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第二十二章 二次函数 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·宁波期中）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
2．（2024九上·柯桥月考）如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是yx2x，则此运动员把铅球推出多远（ ）
A．12m B．10m C．3m D．4m
3．（2024九上·杭州月考）已知在函数图象上，则的大小关系为
A． B． C． D．
4．（2024九上·黔东南期末）一次函数与二次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·金湾期末）二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表格给出了以下结论：
0 1 2 3 4
5 0 0 5
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧；
④当时，随的增大而减小.则其中正确结论有（ ）.
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④
6．（2024九上·曲靖期末）已知二次函数 的图象上有两点 ，，则与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．（2024九上·大冶期中）抛物线向下平移一个单位得到抛物线（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·东莞期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·龙马潭模拟）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
10．（2024九上·海珠月考）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·临平月考）若二次函数y＝ax2+x+a（a-2）的图象经过原点，则a的值为 .
12．（2024九上·绍兴月考） 已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ．
13．（2024九上·拱墅期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ．
14．（2024九上·杭州期末）抛物线 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 ．
15．（2024九上·平湖期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为 ．
16．（2024九上·温州期中）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，2与其对应的函数值的最小值为3，则的值为
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·苍南期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）当，求y的最大值和最小值的差．
18．（2024九上·苍南期中）某商店以相同的进价采购了两批货物进行销售，第一批花费了7200元，第二批花费了8000元，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求货物的进价；
（2）两批货物售完后，该商店又以同样的进价采购第三批货物，经市场调查发现，当货物以20元/个的价格销售时，每周能卖出200个，若每个加价1元，则每周销售量减少20个，求货物售价定为多少元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
19．（2024九上·东莞期中）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元），之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
（3）设销售这种菠萝蜜总共获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
20．（2024九上·新丰期中）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
21．（2024九上·从江月考）某水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过讨价还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买 88千克.
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系.
①求y与x之间的函数解析式.
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润 最大利润是多少
22．（2024九上·伊通期末）如图，已知二次函数的图象，利用图象回答：
（1）一元二次方程的解是 ；
（2）当时，x的取值范围是 ；
（3）当时，y的取值范围是 ．
23．（2024九上·北京市期中）已知：二次函数
（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）若，在抛物线上，且，求n的取值范围．
24．（2024九上·江南期中）如图1，抛物线的图象经过．
（1）求的值以及抛物线顶点坐标；
（2）当时，求的最大值和最小值；
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线，点为抛物线与的交点，设点到轴的距离为，直接写出关的函数关系式，及当随的增大而减小时，的取值范围．
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第二十二章 二次函数 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·宁波期中）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解： 中，
的系数为1， ，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是(1，5)，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为： 时y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大，D正确.
故答案为：D.
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解.
2．（2024九上·柯桥月考）如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是yx2x，则此运动员把铅球推出多远（ ）
A．12m B．10m C．3m D．4m
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：当y=0时，，
∴x2-8x-20=0，
∴(x+2)(x-10)= 0，
∴x1=-2(不合题意，舍去)，x2=10.
∴此运动员把铅球推出10m.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，推出铅球的距离即为y=0时，自变量x的取值，从而可得关于x的一元二次方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可.
3．（2024九上·杭州月考）已知在函数图象上，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：函数的解析式是
∴函数图象的开口向下，对称轴是直线： 对称轴的右边y随x的增大而减小，
∴点. )关于对称轴对称的点 是(0， y1)，
∵点 B、C都在对称轴的右边，
故答案为：A.
【分析】由函数可得对称轴为 开口向下，得出A点的对称点 也在抛物线上，进而可得点 B、C都在对称轴的右边，再根据对称轴的右边y随x的增大而减小，即可得到 的大小关系.
4．（2024九上·黔东南期末）一次函数与二次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】
A： 抛物线开口向上，直线与y轴交点在负半轴，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
B： 抛物线开口向上，直线与y轴交点在负半轴且倾斜方向不符合，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
C： 抛物线开口向下，直线与y轴交点在负半轴，倾斜方向符合，两图象可在同一坐标系中，符合题意
D： 抛物线开口向下，直线与y轴交点在正半轴，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
故选：C
【分析】一次函数和二次函数具有相同的参数a，在同一坐标系中根据函数的图象性质与系数的关系，可以大致判断图象在坐标系的位置关系。
5．（2024九上·金湾期末）二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表格给出了以下结论：
0 1 2 3 4
5 0 0 5
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧；
④当时，随的增大而减小.则其中正确结论有（ ）.
