1.4.1《用向量讨论平行》教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 1.4.1《用向量讨论平行》教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 138.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-16 09:14:05 | ||
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文档简介
《用向量讨论平行》教学设计
课程标准
《用向量讨论平行》是人教A版数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何中的1.4节空间向量的应用中的重要内容，是1.4节空间向量的应用的内容的一部分.本章内容《空间向量与立体几何》是在学习了立体几何的基本理论和空间向量知识的基础上提出的，本章的前三节已经将平面向量中的相关知识推广到了空间，为本节的学习和研究奠定了基础.本节主要是利用向量工具研究空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，本课是这一节内容的第一课时，研究的是平行的位置关系，是立体几何的重要方向，是向量工具应用的重要方面，更是向量法解决立体几何问题的重要课题，是本章的核心内容.通过本节课的学习，学生能具体掌握用向量坐标或方向向量、法向量判断平行关系的方法，在实践中加深对向量工具性的理解，进一步提升将空间几何问题转化为代数运算的能力，从而更深刻地体会数学中数与形的结合、转化之美，激发学习数学的兴趣，减轻空间思维能力差的学生的学习压力.
学情分析
学生已经学习了立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，掌握了判断线线、线面、面面平行的判断方法，具备有关知识储备，对坐标法解决几何问题也有了初步的认识，但是利用向量工具解决空间中平行的问题还没有系统的学习过，需要老师循序渐进的引导.教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行问题，用向量讨论平行，关键是使学生掌握空间两条直线的平行本质是空间两条直线的方向向量平行，空间直线与平面平行本质是空间直线的方向向量与平面的法向量垂直，空间两个平面平行的本质是空间两个平面的法向量平行.本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，比如如何准确选取方向向量或法向量，如何将几何条件转化为向量的坐标运算，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行，通过具体例题引导学生逐步体会“几何问题→向量问题→代数运算→几何结论”的思维过程，帮助学生构建完整的解题思路.
教学目标
核心素养 直观想象、逻辑推理、数学运算
目标达成 深入剖析直线方向向量与平面法向量概念，结合实例与图形帮助学生理解其内涵，使其能精准求解并熟练运用它们证明空间平行问题，包括独立完成复杂图形中平行关系的严谨论证；引导学生探究线线、线面、面面平行的本质，通过对比分析、小组讨论，让学生能用向量语言准确表述这些关系，理解背后原理，自如转换向量语言与几何图形；引导学生经历用向量推导空间平行判定条件的过程，体会向量工具转化空间几何问题的作用，在实践中提升数学抽象与逻辑推理能力；通过具体问题求解，使学生掌握将空间平行的几何语言转化为向量语言再到代数运算的步骤，培养用向量解决立体几何问题的实践能力.
教学重点、难点
教学重点 能用向量语言规范表述线线、线面、面面平行关系：明确线线平行即方向向量共线，线面平行即直线方向向量与平面法向量垂直且线不在面内，面面平行即法向量共线，理解其与几何定义的联系.
教学难点 能用向量方法解决立体几何中的平行问题：需将几何条件转化为向量关系，如选取合适方向向量或法向量，处理线不在面内等隐含条件，同时体会向量方法将空间问题转化为代数运算的作用，克服几何直观与向量运算的衔接障碍.
教学方法、学法指导、教学资源
教学方法 讲授法、演示法、讨论法、自学指导法、启发引导法．
学法指导 观察分析、自主学习、探究学习、合作交流、讨论归纳、自主练习．
教学资源 多媒体课件、教材、黑板、三角板．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新课导入 情境引入：情境引入环节，教师可先引导学生观察教室及生活场景中的空间元素： 1. 抛出问题“足球场上进球框的上边框所在直线与地面有什么位置关系？”后，结合图片展示球门结构，让学生直观感知，再追问“这种关系如何用已学几何知识描述？”2. 提出“教室里灯管所在直线与地面有什么位置关系？”时，让学生动手比划灯管与地面的位置，引导对比两者差异，进而提问“能否用新学的向量工具更精准地刻画这类关系？”，激发学生探究欲. 由图片和实物，让学生思考回答两个问题. 通过生活化问题引导学生思考空间几何体的平行关系，从直观感知自然引出平行关系的具体形态。在此基础上，进一步过渡到用向量讨论平行的必要性，由问题引导学生思考空间几何体的平行关系，引出平行关系，由此进一步引入用向量讨论平行，引导学生思考与本节课有关的问题，引入课题.为本节课的学习起到铺垫的作用.
