课件14张PPT。15．2 线段的垂直平分线
1．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离____．
2．到线段两端距离相等的点在线段的 上．相等垂直平分线C B 6 8 BD＝DC 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 AC A C 解：∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC所在直线是BD的垂直平分线(与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)，∴BE＝DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)C D A C 20° ∠DBC＝∠DCB 解：(1)作BD的垂直平分线MN
(2)经D作DF∥AB，交MN于E，∴E即为所求
证明：∵AF平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵PE⊥AC于E，PD⊥AB于D，∴∠AEP＝∠ADP＝90°.又∵AP＝AP，∴△APE≌△APD(AAS)．∴AE＝AD，PE＝PD，∴P，A两点都在DE的垂直平分线上．∴AF垂直平分DE.(两点确定一条直线)课件12张PPT。专题训练六
解：△ADE是等腰三角形3．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B，∠C的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于E，F.试回答：
(1)图中等腰三角形是
△AEF，△OEB，△OFC，△OBC，△ABC．
猜想：EF与BE，CF之间的关系是
EF＝BE＋CF，理由如下：∵OB，OC平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，∴EO＝EB，FO＝FC，∴EF＝EO＋OF＝BE＋CF
，并说明理由；(2)如图②，若AB≠AC，则图中的等腰三角形
是 ．
在第(1)问中EF与BE，CF间的关系还存在吗？
解：问中EF与BE，EF之间的关系仍然存在
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE，CF关系如何？说明你的理由．△EOB，△FOC解：△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE－FC.理由如下：同(1)可证得△EOB是等腰三角形．∵EO∥BC，∴∠FOC＝∠OCG.∵CO平分∠ACG，∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形．∴EF＝EO－FO＝BE－FC
解：△AFC是等腰三角形 6．点A，B，C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连接AF，CE.取AF，CE的中点M，N，连接BM，BN，MN.
(1)若△ABE和△FBC是等腰三角形，且∠ABE＝∠FBC＝90°(如图①)，则△MBN是 三角形；
(2)在△ABE和△BCF中，若BA＝BE，BC＝BF，且∠ABE＝∠FBC＝α，(如图②)，，则△MBN是____三角形，且∠MBN＝____；
(3)若将(2)中的△ABE绕点B旋转一定角度，(如图③)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明．等腰直角等腰α解：(3)结论仍然成立 解：△CEF是等腰三角形 解：CF＝CE 课件16张PPT。15．3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质1．性质定理1：等腰三角形的两个底角____．
简称“ ”．
2．性质定理2：等腰三角形顶角的平分线 底边．因此，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高“ ”．
3．推论：等边三角形的三个内角____，
每一个内角都等于 ．.相等等边对等角垂直平分三线合一相等60°1．(3分)已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．50°
B．80°
C．50°或80°
D．40°或65°
2．(3分)等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A．底角的一半
B．顶角的一半
C．顶角
D．顶角的2倍CBB 115° 解：设∠EDC＝x，则∠AED＝∠C＋x，又∵AD＝AE，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C＋x，而∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD＝∠C＋x＋x，∴2x＝∠BAD＝20°，∴x＝10°，即∠CDE＝10°70° D 解：(1)证明：在△ACD和△ABE中，
∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，
AB＝AC，∴△ACD≌△ABE，∴AD＝AE
(2)∵△ACD≌△ABE，∴AD＝AE，∴Rt△OAD≌Rt△OAE，∴O在∠BAC的角平分线上，∵AB＝AC，∴OA⊥BC30° 120° 11．已知一个等腰三角形的两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A．20°
B．120°
C．20°或120°
D．36°
12．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是( )
A．100°
B．80°
C．70°
D．50°CA13．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE…，依次作下去，和AB相等的线段(不包括AB)最多可作( )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条C6 10° 16．如图，△ABC是等边三角形，AD是中线，△ADE也是等边三角形．下列结论：
①AD⊥BC；
②EF＝FD；
③BE＝BD.其中正确的是 ．(填序号)①②③解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BH＝CH，DH＝EH(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)，∴BH－DH＝CH－EH，即BD＝EC课件16张PPT。15．4 角的平分线
第1课时 角平分线的作法及应用1．角是 图形， 是它的对称轴．
2．用尺规作图的方法过直线上一点作已知直线的垂线可看成作平角的 ．轴对称角平分线所在的直线平分线A O 任意长 AB OC OC ∠APB 等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 解：如图所示，根据两点之间线段最短，那么由A地经过B地，连接AB即可；河岸可看作一条直线，过点B作河岸的垂线，垂足为P，线段BP即为点B到河岸的最短路线，路线为A－B－P解：如图，延长AC，过直线AC外一点B作直线AB的垂线交AC于E点，则线段BE即为所求的高D B 解：①作∠MAN的平分线AE；
②在AE上截AD＝h；
③经D点作BC⊥AE，交AM，AN于B，C，则△ABC为所求
QA＝QD 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON；②分别过点M，N作OM，ON的垂线，交于点P；③作射线OP，则OP即为∠AOB的平分线，如图2所示．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线，根据以上情境，解决下列问题：
(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是____；
(2)小聪的作法正确吗？请说明理由；
(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．(要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明) SSS解：(2)小聪的作法正确．理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP＝OP，OM＝ON，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，∴∠MOP＝∠NOP，∴OP平分∠AOB
(3)如图所示，作图步骤：
①利用刻度尺在OA，OB上分别截取OG＝OH；
②连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q；