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由表可知， 二次函数有最小值，最小值为-4，①错误
当时，，②正确
二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧，③正确
当时，随的增大而减小，④正确
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024九上·曲靖期末）已知二次函数 的图象上有两点 ，，则与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：将x=-1代入可得y1=（-1）2-2×（-1）-1=，2
将x=3代入可得y2=32-2×3-1=2，
∴，
故答案为：A.
【分析】将x=-1和x=3分别代入求出和的值，再比较大小即可.
7．（2024九上·大冶期中）抛物线向下平移一个单位得到抛物线（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：抛物线向下平移一个单位得到抛物线解析式为：.
故答案为：D.
【分析】抛物线平移特征：左加右减，上加下减，据此解答即可.
8．（2024九上·东莞期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵点，，，在抛物线上，而点到对称轴的距离最远，在对称轴上，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的解析式可得开口向上，对称轴为直线x=-2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，据此进行比较.
9．（2025·龙马潭模拟）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
10．（2024九上·海珠月考）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，①错误；
②.∵物线与x轴有2个交点，
∴，②正确；
③.∵时，，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，③正确；
④.∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），
即，④正确；
⑤.∵图象经过点时，方程的两根为，
∴二次函数与直线的一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
即，
∴，⑤错误．
故选：D．
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质.根据开口方向可得： ，再根据抛物线的对称轴为直线，可推出，再根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，可得，据此可判断abc的符号，据此可判断说法①；根据与轴的交点有2个交点，据此可推出，进而可判断说法②；根据时，，可推出，再结合， 可推出， 据此可判断说法③；根据时，y有最小值， 可得（t为任意实数）， 变形化简后可判断说法④；利用二次函数的对称性可得：二次函数与直线的另一个交点为，进而可求出方程的两个根为，进而可求出的值，据此可判断说法⑤．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·临平月考）若二次函数y＝ax2+x+a（a-2）的图象经过原点，则a的值为 .
【答案】2
【解析】【解答】解： 二次函数的图象经过原点，
将原点代入可得，解得或
又∵二次函数，
∴，
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】根据题意可得，将原点代入解析式，求解即可.
12．（2024九上·绍兴月考） 已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ．
【答案】或或
【解析】【解答】解：①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意；
②当时，为二次函数，
若图象经过原点，则，解得：，
此时，，图象与轴还有一个交点，满足题意；
或函数的图象与轴只有一个交点，
∴，
解得： ，
综上所述：或或；
故答案为： 或或
【分析】 函数 与坐标轴的交点个数问题需要分和两种情况讨论，若则该函数是一次函数，符合函数图象与坐标轴有两个交点；若则该函数是二次函数，再根据二次函数与x轴的交点情况进行分析，即可解答.
13．（2024九上·拱墅期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：由图可得，二次函数的图象过，对称轴为，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴方程的根是或1，
∴方程的根满足或X+3=1，
∴方程的根是或．
故答案为：或．
【分析】由二次函数的对称性，可知方程的根是或1，即可得方程的根满足或x+3=1，可求方程的根。
14．（2024九上·杭州期末）抛物线 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为，
故答案为：
【分析】本题考查了抛物线的平移．按照“左加右减，上加下减”的规律得出结论即可.
15．（2024九上·平湖期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为 ．
【答案】（0，3）
【解析】【解答】令，得，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）．
【分析】将x=0代入求出y的值，即可得到答案。
16．（2024九上·温州期中）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，2与其对应的函数值的最小值为3，则的值为
【答案】0或7
【解析】【解答】解：∵二次函数y=(2-m)2-1开口向上，对称轴为直线x=m，y的最小值为-1，
又∵当2≤x ≤5时，y的最小值为3，
∴2和5只会分布在对称轴z=m的同侧，否则其最小值为-1，而不是3，
①若m＜2，则当 x=2时，y=3，
∴3=(2-m)2-1，即2-m=±2，解得m=0或m=4（舍去）；
②若m>5，则当x=5时，y=3.
