2025 年 10 月高三联考 强化卷 数 学
本试卷满分 150 分 ,考试时间 120 分钟.
一、选择题 :本题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A = {x | y = x- 1 } ,B = {y | y = 2-x2 } ,则 A ∩B = ( )
A. [ 1 ,+ ∞ ) B. [0 ,2] C. D. [1 ,2]
2. 设 a∈R ,若-为实数 ,则 a = ( )
A. -2 D. 2
3. 已知向量 a ,b 满足 a+2b = (3 ,1) ,2a-3b = (- 1 ,2) ,则 a 与 b 的夹角为 ( )
4. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮( 如图所示) ,大轮有 50 个齿 ,小轮有 15 个齿 ,小轮每分钟转 10 圈 ,若大 轮的半径为 2 cm ,则大轮每秒转过的弧长是 ( )
A. 12π cm B. 6π cm
5. 已知 Sn 为等比数列{ an } 的前 n 项和 ,若 a4 = 4a3 -4a2 ,则 = ( )
A. 5 B. 9 C. -9 D. -5
6. 定义在 R 上的奇函数 f( x) 满足 f( x) = f( 4-x) ,且 f(x) 在[ - 2 ,2] 上单调递增. 设 =
f(- 13) ,则 ( )
A. a
7. 已知 ,则 λ = ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8. 已知函数 若f(x) 在(0 ,+ ∞ ) 上存在最小值 ,则实数 a 的取值范围是 ( )
A. [ 1 ,+ ∞ ) C. (0 ,1]
数学 第 1 页( 共 4 页)
二、选择题 :本题共 3 小题 ,每小题 6 分 ,共 18 分. 在每小题给出的选项中 ,有多项符合题目要求. 全部选对的得
6 分 ,部分选对的得部分分 ,有选错的得 0 分.
9. 设复数 z 在复平面内对应的点为 Z ,原点为 O ,i 为虚数单位 ,则下列说法正确的是 ( )
A. z ·z = | z | 2
B. 5+i>4+i
C. 若 | z | = 1 ,则 z= ±1 或 z= ±i
D. 若 1 ≤ | z | ≤ 2 ,则点 Z 的集合所构成的图形的面积为 π
10. 已知函数f(x)= Acos(ωx+φ)(A>0 ,ω>0 , | φ | <π)的图象如图所示 ,则下列结论正确的是 ( )
A. ω = 2
C. 函数f(x) 在区间上单调递增
D. 当 x ∈ [0 ,2π] 时 ,函数 有 8 个零点
11. 已知函数f(x) 满足 :对任意 x,y∈R ,xf(y)+yf(x) =f(xy) ,且当 00. 下列说法正确的是
( )
A.f(0) +f(1) = 0 B.f(x) 为偶函数
C. 当 | x | >1 时 ,xf(x)<0 D.f(x) 在(1 ,+ ∞ ) 上单调递减
三、填空题 :本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,共 15 分.
12. 已知函数f(x) = 3x ,则f( log32) = .
13. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,E ,F 分别为 AD ,AB 上的点 ,当△AEF 的周长为 4 时 , △AEF 面积的最大值为
.
14. 已知同一平面内的单位向量 e1 ,e2 ,e3 ,则(e1 -e2 ) ·e3 的最小值是 ;若 e1 +e2 与 e3 不共线 , | e1 +e2 + e3 | = 1 ,x ,y,z∈R ,xe1 +ye2 +ze3 = 0 ,x+y+z= 2 025 ,则+ + = .
四、解答题 :本题共 5 小题 ,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数f(x)= x( a+ln x) , 曲线 y =f(x) 在点( e ,f( e) ) 处的切线与直线 y = 4x- 1 平行.
(1) 求 a 的值 ;
(2) 求f(x) 的极值.
数学 第 2 页( 共 4 页)
16. (15 分) 已知数列{ an } 的前 n 项和为 Sn ,Sn = 2an -2.
(1) 求{ an } 的通项公式 ;
(2) 在{ an } 相邻两项中间插入相邻两项的等差中项 ,求所得新数列{ bn } 的前 2n 项和 T2n .
(
π
4
,
)17. (15 分) 如图 , △AOD 与△BOC 存在对顶角∠AOD = ∠BOC = AC = 2 ,BD = 2 2 ,且 BC =AD.
(1) 证明 :O 为 BD 中点 ;
(2)若 5 sin 2A+cos B = 5 ,求 OC 的长.
数学 第 3 页( 共 4 页)
18. (17 分) 设函数f(x) = ax +ka-x ( k ∈R ,a>0 ,a≠1) .
(1) 当 k = 4 时 ,求f(x) 的最小值.
(2) 讨论函数f(x) 的图象是否有对称中心. 若有 ,请求出 ;若无 ,请说明理由.
当 k = 0 时 都有求实数 a 的取值集合.
19. (17 分) 如果数列{ an } 满足 a1 = 0 , | an -an- 1 | =p(p 为常数 ,n≥2 ,n ∈N) ,则称数列{ an } 为 α 数列 , 已知项数 为 n 的数列{ an } 的所有项的和为 Tn ,且{ an } 为 α 数列.
(1) 若 n =4 ,p = 1 ,a4 = 1 ,写出所有可能的 Tn 的值 ;
(2) 若 n = 101 ,p = 5 ,证明 :“ a 101 = 500 ” 是 “ 数列{ an } 为递增数列 ” 的充要条件 ;
(3) 若 n≥2 ,p = 5 ,证明 :若 Tn = 0 ,则 n =4k 或 n =4k+ 1( k ∈N ) .
数学 第 4 页( 共 4 页)
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(
姓名
准考
证号
) (
考生
禁填
缺考考生
,由监考员贴条形码
,并用 2B
铅笔涂右面的缺考标记。
)答题卡
贴条形码区
(
正确填涂
) 填涂样例 注意事项 1. 答卷前 ,考生须在答题卡和试卷上规定的位置 ,准确填写本人姓名、准考证号 ,并核对 准条形码上的信息 。确认无误后 ,将条形码粘贴在答题卡上相应位置。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂 ;非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔作答 ,字体 工整 ,笔迹清楚。 3. 考生必须在答题卡各题目的答题区域内作答 ,超出答题区域范围书写的答案无效 ;在 草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁 ,不准折叠 ,不得损坏。
一、单选题( 共 40 分)
1 2 3 4 A A A A B B B B C C C C D D D D 5 6 7 8 A A A A B B B B C C C C D D D D
二、多选题( 共 18 分)
9 10 11 A A A B B B C C C D D D
三、填空题( 每小题 5 分 ,共 15 分) 12. 13. 14.
请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
四、解答题 15. ( 13 分)
请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
16. ( 15 分)
请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
答题卡第一页
(
17.
(
15
分
)
) (
19.
(
17
分
)
总分
:
登分人
:
复核人
:
)
18. ( 17 分)
请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
答题卡第二页
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参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A B D A D C D AD ACD ACD
12. 2 13. 12- 8 2 14. -2 2
15. (1) a= 2(5 分)
(2)f(x) 的极小值为-e- 3 ,无极大值(8 分) 【 解】(1) 第一步:求导
由题意 ,得f ′ (x)= a+ln x+ 1 ,则f ′ ( e) = a+2. … … … … … … 2 分 第二步:根据平行关系求 a
因为曲线 y =f(x) 在点( e ,f( e) ) 处的切线与直线 y = 4x- 1 平行 , 所以 a+2 = 4 ,解得 a= 2. … … … … … … … … … … … … … … … 5 分 (2) 第一步:求导
由(1) 知 ,a= 2 ,所以f(x) = 2x+xln x(x>0) ,
则f ′ (x) = 2+ln x+ 1 = ln x+ 3. … … … … … … … … … … … … … 7 分 第二步:根据导函数的正负判断函数单调性及极值
令f ′ (x) = 0 ,解得 x = e- 3 ,
所以当 0e- 3 时 ,f ′ (x)>0 , … … … 9 分 所以函数f(x) 在(0 ,e- 3 ) 上单调递减 ,在( e- 3 ,+ ∞ ) 上单调递增 ,
11 分
(
-
3
-e
) (
,
13
分
)所以当 x = e- 3 时 ,函数f(x) 取得极小值 ,极小值为 f( e- 3 ) = 故f(x) 的极小值为-e- 3 ,无极大值. … … … … … … … …
16. (1) an = 2n (7 分)
(2) T2n = 5× 2n -5(8 分)
【 解】(1) 第一步 : 由 Sn = 2an -2 得 an+ 1 与 an 的递推公式 由 Sn = 2an -2 可得 Sn+ 1 = 2an+ 1 -2.
两式相减并由 an+ 1 = Sn+ 1 -Sn 得到 an+ 1 = 2an .
特别地 ,取 n= 1 ,则由 a1 = S1 知 a1 = 2. … … … … … … … … … 3 分 第二步:判断数列特点求得通项
∴ { an } 是以 2 为首项 ,2 为公比的等比数列 ,则 an = 2× 2n- 1 = 2n .
∴ { an } 的通项公式是 an = 2n . … … … … … … … … … … … … 7 分 (2) 第一步:求新插入数列的通项公式
设数列{ cn } 满足 cn = = 3× 2n- 1 ( 易错 :注意幂的运算) .
