18.1勾股定理-2
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勾股定理 — 2
教学任务分析
教学目标 知识技能 1．运用勾股定理进行简单的计算． 2．运用勾股定理解释生活中的实际问题．
数学思考 通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．
解决问题 能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．
情感态度 通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
重点 勾股定理的应用．
难点 勾股定理在实际生活中的应用．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1 回顾勾股定理活动2 运用勾股定理解释生活中的问题活动3 巩固练习 探索新知活动4 小结与作业 通过一组练习让学生回顾直角三角形三边关系，为本节课勾股定理的应用做好铺垫．通过解决教材中的两个例题，进一步熟悉和掌握勾股定理，同时培养学生从事物中抽象出几何模型（直角三角形）的能力．通过练习及时反馈教学效果，了解不同层次的学生对知识和方法的掌握情况．设计课本习题的变式题，拓展学生思维能力，深化勾股定理的应用．通过讨论交流、自由发言等形式，归纳本节课所用的知识方法．通过课外作业，反馈教学效果，调整教学方法．
教学过程设计
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动1]问题（1）求出下列直角三角形中未知的边．回答：①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？②直角三角形中哪条边最长？（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长． 教师提出问题后让四位学生板演，剩下的学生在课堂作业本上完成．问题（2）学生分组讨论，自己解决；教师巡视指导答疑．在活动1中教师应重点关注：（1）学生能否正确应用勾股定理进行计算；（2）在解决直角三角形的问题时，需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边；（3）让学生了解在直角三角形中斜边最长；（4）在解决问题2时，能否将一个长方形转化为两个全等的直角三角形． 教师利用学生已有的知识（勾股定理及直角三角形的相关知识）创设问题情境，有针对性地引导学生进行练习，为学习勾股定理在实际生活中的应用做好铺垫．
[活动2]问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？（2）一个门框的尺寸如图1所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ 问题（1）学生由活动1的结果可得出判断：AB＜BC＜AC．问题（2）学生分组讨论，易回答①、②．在解决前两问的基础上，教师着重引导学生将③的实际问题转化为数学模型，计算并回答：∵木板宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过． 通过问题（1）让学生熟悉直角三角形斜边与直角边的大小关系，为解决问题（2）奠定基础．问题（2）是本节课的重点和难点．
问题与情景 师生行为 设计意图
图1（3）教材第76页练习1．（4）如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①球梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）． 图2 ∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此，从中抽象出数学模型直角△ABC，并求出斜边的长度，所以木板能从门框通过．教师与学生一起完成问题（3）．教师提出问题（4），引导学生将实际问题转化为数学模型；学生合作交流，讨论回答：（1）在Rt△AOB中，．（2）的①由学生分组讨论做出猜想． ②要求梯子的底端B是否也外移0.5米，就是求出BD的长，而BD=OD－OB，由（1）可知OB，只需在求出OD即可．在Rt△COD中，梯的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子的底端B外移0.58米．在活动2中教师应重点关注：（1）结合问题2训练学生用文字语言表达数学过程的能力；（2）学生能否准确将实际问题转化为数学问题，建立几何模型；（3）正确运用勾股定理解释生活中的问题． 为了让学生能有效地突破难点，本环节分别为它们设计了一到两个简单的由已有的知识和生活经验易于解答的小问题作台阶，顺利解决如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识．通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并能服务于生活．
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动3]（1）教材第76页练习第2题．（2）变式：以教材第76页练习第2题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB． （3）如图3，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 ．变式：教材第79页第11题，如图4． 问题（1）学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成．问题（2）和问题（3）将全班学生分成四人小组，给足时间分别进行讨论、交流；教师参与学生活动，适当地给与指导．在活动3中，教师应重点关注：（1）根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对不同层次的学生进行指导；（2）学生对问题（2） 能否构造适当的几何模型测量池塘的长AB；（3）对学有余力的学生，在问题（3）中能否进一步加以拓展． 设计教材第76页练习第2题的变式，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，让学生联想与直角三角形或全等三角形相关的知识（等腰直角三角形、有一个角为30°的直角三角形、等边三角形等），使所学的知识得到进一步深化．设计教材第79页第11题的变式题问题3，有助于启迪学生进一步思考将直角三角形ABC外的正方形或半圆再变为等边三角形等结论还能否成立．
[活动4]（1）小结（2）作业：①教材第78页习题第2、3、4、5题．②教材第79页习题第12题． 让学生充分讨论交流，说出自己的体会，最后师生共同归纳．教师布置作业，学生记录并按要求在课外完成．在活动4中，教师应重点关注：（1）培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯；（2）对学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出解决教、学不足的措施． 通过讨论交流、自由发言等形式，使学生掌握归纳的方法．通过布置课外作业，及时获知学生对本节课知识的掌握情况，适当的调整教学进度和教学方法，并对学习有困难的学生给与指导．
教学设计说明
本节课主要内容是勾股定理的应用，安排在勾股定理的探索之后，它既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础．本节课的重点是勾股定理的应用，难点是勾股定理在实际生活中的应用．勾股定理是建立在一般三角形性质以及三角形全等的基础上，是三角形知识的深化，它在日常生活中有着广泛的应用．
在复习了直角三角形的相关知识的基础上，本节课进一步熟悉了勾股定理．教师通过运用勾股定理对一系列富有层次、探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．在活动3中，教师设计课本习题的变式题，给学生足够的时间讨论交流，使“不同的学生数学上得到不同的发展”． 整堂课，教师重点关注学生的探究精神以及交流、合作意识．
6
10
A
C
B
2
45°
A
15
C
B
2
30°
B
C
1m
2m
A
O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D
