2.5.4 全等三角形判定方法3(AAS)
1．如图2－5－48，线段AB、CD相交于点O，且O为AB的中点，则下列不能使△AOD≌△BOC的条件是
( )
图2－5－48
A．AD＝BC
B．∠A＝∠B
C．∠D＝∠C
D．OC＝OD
2．如图2－5－49，已知AD＝BC，∠1＝∠2，则△ACD与△BDC的关系是
( )
图2－5－49
A．全等
B．不全等
C．不一定全等
D．无法判断
3．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若要使△ABC≌△A′B′C′，那么，还需添加条件
( )
A．∠C＝∠C′
B．∠B＝∠B′
C．AC＝A′C′
D．以上都可以
4．如图2－5－50，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________________________(只需写出一个)．
图2－5－50
5．如图2－5－51，已知∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线，求证：AB＝DC.
6．如图2－5－52，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：AB＝AC.
图2－5－52
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"../../../B组.EPS"
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7．如图2－5－53，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.求证：△BEC≌△CDA.
图2－5－53
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"../../../C组.EPS"
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8．如图2－5－54，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
图2－5－54
答案解析
1．A 【解析】
A中对应相等的是边边角，故A错．
2．A 【解析】
先判断△ADO≌△BCO(AAS)，再由OD＝OC得∠ODC＝∠OCD，从而得△ADC≌△BCD(ASA)(或SAS)．
3．D 【解析】
在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，故要△ABC≌△A′B′C′，只需添加条件：∠B＝∠B′(ASA)或AC＝A′C′(SAS)或∠C＝∠C′(AAS)．
4．不是 可以填AC＝DF或∠B＝∠E或∠A＝∠D(答案不唯一)
5．证明：因为∠ABC＝∠DCB，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，所以∠ACB＝∠DBC.
在△ABC与△DCB中，
所以△ABC≌△DCB.
所以AB＝DC.
6．证明：因为AD平分∠EDC，
所以∠ADE＝∠ADC.
又DE＝DC，AD＝AD，
所以△ADE≌△ADC，
所以∠E＝∠C.
又∠E＝∠B，
所以∠B＝∠C，所以AB＝AC.
7．证明：因为BE⊥CE于E，AD⊥CE于D.
所以∠BEC＝∠CDA＝90°.
在Rt△BEC中，∠BCE＋∠CBE＝90°，
在Rt△BCA中，∠BCE＋∠ACD＝90°，
所以∠CBE＝∠ACD.
在△BEC和△CDA中，
因为
所以△BEC≌△CDA.
8．证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.
在△ABE和△FBE中，
所以△ABE≌△FBE(SAS)，
所以∠EFB＝∠A.
因为AB∥CD，
所以∠D＋∠A＝180°.
又∠EFC＋∠BFE＝180°.
所以∠D＝∠EFC.
因为∠ECF＝∠DCE，EC＝EC，
所以△EFC≌△EDC(AAS)，
所以FC＝DC，
即BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
图2－5－512.5.3 全等三角形判定方法2(ASA)
1．如图2－5－35所示，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若使△ABC≌△A′B′C′，还需要
( )
图2－5－35
A．∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′
C．AC＝A′C′
D．以上都对
2．如图2－5－36所示，已知AB∥DE，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是
( )
图2－5－36
A．AC＝EF
B．AC∥EF
C．∠B＝∠E
D．不用补充
3．如图2－5－37，AB＝AC，∠B＝∠C，BD、CE交于点O，连接AO，那么，要得出AD＝AE，就要先得出△________≌△________．现有条件AB＝AC，∠B＝∠C和条件________＝________，所以，根据________定理，可得△________≌△________，故可得出AD＝AE.
4．如图2－5－38，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE.
图2－5－38
5．如图2－5－39，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD.
求证：AE＝FC.
图2－5－39
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"../../../B组.EPS"
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6．如图2－5－40，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，还需添加一个条件________，并给予证明．
图2－5－40
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"../../../C组.EPS"
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7．如图2－5－41所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD垂直于过点A的一条直线于D，CE⊥AN于E.求证：DE＝BD－CE.
图2－5－41
答案解析
1．D 【解析】
选项A可利用ASA得到△ABC≌△A′B′C′.选项B中，因为∠B＝180°－∠A－∠C，∠B′＝180°－∠A′∠C′，因为∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，所以∠B＝∠B′，即转化为选项A.选项C中可由SAS判定△ABC≌△A′B′C′.
2．B 【解析】
因为AB∥DE，所以∠B＝∠D.若AC∥EF，所以∠ACB＝∠EFD.又CD＝BF，所以DF＝BC.根据ASA可得△ABC≌△EDF.
3．ADB AEC ∠BAD ∠CAE ASA ADB AEC
4．证明：在△ACD和△ABE中，
所以△ACD≌△ABE(ASA)．
所以AD＝AE.
5．证明：因为BE∥DF，
所以∠ABE＝∠D.
在△ABE和△FDC中，
所以△ABE≌△FDC.
所以AE＝FC.
