3.3.1 抛物线及其标准方程 教案-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程 教案-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 178.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-16 06:46:09 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
3.3.1 抛物线及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1. 掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程.
2. 进一步理解解析几何的基本思想方法.
二、教学重难点
1、教学重点
抛物线的定义和标准方程.
2、教学难点
抛物线的标准方程的推导.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当时，点M的轨迹为椭圆；当时，点M的轨迹为双曲线.那么，当时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
学生：思考.
（二）探索新知
探究一：抛物线的定义
教师：我们在平面内取点F是定点，l是不经过点F的定直线，如何作定点M，使它到定点F的距离与它到定点l的距离相等呢？
学生：连接点M和定点F，线段MF的长度就是点M到定点F的距离，过点M向直线l做垂线段MH，垂线段的长度是点M到定直线l的距离，满足.
教师：如果让点M运动起来，怎么满足这个条件不变？
学生：我们想起熟悉的图形中也有类似的特征，“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，作线段FH的垂直平分线m，MH与直线m交于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.
教师：动点M的轨迹是什么形状？
学生：拖动点H，点M也随之运动，始终有，即点M到定点F的距离等于它到定直线1的距离，这时我们看到，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题，我们想它是抛物线，所以动点M到定点F的距离与它到定直线1的距离相等时，动点M的轨迹是抛物线.
教师：当直线1经过点F时，线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线1的垂线是什么位置关系？
学生：当直线1经过点F时，动点M到定点F的距离|MF|就是动点M到定直线1的距离.
总结：抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
探究二：抛物线的标准方程
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.
设是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合.
因为，，所以.将上式两边平方并化简，得.①
从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.
总结：我们把方程①叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线.
抛物线的标准方程的不同的形式
图形 标准方程 交点坐标 准线方程
例： （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知拋物线的焦点是，求它的标准方程.
解：（1）因为，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是.
（2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，所以抛物线的标准方程是
（三）课堂练习
1.已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案：C
解析：设焦点为F，点A的坐标为，由抛物线定义得，点A到y轴的距离为9，，，.故选C.
2.若拋物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
答案：B
解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为是抛物线的焦点，过点P作轴，垂足是A，延长交准线l于点B，则.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离，所以点P到焦点F的距离.故选B.
3.若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
答案：D
解析：点到直线的距离比它到点的距离小1,即点到直线的距离与它到点的距离相等,符合抛物线的定义,故点的轨迹是抛物线.
故选D.
4.拋物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：拋物线方程可化为，所以焦点坐标为.故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.抛物线的定义；
2. 抛物线的标准方程.
四、板书设计
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线的定义；
2. 抛物线的标准方程.
3.3.1 抛物线及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1. 掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程.
2. 进一步理解解析几何的基本思想方法.
二、教学重难点
1、教学重点
抛物线的定义和标准方程.
2、教学难点
抛物线的标准方程的推导.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当时，点M的轨迹为椭圆；当时，点M的轨迹为双曲线.那么，当时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
学生：思考.
（二）探索新知
探究一：抛物线的定义
教师：我们在平面内取点F是定点，l是不经过点F的定直线，如何作定点M，使它到定点F的距离与它到定点l的距离相等呢？
学生：连接点M和定点F，线段MF的长度就是点M到定点F的距离，过点M向直线l做垂线段MH，垂线段的长度是点M到定直线l的距离，满足.
教师：如果让点M运动起来，怎么满足这个条件不变？
学生：我们想起熟悉的图形中也有类似的特征，“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，作线段FH的垂直平分线m，MH与直线m交于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.
教师：动点M的轨迹是什么形状？
学生：拖动点H，点M也随之运动，始终有，即点M到定点F的距离等于它到定直线1的距离，这时我们看到，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题，我们想它是抛物线，所以动点M到定点F的距离与它到定直线1的距离相等时，动点M的轨迹是抛物线.
教师：当直线1经过点F时，线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线1的垂线是什么位置关系？
学生：当直线1经过点F时，动点M到定点F的距离|MF|就是动点M到定直线1的距离.
总结：抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
探究二：抛物线的标准方程
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.
设是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合.
因为，，所以.将上式两边平方并化简，得.①
从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.
总结：我们把方程①叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线.
抛物线的标准方程的不同的形式
图形 标准方程 交点坐标 准线方程
例： （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知拋物线的焦点是，求它的标准方程.
解：（1）因为，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是.
（2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，所以抛物线的标准方程是
（三）课堂练习
1.已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案：C
解析：设焦点为F，点A的坐标为，由抛物线定义得，点A到y轴的距离为9，，，.故选C.
2.若拋物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
答案：B
解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为是抛物线的焦点，过点P作轴，垂足是A，延长交准线l于点B，则.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离，所以点P到焦点F的距离.故选B.
3.若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
答案：D
解析：点到直线的距离比它到点的距离小1,即点到直线的距离与它到点的距离相等,符合抛物线的定义,故点的轨迹是抛物线.
故选D.
4.拋物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：拋物线方程可化为，所以焦点坐标为.故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.抛物线的定义；
2. 抛物线的标准方程.
四、板书设计
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线的定义；
2. 抛物线的标准方程.