∴3=(5-m)2-1，即5-m =±2，解得m=3（舍去）
或m = 7.
综上，m=0或7.
故答案为：B.
【分析】本题考查二次函数的性质及最值问题，根据题意可知，当2≤x≤5时，y的最小值为3而不是-1，故2和5不在对称轴的两侧，而是在对称轴的同侧，然后再分情况讨论x的取值与y的最小值的关系即可知道m的取值.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·苍南期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）当，求y的最大值和最小值的差．
【答案】（1）解：∵该函数图象经过点，∴，
解得：或0，
∵，
∴
（2）解：由（1）小题，得，∵，对称轴为直线，开口向上，
∴在范围内，
当或2时，y有最大值1，
当时，y有最小值，
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可求出符合题意的a的值.
（2）根据抛物线的开口方向，结合函数的对称轴为直线知：当时，y取最小值；分别将或2时，代入函数解析式，可求出y取最大值，然后求出y的最大值和最小值的差.
（1）解：∵该函数图象经过点，
∴，
解得：或0，
∵，
∴．
（2）解：由（1）小题，得，
∵，对称轴为直线，开口向上，
∴在范围内，
当或2时，y有最大值1，
当时，y有最小值，
．
18．（2024九上·苍南期中）某商店以相同的进价采购了两批货物进行销售，第一批花费了7200元，第二批花费了8000元，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求货物的进价；
（2）两批货物售完后，该商店又以同样的进价采购第三批货物，经市场调查发现，当货物以20元/个的价格销售时，每周能卖出200个，若每个加价1元，则每周销售量减少20个，求货物售价定为多少元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设该货物的进价为t元/个，由题意，得，
解得
经检验，是分式方程的根，且符合题意．
∴该货物的进价为16元/个
（2）解：设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元．由题意，得
∵，
∴当时，y有最大值，其值为980．
∴当货物售价定为23元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是980元
【解析】【分析】（1）设该货物的进价为t元/个，根据“第二批比第一批多购进50个”，可得到关于t的方程，解方程求出t的值即可.
（2）设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元，利用利润=单件利润×销售量。可得到y关于x的函数解析式，然后利用二次函数性质，可求出结果.
（1）解：设该货物的进价为t元/个，
由题意，得，
解得
经检验，是分式方程的根，且符合题意．
∴该货物的进价为16元/个．
（2）解：设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元．
由题意，得
∵，
∴当时，y有最大值，其值为980．
∴当货物售价定为23元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是980元．
19．（2024九上·东莞期中）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元），之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
（3）设销售这种菠萝蜜总共获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意可知，将和代入中得，
解得：
y与x之间的函数关系式为
故答案为：；
（2）解：根据题意得
整理得：，
解得：，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价12元．
（3）解：销售这种菠萝蜜总共获利
，
∵，，
∴当时，每天获利最大，最大利润为2645元，
此时销售单价为元
即：当销售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元．
【解析】【分析】（1）观察图象可知：直线过点和，利用待定系数法，即可得出求解；
（2）根据（售价-进价）×销量=总利润，可得出方程，解方程并根据题意求较大解即可；
（3）设获得总利润为元，由（2）可得：再，整理转化成顶点式，根据二次函数最值。即可求解。
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意可知，将和代入中得，
解得：
y与x之间的函数关系式为
故答案为：；
（2）根据题意得
整理得：，
解得：，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价12元．
（3）销售这种菠萝蜜总共获利
，
∵，，
∴当时，每天获利最大，最大利润为2645元，
此时销售单价为元
即：当销售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元．
20．（2024九上·新丰期中）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
【答案】（1）5
（2）解：当时，解得：
∴，，
∴（米）．
∴ 该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是米.
（3）解：根据（2）得 该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是米，
∵ 该隧道为双向车道 ，
∴单向车道的宽度为米，
由于货车宽3米，故宽度能通过，
当时，（米）.
∵4.1>4，
∴高度能通过.
∴ 这辆卡车 能安全通过．
【解析】【解答】（1）解：∵的顶点为C（0，5） ，
解得，
∴c＝5.