6．解法一；添加条件：AE＝AF，
证明：在△AED与△AFD中，
因为AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
所以△AED≌△AFD(SAS)．
解法二；添加条件：∠EDA＝∠FDA，
证明：在△AED和△AFD中，
因为∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，
所以△AED≌△AFD(ASA)．
7．【解析】
要证DE＝BD－CE，而DE＝AE－AD，故可想到证BD＝AE，AD＝CE，而其分别在△ABD与△CAE中，显然要证明△ABD与△CAE全等．
证明：因为∠BAC＝90°，BD⊥AN，
所以∠BAD＋∠CAE＝90°.
∠ABD＋∠BAD＝90°
所以∠CAE＝∠ABD.
因为BD⊥AN，CE⊥AN，
所以∠BDA＝∠AEC＝90°，
所以∠BAD＝∠ACE.
在△ABD和△CAE中，
所以△ABD≌△CAE(ASA)．
所以BD＝AE，AD＝CE(全等三角形对应边相等)．
因为DE＝AE－AD，所以DE＝BD－CE.
图2－5－372.5全等三角形
第1课时 全等三角形
1．已知图2－5－7中的两个三角形全等，则∠α的度数是
( )
图2－5－7
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
2．如图2－5－8，△ABC≌△ADE，如果AB＝5
cm，BC＝7
cm，AC＝6
cm，那么DE的长是
( )
图2－5－8
A．6
cm
B．5
cm
C．7
cm
D．无法确定
3．如图2－5－9，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是
( )
图2－5－9
A．AC＝CE
B．∠BAC＝∠ECD
C．∠ACB＝∠ECD
D．∠B＝∠D
4．如图2－5－10，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则下列不正确的等式是
( )
A．AB＝AC
B．∠BAE＝∠CAD
C．BE＝DC
D．AD＝DE
5．如图2－5－11所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3，则EC的长为
( )
A．2
B．3
C．5
D．2.5
6．如图2－5－12，如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长是27
cm，DE＝9
cm，EF＝13
cm，∠E＝∠B，则AC＝________cm.
图2－5－12
7．已知，如图2－5－13所示，点A、B、C、D在同一直线上，△ABF≌△DCE，AF和DE，BF和CE是对应边．求证：AF∥DE.
图2－5－13
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"../../../B组.EPS"
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8．如图2－5－14，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．
(1)写出相等的线段与角；
(2)若EF＝2.1
cm，FH＝1.1
cm，HM＝3.3
cm，求MN和HG的长度．
图2－5－14
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"../../../C组.EPS"
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9．如图2－5－15，点A、D、E在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
(1)BD＝DE＋CE；
(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE.
图2－5－15
答案解析
1．D
2．C 【解析】
因为△ABC≌△ADE，所以BC＝DE.因为BC＝7
cm，所以DE＝7
cm.故选C.
3．C 【解析】
因为△ABC≌△CDE，AB＝CD，所以∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠D.选项C中∠ACB＝∠ECD是错的．故选C.
4．D 【解析】
因为△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，所以AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选D.
5．A 【解析】
因为△ABE≌△ACF，所以AC＝AB＝5，所以EC＝AC－AE＝2.故选A.
6．5 【解析】
DF＝27－DE－EF＝5
cm.因为△ABC≌△DEF，∠E＝∠B，所以AC＝DF＝5
cm.
7．证明：因为△ABF≌△DCE，
所以∠A＝∠D，所以AF∥DE.
8．解：(1)因为△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，
所以EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM，所以FH＝GM；
(2)由(1)知EF＝NM，又因为EF＝2.1
cm，
所以MN＝2.1
cm；
由(1)知FG＝MH，FH＋HG＝FG，
FH＝1.1
cm，HM＝3.3
cm，
所以HG＝FG－FH＝HM－FH＝3.3－1.1＝2.2
cm.
9．解：(1)因为△BAD≌△ACE，
所以BD＝AE，AD＝CE，
所以BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE，即BD＝DE＋CE.
(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
理由是：因为△BAD≌△ACE，
所以∠E＝∠ADB＝90°(添加的条件是∠ADB＝90°)，
所以∠BDE＝180°－90°＝90°＝∠E，
所以BD∥CE.
图2－5－10
图2－5－112.5.5 全等三角形判定方法4(SSS)
1．如图2－5－61，点D，E在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较为快捷的方法是
( )
图2－5－61
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
2．如图2－5－62所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定
( )
图2－5－62
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
3．]如图2－5－63所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？
答：__________(填“稳定性”或“不稳定性”)．
图2－5－63
4．如图2－5－64所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，根据是________，AD与BC的位置关系是________．
图2－5－64
5．如图2－5－65，已知AB＝CD，AD＝BC，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠A＝________．
图2－5－65
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"../../../B组.eps"
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6．如图2－5－66，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AC∥DF.
图2－5－66
7．如图2－5－67所示，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF.
