湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷（图片版，含答案）

18.(17分)已知⊙O圆心在原点，且与直线x十y一3√2=0相切，它与x轴
分别相交于A,B两点，过点F(一1,0)的直线1交圆O于M,N两点.
(1)求弦长MN的最小值，并求此时直线L的方程.
(2)当△OMN的面积SAOMN取得最大值时，将
圆O沿x轴折成直二面角，如图.问：在上
半圆上是否存在点Q,使平面OVQ与平面
BMN的夹角的正弦值为？若存在，求
OQ的长；若不存在，请说明理由，
(3)在圆O上任取一点C,过C作x轴的垂线段CD,D为垂足，当C在
圆上运动时，线段CD的中点的轨迹记为曲线x,曲线x与直线1交
于G,H,直线GA与直线HB相交于S,S在定直线l1上，直线MA
与直线BN相交于T,T在定直线l2上，判断直线1，L2的位置关
系，并证明
数学试题（长郡版）第7页（共8页）
19.(17分)已知函数f(x)=(m+1)sinx-xcos x,x∈[0，π].
(1)当m=0时，求f(x)的值域；
(2)若f(x)存在唯一的极值且为极小值，求m的取值范围；
(3)设n∈R,若存在m∈(-∞，0)使得m≤√2(f(x)-n)对x∈[0，π
恒成立，求n的最大值.
数学试题（长郡版）第8页（共8页）
长郡中学2026届高三月考试卷（二）
数学参考答案
题号
1
2
3
1
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
B
D
B
A
B
C
AD
BCD
ACD
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.D【解析】由x2一8x十12≤0，解得2≤x≤6，即A={x2≤x≤6}，B={3,4,5,6,7},则A∩B={3,4,5,6}.
2A【解折调为1-D==1,所以=亡石可=岁对这的点为（分》，位于第一泉限
3.B【解析】直线l1,l2平行或重合的充要条件是(2a十1)a=(a十2)a,所以a=0或a=1.
将a=1代入直线l,l2的方程，得l1:3x十y十1=0，l2:3x十y十2=0，易知4∥l2;
将a=0代入直线l1,l2的方程，得l1:x十1=0，l2:2x十2=0，直线1，l2重合，故a=0舍去.
综上所述，“a=1或a=0”是“l1∥l2”的必要不充分条件.
4.D【解析】由a⊥(a-3b),则a·(a-3b)=a2-3a·b=0,
g-号-3则@0.2。停
故a.b=1a2=32
故cos20=20s0-1=2X(停)°-1=-号
5.B【解析】设A,B两种产品原来的价格分别为a,b,则A提价后售价为a(1+20%)2,B降价后售价为b(1一20%)2，
且A与B现在是相同的价格，则得到9a=4b;
现在同时售出A,B两种产品各一件比原价格售出A,B两种产品各一件的盈亏情况为：
a(1+20%)2-a+b(1-20%)2-b=0.44a-0.36b,(1)
利用9a=46得a=号6，代入(1)中得到0.4a-0.366<0,
即现在同时售出A,B两种产品各一件比原价格售出A,B两种产品各一件的盈亏情况为亏，
6.A【解折1向aS.1=a,(S十1）-1可得a,(S1-S)-a-1,故a1-。-1-
an
由4=2可得4=1含含4=1士-1a=1-2一
2
故{a,}是周期为3的周期数列，且a十a十a,=号，故S=3.
7.B【解析】令g(x)=e,h(x)=ax(a>0),因为存在唯一整数x使f(x)<0,即eh(x)=ax
所以g(x)的图象在h(x)的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点，如图所示：
又因为当a=e时，h(x)=ex为g(x)=e的切线，切，点为(l,e),
女/g)hD解得e所以{
g(2)≥h(2),
8(x=6
8.C【解标】由题意，得f2x十1)=(-2x十1D,将x替换为x-弓，得人2(x-)+1]
f[-2(x-号）+1]，即f2)=f(-2x+2),②正确；
f(2x+1)=f-2x+1)中将x替换为2x,得fx+1)=f-x+1),
因为f(3x一1)向左平移3个单位得到f(3),而f(3x一1)关于点(1,3)成中心对称，
所以f3)关于（号，3）中心对称，故f()关于(2,3)中心对称，所以fx+2)十f-x十2)=6，
故f(x+2)=6-f(-x+2)=6-f[1-(x-1)]=6-f[1+(x-1)]=6-f(x),
所以f(x十4)=6一f(x+2)=6-[6-f(x)]=f(x),所以f(x)的一个周期为4，①错误；
数学参考答案（长郡版）一1