3.1.2 函数的单调性 复合函数单调性 教学设计（含评价+反思）

函数的单调性 复合函数单调性 教学设计
设计理念：本教学设计借助多媒体网络技术，形成一种图文并茂、声像同步、人机交互的教学环境，使学生在单位课时内接受更多的信息，学到更多的知识，以建立一种多媒体、大容量、高效率的教学模式，并通过这种教学示范培养学生的创新意识。
教材分析：函数的单调性是函数的一个重要性质，应用这一性质可以解决各类基本函数以及复合函数的值域、图象和解不等式等问题。在高考中要求能利用函数的图象求出函数的单调区间，能应用概念证明函数在某区间上的单调性。这就要求学生能直观认识函数单调性，并会定量刻划单调性概念。本节课就是为达到这一目标而设的概念课。
学情分析： 学生已掌握一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数，指数函数，对函数图象的认识较丰富，本节内容借助各类函数实例和图象，完成概念的定量刻划过程，体现从直观到抽象，从特殊到一般的思想方法，是培养学生从定性分析到定量刻划的思维能力的良好素材。
教学目标：
1.（1）初步理解函数单调性的概念。
（2）掌握判断和证明一些简单函数单调性的步骤。
（3）培养学生的自学能力，从而使学生由学会向会学转化。
2.在研究函数单调性的定义及推导证明的过程中，
通过多媒体演示，观察
发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。
3.（1）启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；
（2）通过观察----猜想----推理----证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
（3）在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育
重点难点：
教学重点：判断和证明复合函数单调性的一般步骤。
教学难点：领会复合函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。
教学媒体的使用：可以借助powerpoint、从形象、动态的演示入手，使学生对复合函数的单调性有一个较为深刻的认识。，也可使学生对数学产生浓厚的兴趣。
教学方法与手段：启发引导式。通过微课视频的展示让学生去发现规律得出结论，并能熟练运用。
教学思路：
教学过程设计：
复合函数的定义
设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
函数的单调区间
1.一次函数y=kx+b(k≠0).
解 当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.
2.反比例函数y=(k≠0).
解 当k＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
解 当a＞1时(－∞，－)是这个函数的单调减区间，(－，+∞)是它的单调增区间；当a＜1时(－∞，－)是这个函数的单调增区间，(－，+∞)是它的单调减区间；
4.指数函数y=(a＞0，a≠1).?
解 当a＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.
5.对数函数y=logax(a＞0，a≠1).
解 当a＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.
三、复合函数单调性相关定理
引理1 ：已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明： 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
引理2：已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。
四、例题讲解
例1. 求下列函数的单调区间：
y=log4(x2－4x+3)
解法一：设 y=log4u,u=x2－4x+3.由
u＞0,
u=x2－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
解法二：u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＜2 (u减)
解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.
由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
例2. 求下列复合函数的单调区间：
y=log (2x－x2)
解：设 y=logu,u=2x－x2.
得原复合函数的定义域为
由于y=logu在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.
易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由
（复合函数定义域）
x≤1，(u增)
解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.
又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减)
解得1≤x＜2,所以1，2)是原复合函数的单调增区间.
求y=的单调区间.
解： 设y=,u=7－6x－x2,由
u≥0,
u=7－6x－x2
解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.
因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.
易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。由
-7≤x≤1,（复合函数定义域）
x≤-3,（u增）
解得-7≤x≤-3.所以-7，3是复合函数的单调增区间.
易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16在x≥－3时单调减，由
－7≤x≤1 (复合函数定义域)
x≥－3， (u减)
解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.
例4. 求y=的单调区间.
解 ： 设y=.由
u∈R,
u=x2－2x－1,
解得原复合函数的定义域为x∈R.
因为y=在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.
易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由
x∈R, (复合函数定义域)
x≤1， (u减)
解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.
注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.
教学评价设计：
这一环节在课堂练习中体现，通过设计课堂练习，实时反馈，通过练习测试能有效检查学生对知识的掌握程度。教师可以及时掌控到第一手数据，随时调整教学策略。
教学反思：
在本节课的教学中，利用多媒体有效的增大了课堂容量，提高了学生的学习兴趣，通过启发引导学生自主思考，自主学习，即使学生掌握了知识，又提高了学生的能力。
基本初等函数单调性的回顾
复合函数单调性的形成
复合函数的单调性概念的理解
复合函数的单调性概念的应用
小结、作业