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分 第二步:对原数列和新插入数列进行分组求和
记{ cn } 的前 n 项和为 Rn ,则 T2n = Rn +Sn . … … … … … … … 10 分
(
3(1-2
n
)
) (
1-2
,
n
,
)由等比数列的求和公式得 Rn = = 3(2n -1) 又 S = 2(2n -1)
∴ T2n = Rn +Sn = 5× 2n -5 ,
即新数列{ bn } 的前 2n 项和 T2n = 5× 2n -5. … … … … … … … 15 分 17. (1) 证明见解析(6 分)
(2)OC = (9 分)
(1)【 证明】第一步 :利用余弦定理求解 AD2 ,BC2 设 OA = x ,OD = y,则 OC = 2-x ,OB = 2 2 -y ,
在△AOD 中 , 由余弦定理 ,得
AD2 = OA2 +OD2 -2OA · ODcos∠AOD = x2 +y2 - 2 xy. … … … … 2 分 在△BOC 中 , 由余弦定理 ,得
BC2 = OB2 + OC2 - 2OB · OCcos ∠BOC = (2 2 -y) 2 + (2-x) 2 -
2 (2 2 -y) (2-x) = x2 +y2 - 2 xy-2 2 y+4. … … … … … … … 4 分
因为 AD = BC ,
所以 x2 +y2 - 2xy =x2 +y2 - 2xy-2 2y+4(关键:根据边相等,利用余弦 定理建立等量关系是求解问题的关键) ,即 4-2 2y = 0 ,解得 y = 2 , 第二步 :证得结论
所以 OB = OD = 2 ,所以 O 为 BD 的中点. … … … … … … … 6 分 (2)【解】第一步:根据正弦定理证得 sin A = sin C
在△AOD , △BOC 中 , 由正弦定理 ,得
又 AD = BC ,OB = OD = 2 ,所以 sin A = sin C. … … … … … … 8 分 第二步:分情况讨论 A和 C 的等量关系
(
π
2
,
)若 C =A ,则△AOD 和 △COB 为全等的等腰直角三角形 ,A =
(
π
)2
(
B
=
) (
2
,
,
),则 5 sin 2A+cos B = 不符合条件
4
所以 C+A = π ,此时 A = π-C = π- (4 (3π)-B) = B+ 4 (π) . … … … 10 分
第三步:根据条件计算 B 和 C 的三角 函数值
则 5 sin 2A + cos B = 5 sin (2B+ 2 (π) ) + cos B = 5 cos 2B + cos B =
(
5
)(2cos2 B- 1) +cos B = 5 .
π 2 5 5
(
4
,
5 2
)由 A = B+ 可知 B 为锐角 解得 cos B = 或 cos B = - ( 舍
5
去) ,所以 sin B = ,
5
所以 sin C= sin (34 (π)-B) = 22 ( sin B+cos B) = 3 1010 ( 提示 : 两角差
的正弦公式的应用) . … … … … … … … … … … … … … … … 13 分 第四步:根据正弦定理求 OC
OC OB
(
sin
B
sin
C
,
)在△BOC 中 , 由正弦定理 ,得 =
所以 分 18. (1)f(x) 的最小值为 4(3 分)
(2) 当 k≥0 时 ,函数 f( x) 的图象没有对称中心;当 k< 0 时 , 函数
f(x) 图象的对称中心为 P( 2 (1) loga (-k) ,0 ) (5 分)
(3) 实数 a 的取值集合为{ e2 } (9 分) 【 解】(1) 直接应用基本不等式即可
当 k = 4 时 ,f(x) = ax + 4a-x ≥2 ax ·4a-x = 4( 当且仅当 ax = 4a-x ,
D 1
D 2
即 x=loga 2 时取等号) , ……………………………………… 2 分 所以当 x=loga 2 时 ,f(x)取最小值 4. ……………………… 3 分 (2)第一步:根据函数图象对称中心的性质进行处理
设点 P(m,n)为函数 f(x) 图象的对称中心 ,则 f(x) +f(2m-x)= 2n, …………………………………………………………… 4 分 所以 ax +ka-x +a2m-x +ka-2m+x = 2n,即 ax (1+ka-2m )+a-x (k+a2m )= 2n, 所以 a2x (1+ka-2m )-2nax +(k+a2m )= 0, ……………………… 5 分 所以有 1+ka-2m = 0,且 k+a2m = 0,且 2n=0,
即 a2m = -k,n= 0. ……………………………………………… 6 分 第二步:对 k 进行讨论 ,求出函数图象的对称中心
当 k≥0 时 ,m 无解 ,此时函数f(x)的图象没有对称中心. …… 7 分 当 k<0 时 ,m = loga ( -k) ,此时函数 f(x) 图象的对称中心为
P loga(-k) ,0). …………………………………………… 8 分 (3)第一步:对不等式进行两边取对数处理
当 k= 0 时 ,f(x) = ax ,所以 ax ≤ 在 (- ∞ , 上恒成立 , 即 xln a+ln(1-2x) ≤0. ………………………………………… 9 分 第二步 :构造新的函数 ,并求导
令 φ(x)= xln a+ln(1-2x) ,则 φ(0)= 0,
所以 φ/(x)= ln a- 2 令 s(x)= φ/(x) 则 s/(x)= - 4 <0
1-2x, , (1-2x)2 ,
所以 φ /(x)在(- ∞ ,上单调递减. ……………………… 10 分 第三步:对参数 a 进行分类讨论 ,确定函数 φ(x) 的最大值
①当 0φ(0)= 0,舍去 ; …………………… 11 分 ②当 a>1 时 ,由 φ /(x)= ln a- = 0,解得 x= - < .
所以 x ∈ (- ∞ ,0)时 ,φ /(x)>0,则 φ(x)单调递增 ;
x ∈ (0, 时 ,φ /(x)<0,则 φ(x)单调递减 ;
所以 x=0 时 ,φ(x)取极大值 ,也是最大值 ,则 φ(x) ≤φ(0)= 0,
所以 a=e2 符合题意 ; ……………………………………… 12 分
2 °当 1, 2 ln a ,
因为 x∈ - , 时 ,φ /(x)<0,则 φ(x)单调递减 ,
所以 x∈ - ,0) 时 ,φ(x)>φ(0)= 0,舍去 ; ………… 14 分
因为 x∈(- ∞ , - 时 ,φ /(x)>0,则 φ(x)单调递增 ,
所以 x∈(0, - 时 ,φ(x)>φ(0)= 0,舍去. ………… 16 分 第四步:得出结论
综上 ,实数 a 的取值集合为{e2 }. ………………………… 17 分
19. (1)Tn = 0,2,4(3 分)
(2)证明见解析(7 分)
(3)证明见解析(7 分)
(1)【解】根据定义 ,列举所有情况 依题意 ,有三种情况 :
若 an :0,1,0,1,则 Tn = 2;
若 an :0,1,2,1,则 Tn =4;
若 an :0,-1,0,1,则 Tn = 0. …………………………………… 3 分 (2)【证明】第一步 :证明必要性
必要性 :因为数列 {an } 为递增数列 ,所以 an 100, …………………………………………………………… 4 分
所以 | an+1 -an | = an+1 -an = 5,所以数列{an } 为公差为 5 的等差 数列 , ………………………………………………………… 5 分 所以 a101 =a1 +100× 5= 500; ………………………………… 6 分 第二步 :证明充分性
充分性 :因为 |an+1 -an | = 5,所以 a101 -a100 ≤5,a100 -a99 ≤5, … ,
a2 -a1 ≤5, ……………………………………………………… 7 分 累加 ,得 a101 -a1 ≤500,即 a101 ≤500+a1 = 500,
因为 a101 = 500,所以上述不等式中每个等号都能取到 , …… 8 分 即 an+1 -an = 5>0,n= 1,2, … ,100,所以数列{an }为递增数列.
…………………………………………………………… 9 分 综上所述 ,“a101 = 500”是“数列{an }为递增数列”的充要条件.
…………………………………………………………… 10 分 (3)【证明】第一步 :构造新数列 ,把{an } 的每一项都用新数列 表示
令 cn =an+1 -an ,则 cn = ± 5,n≥2,因为 a2 = a1 +c1 = c1 ,a3 = a2 +c2 =
c1 +c2 , … ,an =an-1 +cn-1 =c1 +c2 + …+cn-1 , …………………… 12 分
第二步 :用新数列表示 Tn
所以 Tn =a1 +a2 + …+an = (n-1)c1 +(n-2)c2 +(n-3)c3 + …+cn-1
= (n- 1) [ 1- ( 1-c1 ) ] + (n- 2) [ 1- ( 1-c2 ) ] + (n- 3) [ 1 - ( 1 - c3 ) ]+ …+[1-(1-cn-1 ) ]
= (n-1) + (n-2) + (n- 3) + + 1- (n- 1) ( 1-c1 ) - (n- 2) ( 1-
c2 )- -(1-cn-1 )
n(n-1)
= 2 -[ (n-1) (1-c1 )+(n-2) (1-c2 )+ +(1-cn-1 ) ] ,
14 分
第三步 :用奇偶性讨论 ,确定 n 的值
(
n(n-1)
2
)因为 cn = ±5,所以 1-cn 为偶数. 因为 Tn = 0,所以 为偶数 ,
所以 4 整除 n(n-1) ,因此 n=4k 或 n=4k+1,k ∈N . …… 16 分 第四步 :列举 ,检验是否符合题意
当 n=4k,k ∈N 时 ,令 a4m-1 =a4m-3 =0,a4m-2 =-5,a4m =5,m= 1,2,… ,k, 或 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = 5,a4m = -5,m = 1,2, … ,k,则满足 a1 = 0, Tn = 0;
当 n=4k+1,k ∈N 时 ,令 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = -5,a4m = 5,a4m+1 = 0,m= 1,2, … ,k,或 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = 5,a4m = -5,a4m+1 = 0,m = 1,2, … ,k,则满足 a1 = 0,Tn = 0;
当 n=4k+2 或 n=4k+3,k ∈N 时 ,n(n-1)不能被 4 整除 ,Tn ≠0.
故总有 n=4k 或 n=4k+1,k ∈N . ………………………… 17 分
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数 学
D 1
1. D 【 深度解析】由题意知 A = {x | x≥1} = [ 1 ,+ ∞ ) ,B = {y | y≤2} = ( - ∞ ,2] ,则 A∩B = [1 ,2] . 故选 D.
(
a+i (
a+i)
(2+i) 2a-
1
a+2
a+i
2-i
(2-i)
(2+i)
5 5
2-i
)2. A 【 深度解析】 = = + i ,若 为实数 ,
a+2
则 = 0 ,所以 a= -2. 故选 A.
5
3. B 【 深度解析】由 a+2b = (3 ,1) ,2a- 3b = (- 1 ,2) ,可得 a = (1 ,1) ,
a ·b 1 2
b = (1 ,0) ,所以 cos〈a ,b〉= = = . 又〈a ,b〉∈ [0 ,π ] ,所
| a | | b | 2 2
(
π
)以 a 与 b 的夹角为 . 故选 B.
4
4. D 【 深度解析】由大轮有 50 个齿 ,小轮有 15 个齿 ,小轮每分钟转
15× 10
10 圈 ,得大轮每分钟转的圈数为 = 3 , 因此大轮每秒转的弧
50
(
π
5
) (
π
1
0
)3× 2π π
(
cm.
故
) (
×
2
=
)度数为 = 所以大轮每秒转过的弧长是 60 10 ,
选 D.
