2.4线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质
1．如图2－4－7，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于
( )
图2－4－7
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
2．如图2－4－8，AC＝AD，BC＝BD，则有
( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
3．如图2－4－9所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是________．
图2－4－9
4．如图2－4－10，在△ABC中，AB＝5
cm，AC＝3
cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，连接DC，则△ACD的周长为________cm.
图2－4－10
5．如图2－4－11，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC长．
图2－4－11
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"../../../B组.EPS"
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6．如图2－4－12，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
图2－4－12
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"../../../C组.EPS"
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7．根据图2－4－13，解答下列各题．
(1)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，ME和NF分别垂直平分AB和AC，求∠MAN的度数．
(2)在(1)中，若无AB＝AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
(3)在(2)的情况下，若BC＝10
cm，试求出△AMN的周长．
答案解析
1．C 【解析】
因为等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC＝＝80°.
因为DE是线段AB的垂直平分线，
所以AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°，
所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°.
故选C.
2．A 【解析】
因为AC＝AD，BC＝BD，所以点A，B在线段CD的垂直平分线上．所以AB垂直平分CD.故选A.
3．BD＝CD(答案不唯一) 【解析】
因为ED是BC的垂直平分线，
所以BE＝CE，BD＝CD，
因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
所以∠ECB＝∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝60°，
所以∠ACE＝90°－30°＝60°，
所以△AEC是等边三角形，
所以AE＝EC＝AC，
所以AE＝AC＝EC＝BE.
所以图中两条相等的线段是：BE＝CE＝AC＝AE或BD＝CD.
故答案为：此题答案不唯一，如BD＝CD等．
4．8 【解析】
因为DE为BC的垂直平分线，所以CD＝BD，
所以△ACD的周长为AC＋CD＋AD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB，
又因为AC＝3
cm，AB＝5
cm，所以△ACD的周长为3＋5＝8
(cm)．
5．解：(1)因为DE垂直平分AC，所以CE＝AE，
所以∠ECD＝∠A＝36°；
(2)因为AB＝AC，∠A＝36°，
所以∠B＝∠ACB＝72°，
所以∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，
所以∠BEC＝∠B，
所以BC＝EC＝5.
6．证明：(1)因为边AB、BC的垂直平分线交于点P，
所以PA＝PB，PB＝PC.
所以PA＝PB＝PC.
(2)点P在边AC的垂直平分线上，因为PA＝PC，
所以点P在边AC的垂直平分线上(和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)
还可得出结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点．
7．解：(1)因为ME垂直平分AB，
所以MA＝MB，
所以∠B＝∠BAM，
同理NA＝NC，所以∠C＝∠NAC.
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，
所以∠B＋∠C＝80°，
所以∠BAM＋∠NAC＝80°，
所以∠MAN＝∠BAC－(∠BAM＋∠NAC)＝100°－80°＝20°；
(2)能，∠MAN＝20°，[理由同(1)]．
(3)由(1)知MA＝MB，NA＝NC.
所以AM＋AN＋MN＝BM＋NC＋MN＝BC＝10
(cm)．
图2－4－8
图2－4－132.4.2 线段垂直平分线的作法
1．如图2－4－20，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为
( )
图2－4－20
A．7
B．14
C．17
D．20
2．为了推进新型农村合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如图2－4－21所示)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
图2－4－21
3．如图2－4－22，一张纸上有线段AB.
(1)请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
(2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法(不作图)．
图2－4－22
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"../../../B组.EPS"
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4．如图2－4－23，已知△ABC.
(1)作BC边的垂直平分线交BC于D，连接AD(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上，若△ABC的面积为6，则△ABD的面积为________．
图2－4－23
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"../../../C组.EPS"
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5．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图2－4－24(1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
图2－4－24
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线(图2－4－24(2))，问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的作法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的作法解决下列问题．如图2－4－25在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(保留作图痕迹，不写作法)．
图2－4－25
答案解析
1．C 【解析】
因为在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.所以MN是AB的垂直平分线，所以AD＝BD，因为△ADC的周长为10，所以AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC＝10，因为AB＝7，所以△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝10＋7＝17.故选C.
2．解：已知：A村、B村、C村，
求作：新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．
第2题答图
3．解：(1)如图所示；
第3题答图
(2)对折，使得点A与点B重合，则折痕所在的直线为线段AB的垂直平分线．
4．解：(1)如图．
第4题答图
(2)因为BD＝CD，
所以S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×6＝3.
5．解：作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，点P即为所求；
第5题答图