③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线 课件14张PPT。15．1 轴对称图形
第1课时 轴对称图形1．如果一个图形沿一条直线对折， 能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做
2．把一个图形沿着某一条直线____，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是____，折叠后重合的两个点叫做 直线两旁的部分对称轴折叠对称轴对应点A D C A B D B B A C C C C D C 解： 3265 M12569 解： 解：36 cm课件14张PPT。15．3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边____，
简称“ ”．相等等角对等边D A A 5cm B D 10 A 解：∠CBD＝72°，∠CAB＝36°，则∠C＝36°，∴∠CAB＝∠C，∴CB＝AB，又AB＝20×2＝40(海里)，∴BC＝40(海里)
解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE，又∵GD∥BC，∴∠ABD＝∠GDB＝∠DBC，∴BG＝GD.又∵∠DCE＝∠FCD，GD∥BC，∴∠FDC＝∠DCE，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝DF，∴BG＝GF＋FD＝GF＋CF，即GF＝BG－CFB D C 12cm 4 解：△ADF是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥BC，∴∠C＋∠EDC＝90°，∠B＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDC＝∠ADF，∴AD＝AF，∴△AFD是等腰三角形．
解：△AFC是等腰三角形．理由：∵∠BAD＝∠BCE，∠B＝∠B，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE，∴AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形．解：延长AE，BC交于点F，∵BE平分∠ABF，AF⊥BE，∴△ABE≌△FBE，∴AB＝BF，又AE⊥BE，∴AF＝2AE，再证△ACF≌△BCD，∴AF＝BD，又∵AF＝2AE，∴BD＝2AE课件16张PPT。15．4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质与判定1．角平分线的性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离 ．
2．角的内部到角两边距离相等的点在 ．相等角平分线上3 2 B D 证明：AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，又∵CF＝BE，∴Rt△FCD≌Rt△BED，∴BD＝DF.3 ①②④ 8．(4分)如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，
则∠P＝ 90°.证明：过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥BC于点F，DG⊥AC交AC的延长线于点G，∵BD平分∠EBC，∴DE＝DF，同理DF＝DG，∴DE＝DG，点D在∠BAC的平分线上B B C 3 15 3∶4 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠C＝50°，且DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，且DE＝DF，
则∠ADC＝ ．115°16．(10分)如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.
求证：AD平分∠BAC.
解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED.又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE，∴DF＝DE，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC课件13张PPT。15．1 轴对称图形
第2课时 轴对称的性质1．经过线段的____并且____这条线段的直线叫做线段的垂直平分线，又叫做线段的 ．
2．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ，反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 ．
3．点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是 ；点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标是 ；点P(a，b)关于原点对称的点的坐标是 ．中点垂直中垂线垂直平分线垂直平分(a，－b)(－a，b)(－a，－b)垂直平分线 60° B A 8 解：图略，A1(－2，－3)，B1(－3，－1)，C1(－1，1)8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
9．如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中不正确的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠3＝∠4
C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD
D．AC与BD互相平分DDC 10．点P(－2，1)关于x轴对称点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则点P2的坐标为( )
A．(－2，－1)
B．(2，－1)
C．(2，1)
D．(－2，1)
11．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个球袋，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹)，那么该球最后将落入( )
A．1号袋
B．2号袋
C．3号袋
D．4号袋BD0 50 14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于____ cm.14解： 解：(1)略 (2)10解：作点A关于铁路对称点A′，
连接A′B交铁路于P，
则中转站应建在P点上
课件17张PPT。15．3 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定1．推论1：三个角都 的三角形是等边三角形．
2．推论2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的____．相等60°一半1．(3分)下列推理错误的是( )
A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形
B．因为AB＝AC，且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形
C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形
D．因为AB＝AC，且∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形
2．(3分)下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④BDA 4．(3分)在△ABC中，如果只给条件∠A＝60°，那么还不能判定△ABC是等边三角形，给出下面四种说法：
①如果再加上条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果再加上条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果再加上条件“D是BC的中点，且AD⊥BC”，则△ABC是等边三角形；④如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．其中正确的说法有 ．(填序号)①②③④a 3 1 解：过点P作PC⊥BA，交AB于C.C点距小岛P只有15海里，而小岛周围18海里内有暗礁，∴轮船继续向前航行会有触礁的危险C C C 8 等边三角形 【综合应用】
17．(16分)(1)如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