5. A 【 深度解析】设等比数列{ an } 的公比为 q,则由 a4 = 4a3 -4a2 ,得
(
3 2
2
S
4
)a1 q = 4a1 q - 4a1 q,化简得 q - 4q+ 4 = 0 , 解得 q = 2 , 所以 =
a 1 +a2
5 ). 故选 A.
6. D 【 深度解析】因为 f( x) 为奇函数 ,所以 f( -x) = -f( x) , 所以 f(4-x) = -f(x-4) . 又f( x) = f( 4-x) ,所以 f( x- 4) = -f( x) ,所以 f(x)= -f(x+4) ,所以f(x+ 8)= -f(x+4) =f(x) ,所以函数f(x) 是以
8 为周期的周期函数. 因为 b =f( 2 (7) ) =f( 2 (1) ) (提示:将 x = 2 (7) 代入 f(x) =f(4-x) ) ,c=f(- 13) =f(- 13+ 16) =f(3) =f(1) ( 提示 :将 x =
(
1
2
)7
(
>1>
) (
,
) (
4
)3 代入f(x) =f(4-x) ) ,f( x) 在[ - 2 ,2] 上单调递增 ,且
所以f( 4 (7) ) >f(1) >f( 2 (1) ) ,即 a>c>b. 故选 D.
7. C 【 深度解析】由sin110° - cosλ10° = 4 可得 λ = (sin110° -4) cos 10° =
cos 10°-4sin 10°cos 10° cos 10°-2sin 20° cos 10°-2sin(30°-10° )
= = =
sin 10° sin 10° sin 10°
故选 C.
8. D 【 深度解析】当 x≥a 时 ,f(x) = 4x 单调递增 ,则f(x) 在[ a ,+ ∞ ) 上有最小值 ,为 4a ;当 0(
(
)
=
4
) (
1
2
) (
1
2
) (
= 0
,
解不等式
4
a
+
) (
+ 2
log
2
)-2 log2 a ,即 4a + 2log2 a≤0. 设 g( a) = 4a + 2log2 a ,显然 g( a) 在( 0 , + ∞ ) 上单调递增 , 且 g
1
(
.
故选
D.
) (
2
)2log2 a≤0 ,可得 0(
=
a
-
bi
,所以
)9. AD 【 深度解析】对于 A ,设 z = a+ bi( a ,b ∈R) ,则 z
(
z
·z
)= ( a+bi) ( a-bi) = a2 +b2 = | z | 2 ,故 A 正确; 对于 B ,虚数不能比较大小 ,故 B 错误;
(
1
2
) (
3
+
) (
对于
C
,若
z
=
) (
2
)i ,符合 | z | = 1 ,但 z = ± 1 或 z =±i 均不成立 ,故 C 错误;
(
,令 z
=
x+
yi
(
x,y∈R) ,则
1
≤
x
2
+y
2
) (
≤
) (
2
)对于 D , 因为 1 ≤ | z | ≤ 2
(
)
2
-
π
·1
2
=
π
,
故
D
正确
.
故选
AD
.
),即 1≤x2 +y2 ≤2 ,所以点 Z(x,y) 的集合所构成的图形为一个圆 环 ,其面积为 π ( 2
(
5π
) (
(
)
=
) (
π
3
) (
T=
) (
12
)10. ACD 【 深度解析】对于 A , 由题图知 ,A = 2 ,
(
4
,
ω
)3π 又 ω>0 ,所以 T = 2π = π ,得 ω = 2 ,故 A 正确;
对于 B( 代点) ,f = +φ) = - 2 ,所以 + φ = π+ 2kπ ,
(
3
,
,
,
3
,
)k ∈Z ,解得 φ = π +2kπ k ∈Z 又因为 | φ | <π 所以 φ = π 故 B 错
误;
对于 C( 复合函数的单调性) , 当 x ∈ [- ,- 时 , 2x+ ∈ [- ,0 ],因为 y= cos x 在 [- ,0 ] 上单调递增 ,所以 f( x) 在
[- ,- 上单调递增 ,故 C 正确;
对 于 D , F ( x ) = f ( x ) + 2f (2x+ = 2cos (2x+ + 4cos [2(2x+ + = 2cos (2x +
, y = 2cos (2x+ 和
y = 4sin 4x 在[ 0 ,2π] 上的图象如图
所示 ( 关键:将 F( x)的零点个数转
化为 y = 2cos (2x+ 和 y = 4sin 4x 图象的交点个数 ) ,共 8 个交 点 ,故 D 正确. 故选 ACD.
D 2
11. ACD 【 深度解析】对于 A , 因为对任意 x,y∈R ,xf( y)+yf( x) = f(xy) ,
所以令 x=0 ,y = 0 ,可得 0×f(0)+0×f(0) =f(0× 0) ,所以f(0) = 0 , 令 x = 1 ,y = 1 , 可得 f( 1) +f( 1) = f( 1× 1) , 所以 f( 1) = 0 , 所以 f(0) +f(1) = 0 ,故 A 正确;
对于 B ,在 xf(y)+yf(x) =f(xy) 中 ,令 y= - 1 可得 ,xf( - 1) -f( x) = f(-x) ,再将 xf(- 1)-f(x) =f(-x) 中的 x 替换为- 1 ,可得-f(- 1) - f(- 1) =f(1) ,所以f(- 1) = 0 ,所以-f(x) =f(-x) ,所以函数 f( x) 为奇函数 ,故 B 错误;
对于 C ,当 x≠0 时 ,将 xf(y)+yf(x) =f(xy) 中的 y 用替换 , 可得 xf + f(x) =f(1) = 0 ,即 xf(x) = -x3f ,
当 x>1 时 ,0<<1 ,所以f > 0 ,所以 xf( x)< 0 , 即 f(x)< 0 ,又 函数f(x) 为奇函数 ,所以当 x<- 1 时 ,f(x)>0 ,xf(x)<0 ,
所以当 | x | >1 时 ,xf(x)<0 ,故 C 正确;
对于 D , 因为 xf(y)+yf( x) = f( xy) ,所以若 xy≠0 ,则等式两边同 时除以
任取 x1 ,x2 ∈ ( 1 ,+ ∞ ) ,且 x1 f , 因为 x2 >x1 >1 ,所以> 1 ,0<< 1 , 由 C 选项可知 , 当
x>1 时 ,f(x)<0 ,所以f <0 ,所以 -<0 ,即<
(
f(x
1
)
f(x)
),所以函数 y = 在(1 ,+ ∞ ) 上单调递减.
x 1 x
设 当 x>1 时
因为f(x)<0 ,所以f(x)<0 , 因为函数 y =f(x)在(1 ,+ ∞ ) 上单调递
x x
减 ,所以 [f(x (x)) ] ′ ≤0 ,所以 y ′< 0 ,所以 f( x) 在( 1 , + ∞ ) 上单调递
减 ,故 D 正确. 故选 ACD.
12. 2 【 深度解析】因为函数 f( x) = 3x ,令 x =log3 2 ,所以 f( log3 2) =
(
log3
2
)3 = 2.
13. 12- 8 2 【 深度解析】设 AE = x ,AF = y,则 x+y+ x2 +y2 = 4 ,又 x+
y≥2 xy , x2 +y2 ≥ 2xy ,等号成立的条件均为 x=y = 4- 2 2 ∈
(0 ,2) ,则 4≥2 xy + 2xy = ( 2+ 2 ) xy ,所以 xy≤ (2+4 2 )2 =
1
(
× (
24
-
16
) (
2
) =
12
-
)24- 16 2 , 所以 △AEF 面积的最大值为
2
8 2 .
14. -2 2 【 深度解析】( 向量法) 要使( e1 -e2 ) · e3 最小( 提示 : 由
a ·b = | a | · | b | cos〈a ,b〉, 所以决定 a · b 的大小的是向量的模 及夹角) ,需使 e1 -e2 模最大 ,且与 e3 的夹角为 π , ∴ 当 e2 ,e3 同 向 ,且 e2 ,e1 反向时 , ( e1 -e2 ) ·e3 = | e1 -e2 | · | e3 | cos π = -2 ,最小 值为-2. 设 e1 +e2 +e3 = -e4 ( 提示:转化为一个向量 ,进而研究向量 间的关系) ,即 e1 +e2 +e3 +e4 = 0 ,又 e1 ,e2 ,e3 均为单位向量 ,若向 量 e1 ,e2 共线 ,则 e1 +e2 与 e3 共线 ,不符合题意 ;
∴ 向量 e1 ,e2 不共线 ,则向量 e1 ,e2 ,e3 ,e4 首尾相连形成一个菱 形 ,即 e1 = -e3 ,e2 = -e4 ,∵ xe1 +ye2 +ze3 = 0 ,x+y+z= 2 025 ,
(
2
,
)∴ ye2 = -xe1 -ze3 = (z-x) e1 ,则 y =z-x= 0 ,则 x =z = 2 025
(
z
y
x
)∴ + + = 2.
x+y x+z y+z
15. (1) a= 2(5 分)
(2)f(x) 的极小值为-e- 3 ,无极大值(8 分) 【 解】(1) 第一步:求导
由题意 ,得f ′ (x)= a+ln x+ 1 ,则f ′ ( e) = a+2. … … … … … … 2 分 第二步:根据平行关系求 a
因为曲线 y =f(x) 在点( e ,f( e) ) 处的切线与直线 y = 4x- 1 平行 , 所以 a+2 = 4 ,解得 a= 2. … … … … … … … … … … … … … … … 5 分 (2) 第一步:求导
由(1) 知 ,a= 2 ,所以f(x) = 2x+xln x(x>0) ,
则f ′ (x) = 2+ln x+ 1 = ln x+ 3. … … … … … … … … … … … … … 7 分 第二步:根据导函数的正负判断函数单调性及极值
令f ′ (x) = 0 ,解得 x = e- 3 ,
所以当 0e- 3 时 ,f ′ (x)>0 , … … … 9 分 所以函数f(x) 在(0 ,e- 3 ) 上单调递减 ,在( e- 3 ,+ ∞ ) 上单调递增 ,
11 分
(
-
3
-e
) (
,
) (
13
分
)所以当 x = e- 3 时 ,函数f(x) 取得极小值 ,极小值为 f( e- 3 ) = 故f(x) 的极小值为-e- 3 ,无极大值. … … … … … … … …
16. (1) an = 2n (7 分)
(2) T2n = 5× 2n -5(8 分)
【 解】(1) 第一步 : 由 Sn = 2an -2 得 an+ 1 与 an 的递推公式 由 Sn = 2an -2 可得 Sn+ 1 = 2an+ 1 -2.