图3
S1
S2
S3
图4
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勾股定理 — 2
教学任务分析
教学目标 知识技能 1．运用勾股定理进行简单的计算． 2．运用勾股定理解释生活中的实际问题．
数学思考 通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．
解决问题 能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．
情感态度 通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
重点 勾股定理的应用．
难点 勾股定理在实际生活中的应用．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1 回顾勾股定理活动2 运用勾股定理解释生活中的问题活动3 巩固练习 探索新知活动4 小结与作业 通过一组练习让学生回顾直角三角形三边关系，为本节课勾股定理的应用做好铺垫．通过解决教材中的两个例题，进一步熟悉和掌握勾股定理，同时培养学生从事物中抽象出几何模型（直角三角形）的能力．通过练习及时反馈教学效果，了解不同层次的学生对知识和方法的掌握情况．设计课本习题的变式题，拓展学生思维能力，深化勾股定理的应用．通过讨论交流、自由发言等形式，归纳本节课所用的知识方法．通过课外作业，反馈教学效果，调整教学方法．
教学过程设计
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动1]问题（1）求出下列直角三角形中未知的边．回答：①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？②直角三角形中哪条边最长？（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长． 教师提出问题后让四位学生板演，剩下的学生在课堂作业本上完成．问题（2）学生分组讨论，自己解决；教师巡视指导答疑．在活动1中教师应重点关注：（1）学生能否正确应用勾股定理进行计算；（2）在解决直角三角形的问题时，需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边；（3）让学生了解在直角三角形中斜边最长；（4）在解决问题2时，能否将一个长方形转化为两个全等的直角三角形． 教师利用学生已有的知识（勾股定理及直角三角形的相关知识）创设问题情境，有针对性地引导学生进行练习，为学习勾股定理在实际生活中的应用做好铺垫．
[活动2]问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？（2）一个门框的尺寸如图1所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ 问题（1）学生由活动1的结果可得出判断：AB＜BC＜AC．问题（2）学生分组讨论，易回答①、②．在解决前两问的基础上，教师着重引导学生将③的实际问题转化为数学模型，计算并回答：∵木板宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过． 通过问题（1）让学生熟悉直角三角形斜边与直角边的大小关系，为解决问题（2）奠定基础．问题（2）是本节课的重点和难点．
问题与情景 师生行为 设计意图
图1（3）教材第76页练习1．（4）如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①球梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）． 图2 ∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此，从中抽象出数学模型直角△ABC，并求出斜边的长度，所以木板能从门框通过．教师与学生一起完成问题（3）．教师提出问题（4），引导学生将实际问题转化为数学模型；学生合作交流，讨论回答：（1）在Rt△AOB中，．（2）的①由学生分组讨论做出猜想． ②要求梯子的底端B是否也外移0.5米，就是求出BD的长，而BD=OD－OB，由（1）可知OB，只需在求出OD即可．在Rt△COD中，梯的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子的底端B外移0.58米．在活动2中教师应重点关注：（1）结合问题2训练学生用文字语言表达数学过程的能力；（2）学生能否准确将实际问题转化为数学问题，建立几何模型；（3）正确运用勾股定理解释生活中的问题． 为了让学生能有效地突破难点，本环节分别为它们设计了一到两个简单的由已有的知识和生活经验易于解答的小问题作台阶，顺利解决如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识．通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并能服务于生活．
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动3]（1）教材第76页练习第2题．（2）变式：以教材第76页练习第2题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB． （3）如图3，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 ．变式：教材第79页第11题，如图4． 问题（1）学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成．问题（2）和问题（3）将全班学生分成四人小组，给足时间分别进行讨论、交流；教师参与学生活动，适当地给与指导．在活动3中，教师应重点关注：（1）根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对不同层次的学生进行指导；（2）学生对问题（2） 能否构造适当的几何模型测量池塘的长AB；（3）对学有余力的学生，在问题（3）中能否进一步加以拓展． 设计教材第76页练习第2题的变式，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，让学生联想与直角三角形或全等三角形相关的知识（等腰直角三角形、有一个角为30°的直角三角形、等边三角形等），使所学的知识得到进一步深化．设计教材第79页第11题的变式题问题3，有助于启迪学生进一步思考将直角三角形ABC外的正方形或半圆再变为等边三角形等结论还能否成立．
[活动4]（1）小结（2）作业：①教材第78页习题第2、3、4、5题．②教材第79页习题第12题． 让学生充分讨论交流，说出自己的体会，最后师生共同归纳．教师布置作业，学生记录并按要求在课外完成．在活动4中，教师应重点关注：（1）培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯；（2）对学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出解决教、学不足的措施． 通过讨论交流、自由发言等形式，使学生掌握归纳的方法．通过布置课外作业，及时获知学生对本节课知识的掌握情况，适当的调整教学进度和教学方法，并对学习有困难的学生给与指导．
教学设计说明
本节课主要内容是勾股定理的应用，安排在勾股定理的探索之后，它既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础．本节课的重点是勾股定理的应用，难点是勾股定理在实际生活中的应用．勾股定理是建立在一般三角形性质以及三角形全等的基础上，是三角形知识的深化，它在日常生活中有着广泛的应用．
在复习了直角三角形的相关知识的基础上，本节课进一步熟悉了勾股定理．教师通过运用勾股定理对一系列富有层次、探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．在活动3中，教师设计课本习题的变式题，给学生足够的时间讨论交流，使“不同的学生数学上得到不同的发展”． 整堂课，教师重点关注学生的探究精神以及交流、合作意识．
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