教学目标展示 多媒体展示教学目标：1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系.随后，教师带领学生逐点解读目标内涵：结合实例说明“理解”需达到能独立求解向量、规范证明的程度，强调“表述”不仅是翻译，更要体现逻辑对应,同时，同步呈现教学重难点，通过对比分析，让学生明确重点是向量语言表述的规范性，难点在于几何问题向向量关系的转化，引导学生带着目标和重难点意识进入新课学习，增强课堂专注度与针对性. 学生认真阅读学习目标并内化于心. 让学生通过明确教学目标，清晰把握本节课的核心内容与具体要求，既要理解方向向量、法向量并用于证明平行，又要掌握用向量语言表述线线、线面、面面平行关系，以此为任务驱动，能引导学生在后续学习中主动聚焦重点、突破难点，有针对性地参与探究与练习，避免学习的盲目性，从而更高效地完成课堂各环节，提升学习效率与目标达成度学生．
新课讲授 1.提出问题1：如何确定直线的方向向量？问题2：平面的法向量有何特征？让学生通过复习回顾，明晰直线的方向向量和平面的法向量的概念及有关知识.2.引导学生思考在必修2中我们学习了空间几何体中的平行关系，提问学生如何判断直线与直线平行？直线与直线平行判断方法有哪些？其次，通过两个视频，让学生加深对于直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的记忆和理解，回顾如何用几何法证明空间几何体中的平行关系，其次，我们学习了直线的方向向量和平面的法向量，请同学们思考问题：能不能用直线的方向向量和平面的法向量判断空间几何体中的平行关系？3.探究活动：同桌两个人为一个小组，以笔当做直线，以桌面或者书本为平面，讨论探究三个问题：（1）两条直线平行，这两条直线的方向向量有什么关系？（2）直线与平面平行，直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？（3）平面与平面平行，两个平面的法向量有什么关系？4.（1）自主探索，独立思考，完成导学案三个小题.引导学生思考线面平行用向量证明时需要注意的点.（2）探究例1,已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．引导学生思考问题三：一个平面的法向量不唯一，在求法向量时，要注意什么？引导学生完成导学案例1，并且由例1，引导学生思考问题四：求平面法向量的一般步骤是什么？总结归纳求平面法向量的一般步骤和方法及注意事项.5.典例分析，完成探究二，利用空间向量证明线面平行和面面平行.引导学生思考探究二，对于例2，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.先引导学生思考用几何方法证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后再引导学生思考如何用向量证明线面平行和面面平行.规范板书，展示证明过程，强调易错点，归纳方法.6.由探究二中例2的完整分析和板书，引导学生体会用向量证明立体几何中平行关系的作用，引导学生思考问题五：用空间向量解决立体几何问题的一般步骤有哪些？带领学生归纳一般步骤，空间向量解决立体几何问题的“三步曲”是：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．总结立体几何问题中如何用向量证明平行关系，对本节课内容进行小结. 学生自主复习回顾，思考提问的问题并回答.2.观看视频，加深对直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的三种语言的表示的理解，看完视频后，让学生板书线面平行、面面平行判定定理的符号语言.3.以同桌两个人为一个小组，合作探究，交流讨论，并推举小组代表展示本组讨论成果.4.在探究、归纳总结了线线平行、线面平行、面面平行用向量证明的方法后，学生练习三个小题.加深对用向量讨论平行的理解.思考问题三和问题四，总结归纳求平面法向量的一般方法和步骤.5.跟随老师的引导，思考如何用几何方法证明直线和平面平行，平面和平面平行，然和再思考探究如何用向量的方法证明线线平行和线面平行，分析证明过程，并学习规范书写过程，自主完成第二问，证明平面和平面平行.6.学生通过典例体会向量这种工具在解决立体几何问题中的重要应用，体会数学中数与形的结合，转化，思考问题五，总结归纳一般步骤方法，由老师的总结，提高对向量的认识，加深对向量的理解. 1.通过提问，让学生加深对于直线的方向向量和平面的法向量的概念的理解，复习回顾向量有关的知识，为后面用向量讨论平行奠定基础.2.