两式相减并由 an+ 1 = Sn+ 1 -Sn 得到 an+ 1 = 2an .
特别地 ,取 n= 1 ,则由 a1 = S1 知 a1 = 2. … … … … … … … … … 3 分 第二步:判断数列特点求得通项
∴ { an } 是以 2 为首项 ,2 为公比的等比数列 ,则 an = 2× 2n- 1 = 2n .
∴ { an } 的通项公式是 an = 2n . … … … … … … … … … … … … 7 分 (2) 第一步:求新插入数列的通项公式
设数列{ cn } 满足 cn = = 3× 2n- 1 ( 易错 :注意幂的运算) .
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分 第二步:对原数列和新插入数列进行分组求和
记{ cn } 的前 n 项和为 Rn ,则 T2n = Rn +Sn . … … … … … … … 10 分
(
3(1-2
n
)
n n
1-2
)由等比数列的求和公式得 Rn = = 3(2 -1) ,又 Sn = 2(2 -1) ,
∴ T2n = Rn +Sn = 5× 2n -5 ,
即新数列{ bn } 的前 2n 项和 T2n = 5× 2n -5. … … … … … … … 15 分 17. (1) 证明见解析(6 分)
2
(2)OC = (9 分)
3
(1)【 证明】第一步 :利用余弦定理求解 AD2 ,BC2 设 OA = x ,OD = y,则 OC = 2-x ,OB = 2 2 -y ,
在△AOD 中 , 由余弦定理 ,得
AD2 = OA2 +OD2 -2OA · ODcos∠AOD = x2 +y2 - 2 xy. … … … … 2 分 在△BOC 中 , 由余弦定理 ,得
(
2
)BC2 = OB2 + OC2 - 2OB · OCcos ∠BOC = (2 2 -y) + (2-x) 2 -
2 (2 2 -y) (2-x) = x2 +y2 - 2 xy-2 2 y+4. … … … … … … … 4 分
因为 AD = BC ,
所以 x2 +y2 - 2xy =x2 +y2 - 2xy-2 2y+4(关键:根据边相等,利用余弦 定理建立等量关系是求解问题的关键) ,即 4-2 2y = 0 ,解得 y = 2 , 第二步 :证得结论
所以 OB = OD = 2 ,所以 O 为 BD 的中点. … … … … … … … 6 分 (2)【解】第一步:根据正弦定理证得 sin A = sin C
在△AOD , △BOC 中 , 由正弦定理 ,得
(
BC
) (
OB BC
) (
AD
)OD AD
(
=
=
)= =
(
,
) (
,
sin
C sin∠BOC
) (
π
4
) (
π
)sin A sin∠AOD
(
sin
)sin
4
又 AD = BC ,OB = OD = 2 ,所以 sin A = sin C. … … … … … … 8 分 第二步:分情况讨论 A和 C 的等量关系
(
π
)若 C =A 则△AOD 和 △COB 为全等的等腰直角三角形 A =
, , 2 ,
(
π
4
)2
(
则
) (
5 sin
2A+cos
B
=
) (
B
=
) (
,
)不符合条件
2 , ,
所以 C+A = π ,此时 A = π-C = π- (4 (3π)-B) = B+ 4 (π) . … … … 10 分
第三步:根据条件计算 B 和 C 的三角 函数值
则 5 sin 2A + cos B = 5 sin (2B+ 2 (π) ) + cos B = 5 cos 2B + cos B =
(
5
)(2cos2 B- 1) +cos B = 5 .
(
π
2
5
5
由
A
=
B+ 可知 B
为锐角
,解得
cos
B = 或
cos
B = - (
舍
4
5
2
)
5
(
5
,
)去) ,所以 sin B =
所以 sin C= sin (34 (π)-B) = 22 ( sin B+cos B) = 3 1010 ( 提示 : 两角差
的正弦公式的应用) . … … … … … … … … … … … … … … … 13 分 第四步:根据正弦定理求 OC
OC OB
(
sin
B
sin
C
,
)在△BOC 中 , 由正弦定理 ,得 =
5
2 ×
(
OBsin
B
sin
C
) (
5
3
1
0
)2
(
所以
OC
=
) (
=
)= . … … … … … … … … … … 15 分
3
10
18. (1)f(x) 的最小值为 4(3 分)
(2) 当 k≥0 时 ,函数 f( x) 的图象没有对称中心;当 k< 0 时 , 函数 f(x) 图象的对称中心为 Ploga (-k) ,0 ) (5 分)
(3) 实数 a 的取值集合为{ e2 } (9 分) 【 解】(1) 直接应用基本不等式即可
当 k = 4 时 ,f(x) = ax + 4a-x ≥2 ax ·4a-x = 4( 当且仅当 ax = 4a-x , 即 x=loga 2 时取等号) , … … … … … … … … … … … … … … … 2 分 所以当 x=loga 2 时 ,f(x) 取最小值 4. … … … … … … … … … 3 分 (2) 第一步:根据函数图象对称中心的性质进行处理
设点 P( m ,n) 为函数 f( x) 图象的对称中心 ,则 f( x) +f( 2m -x) = 2n , … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分 所以 ax +ka-x +a2m-x +ka-2m+x = 2n ,即 ax (1+ka-2m ) +a-x ( k+a2m ) = 2n , 所以 a2x (1+ka-2m )-2nax + ( k+a2m ) = 0 , … … … … … … … … … 5 分 所以有 1+ka-2m = 0 ,且 k+a2m = 0 ,且 2n=0 ,
即 a2m = -k ,n= 0. … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 分 第二步:对 k 进行讨论 ,求出函数图象的对称中心
当 k≥0 时 ,m 无解 ,此时函数f(x)的图象没有对称中心. … … 7 分 当 k< 0 时 , m = loga ( -k) ,此时函数 f( x) 图象的对称中心为
P loga (-k) ,0 ). … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分 (3) 第一步:对不等式进行两边取对数处理
当 k = 0 时 ,f( x) = ax ,所以 ax ≤ 在 (- ∞ , 上恒成立 , 即 xln a+ln(1-2x) ≤0. … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分 第二步 :构造新的函数 ,并求导
令 φ(x)= xln a+ln(1-2x) ,则 φ(0) = 0 ,
所以 φ′(x)= ln a- 2 令 s(x)= φ′(x) ,则 s ′(x)= - 4 <0 ,
1-2x , (1-2x)2
所以 φ ′ (x) 在(- ∞ ,上单调递减. … … … … … … … … … 10 分 第三步:对参数 a 进行分类讨论 ,确定函数 φ(x) 的最大值
①当 0φ(0) = 0 ,舍去 ; … … … … … … … … 11 分 ②当 a>1 时 , 由 φ ′ (x) = ln a- = 0 ,解得 x = - < .
1 °当 a = e2 时 1 - 1 = 0
, 2 ln a ,
所以 x ∈ ( - ∞ ,0) 时 ,φ ′ (x)>0 ,则 φ(x) 单调递增 ;
x ∈ (0 , 时 ,φ ′ (x)<0 ,则 φ(x) 单调递减 ;
所以 x=0 时 ,φ(x) 取极大值 ,也是最大值 ,则 φ(x) ≤φ(0) = 0 ,
所以 a = e2 符合题意 ; … … … … … … … … … … … … … … … 12 分 2 °当 1D 3
D 4
因为 时 ,<0,则 φ 单调递减 ,
所以 = 0,舍去 ; ………… 14 分
因为 时 ,>0,则 φ 单调递增 ,
所以 = 0,舍去. ………… 16 分 第四步:得出结论
综上 ,实数 a 的取值集合为{e2 }. ………………………… 17 分 19. (1)Tn = 0,2,4(3 分)
(2)证明见解析(7 分)
(3)证明见解析(7 分)
(1)【解】根据定义 ,列举所有情况 依题意 ,有三种情况 :
若 an :0,1,0,1,则 Tn = 2;
若 an :0,1,2,1,则 Tn =4;
若 an :0,-1,0,1,则 Tn = 0. …………………………………… 3 分 (2)【证明】第一步 :证明必要性
必要性 :因为数列 {an } 为递增数列 ,所以 an 100, …………………………………………………………… 4 分
所以 | an+1 -an | = an+1 -an = 5,所以数列{an } 为公差为 5 的等差 数列 , ………………………………………………………… 5 分 所以 a101 =a1 +100× 5= 500; ………………………………… 6 分 第二步 :证明充分性
充分性 :因为 |an+1 -an | = 5,所以 a101 -a100 ≤5,a100 -a99 ≤5, … ,
a2 -a1 ≤5, ……………………………………………………… 7 分 累加 ,得 a101 -a1 ≤500,即 a101 ≤500+a1 = 500,
因为 a101 = 500,所以上述不等式中每个等号都能取到 , …… 8 分
即 an+1 -an = 5>0,n= 1,2, … ,100,所以数列{an }为递增数列.
…………………………………………………………… 9 分 综上所述 ,“a101 = 500”是“数列{an }为递增数列”的充要条件.
…………………………………………………………… 10 分 (3)【证明】第一步 :构造新数列 ,把{an } 的每一项都用新数列 表示
令 cn =an+1 -an ,则 cn = ± 5,n≥2,因为 a2 = a1 +c1 = c1 ,a3 = a2 +c2 =
c1 +c2 , … ,an =an-1 +cn-1 =c1 +c2 + …+cn-1 , …………………… 12 分
第二步 :用新数列表示 Tn
所以 Tn =a1 +a2 + …+an = (n-1)c1 +(n-2)c2 +(n-3)c3 + …+cn-1
= (n- 1) [ 1- ( 1-c1 ) ] + (n- 2) [ 1- ( 1-c2 ) ] + (n- 3) [ 1 - ( 1 - c3 ) ]+ …+[1-(1-cn-1 ) ]
= (n-1) + (n-2) + (n- 3) + …+ 1- (n- 1) ( 1-c1 ) - (n- 2) ( 1- c2 )- …-(1-cn-1 )
………………………………………………………… 14 分 第三步 :用奇偶性讨论 ,确定 n 的值
因为 cn = ±5,所以 1-cn 为偶数. 因为 Tn = 0,所以为偶数 , 所以 4 整除 n(n-1) ,因此 n=4k 或 n=4k+1,k ∈N . …… 16 分 第四步 :列举 ,检验是否符合题意
当 n=4k,k ∈N 时 ,令 a4m-1 =a4m-3 =0,a4m-2 =-5,a4m =5,m= 1,2,… ,k, 或 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = 5,a4m = -5,m = 1,2, … ,k,则满足 a1 = 0, Tn = 0;
当 n=4k+1,k ∈N 时 ,令 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = -5,a4m = 5,a4m+1 = 0,m= 1,2, … ,k,或 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = 5,a4m = -5,a4m+1 = 0,m = 1,2, … ,k,则满足 a1 = 0,Tn = 0;
当 n=4k+2 或 n=4k+3,k ∈N 时 ,n(n-1)不能被 4 整除 ,Tn ≠0.
