1.2 直线倾斜角、斜率及其关系 教学设计（含反思）

《直线的倾斜角、斜率及其关系》教学设计
一、教学内容解析
本节课是平面解析几何的开篇课，承担着开启解析几何思维方式的功能。在 内容上，它是直线的基础知识，也是解析几何中的基础性内容。教材首先分析了 一次函数的图象与直线方程之间的关系，然后给出了直线的倾斜角和斜率的概念， 而这两个概念是解析几何中的重要概念，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数 表示，是在平面直角坐标系中以坐标法的方式来研究直线及其几何性质的基础。 通过该内容的学习，能够帮助学生初步了解平面直角坐标系中几何要素代数化的 过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本节内容的最后给出了直 线的斜率与倾斜角、方向向量的的关系，结合学过的向量内容，是解题方法的新 尝试，为使用向量法解决解析几何问题做了铺垫。所以，本节内容起着开启全章、 承前启后、奠定基础、渗透方法的作用。本节的学习内容有利于发展学生的逻辑 推理、直观想象、数学运算等素养，体会解析几何内容所展现出的新的研究几何 的方法——坐标法。
二、学生学情分析
在初中，学生已经学习了一次函数的图象是一条直线，通过直线上的点的坐 标与该函数解析式的关系，引入直线上点的坐标与直线方程的关系。同时在必修 部分学生已经学习了正切函数的图象与性质，这为学习倾斜角和斜率之间的关系 做好了知识上的准备。另外，已学过的直线的方向向量内容，也为利用方向向量 的坐标推导出直线的斜率做了很好的铺垫。综上所述，在已学知识的支撑下，相 信学生学习本节内容还是会很顺利的。
三、教学方法建议
教学中，为了突破直线与方程的关系这一知识上的难点，应从一次函数和该 函数的图象关系入手。在学习倾斜角范围为什么要小于 1800 时，教师需要给出 相应的解释说明。在处理关于斜率问题时，教师要让学生明确：还有斜率不存在 的情况。教学时也要让学生掌握利用方向向量求斜率的公式，并进行适当的练习， 让学生充分感受几何问题代数化的运算过程。
四、教学目标设置
1、学生通过阅读教材中本章第一页，明确本节课的主要研究内容。再根据一次 函数解析式和图象上点的坐标的关系，理解直线与方程的关系，并确定直线方向 的指标是直线的倾斜角和斜率，提升学生直观想象核心素养。
2、联系生活实际，理解直线的倾斜角和斜率的概念，通过直线的方向向量推导 过不同两点的直线的斜率公式，培养学生概括问题的能力，提升学生数学抽象和 逻辑推理核心素养。
3、在学习过程中感悟解析几何对曲线的研究方法，初步认识坐标法的作用。培 养学生逻辑思维、直观想象、数学运算等核心素养。
五、教学重点
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式
六、教学难点
理解直线与方程的关系及直线的斜率的计算公式
七、教学策略分析
教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“创设情 境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用 ” 的过程，发现新的 知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的 能力和增强了研究探索的综合素质。
八、教学过程设计
（一）问题情境
在初中几何的学习中，我们常常通过“直观感知——操作确认——思辨论证 ——度量计算 ”的方法来研究几何图形的大小、位置等性质关系。在 17 世纪笛 卡尔和费马创立了解析几何，通过建立坐标系将数或有序数对与平面中的点建立 了一一对应的关系，从而建立了曲线方程，用代数问题来解决几何问题，我们称 这种方法为坐标法，也称作解析几何法。
在初中阶段，我们已经接触过该方法，一次函数及其图象。
1.请思考下列问题:
问题 1：请画出一次函数y = 2x +1的图象？
解析：通过描点、连线我们可以画出该图象，是一条直线。
（二）探究新知
问题 2：为什么一次函数的图像是一条直线呢？y = 2x +1是怎样和直线联系起来 的呢？
追问 1：y = 2x +1的形式是什么？
二元一次方程，如(-1,-1), (0,1), (1,3) 等都是方程的解 追问 2：直线是由什么构成的？
直线是由点构成的
追问 3：点在直角坐标系中如何用代数刻画？
用有序实数对刻画，如A(-1,-1), B(0,1), C(1,3)
这时我们返回到刚才的问题中：
问题 2：y = 2x +1是怎样和直线联系起来的呢？
在平面直角坐标系中，有序实数对可以对应坐标系中唯一的点，也就是说 y = 2x +1这个二元一次方程的每一组解都能在平面直角坐标系中找到一个对应 的点，这些点就形成了直线，如A(-1,-1), B(0,1), C(1,3) 都在这条直线上。
【设计意图】初步理解直线与方程的关系。
问题 3：通过观察我们知道满足y = 2x +1这个方程的点会形成一条直线，这一结 论有理论依据吗？如何确定A(-1,-1), B(0,1), C(1,3) 会在同一条直线上？
回答该问题前需要先来探究另一个问题：
问题4：如何确定一条直线？
初中我们已经学过两点能够确定一条直线，那么还有其它方法吗？
请在直角坐标系中画出满足下列条件的直线：
（1）过原点的直线（2）与x 轴正方向的夹角为的直线