考虑到学生对于必修2的内容由于时间原因产生了遗忘，并且向量方法是证明立体几何平行问题的一种方法，可以和必修2学习的几何方法做一个对比比较，认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法．3.使学生经历用向量讨论平行知识的发生发展过程，通过探究活动，以笔当做直线，以桌面或者书本为平面，两个人合作探究，讨论线线平行、线面平行和面面平行时，直线的方向向量和平面的法向量有什么关系，加深学生对用向量讨论平行的本质.4.通过三个简单的小题，让学生体会用向量说明线线平行、线面平行、面面平行的应用，并从第二个小题中总结用向量证明线面平行的条件，由例1，引导学生思考问题三、四，总结求法向量方法，让学生掌握求平面法向量的一般方法.5.让学生充分体会解决立体几何问题中方法的多样性以及向量这个工具的作用.带领学生思考分析，板书展示第一问，可以规范展示证明书写过程，让学生自主完成并让一位同学黑板上展示，一是可以对应加强练习，提高熟练度，二是可以从学生的板书中再次强调规范性.6.通过典例，对学生的学习效果进行及时检测，及时发现问题，并给予指正和科学的评价．对于总结归纳，引导学生完成，有助于加强学生对于向量法证明平行问题的理解和应用，通过小结，提升学生对于向量的认识，激发学生学习数学的兴趣.
课堂小结 求法向量的步骤；用向量方法解决立体几何问题的步骤;用向量表示线线平行、线面平行、面面平行的关系；顺口溜：空间平行看向量，直线平行看方向方向向量互平行，两条直线才平行向量垂直面的法，此线一定平行它面面平行看法法，法法平行面面平.
作业布置 课后梳理，整理本节课的笔记；巩固练习，完成对应世纪金榜.
板书设计
向量法 二、几何法线线平行 1.线线平行 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 若l//m,则// 平行四边形、中位线、平行公理 l m线面平行 2.线面平行 l 若l//,则 平行 面面平行 3.面面平行 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT p 若//,则//
用向量讨论平行
课程标准
《用向量讨论平行》是人教A版数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何中的1.4节空间向量的应用中的重要内容，是1.4节空间向量的应用的内容的一部分.本章内容《空间向量与立体几何》是在学习了立体几何的基本理论和空间向量知识的基础上提出的，本章的前三节已经将平面向量中的相关知识推广到了空间，为本节的学习和研究奠定了基础.本节主要是利用向量工具研究空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，本课是这一节内容的第一课时，研究的是平行的位置关系，是立体几何的重要方向，是向量工具应用的重要方面，更是向量法解决立体几何问题的重要课题，是本章的核心内容.通过本节课的学习，学生能具体掌握用向量坐标或方向向量、法向量判断平行关系的方法，在实践中加深对向量工具性的理解，进一步提升将空间几何问题转化为代数运算的能力，从而更深刻地体会数学中数与形的结合、转化之美，激发学习数学的兴趣，减轻空间思维能力差的学生的学习压力.
学情分析
学生已经学习了立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，掌握了判断线线、线面、面面平行的判断方法，具备有关知识储备，对坐标法解决几何问题也有了初步的认识，但是利用向量工具解决空间中平行的问题还没有系统的学习过，需要老师循序渐进的引导.教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行问题，用向量讨论平行，关键是使学生掌握空间两条直线的平行本质是空间两条直线的方向向量平行，空间直线与平面平行本质是空间直线的方向向量与平面的法向量垂直，空间两个平面平行的本质是空间两个平面的法向量平行.本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，比如如何准确选取方向向量或法向量，如何将几何条件转化为向量的坐标运算，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行，通过具体例题引导学生逐步体会“几何问题→向量问题→代数运算→几何结论”的思维过程，帮助学生构建完整的解题思路.