故总有 n=4k 或 n=4k+1,k ∈N . ………………………… 17 分2025 年 10 月高三联考 强化卷
数 学
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A= {x | y= x-1 },B= {y | y= 2-x2},则 A∩B= ( )
A. [1,+∞ ) B. [0,2] C. D. [1,2]
+
2. 设 a∈R, a i若 =
2-
为实数,则 a ( )
i
A. -2 B. - 1 C. 1 D. 2
2 2
3. 已知向量 a,b 满足 a+2b= (3,1),2a-3b= ( -1,2),则 a 与 b 的夹角为 ( )
A. π B. π C. π D. π
6 4 3 2
4. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示),大轮有 50 个齿,小轮有 15 个齿,小轮每分钟转 10 圈,若大
轮的半径为 2 cm,则大轮每秒转过的弧长是 ( )
A. 12π cm B. 6π cm C. π cm D. π cm
10 5
S
5. 4已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a4 = 4a3 -4a2,则 =+ ( )a1 a2
A. 5 B. 9 C. -9 D. -5
6. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x) = f(4-x),且 f(x) 在[ - 2,2] 7 7上单调递增. 设 a = f ( ) ,b = f ( ) ,c =4 2
f( -13),则 ( )
A. a7. 1 λ已知 - = 4,则 λ= ( )
sin 10° cos 10°
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
{4
x,x≥a,
8. 已知函数 f(x)= 若 f(x)在(0,+∞ )上存在最小值,则实数 a 的取值范围是 ( )
-2log2x,0A. [1,+ 1 1∞ ) B. é ùêê ,+∞ ) C. (0,1] D. 0, ú 2 ( 2 ú
数学 第 1 页(共 4 页)
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得
6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 设复数 z 在复平面内对应的点为 Z,原点为 O,i 为虚数单位,则下列说法正确的是 ( )
A. z·z= | z | 2
B. 5+i>4+i
C. 若 | z | = 1,则 z= ±1 或 z= ±i
D. 若 1≤ | z | ≤ 2 ,则点 Z 的集合所构成的图形的面积为 π
10. 已知函数 f(x)= Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ | <π)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A. ω= 2
B. φ= - π
3
C. 函数 f(x) 7π π在区间 éêê- ,-
ùú 上单调递增
12 6 ú
D. 当 x∈[0,2π]时,函数 F(x)= f(x) +2f (2x+ π ) 有 8 个零点12
11. 已知函数 f(x)满足:对任意 x,y∈R,xf(y) +yf(x)= f(xy),且当 00. 下列说法正确的是
( )
A. f(0) +f(1)= 0 B. f(x)为偶函数
C. 当 | x | >1 时,xf(x) <0 D. f(x)在(1,+∞ )上单调递减
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知函数 f(x)= 3x,则 f(log32)= .
13. 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别为 AD,AB 上的点,当△AEF 的周长为 4 时,△AEF 面积的最大值为
.
14. 已知同一平面内的单位向量 e1,e2,e3,则(e1 -e2 )·e3 的最小值是 ;若 e1 +e2 与 e3 不共线, | e1 +e2 +
e3 | = 1,x,y,z∈R,xe1 +ye2 +ze3 = 0,x+y+z= 2 025,
z
则 + y + x =+ .x y x+z y+z
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)已知函数 f(x)= x(a+ln x),曲线 y= f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 y= 4x-1 平行.
(1)求 a 的值;
(2)求 f(x)的极值.
数学 第 2 页(共 4 页)
16. (15 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn = 2an-2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)在{an}相邻两项中间插入相邻两项的等差中项,求所得新数列{bn}的前 2n 项和 T2n .
17. (15 分)如图,△AOD 与△BOC 存在对顶角∠AOD= ∠BOC= π ,AC= 2,BD= 2 2 ,且 BC=AD.
4
(1)证明:O 为 BD 中点;
(2)若 5 sin 2A+cos B= 5 ,求 OC 的长.
数学 第 3 页(共 4 页)
18. (17 分)设函数 f(x)= ax+ka-x(k∈R,a>0,a≠1) .
(1)当 k= 4 时,求 f(x)的最小值.
(2)讨论函数 f(x)的图象是否有对称中心. 若有,请求出;若无,请说明理由.
(3)当 k= 0 时, x∈ (-∞ , 1 ) 都有 f(x)≤ 1- ,求实数 a 的取值集合.2 1 2x
19. (17 分)如果数列{an}满足 a1 = 0, | an-an-1 | = p(p 为常数,n≥2,n∈N),则称数列{an}为 α 数列,已知项数
为 n 的数列{an}的所有项的和为 Tn,且{an}为 α 数列.
(1)若 n= 4,p= 1,a4 = 1,写出所有可能的 Tn 的值;
(2)若 n= 101,p= 5,证明:“a101 = 500”是“数列{an}为递增数列”的充要条件;
(3)若 n≥2,p= 5,证明:若 Tn = 0,则 n= 4k 或 n= 4k+1(k∈N ) .
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答题卡 四、解答题 16. (15 分)
姓名 15. (13 分)
准考
证号 贴条形码区
考生 缺考考生,由监考员贴条形码,并用 2B
禁填 铅笔涂右面的缺考标记。
1. 答卷前,考生须在答题卡和试卷上规定的位置,准确填写本人姓名、准考证号,并核对
准条形码上的信息。 确认无误后,将条形码粘贴在答题卡上相应位置。
填 注 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔作答,字体
涂 正确填涂 意
样 事 工整,笔迹清楚。
例 项 3. 考生必须在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域范围书写的答案无效;在
草稿纸、试题卷上答题无效。
4. 保持卡面清洁,不准折叠,不得损坏。
一、单选题(共 40分)
1 A B C D 5 A B C D
2 A B C D 6 A B C D
3 A B C D 7 A B C D
4 A B C D 8 A B C D
二、多选题(共 18分)
9 A B C D
10 A B C D
11 A B C D
三、填空题(每小题 5分,共 15分)
12.
13.
14.
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答题卡第一页
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17. (15 分) 18. (17 分) 19. (17 分)
总分: 登分人: 复核人:
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答题卡第二页
2025 年 10 月高三联考 强化卷 数学
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A B D A D C D AD ACD ACD
2
12. 2 13. 12-8 2 14. -2 2 BC2 = OB2 + OC2 - 2OB · OCcos ∠BOC = (2 2 -y) + (2-x) 2 -
15. (1)a= 2(5 分) 2 (2 2 -y)(2-x)= x2 +y2 - 2 xy-2 2 y+4. ………………… 4 分
(2) f(x)的极小值为-e-3 ,无极大值(8 分) 因为 AD=BC,
【解】(1)第一步:求导 所以 x2 +y2 - 2xy=x2 +y2 - 2xy-2 2 y+4(关键:根据边相等,利用余弦
由题意,得 f ′(x)= a+ln x+1,则 f ′(e)= a+2. ……………… 2 分
定理建立等量关系是求解问题的关键),即 4-2 2y=0,解得 y= 2,
第二步:根据平行关系求 a
第二步:证得结论
因为曲线 y= f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 y= 4x-1 平行,
= =
所以 a+2 = 4,解得 a= 2. ……………………………………… 5 分 所以 OB OD 2 ,所以 O 为 BD 的中点. ………………… 6 分
(2) =第一步:求导 (2)【解】第一步:根据正弦定理证得 sin A sin C
由(1)知,a= 2,所以 f(x)= 2x+xln x(x>0), 在△AOD,△BOC 中,由正弦定理,得
则 f ′(x)= 2+ln x+1 = ln x+3. ………………………………… 7 分 OD = AD = AD OB BC BC , = = ,
sin A sin∠AOD π sin C sin∠BOC π
第二步:根据导函数的正负判断函数单调性及极值 sin sin4 4
令 f ′(x)= 0,解得 x= e-3 ,
-3 又 AD=BC,OB=OD= 2 ,所以 sin A= sin C. ……………… 8 分所以当 0e-3 时,f ′(x) >0, ……… 9 分
所以函数 f(x)在(0,e-3 )上单调递减,在(e-3
第二步:分情况讨论 A 和 C 的等量关系
,+∞ )上单调递增,
π
…………………………………………………………… 11 分 若 C=A,则△AOD 和△COB 为全等的等腰直角三角形,A = ,2
所以当 x= e-3 时,函数 f(x)取得极小值,极小值为 f( e-3 ) = -e-3 ,
π 2
故 f(x)的极小值为-e-3 ,无极大值. …………………… 13 分 B= ,则 5 sin 2A+cos B= ,不符合条件,4 2
16. (1)an = 2n(7 分)
+ = 3π(2)T n 所以 C A π,此时 A= π-C= π- -B =
π
B+ . ……… 10 分
2n = 5×2 -5(8 分) ( 4 ) 4
【解】(1)第一步:由 Sn = 2an -2 得 an+1 与 an 的递推公式 第三步:根据条件计算 B 和 C 的三角函数值
由 Sn = 2an -2 可得 Sn+1 = 2an+1 -2. π
a =S 则 5 sin 2A+ cos B = 5 sin 2B+ + cos B = 5 cos 2B+ cos B =两式相减并由 ( )n+1 n+1 -Sn 得到 an+1 = 2an . 2
特别地,取 n= 1,则由 a1 =S1 知 a1 = 2. ……………………… 3 分 5 (2cos2B-1) +cos B= 5 .