故答案为：5．
【分析】
（1）将点C（0，5）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c即可求解.
（2）由图可知，A、B两点之间的距离即为该隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得.
（3）该隧道为双向车道，故将x＝3代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c，求得y的值与4比较大小即可求解．
（1）解：∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）解：由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米．
（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
21．（2024九上·从江月考）某水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过讨价还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买 88千克.
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系.
①求y与x之间的函数解析式.
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润 最大利润是多少
【答案】（1）解：设实际购进这种水果每千克x元.
由题意，得88x=80(x+2)，解得x=20，
即实际购进这种水果每千克20元.
（2）解：①设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
由图知，图象过点(25，165)，(35，55)，
将其代入函数解析式可得
解得
∴y与x之间的函数解析式为y=-11x+440.
②设利润为w，由题意，知
w=(x-20)y=(x-20)(-11x+440)，
即w=-11x2+660x-8 800
=-11(x-30)2+1 100，
即销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为 1 100 元.
【解析】【分析】（1） 设实际购进这种水果每千克x元，根据等量关系：原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克，列出方程，即可求解；
（2）①设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，根据图像中经过的点的坐标，利用待定系数法求解即可；②设利润为w，根据总利润=单个利润×销售量可得w=(x-20)y=(x-20)(-11x+440) ，再利用配方法求最值即可.
22．（2024九上·伊通期末）如图，已知二次函数的图象，利用图象回答：
（1）一元二次方程的解是 ；
（2）当时，x的取值范围是 ；
（3）当时，y的取值范围是 ．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，
∴一元二次方程的解是，
故答案为：；
（2）由函数图象可知，当时，x的取值范围是或，
故答案为：或；
（3）由函数图象可知，当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【分析】（1）令y=0，得到一元二次方程，二次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此求解；
（2）y>0就是二次函数图象在x轴上方的部分，再确定这部分图象对应的自变量的取值范围即可；
（3）x<0就是二次函数图象在y轴左侧的部分，再确定部分图象对应的函数值的取值范围即可．
23．（2024九上·北京市期中）已知：二次函数
（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）若，在抛物线上，且，求n的取值范围．
【答案】（1）解：∵
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上．
由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时，
∵，且，
∴y随x的增大而减小，
∴点A和B在对称轴左侧，
∴，
解得：；
②当点A和B在对称轴异侧时，即，
∴．
∵，且，
∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大．
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上可知当．
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质分类讨论即可求出答案.
（1）解：∵
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上．
由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时，
∵，且，
∴y随x的增大而减小，
∴点A和B在对称轴左侧，
∴，
解得：；
②当点A和B在对称轴异侧时，即，
∴．
∵，且，
∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大．
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上可知当．
24．（2024九上·江南期中）如图1，抛物线的图象经过．
（1）求的值以及抛物线顶点坐标；
（2）当时，求的最大值和最小值；
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线，点为抛物线与的交点，设点到轴的距离为，直接写出关的函数关系式，及当随的增大而减小时，的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的图象经过，
∴，
解得，，
∴二次函数的解析式为：，
∴，
∴顶点的横坐标为，纵坐标为，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数的顶点坐标为，图象开口向下，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
当，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴当时，的最大值为，的最小值；
（3），当时，随的增大而减小
【解析】【解答】（3）解：将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线
∴，
当时，，整理得，，
又∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，
当时，，，
当时，，，
综上所述，，当时，随的增大而减小 ．
【分析】（1）根据待定系数法将点，代入抛物线解析式可得二次函数的解析式为：，再根据顶点坐标公式即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质即可求出答案.
（3）根据函数图象平移规律可得，当时，解方程可得，则，再根据二次函数性质分类讨论即可求出答案.
（1）解：抛物线的图象经过，
∴，
解得，，
∴二次函数的解析式为：，
∴，
∴顶点的横坐标为，纵坐标为，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数的顶点坐标为，图象开口向下，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
当，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴当时，的最大值为，的最小值；
（3）解：将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线，
∴，
当时，，整理得，，
又∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，
当时，，，
当时，，，
综上所述，，当时，随的增大而减小 ．
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