改成“CD是AB边上的中线”或“CD是∠ACB的平分线”仍能使(1)(2)成立．