第二步:判断数列特点求得通项 π 2 5 5
∴ {an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,则 a = 2×2n
-1 n
n = 2 . 由 A=B+ 可知 B 为锐角,解得 cos B = 或 cos B = - (舍4 5 2
∴ {an}的通项公式是 a nn = 2 . ……………………………… 7 分
5
(2)第一步:求新插入数列的通项公式 去),所以 sin B= ,5
a
{c } c = n
+an+1
设数列 n 满足 n = 3×2n
-1(易错:注意幂的运算) . 3π 2 3 10
2 所以 sin C= sin ( -B) = (sin B+cos B)= (提示:两角差4 2 10
…………………………………………………………… 8 分 的正弦公式的应用) . ……………………………………… 13 分
第二步:对原数列和新插入数列进行分组求和 第四步:根据正弦定理求 OC
记{cn}的前 n 项和为 Rn,则 T2n =Rn +Sn . ………………… 10 分 OC OB
3(1-2n) 在△BOC 中,由正弦定理,得
= ,
由等比数列的求和公式得 R = =3(2nn -1),又 Sn =- 2(2
n-1), sin B sin C
1 2
∴ T n 2 ×
5
2n =Rn +Sn = 5×2 -5,
=OBsin B = 5 = 2
即新数列{bn}的前 2n 项和 T2n = 5×2n -5. ………………… 15
所以 OC . ………………………… 15 分
分 sin C 3 10 3
17. (1)证明见解析(6 分) 10
2
(2)OC= (9 ) 18. (1) f(x)的最小值为 4(3 分)分
3 (2)当 k≥0 时,函数 f( x)的图象没有对称中心;当 k<0 时,函数
(1)【证明】第一步:利用余弦定理求解 AD2,BC2 1
f(x)图象的对称中心为 P log ( -k),0 (5 分)
设 OA= x,OD= y,则 OC= 2-x,OB= 2 2 -y, ( 2 a )
在△AOD 中, 2由余弦定理,得 (3)实数 a 的取值集合为{e }(9 分)
AD2 =OA2 +OD2 -2OA·ODcos∠AOD= x2 +y2 - 2 xy. ………… 2 分 【解】(1)直接应用基本不等式即可
在△BOC 中,由余弦定理,得 当 k= 4 时,f(x)= ax+4a-x ≥2 ax·4a-x = 4(当且仅当 ax = 4a-x,
D 1
即 x= loga2 时取等号), ……………………………………… 2 分 19. (1)Tn = 0,2,4(3 分)
所以当 x= loga2 时,f(x)取最小值 4. ……………………… 3 分 (2)证明见解析(7 分)
(2)第一步:根据函数图象对称中心的性质进行处理 (3)证明见解析(7 分)
设点 P(m,n)为函数 f( x)图象的对称中心,则 f( x) + f(2m-x) = (1)【解】根据定义,列举所有情况
2n, …………………………………………………………… 4 分 依题意,有三种情况:
所以 ax+ka-x+a2m-x+ka-2m+x = 2n,即 ax(1+ka-2m) +a-x(k+a2m)= 2n, 若 an:0,1,0,1,则 Tn = 2;
所以 a2x(1+ka-2m) -2nax+(k+a2m)= 0, ……………………… 5 分 若 an:0,1,2,1,则 Tn = 4;
所以有 1+ka-2m = 0,且 k+a2m = 0,且 2n= 0, 若 an:0,-1,0,1,则 Tn = 0. …………………………………… 3 分
即 a2m = -k,n= 0. ……………………………………………… 6 分 (2)【证明】第一步:证明必要性
第二步:对 k 进行讨论,求出函数图象的对称中心 必要性:因为数列{ an } 为递增数列,所以 an < an+1 ,n = 1,2,…,
当 k≥0 时,m无解,此时函数 f(x)的图象没有对称中心. …… 7 分 100, …………………………………………………………… 4 分
= 1 - 所以 | an+1
-an | = an+1 -an = 5,所以数列{ an } 为公差为 5 的等差当 k<0 时,m loga( k),此时函数 f( x) 图象的对称中心为2 数列, ………………………………………………………… 5 分
1
P ( log ( -k),0) . …………………………………………… 8 分 所以 a101 =a1 +100×5 = 500; ………………………………… 6 分2 a
第二步:证明充分性
(3)第一步:对不等式进行两边取对数处理
充分性:因为 | an+1 -an | = 5,所以 a101 -a100 ≤5,a100 -a99 ≤5,…,
当 k= 0 时, f( x) = x
1 1
a ,所以 ax ≤ 在 (-∞ , ) 上恒成立,即 a2 -a1 ≤5,……………………………………………………… 7 分1-2x 2
累加,得 a101 -a ≤500,即 a ≤500+a = 500,xln a+ln(1-2x)≤0. ………………………………………… 9 分 1 101 1
因为 a101 = 500,所以上述不等式中每个等号都能取到, …… 8 分第二步:构造新的函数,并求导
即 an+1 -an = 5>0,n= 1,2,…,100,所以数列{a }为递增数列.令 φ(x)= xln a+ln(1-2x),则 φ(0)= 0, n
…………………………………………………………… 9 分
2 4
所以 φ′(x)= ln a- ,令 s(x)=- φ′(x),则 s′(x)
= - <0,
1 2x (1-2x)2 综上所述,“a101 = 500”是“数列{an}为递增数列”的充要条件.
( 1 ) …………………………………………………………… 10 分所以 φ′(x)在 -∞ , 上单调递减. ……………………… 10 分2 (3)【证明】第一步:构造新数列,把{ an } 的每一项都用新数列
第三步:对参数 a 进行分类讨论,确定函数 φ(x)的最大值 表示
( 1 ) 令 cn =an+1 -an,则 cn = ± 5,n≥2,因为 a = a +c = c ,a = a +c =①当 0此时当 x<0 时,φ(x) >φ(0)= 0,舍去; …………………… 11 分 第二步:用新数列表示 Tn
2 1 1 1
② a>1 , φ′(x)= ln a- = = - 所以 Tn =a1 +a2 +…+ = - + -当 时 由 an (n 1)c1 (n 2)c2 +(n-3)c3 +…+cn-1
1-
0,解得 x < .
2x 2 ln a 2 = (n- 1) [ 1 - ( 1 - c1 )] + ( n- 2) [ 1 - ( 1 - c2 )] + ( n- 3) [ 1 - ( 1 -
1 1
1°当 a= e2 时, - = 0, c3 )] +…+[1-(1-c n-1 )]
2 ln a
= (n-1) + ( n- 2) + ( n- 3) + … + 1 - ( n- 1) ( 1 - c1 ) - ( n- 2) ( 1 -
所以 x∈( -∞ ,0)时,φ′(x) >0,则 φ(x)单调递增;
c2 ) -…-(1-cn-1 )
x∈ ( 10, ) 时,φ′(x) <0,则 φ(x)单调递减;2 = n(n-1) -[(n-1)(1-c1 ) +(n-2)(1-c2 ) +…+(1-c2 n-1 )],
所以 x= 0 时,φ(x)取极大值,也是最大值,则 φ(x)≤φ(0)= 0,
………………………………………………………… 14 分
所以 a= e2 符合题意; ……………………………………… 12 分
第三步:用奇偶性讨论,确定 n 的值
1 1
2°当 12 ln a n(n
-1)
因为 cn = ±5,所以 1-cn 为偶数. 因为 Tn = 0,所以 为偶数,2
1
因为 x∈ ( - 1 1 , ) 时,φ′(x) <0,则 φ(x)单调递减,2 ln a 2 所以 4 整除 n(n-1),因此 n= 4k 或 n= 4k+1,k∈N . …… 16 分
1 1 第四步:列举,检验是否符合题意
所以 x∈ ( - ,0) 时,φ(x) >φ(0)= 0,舍去; ………… 14 分2 ln a 当 n=4k,k∈N 时,令 a4m-1 =a4m-3 =0,a4m-2 =-5,a4m =5,m= 1,2,…,k,
1 1 或 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = 5,a4m = -5,m = 1,2,…,k,则满足 a1 = 0,
3°当 a>e2 时, - >0,
2 ln a Tn = 0;
1
x∈ (- , - 1 ) = +,φ′(x) >0, φ(x) , 当 n 4k 1,k∈N 时,令 a因为 ∞ 时 则 单调递增 4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = -5,a4m = 5,a4m+1 = 2 ln a 0,m= 1,2,…,k,或 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = 5,a4m = -5,a4m+1 = 0,m=
所以 x∈ ( 1 10, - ) 时,φ(x) >φ(0)= 0,舍去. ………… 16 分 1,2,…,k,则满足 a1 = 0,Tn = 0; 2 ln a
当 n= 4k+2 或 n= 4k+3,k∈N 时,n(n-1)不能被 4 整除,Tn≠0.
第四步:得出结论
故总有 n= 4k 或 n= 4k+1,k∈N . ………………………… 17 分
综上,实数 a 的取值集合为{e2 } . ………………………… 17 分
D 2
2025 年 10 月高三联考 强化卷
数 学
1. D 【深度解析】由题意知 A= {x | x≥1} = [1,+∞ ),B = { y | y≤2} = 8. D 【深度解析】当 x≥a 时,f(x)= 4x 单调递增,则 f(x)在[a,+∞ )
( -∞ ,2],则 A∩B= [1,2] .故选 D. 上有最小值,为 4a;当 0a+i (a+i)(2+i) 2a-1 a+ +
2. A 【 】 = = +
2 a i
i, 在(0,a)上无最小值. 若 f( x) 在(0,+ ) 上存在最小值,则 4
a ≤
深度解析 - - + 若 - 为实数,
∞
2 i (2 i)(2 i) 5 5 2 i -2 log2a,即 4a +2log2a≤0. 设 g(a) = 4a + 2log2a,显然 g(a)在(0,
a+2
则 = 0,所以 a= -2.故选 A. 1
5 +
1 1
∞ )上单调递增,且 g ( ) = 4 2 + 2 log = 0,解不等式 4a2 2 +2
3. B 【深度解析】由 a+2b= (3,1),2a-3b= ( -1,2),可得 a= (1,1), 1
2log2a≤0,可得 0b= (1,0),所以 cos〈a,b〉 = = = . 又〈a,b〉∈[0,π],所
| a | | b | 2 2 9. AD 【深度解析】对于 A,设 z = a+bi(a,b∈R),则 z = a-bi,所以
π
以 a 与 b 的夹角为 .故选 B. z·z= (a+bi)(a-bi)= a
2 +b2 = | z | 2 ,故 A 正确;
4
对于 B,虚数不能比较大小,故 B 错误;
4. D 【深度解析】由大轮有 50 个齿,小轮有 15 个齿,小轮每分钟转
1 3
15×10 对于 C,若 z= + i,符合 | z | = 1,但 z = ±1 或 z = ±i 均不成立,故
10 圈,得大轮每分钟转的圈数为 = 3,因此大轮每秒转的弧 2 2
50
C 错误;
