2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）开学数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 88.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-14 20:59:36 | ||
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文档简介
2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. x+6=0 B. x3-x=0 C. x2-x-2=0 D. xy=3
5.若方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A. a≠0 B. a=0 C. a＞0 D. a＜0
6.若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的一个根是x=-2，则它的另一个根是（ ）
A. x=1 B. x=-1 C. x=5 D. x=-5
7.在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ）
A. （2，4） B. （2，-4） C. （-2，-4） D. （-2，4）
8.近年来电商发展迅速，某服装店营业额逐年下降，2022年营业额为36万元，2024年营业额为23.04万元，设该服装店2022年到2024年营业额平均每年的下降率是x,根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. 36（1-x2）=23.04 B. 36（1+x）2=23.04
C. 36（1-x）2=23.04 D. 36（1-2x）=23.04
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是______.
10.若关于x的方程x2+nx-2m=0的一个根是2，则m-n的值是 .
11.若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______.
12.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是______.
13.如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，且CD=2AB.若点C的坐标为（-4，-2），则点A的坐标为______.
14.如图，在正方形ABCD中，点F是边CD上一点（不与点C和点D重合），连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边EF与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结BE.给出下面四个结论：
①∠FAC=∠EAB；
②△FAC∽△EAB；
③当点F在边CD上运动时∠EBC的大小随之变化；
④当点F是边CD的中点时，点H是边EF的中点.
上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共7小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题11分)
计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16.(本小题11分)
解下列方程：
（1）（x+1）2-4=0；
（2）x（x-2）=x-2.
（3）x2-4x-5=0；
（4）.
17.(本小题11分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O.
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若OF=3，求CD的长.
18.(本小题11分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹.
（1）在图①中作边 AC上的中线BD；
（2）在图②中作△ABC的角平分线CE；
（3）在图③中的BC边上找到一点F，使BF：CF=2：1.
19.(本小题11分)
某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下：
项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法
基本工资 2 每年增长率相同
工龄工资 0.05 每年增加0.05万元
岗位工资 0.3368 固定不变
（1）设基本工资每年增长率为x,用含x的代数式表示第三年的基本工资为______；
（2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的18%，求基本工资每年的增长率是多少？
20.(本小题11分)
【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
（ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式.
例如：的有理化因式是；的有理化因式是.
（ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的.
例知：；.
【知识运用】
（1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______.
（2）把下列各式的分母有理化：
①；
②.
（3）化简：.
21.(本小题11分)
【发现问题】
如图①，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF=2AF，CF与AD交于点E，求的值.
【问题分析】
小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形.根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题.
【问题解决】
解：如图②，过点D作DH∥CF交AB于点H，
∵DH∥CF，∴△BDH∽△BCF
∴，∴
∵点D为BC的中点，∴.
接下来小明想尝试证明△AFE∽△AHD.并结合已知条件得出结果.
请帮助小明继续完成上述求解过程.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】a≥5
10.【答案】2
11.【答案】
12.【答案】70°
13.【答案】（2，1）
14.【答案】①②④
15.【答案】；
；
2；
16.【答案】x1=1，x1=-3；
x1=2，x2=1；
x1=5，x2=-1；
，
17.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为线段BC、AD的中点，
∴AF=AD，CE=BC，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，
∴OA=OC，
∵AF=DF，
∴OF为△ACD的中位线，
∴CD=2OF=2×3=6．
18.【答案】见解析
见解析
见解析
19.【答案】（1）每年的增长率为x,则第三年的基本工资为2（1+x）2．
故答案为：2（1+x）2．
（2）0.05+0.10+0.15+3×0.3368=0.18×[2+2（1+x）+2（1+x）2]，
∴x1=0.2，x2=-3.2（舍去）．
答：基础工资每年的增长率为20%．
20.【答案】（答案不唯一）；；
①；②；
2
21.【答案】．
第1页，共1页
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. x+6=0 B. x3-x=0 C. x2-x-2=0 D. xy=3
5.若方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A. a≠0 B. a=0 C. a＞0 D. a＜0
6.若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的一个根是x=-2，则它的另一个根是（ ）
A. x=1 B. x=-1 C. x=5 D. x=-5
7.在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ）
A. （2，4） B. （2，-4） C. （-2，-4） D. （-2，4）
8.近年来电商发展迅速，某服装店营业额逐年下降，2022年营业额为36万元，2024年营业额为23.04万元，设该服装店2022年到2024年营业额平均每年的下降率是x,根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. 36（1-x2）=23.04 B. 36（1+x）2=23.04
C. 36（1-x）2=23.04 D. 36（1-2x）=23.04
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是______.
10.若关于x的方程x2+nx-2m=0的一个根是2，则m-n的值是 .
11.若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______.
12.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是______.
13.如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，且CD=2AB.若点C的坐标为（-4，-2），则点A的坐标为______.
14.如图，在正方形ABCD中，点F是边CD上一点（不与点C和点D重合），连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边EF与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结BE.给出下面四个结论：
①∠FAC=∠EAB；
②△FAC∽△EAB；
③当点F在边CD上运动时∠EBC的大小随之变化；
④当点F是边CD的中点时，点H是边EF的中点.
上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共7小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题11分)
计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16.(本小题11分)
解下列方程：
（1）（x+1）2-4=0；
（2）x（x-2）=x-2.
（3）x2-4x-5=0；
（4）.
17.(本小题11分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O.
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若OF=3，求CD的长.
18.(本小题11分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹.
（1）在图①中作边 AC上的中线BD；
（2）在图②中作△ABC的角平分线CE；
（3）在图③中的BC边上找到一点F，使BF：CF=2：1.
19.(本小题11分)
某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下：
项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法
基本工资 2 每年增长率相同
工龄工资 0.05 每年增加0.05万元
岗位工资 0.3368 固定不变
（1）设基本工资每年增长率为x,用含x的代数式表示第三年的基本工资为______；
（2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的18%，求基本工资每年的增长率是多少？
20.(本小题11分)
【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
（ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式.
例如：的有理化因式是；的有理化因式是.
（ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的.
例知：；.
【知识运用】
（1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______.
（2）把下列各式的分母有理化：
①；
②.
（3）化简：.
21.(本小题11分)
【发现问题】
如图①，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF=2AF，CF与AD交于点E，求的值.
【问题分析】
小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形.根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题.
【问题解决】
解：如图②，过点D作DH∥CF交AB于点H，
∵DH∥CF，∴△BDH∽△BCF
∴，∴
∵点D为BC的中点，∴.
接下来小明想尝试证明△AFE∽△AHD.并结合已知条件得出结果.
请帮助小明继续完成上述求解过程.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】a≥5
10.【答案】2
11.【答案】
12.【答案】70°
13.【答案】（2，1）
14.【答案】①②④
15.【答案】；
；
2；
16.【答案】x1=1，x1=-3；
x1=2，x2=1；
x1=5，x2=-1；
，
17.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为线段BC、AD的中点，
∴AF=AD，CE=BC，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，
∴OA=OC，
∵AF=DF，
∴OF为△ACD的中位线，
∴CD=2OF=2×3=6．
18.【答案】见解析
见解析
见解析
19.【答案】（1）每年的增长率为x,则第三年的基本工资为2（1+x）2．
故答案为：2（1+x）2．
（2）0.05+0.10+0.15+3×0.3368=0.18×[2+2（1+x）+2（1+x）2]，
∴x1=0.2，x2=-3.2（舍去）．
答：基础工资每年的增长率为20%．
20.【答案】（答案不唯一）；；
①；②；
2
21.【答案】．
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