教学目标
核心素养 直观想象、逻辑推理、数学运算
目标达成 深入剖析直线方向向量与平面法向量概念，结合实例与图形帮助学生理解其内涵，使其能精准求解并熟练运用它们证明空间平行问题，包括独立完成复杂图形中平行关系的严谨论证；引导学生探究线线、线面、面面平行的本质，通过对比分析、小组讨论，让学生能用向量语言准确表述这些关系，理解背后原理，自如转换向量语言与几何图形；引导学生经历用向量推导空间平行判定条件的过程，体会向量工具转化空间几何问题的作用，在实践中提升数学抽象与逻辑推理能力；通过具体问题求解，使学生掌握将空间平行的几何语言转化为向量语言再到代数运算的步骤，培养用向量解决立体几何问题的实践能力.
教学重点、难点
教学重点 能用向量语言规范表述线线、线面、面面平行关系：明确线线平行即方向向量共线，线面平行即直线方向向量与平面法向量垂直且线不在面内，面面平行即法向量共线，理解其与几何定义的联系.
教学难点 能用向量方法解决立体几何中的平行问题：需将几何条件转化为向量关系，如选取合适方向向量或法向量，处理线不在面内等隐含条件，同时体会向量方法将空间问题转化为代数运算的作用，克服几何直观与向量运算的衔接障碍.
教学方法、学法指导、教学资源
教学方法 讲授法、演示法、讨论法、自学指导法、启发引导法．
学法指导 观察分析、自主学习、探究学习、合作交流、讨论归纳、自主练习．
教学资源 多媒体课件、教材、黑板、三角板．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新课导入 情境引入：情境引入环节，教师可先引导学生观察教室及生活场景中的空间元素： 1. 抛出问题“足球场上进球框的上边框所在直线与地面有什么位置关系？”后，结合图片展示球门结构，让学生直观感知，再追问“这种关系如何用已学几何知识描述？”2. 提出“教室里灯管所在直线与地面有什么位置关系？”时，让学生动手比划灯管与地面的位置，引导对比两者差异，进而提问“能否用新学的向量工具更精准地刻画这类关系？”，激发学生探究欲. 由图片和实物，让学生思考回答两个问题. 通过生活化问题引导学生思考空间几何体的平行关系，从直观感知自然引出平行关系的具体形态。在此基础上，进一步过渡到用向量讨论平行的必要性，由问题引导学生思考空间几何体的平行关系，引出平行关系，由此进一步引入用向量讨论平行，引导学生思考与本节课有关的问题，引入课题.为本节课的学习起到铺垫的作用.
教学目标展示 多媒体展示教学目标：1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系.随后，教师带领学生逐点解读目标内涵：结合实例说明“理解”需达到能独立求解向量、规范证明的程度，强调“表述”不仅是翻译，更要体现逻辑对应,同时，同步呈现教学重难点，通过对比分析，让学生明确重点是向量语言表述的规范性，难点在于几何问题向向量关系的转化，引导学生带着目标和重难点意识进入新课学习，增强课堂专注度与针对性. 学生认真阅读学习目标并内化于心. 让学生通过明确教学目标，清晰把握本节课的核心内容与具体要求，既要理解方向向量、法向量并用于证明平行，又要掌握用向量语言表述线线、线面、面面平行关系，以此为任务驱动，能引导学生在后续学习中主动聚焦重点、突破难点，有针对性地参与探究与练习，避免学习的盲目性，从而更高效地完成课堂各环节，提升学习效率与目标达成度学生．
新课讲授 1.提出问题1：如何确定直线的方向向量？问题2：平面的法向量有何特征？让学生通过复习回顾，明晰直线的方向向量和平面的法向量的概念及有关知识.2.引导学生思考在必修2中我们学习了空间几何体中的平行关系，提问学生如何判断直线与直线平行？直线与直线平行判断方法有哪些？其次，通过两个视频，让学生加深对于直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的记忆和理解，回顾如何用几何法证明空间几何体中的平行关系，其次，我们学习了直线的方向向量和平面的法向量，请同学们思考问题：能不能用直线的方向向量和平面的法向量判断空间几何体中的平行关系？3.探究活动：同桌两个人为一个小组，以笔当做直线，以桌面或者书本为平面，讨论探究三个问题：（1）两条直线平行，这两条直线的方向向量有什么关系？（2）直线与平面平行，直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？（3）平面与平面平行，两个平面的法向量有什么关系？4.（1）自主探索，独立思考，完成导学案三个小题.引导学生思考线面平行用向量证明时需要注意的点.（2）探究例1,已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．