3×2π π π π
度数为 = ,所以大轮每秒转过的弧长是 × 2 = cm. 故
60 10 10 5 对于 D,因为 1≤ | z | ≤ 2 ,令 z = x+yi( x,y∈R),则 1≤ x2 +y2 ≤
选 D. 2 ,即 1≤x2 +y2 ≤2,所以点 Z(x,y)的集合所构成的图形为一个圆
5. A 【深度解析】设等比数列{an}的公比为 q,则由 a4 = 4a3 -4a2 ,得 2环,其面积为 π( 2 ) -π·12 = π,故 D 正确.故选 AD.
S
a1q3 = 4a q2 - 4a q,化简得 q2 - 4q+ 4 = 0,
4
解得 q = 2,所以 = 3 π 5π1 1 a1 +a 10. ACD 【深度解析】对于 A,由题图知,A
= 2, T = - - =
2 4 3 ( 12 )
a +a +a +a a +a q+a q2 +a q3 1+q+q2 +q31 2 3 4 = 1 1 1 1 = = 1
+2+4+8 = 5 ( 3π+ + + + 另 ,又 ω>0,所以 T= 2π = =a a a a q 1 q 1 2 π,得 ω 2,故 A 正确;1 2 1 1 4 ω
a (1-241 ) π 2π 2π对于 B(代点),f ( ) = 2cos +φ = -2,所以 +φ = π+ 2kπ,
2 2 S4 1-2 3
( 3 ) 3
解:a2q =4a2q-4a2,即 q = 4q-4,解得 q = 2,所以 = =a1 +a2 a1 +2a1 π π
k∈Z,解得 φ= +2kπ,k∈Z,又因为 |φ | <π,所以 φ= ,故 B 错
) 3 35 .故选 A.
误;
6. D 【深度解析】因为 f( x) 为奇函数,所以 f( -x) = - f( x),所以 7π π π
对于 C(复合函数的单调性),当 x∈ - ,- 时,2x+ ∈
f(4-x)= -f(x-4) . 又 f( x) = f( 4-x),所以 f( x- 4) = - f( x),所以 [ 12 6 ] 3
f(x)= -f(x+4),所以 f(x+8)= -f(x+4)= f(x),所以函数 f(x)是以 [ 5π ] - ,0 ,因为 y= cos x 在 [- 5π,0] 上单调递增,所以 f( x) 在6 6
8 为周期的周期函数. 因为 b= f ( 72 ) = 1 7f ( ) ( 提示:将 x= 代入2 2 [- 7π π,- ] 上单调递增,故 C 正确;12 6
f(x)= f(4-x) ) ,c= f( -13)= f( -13+16)= f(3)= f(1)(提示:将 x=
= + ( + π ) = ( + π对于 D, F ( x ) f ( x ) 2f 2x 2cos 2x ) +
= - - 7 1
12 3
3 代入 f(x) f(4 x)),f( x)在[ 2,2]上单调递增,且 >1> ,
4 2 [ ( + π4cos 2 2x ) + π ] = 2cos12 3 ( 2x+7 1
所以f ( ) >f(1) >f ( ) ,即 a>c>b.故选 D.4 2 π ) - π4sin 4x, y = 2cos(2x+ 和
1 λ 1 3 3
)
7. C 【深度解析】由 - = 4 可得 λ= -4 cos 10° =
sin 10° cos 10° ( sin 10° ) y= 4sin 4x 在[0,2π]上的图象如图
cos 10°-4sin 10°cos 10° = cos 10°
-2sin 20° - -
= cos 10° 2sin(30° 10°) = 所示 关键:将 F( x)的零点个数转
sin 10° sin 10° sin 10° (
1 3 π
cos 10°-2× cos 10°+2× sin 10° 化为 y= 2cos(2x+ ) 和 y= 4sin 4x 图象的交点个数 ) ,共 8 个交
2 2 3
= 3 .故选 C.
sin 10° 点,故 D 正确.故选 ACD.
D 1
11. ACD 【深度解析】对于 A,因为对任意 x,y∈R,xf( y) +yf( x) = a·b= | a |· | b | cos〈a,b〉,所以决定 a·b 的大小的是向量的模
f(xy), 及夹角),需使 e1 -e2 模最大,且与 e3 的夹角为 π,∴ 当 e2 ,e3 同
所以令 x= 0,y= 0,可得 0×f(0) +0×f(0)= f(0×0),所以 f(0)= 0, 向,且 e2 ,e1 反向时,(e1 -e2 )·e3 = | e1 -e2 | · | e3 | cos π = -2,最小
令 x= 1,y = 1,可得 f( 1) + f( 1) = f( 1 × 1),所以 f( 1) = 0,所以 值为-2. 设 e1 +e2 +e3 = -e4(提示:转化为一个向量,进而研究向量
f(0) +f(1)= 0,故 A 正确; 间的关系),即 e1 +e2 +e3 +e4 = 0,又 e1 ,e2 ,e3 均为单位向量,若向
对于 B,在 xf(y) +yf(x)= f(xy)中,令 y= -1 可得,xf( -1) -f( x)= 量 e1 ,e2 共线,则 e1 +e2 与 e3 共线,不符合题意;
f( -x),再将 xf(-1) -f(x)= f(-x)中的 x 替换为-1,可得-f(-1) - ∴ 向量 e1 ,e2 不共线,则向量 e1 ,e2 ,e3 ,e4 首尾相连形成一个菱
f( -1)= f(1),所以 f( -1)= 0,所以-f(x)= f( -x),所以函数 f( x) 形,即 e1 = -e3 ,e2 = -e4 ,∵ xe1 +ye2 +ze3 = 0,x+y+z= 2 025,
为奇函数,故 B 错误;
∴ ye2 = -
2 025
xe1 -ze3 = ( z-x)e1 ,则 y= z-x= 0,则 x= z= ,
1 2
对于 C,当 x≠0 时,将 xf(y) +yf(x)= f(xy)中的 y 用 替换,
x z + y + x∴ =
1 1 x+y x+ +
2.
z y z
可得 xf ( ) + f(x)= f(1)= 0,即 xf(x)= -x3 1fx x ( x ) , 15. (1)a= 2(5 分)
1
当 x>1 时,0< <1,所以 f ( 1 ) -3>0,所以 xf( x) <0,即 f(x) <0, (2) f(x)的极小值为-e ,无极大值(8 分)又x x 【解】(1)第一步:求导
函数 f(x)为奇函数,所以当 x<-1 时,f(x) >0,xf(x) <0,
由题意,得 f ′(x)= a+ln x+1,则 f ′(e)= a+2. ……………… 2 分
所以当 | x | >1 时,xf(x) <0,故 C 正确;
第二步:根据平行关系求 a
对于 D,因为 xf(y) +yf( x) = f( xy),所以若 xy≠0,则等式两边同
因为曲线 y= f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 y= 4x-1 平行,
f(y) + f(x)时除以 xy,得 =
f(xy)
, 所以 a+2 = 4,解得 a= 2. ……………………………………… 5 分
y x xy
+ (2)第一步:求导任取 x1 ,x2 ∈(1, ∞ ),且 x1 由(1)知,a= 2,所以 f(x)= 2x+xln x(x>0),
f ( x2 x×x f 2 f(x ) f(x ) x 1 ) f(x ) ( x ) f(x ) f(x ) 则 f ′(x)= 2+ln x+1 = ln x+3. ………………………………… 7 分2 - 1 = 1 - 1 = 1 1 1则 + - =
x2 x1 x2 x1 x2 x1 x1 第二步:根据导函数的正负判断函数单调性及极值×x
x 11 x1 令 f ′(x)= 0,解得 x= e-3 ,
x1 ( x2 ) x x -3 -3f ,因为 x >x >1, 2所以 >1,0< 1 <1,由 C 选项可知,当 所以当 0e 时,f ′(x) >0, ……… 9 分x x 2 12 1 x1 x2 所以函数 f(x)在(0,e-3 )上单调递减,在(e-3 ,+∞ )上单调递增,
x1 ( xx>1 时,f(x) <0,所以 f 2 ) f(x ) f(x<0, 2 - 1 ) f(x<0, 2 )所以 即 < …………………………………………………………… 11 分x2 x1 x2 x1 x2
所以当 x= e-3 时,函数 f(x)取得极小值,极小值为 f( e-3 ) = -e-3 ,
f(x1 ) = f(x),所以函数 y 在(1,+∞ )上单调递减. 故 f(x)的极小值为-e-3x x ,无极大值. …………………… 13 分1
f(x) f(x) [ f(x) ] 16. (1)an
= 2n(7 分)
设 y= f(x)= x· ,当 x>1 时,y′= +x ′,
x x x (2)T2n = 5×2n -5(8 分)
f(x) f(x) = -
因为 f(x) <0,所以 <0,因为函数 y= 在(1,+∞ )上单调递 【解】(1)第一步:由 Sn 2an 2 得 an+1 与 an 的递推公式x x
由 Sn = 2an -2 可得 Sn+1 = 2an+1 -2.
[ f(x)减,所以 x ] ′≤0,所以 y′< 0,所以 f( x)在(1,+∞ )上单调递 两式相减并由 an+1 =Sn+1 -Sn 得到 an+1 = 2an .
, D . ACD. 特别地,取 n
= 1,则由 a
减 故 正确 故选 1
=S1 知 a1 = 2. ……………………… 3 分
12. 2 【 】 f( x) = 3x, x = log 2, f( log 2) = 第二步:判断数列特点求得通项深度解析 因为函数 令 3 所以 3
log 2 ∴ {an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,则 a = 2×2
n-1 = 2nn .
3 3 = 2.