(1)△ABE能否与△DCF重合？说明理由．
(2)若∠B＝30°，AE⊥AB，则将△CDF从F点沿BC平移至________点，再沿顺时针方向旋转________才能与△BAE重合．
图2－5－67
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8．如图2－5－68所示，AB＝AE，BC＝ED，CF＝FD，AC＝AD.求证：∠BAF＝∠EAF.
图2－5－68
答案解析
1．A 2.C
3．稳定性
4．SSS 垂直
5．60° 【解析】
在△ABD和△CDB中，
所以△ABD≌△CDB(SSS)，
所以∠ABD＝∠1＝40°，
所以∠A＝180°－∠ABD－∠2＝180°－∠1－∠2＝180°－40°－80°＝180°－120°＝60°.
6．证明：因为BE＝CF，
所以BE＋EC＝CF＋EC，
所以BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS)，
所以∠ACB＝∠F，
所以AC∥DF.
7．解：(1)△ABE与△DCF能重合．理由如下：
因为CE＝BF，所以CE＋EF＝BF＋EF，所以CF＝BE.
在△ABE与△DCF中，
所以△ABE≌△DCF.
(2)E 180°
8．【解析】
先证明△ABC≌△AED，再证明△ACF≌△ADF，即可得∠BAF＝∠EAF.
证明：在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SSS)，
所以∠BAC＝∠EAD(全等三角形对应角相等)．
在△ACF和△ADF中，
所以△ACF≌△ADF(SSS)，
所以∠CAF＝∠DAF(全等三角形对应角相等)，
所以∠BAC＋∠CAF＝∠EAD＋∠DAF，
所以∠BAF＝∠EAF.2.5.2 全等三角形判定方法1(SAS)
1．如图2－5－22，使△ABD≌△ABC成立的条件是
( )
图2－5－22
A．∠1＝∠2，BD＝BC
B．∠3＝∠4，BD＝BC
C．AD＝AC，∠D＝∠C
D．∠D＝∠C，BD＝BC
2．如图2－5－23，AB∥DC，且AB＝CD，则下列结论中不一定正确的是( )
图2－5－23
A．△ABD≌△CDB
B．AD＝BC
C．AD∥BC
D．∠1＝∠2
3．两个三角形有两边和一角对应相等，则这两个三角形
( )
A．一定全等
B．一定不全等
C．可能全等，也可能不全等
D．以上都不是
4．如图2－5－24，已知△ABC的六个元素，则图2－5－25中的甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是
( )
图2－5－24
图2－5－25
A．甲和乙
B．乙和丙
C．只有乙
D．只有丙
5．在△ABC与△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，根据“SAS”定理，还要添加条件______________________________．
6．如图2－5－26，D，E是△ABC中BC边上的两点，且AD＝AE，∠1＝∠2，则补充条件________，就可得△ABD≌△ACE(________)，可得AB＝________(______________________)和∠BAD＝________(全等三角形对应角相等)．
图2－5－26
7．在△ABC中，∠A＝50°，AB＝3
cm，∠B＝60°，BC＝5
cm，△DEF中，DE＝3
cm，那么要使△DEF≌△ABC，就要________＝5
cm，∠E＝________
.
8．已知，如图2－5－27，点C是线段AB的中点，CE＝CD，∠ACD＝∠BCE，求证：AE＝BD.
图2－5－27
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"../../../B组.EPS"
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9．如图2－5－28，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.求证：BC∥EF.
图2－5－28
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"../../../C组.EPS"
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10．如图2－5－29，AC＝AD，∠BAC＝∠BAD，点E在AB上．
(1)你能找出________对全等的三角形．
(2)请写出一对全等的三角形，并证明．
图2－5－29
答案解析
1．B 【解析】
B中由∠3＝∠4得∠DBA＝∠CBA.由SAS知B正确．
2．D 【解析】
易知△ABD≌△CDB，得AD＝BC，∠3＝∠2，从而AD∥BC，选项D不一定正确．
3．C
4．B
5．∠B＝∠E 【解析】
因为已知AB＝DE，BC＝EF，有两条边对应相等，只需它们的夹角对应相等，所以还要添条件∠B＝∠E.
6．BD＝CE SAS AC 全等三角形对应边相等 ∠CAE
7．EF 60° 【解析】
要△DEF≌△ABC，就要EF＝BC＝5
cm，∠E＝∠B＝60°.
8．证明：因为点C是线段AB的中点，
所以AC＝BC.
在△ACE和△BCD中，
所以△ACE≌△BCD(SAS)，
所以AE＝BD.
9．证明：因为AF＝DC，
所以AC＝DF，
又∠A＝∠D，AB＝DE，
所以△ABC≌△DEF，
所以∠ACB＝∠DFE，
所以BC∥EF.
10．解：(1)3
(2)△ABC≌△ABD.
证明：在△ABC和△ABD中，
所以△ABC≌△ABD(SAS)；
或△AEC≌△AED.
证明：在△AEC和△AED中，
所以△AEC≌△AED(SAS)；
或△BCE≌△BDE.
证明：因为△ABC≌△ABD，
所以BC＝BD，∠ABC＝∠ABD.
在△BCE和△BDE中，
所以△BCE≌△BDE(SAS)．
