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一元二次方程 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·顺德期中）小亮在进行一元二次方程估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024九上·中山期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·北京市期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·沅江开学考）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
5．（2024九上·北京市开学考）下列方程有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·金牛期中）用配方法解方程 ， 则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·浦北期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地.设原正方形空地的边长为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·双流期末）方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
9．（2023九上·仙居开学考）如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九上·湛江月考）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·桃源期中）已知m，n是方程的两个实数根，则
12．（2024九上·雨花开学考）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为 ．
13．（2024九上·凉州期中）已知线段，点C是上的一点，且，那么 ．
14．（2024九上·湘潭期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
15．（2024九上·南岗开学考）哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 ．
16．（2025九上·温州开学考）一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是 .
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·河东期末）解下列方程：
（1）；
（2）.
18．（2024九上·防城期末）（1）计算：
（2）解方程：.
19．（2024九上·德惠期中）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．
（1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）．
（2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．
20．（2024九上·凉州期中）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
21．（2024九上·广州开学考）一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．
（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
22．（2024九上·广州开学考）一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．
（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低元，则每天的销售量是 斤（用含的代数式表示）；
（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
23．（2024九上·江门月考）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．
②已知实数a，b满足：，则______．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
24．（2023九上·德州月考）今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利元？
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一元二次方程 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·顺德期中）小亮在进行一元二次方程估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：时，；
时，，
方程的一个根在和之间，则该根的十分位上的数字是
故答案为：A
【分析】根据表格中的数据，可知，当时，；时，，则可判断方程的一个根在和之间．
2．（2024九上·中山期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】首先把常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方即可得出答案。
3．（2024九上·北京市期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题可得：四月份绿化投入为25万元，五月份绿化投入为万元，六月份绿化投入为万元，
可列方程为：，
故答案为：D．
【分析】 设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为， 根据“ 四至六月份的绿化总投入将达到109万元 ”列出方程即可.
4．（2024九上·沅江开学考）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：D．
【分析】先根据题干中的定义列出方程，再利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式求解即可.
5．（2024九上·北京市开学考）下列方程有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，方程无实数根，故不符合题意；
B、，方程有两个不相等的实数根，故符合题意；
C、，方程无实数根，故不符合题意；
D、，方程无实数根，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可.
6．（2024九上·金牛期中）用配方法解方程 ， 则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为C.
【分析】先把常数项移到方程的右边得：，等式两边同时加上一次项系数一半的平方得到：，因此得到：.
7．（2024九上·浦北期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地.设原正方形空地的边长为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设原正方形空地的边长为xm，则空地矩形的长为(x-2)m，宽为(x-3)m，
由题意得(x-3)(x-2)=20.
故答案为：A.
【分析】设原正方形空地的边长为xm，则空地矩形的长为(x-2)m，宽为(x-3)m，进而根据矩形的面积计算公式结合空地矩形的面积为20m2，列出方程.
8．（2024九上·双流期末）方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【解析】【解答】∵方程，
∴x=0，x-2=0，
解得：，，
故答案为：D.
【分析】利用因式分解的计算方法分析求解即可.
9．（2023九上·仙居开学考）如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设因为 把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处 ，由折叠关系可得：，因为，则，，因为 把沿直线折叠，使点落在线段上的点处 ，所以由折叠关系有：，
又因为四边形为矩形，所以：，则在中，由勾股定理得： ，即，解得：（舍去）；故，所以矩形的面积：.
故答案为：A.
【分析】首先设，由折叠的关系可以得到：，，还可计算出：
，然后在中运用勾股定理解出x，然后根据矩形的面积公式进行求解即可.
10．（2020九上·湛江月考）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【解析】【解答】解： ①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ，∴x1=-4，x2=2， x1=-2x2， 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2， ∴x1=±1，∴x1=1，x2=2，x1=-1，x2=-2， 则a＝x1+x2=±3， 正确；
③∵x1=3，x2=， 当x1=2x2时，3m=2n， 当x2=2x1时，n=6m， 错误；
④ 由题意得：n=， ∴mx2-3x+=0， ∴x1+x2=，x1x2=， 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0， ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0， ∴x1=2x2， 或x2=2x1，正确； 综上，正确的是②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程” 的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④ 根据反比例函数式，求出m和n的关系， 利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·桃源期中）已知m，n是方程的两个实数根，则
【答案】2023
【解析】【解答】解：，是方程的两实数根，
，，
，
．
故答案为：2023．
【分析】由根与系数关系可得，，然后代入解题即可．
12．（2024九上·雨花开学考）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一元二次方程8x2-2x-15＝0的解为x1，x2，
∴，x1+x2= -28=14 ，
∴
=
=
=
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，x1+x2= -28=14，再求解即可.
13．（2024九上·凉州期中）已知线段，点C是上的一点，且，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】设，则，根据“”可得，再求出x的值即可.
14．（2024九上·湘潭期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得，解得，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
【分析】根据题意，方程有两个不相等的实数根，得到，然后解不等式即可，其中解答中熟记一元二次方程的性质是解答的关键．
15．（2024九上·南岗开学考）哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：设这次参加比赛的球队个数为x个，
因为 共进行了36场比赛， 可得，即，
分解因式得，解得（舍去）
所以这次参加比赛的球队个数为9个，
故答案为：9．
【分析】设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛”，列出关于x的一元二次方程，即可求解．
16．（2025九上·温州开学考）一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是 .