∴ {an}的通项公式是 an = 2n . ……………………………… 7 分
13. 12-8 2 【深度解析】设 AE= x,AF= y,则 x+y+ x2 +y2 = 4,又 x+ (2)第一步:求新插入数列的通项公式
y≥2 xy , x2 +y2 ≥ 2xy ,等号成立的条件均为 x= y = 4-2 2 ∈ a +a
2 设数列{cn}满足 c =
n n+1 = 3×2n-1n (易错:注意幂的运算) .4 2
(0,2),则 4≥2 xy + 2xy = (2+ 2 ) xy ,所以 xy≤ ( =2+ 2 ) …………………………………………………………… 8 分
24-
1
16 2 ,所以△AEF 面积的最大值为 × ( 24 - 16 2 ) = 12 - 第二步:对原数列和新插入数列进行分组求和
2
记{cn}的前 n 项和为 Rn,则 T2n =Rn +Sn . ………………… 10 分
8 2 . 3(1-2n) n n
14. -2 2 【深度解析】 (向量法)要使( e1 -e2 ) ·e ( :
由等比数列的求和公式得 R = = -最小 3(2 1),又 S =2(2 -1),3 提示 由 n 1-2 n
D 2
∴ T2n =Rn +Sn = 5×2n -5, 18. (1) f(x)的最小值为 4(3 分)
即新数列{bn}的前 2n 项和 T2n = 5×2n -5. ………………… 15 分 (2)当 k≥0 时,函数 f( x)的图象没有对称中心;当 k<0 时,函数
17. (1)证明见解析(6 分) 1
f(x)图象的对称中心为 P ( loga( -k),0) (5 分)
2 2
(2)OC= (9 分)
3 (3)实数 a 的取值集合为{e2 }(9 分)
(1)【证明】第一步:利用余弦定理求解 AD2,BC2 【解】(1)直接应用基本不等式即可
设 OA= x,OD= y,则 OC= 2-x,OB= 2 2 -y, 当 k= 4 时,f(x)= ax+4a-x ≥2 ax·4a-x = 4(当且仅当 ax = 4a-x,
在△AOD 中,由余弦定理,得
即 x= loga2 时取等号), ……………………………………… 2 分
AD2 =OA2 +OD2 -2OA·ODcos∠AOD= x2 +y2 - 2 xy. ………… 2 分 所以当 x= loga2 时,f(x)取最小值 4. ……………………… 3 分
在△BOC 中,由余弦定理,得 (2)第一步:根据函数图象对称中心的性质进行处理
2
BC2 = OB2 + OC2 - 2OB · OCcos ∠BOC = (2 2 -y) + (2-x) 2 - 设点 P(m,n)为函数 f( x)图象的对称中心,则 f( x) + f(2m-x) =
2 (2 2 -y)(2-x)= x2 +y2 - 2 xy-2 2 y+4. ………………… 4 分 2n, …………………………………………………………… 4 分
因为 AD=BC, 所以 ax+ka-x+a2m-x+ka-2m+x = 2n,即 ax(1+ka-2m) +a-x(k+a2m)= 2n,
所以 x2 +y2 - 2xy=x2 +y2 - 2xy-2 2 y+4(关键:根据边相等,利用余弦 所以 a2x(1+ka-2m) -2nax+(k+a2m)= 0, ……………………… 5 分
定理建立等量关系是求解问题的关键),即 4-2 2y=0,解得 y= 2, 所以有 1+ka-2m = 0,且 k+a2m = 0,且 2n= 0,
第二步:证得结论 即 a2m = -k,n= 0. ……………………………………………… 6 分
所以 OB=OD= 2 ,所以 O 为 BD 的中点. ………………… 6 分 第二步:对 k 进行讨论,求出函数图象的对称中心
(2)【解】第一步:根据正弦定理证得 sin A=sin C 当 k≥0 时,m无解,此时函数 f(x)的图象没有对称中心. …… 7 分
在△AOD,△BOC 中,由正弦定理,得 1
当 k<0 时,m = loga( -k),此时函数 f( x) 图象的对称中心为OD = AD = AD OB BC BC
2
, = = ,
sin A sin∠AOD π sin C sin∠BOC π
sin sin 1
4 4 P ( loga( -k),0) . …………………………………………… 8 分2
又 AD=BC,OB=OD= 2 ,所以 sin A= sin C. ……………… 8 分 (3)第一步:对不等式进行两边取对数处理
第二步:分情况讨论 A 和 C 的等量关系
= 1 1当 k 0 时, f( x) = ax,所以 ax ≤ 在
π 1-2x (-∞ , 上恒成立,即2 )
若 C=A,则△AOD 和△COB 为全等的等腰直角三角形,A = ,
2 xln a+ln(1-2x)≤0. ………………………………………… 9 分
π
B= ,则 5 sin 2A+cos B=
2
,不符合条件, 第二步:构造新的函数,并求导
4 2
令 φ(x)= xln a+ln(1-2x),则 φ(0)= 0,
所以 C+A= π,此时 A= π-C= π- ( 3π-B) =B+ π . ……… 10 分4 4 2 4所以 φ′(x)= ln a- - ,令 s(x)= φ′(x),则 s′(x)= - 2 <0,1 2x (1-2x)
第三步:根据条件计算 B 和 C 的三角函数值
1
π
5 sin 2A+ cos B = 5 sin (2B+ ) + cos B = 5 cos 2B+ cos B = 所以 φ′(x)在 (-∞ , ) 上单调递减. ……………………… 10 分则 2 2
2 第三步:对参数 a 进行分类讨论,确定函数 φ(x)的最大值5 (2cos B-1) +cos B= 5 .
1
π 2 5 5 ①当 0由 A=B+ 可知 B 为锐角,解得 cos B = 或 cos B = - ( ( 2 )舍
4 5 2
此时当 x<0 时,φ(x) >φ(0)= 0,舍去; …………………… 11 分
5
去),所以 sin B= ,
5 2 1 1 1②当 a>1 时,由 φ′(x)= ln a- = 0,解得 x= -
1-
< .
2x 2 ln a 2
= 3π
所以 sin C sin ( - ) = 2 3 10B (sin B+cos B)= (提示:两角差4 2 10 1°当 a= e2 1 1时, - = 0,
2 ln a
的正弦公式的应用) . ……………………………………… 13 分
所以 x∈( -∞ ,0)时,φ′(x) >0,则 φ(x)单调递增;
第四步:根据正弦定理求 OC
1
OC OB x∈ 0, 时,φ′(x) <0,则 φ(x)单调递减;
在△BOC 中,由正弦定理,得 = ( ) , 2
sin B sin C
所以 x= 0 时,φ(x)取极大值,也是最大值,则 φ(x)≤φ(0)= 0,
2 ×
5
OBsin B 5 2 所以 a= e
2 符合题意; ……………………………………… 12 分
所以 OC= = = . ………………………… 15 分
sin C 3 10 3 1 12°当 110 2 ln a
D 3
( 1 - 1 1 ) 即 an+1 -an = 5>0,n= 1,2,…,100,所以数列{a }为递增数列.因为 x∈ , 时,φ′(x) <0,则 φ(x)单调递减, n2 ln a 2 …………………………………………………………… 9 分
所以 x∈ ( 1 - 1 ,0) 时,φ(x) >φ(0)= 0,舍去; ………… 14 分 综上所述,“a101 = 500”是“数列{an}为递增数列”的充要条件.2 ln a
…………………………………………………………… 10 分
1 1
3°当 a>e2 时, - >0,
2 ln a (3)【证明】第一步:构造新数列,把{ an } 的每一项都用新数列
( 表示因为 x∈ - 1 - 1∞ , ) 时,φ′(x) >0,则 φ(x)单调递增,2 ln a 令 cn =an+1 -an,则 cn = ± 5,n≥2,因为 a2 = a1 +c1 = c1 ,a3 = a2 +c2 =
1 1
所以 x∈ (0, - ) 时,φ(x) >φ(0)= 0,舍去. ………… 16 分 c1 +c2 ,…,an =an-1 +cn-1 = c1 +c2 +…+cn-1 , …………………… 12 分 2 ln a
第二步:用新数列表示 Tn
第四步:得出结论
所以 Tn =a1 +a2 +…+an = (n-1)c1 +(n-2)c2 +(n-3)c3 +…+cn-1
综上,实数 a 的取值集合为{e2 } . ………………………… 17 分
= (n- 1) [ 1 - ( 1 - c1 )] + ( n- 2) [ 1 - ( 1 - c2 )] + ( n- 3) [ 1 - ( 1 -
19. (1)Tn = 0,2,4(3 分) c3 )] +…+[1-(1-cn-1 )]
(2)证明见解析(7 分)
= (n-1) + ( n- 2) + ( n- 3) + … + 1 - ( n- 1) ( 1 - c1 ) - ( n- 2) ( 1 -
(3)证明见解析(7 分)
c2 ) -…-(1-cn-1 )
(1)【解】根据定义,列举所有情况
n(n-1)
依题意,有三种情况: = -[(n-1)(1-c1 ) +(n-2)(1-c2 ) +…+(1-cn-1 )],2
若 an:0,1,0,1,则 Tn = 2; ………………………………………………………… 14 分
若 an:0,1,2,1,则 Tn = 4; 第三步:用奇偶性讨论,确定 n 的值
若 an:0,-1,0,1,则 Tn = 0. …………………………………… 3 分 -
因为 cn = ±5,所以 1-c 为偶数. 因为 T =
n(n 1)
0,所以 为偶数,
(2)【证明】 n n第一步:证明必要性 2
必要性:因为数列{ a } 为递增数列,所以 a < a ,n = 1,2,…, 所以 4 整除 n(n-1),因此 n= 4k 或 n= 4k+1,k∈N . …… 16 分n n n+1
100, …………………………………………………………… 4 分 第四步:列举,检验是否符合题意
所以 | a -a | = a -a = 5,所以数列{ a } 为公差为 5 的等差 当 n=4k,k∈N 时,令 an+1 n n+1 n n 4m-1 =a4m-3 =0,a4m-2 =-5,a4m =5,m= 1,2,…,k,
数列, ………………………………………………………… 5 分 或 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = 5,a4m = -5,m = 1,2,…,k,则满足 a1 = 0,
所以 a =a +100×5 = 500; ………………………………… 6 分 Tn = 0;101 1
第二步:证明充分性 当 n= 4k+1,k∈N 时,令 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = -5,a4m = 5,a4m+1 =
充分性:因为 | an+1 -an | = 5,所以 a101 -a100 ≤5,a100 -a99 ≤5,…, 0,m= 1,2,…,k,或 a4m-1 =a4m-3 = 0,a4m-2 = 5,a4m = -5,a4m+1 = 0,m=
a2 -a1 ≤5,……………………………………………………… 7 分 1,2,…,k,则满足 a1 = 0,Tn = 0;
累加,得 a101 -a1 ≤500,即 a101 ≤500+a1 = 500, 当 n= 4k+2 或 n= 4k+3,k∈N 时,n(n-1)不能被 4 整除,Tn≠0.
因为 a101 = 500,所以上述不等式中每个等号都能取到, …… 8 分 故总有 n= 4k 或 n= 4k+1,k∈N
. ………………………… 17 分
D 4