（3）过原点且与x 轴正方向的夹角为的直线
结论：一个定点和与x 轴的一个定夹角可以确定一条直线。
【设计意图】利用平面向量的知识找到确定一条直线的方法，引出直线的倾斜角 的概念。
概念形成：
在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线l ，把 x 轴（正方向） 按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 首次重合时所成的角，称为直线l 的倾斜
角。通常倾斜角用 α 表示。
问题 5：倾斜角的取值范围是多少呢？
特别地，若直线l 与x 轴平行或者重合时，规定它的倾斜角为0， 直线的倾斜角 α 的取值范围为[0 , π )。
结论
1.一个点和倾斜角（一个方向）能确定一条直线；
2.平面直角坐标系中的每一条直线，都有唯一确定的倾斜角 α 与之对应；若直线 的倾斜程度相同，则倾斜角也相同；若直线的倾斜程度不同，则倾斜角也不同；
3.直线的倾斜角 α 的取值范围为[0, π ) ，倾斜角越接近 ，则倾斜的程度越大。 【设计意图】通过学生画出倾斜角在不同情况时的直线，使学生更好地掌握倾斜 角的概念和变化趋势，提升直观想象核心素养。
问题6：倾斜程度怎样用代数来刻画呢？
例如，如下图所示，坡度为0.01，说明物体沿着该坡道运动，在水平方向上移 动 1km，在铅直方向上上升或下降 0.01km。
如图所示，
在直线l 上任取两个不同的点P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) ，记：
Δx = x2 - x1 (Δx ≠ 0)
Δy = y2 - y1
比值能反映了直线的倾斜程度。
称 为经过不同两点P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) 的直线l 的斜率。 问题 7：斜率公式中坐标差的顺序可以改变吗？
可以，但是分子分母的作差顺序必须保持一致，即
问题 8：x1 ≠ x2 的限制条件说明了什么？
说明当直线与x 轴垂直，即倾斜角为时直线 不存在斜率。 问题9：当直线与x 轴平行或者重合时，斜率公式还适用吗？
此时 Δx = x2 - x1 (Δx ≠ 0), Δy = 0 ，此公式仍然适用，斜率为 0
（三）知识应用
例 1、求满足下列条件的直线的斜率：
（1）经过点 A(2,-8), B(5,1)
（2）经过点C(0,2), D(2,-1)
（3）经过点M (-1,3), N(0,3)
解：由经过两点的直线斜率的计算公式，可得
（1）
（2）
（3）
例 2、已知直线l 经过点A(-1,2) ，且斜率k = -2 ，判断B(1,-2), C(0,4), D(0,0) 中，哪些点在直线l 上，哪些点不在直线l 上。
解：因为 且直线经过点A(-1,2) ，所以点B, D 在直线l 上，点C 不在直线l 上。
此时我们来解决问题 3：
问题 3：通过观察我们知道满足y = 2x +1这个方程的点会形成一条直线，这一结 论有理论依据吗？如何确定A(-1,-1), B(0,1), C(1,3) 会在同一条直线上？
以 A, B, C 点为例故直 线AB 与直线AC 是同一条直线（即三点共线）。一般地，设 直 线 l 上 任 意 一 点 为 P(x0, y0 ) ， 则 即y = 2x +1图象上任意 一点与A 的连线斜率都为 2，即所有的点都在同一直线上，
故满足方程y = 2x +1的点的轨迹是一条直线。
（四）课堂小结
课后思考：倾斜角和斜率分别从几何和代数两个方面刻画了直线的倾斜程度，那
么倾斜角和斜率之间有什么关系呢？它们之间是否能互相转换呢？
（五）课后作业
1.个人作业
教材第 5 页练习 1,2,3,4 题
2. 小组作业
（1）思考倾斜角和斜率之间的关系并探讨它们之间相互转换的方法；
（2）回忆初中学过的有关直线的几何性质（如位置关系等），探讨能否用代数
刻画这些几何性质。
九、板书设计
直线的倾斜角、斜率及其关系
一、问题情境 二、问题探究 1、直线与方程之间的关系 2、倾斜角和斜率定义 3、过不同两点的斜率公式 三、应用举例 例 1 例 2 例 3 四、课堂小结 五、布置作业
十、课后反思
本节课概念较多，且抽象，需要把握好教学节奏，给学生充足的思考和消化 时间。Geogebra 等信息化工具的运用是突破难点的关键，应充分利用其动态演 示功能。在探究斜率公式时，要注重引导学生自己发现规律，而不是直接给出结 论。对于“斜率不存在 ”的理解，要通过几何和代数两个角度反复强调，并结合 练习加深印象。
直线的倾斜角和斜率分别从形和数刻画了直线的方向，相对于 x 轴的倾斜程 度。一点和倾斜角或一点和斜率确定了平面直角坐标系中直线的位置。过两点的 直线斜率公式把直线的倾斜角（方向或倾斜程度）与其上两点的坐标联系起来， 实现了对直线几何特征的代数刻画。它是解析几何中的基本公式，是建立直线方 程的基础。教学时要让学生认识到，对确定直线位置的几何要素的刻画，是按照 方向--倾斜角--倾斜角的正切值--斜率--直线上任意两点纵横坐标的差商过程 展开的，这个过程是对直线这个几何研究对象逐步代数化的过程，把形逐步转化 为数，用数表示形，这个过程是解析几何研究几何图形的基本过程，它是不断深 化，不断精致的过程。在这个过程中提升学生直观想象、数学抽象等核心素养。