【答案】x1=1，x2=
【解析】【解答】解：
或x-1=0
解得： 或x=1
故答案为： 或x=1.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·河东期末）解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，，
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程。把方程的左边用十字相乘法分解因式；
（2）根据公式法解方程．一元二次方程的求根公式是： 。
18．（2024九上·防城期末）（1）计算：
（2）解方程：.
【答案】（1）解：原式=4÷2-（-27）×=2+3=5.
（2）解： .
（x-5）（x-1）=0，
x-5=0，x-1=0，
解得，.
【解析】【分析】（1）先计算乘方与绝对值，再计算乘除，最后计算减法即可；
（2）利用因式分解——十字相乘法解方程即可.
19．（2024九上·德惠期中）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．
（1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）．
（2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．
【答案】（1），
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
∴剪去的正方形边长为
【解析】【解答】解：（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为
故答案为：，
【分析】（1）由图形即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为
故答案为：，
（2）由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
∴剪去的正方形边长为
20．（2024九上·凉州期中）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率
（2）解：（万元），
答：预计该商场七月份投入资金将达到万元
【解析】【分析】（1）平均增长率（减少率）问题，常列方程，其中分别为起始数据和终止数据，为平均增长率或减少率；
（2）利用（1）中求得的增长率直接计算即可．
（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率；
（2）解：（万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到万元．
21．（2024九上·广州开学考）一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．
（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
【答案】（1）解：∵以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤，
∴当将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元时，每天的销售量为：（100+200x）斤．
（2）解：由题意列方程得：
，
解得：，；
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：水果店需将每斤的售价降低1元．
【解析】【分析】（1）根据每天的销售量=降价前的销售量+降价后增加的量即可用含x的代数式表示出每天的销售量；
（2）根据每天销售“官地洼”甜瓜获得的利润＝每斤的利润×每天的销售量可列关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要每天至少售出280斤即可求解．
（1）∵以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤，
∴当将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元时，每天的销售量是斤．
（2）依题意得： ，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：水果店需将每斤的售价降低1元．
22．（2024九上·广州开学考）一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．
（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低元，则每天的销售量是 斤（用含的代数式表示）；
（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
【答案】（1）100+200x
（2）解设 水果店需将每斤的售价降低x元
∴(5-3-x)(100+200x)=300，解得
∵100+200x>280，解得x>0.9
∴x=1
∴水果店需将每斤的售价降低1元.
【解析】【解答】解：（1）∵ 这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤
∴ 甜瓜每斤的售价降低元，则可以多售200x
则每天的销售量 为(100+200x)斤
故答案为100+200x.
【分析】（1）根据这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤，得出甜瓜每斤的售价降低元，则可以多售200x，因此甜瓜的销量为(100+200x)斤.
（2）设 水果店需将每斤的售价降低x元，根据等量关系：每斤的利润×销量=总利润，可得：(5-3-x)(100+200x)=300，解得，再根据 每天至少售出280斤， 列出不等式100+200x>280，解得x>0.9，因此可得x=1.
23．（2024九上·江门月考）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．
②已知实数a，b满足：，则______．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
【答案】（1）①，；②
（2）解：∵实数m、n、t满足：，
∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，
∴，即，
，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
且，
∴。
（3）解：∵实数a，b分别满足，且，
∴，
∴方程可变形为，
∴a，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为，
∴根据韦达定理，可得
，．
故答案为：，
②∵，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴．
故答案为：
【分析】（1）①根据韦达定理：，，代入数据，即可求解
②根据材料2，可知a，b是一元二次方程两个不相等的实数根，根据韦达定理可求出a+b和ab的值，然后再对进行通分，最后再将a+b和ab的值代入即可求解。
（2）由材料2可得m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，根据判别式的定义，可得，然后再根据韦达定理，求出m+n和mn的值，然后再结合，可求出t的取值范围，最后再将展开后将m+n和mn整体代入即可求解；
（3）将方程进行变形：，可知a，是方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理，求出和的值，再将对进行变形：，最后再将和的值代入即可求解。
（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为，
∴根据韦达定理，可得
，．
故答案为：，
②∵，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴．
故答案为：
（2）解：∵实数m、n、t满足：，
∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，
∴，即，
，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
且，
∴；
（3）解：∵实数a，b分别满足，且，
∴，
∴方程可变形为，
∴a，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴．
24．（2023九上·德州月考）今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利元？
【答案】（1）解：设平均增长率为，由题意得：，
解得：或舍；
四、五这两个月的月平均增长百分率为
（2）解：设降价元，由题意得：，
整理得：，
解得：或舍；
当商品降价元时，商场六月份可获利元
【解析】【分析】（1）典型的用一元二次方程解决百分率问题，期初到期末连续增长2次，可以用百分率问题的通用公式；
（2）降价后的每件利润月销售数量=月获利，用一元二次方程解决销售问题。
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