引导学生思考问题三：一个平面的法向量不唯一，在求法向量时，要注意什么？引导学生完成导学案例1，并且由例1，引导学生思考问题四：求平面法向量的一般步骤是什么？总结归纳求平面法向量的一般步骤和方法及注意事项.5.典例分析，完成探究二，利用空间向量证明线面平行和面面平行.引导学生思考探究二，对于例2，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.先引导学生思考用几何方法证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后再引导学生思考如何用向量证明线面平行和面面平行.规范板书，展示证明过程，强调易错点，归纳方法.6.由探究二中例2的完整分析和板书，引导学生体会用向量证明立体几何中平行关系的作用，引导学生思考问题五：用空间向量解决立体几何问题的一般步骤有哪些？带领学生归纳一般步骤，空间向量解决立体几何问题的“三步曲”是：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．总结立体几何问题中如何用向量证明平行关系，对本节课内容进行小结. 学生自主复习回顾，思考提问的问题并回答.2.观看视频，加深对直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的三种语言的表示的理解，看完视频后，让学生板书线面平行、面面平行判定定理的符号语言.3.以同桌两个人为一个小组，合作探究，交流讨论，并推举小组代表展示本组讨论成果.4.在探究、归纳总结了线线平行、线面平行、面面平行用向量证明的方法后，学生练习三个小题.加深对用向量讨论平行的理解.思考问题三和问题四，总结归纳求平面法向量的一般方法和步骤.5.跟随老师的引导，思考如何用几何方法证明直线和平面平行，平面和平面平行，然和再思考探究如何用向量的方法证明线线平行和线面平行，分析证明过程，并学习规范书写过程，自主完成第二问，证明平面和平面平行.6.学生通过典例体会向量这种工具在解决立体几何问题中的重要应用，体会数学中数与形的结合，转化，思考问题五，总结归纳一般步骤方法，由老师的总结，提高对向量的认识，加深对向量的理解. 1.通过提问，让学生加深对于直线的方向向量和平面的法向量的概念的理解，复习回顾向量有关的知识，为后面用向量讨论平行奠定基础.2.考虑到学生对于必修2的内容由于时间原因产生了遗忘，并且向量方法是证明立体几何平行问题的一种方法，可以和必修2学习的几何方法做一个对比比较，认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法．3.使学生经历用向量讨论平行知识的发生发展过程，通过探究活动，以笔当做直线，以桌面或者书本为平面，两个人合作探究，讨论线线平行、线面平行和面面平行时，直线的方向向量和平面的法向量有什么关系，加深学生对用向量讨论平行的本质.4.通过三个简单的小题，让学生体会用向量说明线线平行、线面平行、面面平行的应用，并从第二个小题中总结用向量证明线面平行的条件，由例1，引导学生思考问题三、四，总结求法向量方法，让学生掌握求平面法向量的一般方法.5.让学生充分体会解决立体几何问题中方法的多样性以及向量这个工具的作用.带领学生思考分析，板书展示第一问，可以规范展示证明书写过程，让学生自主完成并让一位同学黑板上展示，一是可以对应加强练习，提高熟练度，二是可以从学生的板书中再次强调规范性.6.通过典例，对学生的学习效果进行及时检测，及时发现问题，并给予指正和科学的评价．对于总结归纳，引导学生完成，有助于加强学生对于向量法证明平行问题的理解和应用，通过小结，提升学生对于向量的认识，激发学生学习数学的兴趣.
课堂小结 求法向量的步骤；用向量方法解决立体几何问题的步骤;用向量表示线线平行、线面平行、面面平行的关系；顺口溜：空间平行看向量，直线平行看方向方向向量互平行，两条直线才平行向量垂直面的法，此线一定平行它面面平行看法法，法法平行面面平.
作业布置 课后梳理，整理本节课的笔记；巩固练习，完成对应世纪金榜.
板书设计
向量法 二、几何法线线平行 1.线线平行 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 若l//m,则// 平行四边形、中位线、平行公理 l m线面平行 2.线面平行 l 若l//,则 平行 面面平行 3.面面平行 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT p 若//,则//
用向量讨论平行